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1、工程力学主 讲：谭宁 副教授办公室：教1楼北3051工程力学平面力系平衡方程平面力系平衡方程刚体系统的平衡刚体系统的平衡静定、静不定问题静定、静不定问题作业题作业题2工程力学 平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。得到平面力系平衡的充分必要条件是：主矢 主矢主矩 主矩 平面任意力系平衡方程 平面任意力系平衡方程 平面力系平衡方程 平面力系平衡方程3工程力学充分性：当 时，表明作用于简化中心O的汇交力系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡。根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化
2、为一个力偶或一个力，与“假设原力系平衡”的前提条件不符，故只有 均为零，原力系才能平衡。必要性：当原力系平衡时，我们用反设法说明。假设 有一个不为零，即 平面任意力系平衡方程 平面任意力系平衡方程 平面力系平衡方程 平面力系平衡方程4工程力学平衡条件的解析式：上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为平衡方程的基本方程。有三个方程，可解 有三个方程，可解三个未知量。三个未知量。平衡条件的矢量式：平面任意力系平衡方程 平面任意力系平衡方程 平面力系平衡方程 平面力系平衡方程平衡方程基本形式5工程力学二矩式 x轴不得垂直于A、B的连线。（3）又若该力系又同时满足，而x轴不得垂直于AB连线时，显然
3、力系不可能有合力。这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡（1）若力系已满足了，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过A点的一个合力，或者是平衡。（2）若该力系同时满足，则该力系合成结果或者是作用线通过A、B两点的一个合力，或者是平衡。F FR R 平面任意力系平衡方程 平面任意力系平衡方程 平面力系平衡方程 平面力系平衡方程平衡方程其他形式6工程力学 平面任意力系平衡方程 平面任意力系平衡方程三矩式 A、B、C三点不得共线。平面力系平衡方程 平面力系平衡方程平衡方程其他形式为什么呢？7工程力学 平面平行力系的平衡方程此时，自然满足。则平面平行力系平衡方程为只有两个方程
4、，可解两个未知量。只有两个方程，可解两个未知量。平面力系平衡方程 平面力系平衡方程思考：是否还有其它的形式？是否还有其它的形式？8工程力学 平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系的平衡方程各力汇交于一点A，自然满足。则平面汇交力系平衡方程为只有两个方程，可解两个未知量。只有两个方程，可解两个未知量。平面力系平衡方程 平面力系平衡方程思考：是否还有其它的形式？是否还有其它的形式？9工程力学 平面力偶系的平衡方程 平面力偶系的平衡方程显然，关于力平衡的方程自然满足。只有一个方程，可解一个未知量。只有一个方程，可解一个未知量。平面力系平衡方程 平面力系平衡方程10工程力学 平面任意力系平衡方程 平面任
5、意力系平衡方程1根据问题条件和要求，选取研究对象。2分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究对象所受的全部主动力和约束力。3根据受力类型列写平衡方程。平面一般力系只有三个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和矩心，以使方程中未知量最少。4求解。校核和讨论计算结果。平面力系平衡方程 平面力系平衡方程求解步骤：1 1工程力学 例1：一种车载式起重机，车重P1=26 kN，起重机伸臂重P2=4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3=31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。应用举例 应用举例 平面力系平衡方程 平面力系平衡
6、方程12工程力学解：取汽车及起重机为研究 解：取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。对象，受力分析如图。不翻倒的条件是：FA0。因此，得到 因此，得到F FA A F FB B 应用举例 应用举例 平面力系平衡方程 平面力系平衡方程列平衡方程如下：列平衡方程如下：13工程力学 例2：如图所示是汽车制动机构的一部分。已知司机踩到制动蹬上的力F=212 N，=45。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24 cm，DE=6 cm 点E在铅直线DA上，又B，C，D都是光滑铰链，机构的自重不计。应用举例 应用举例 平面力系平衡方程 平面力系平衡方程14工程力学O qxyABD
7、FFDFB解 解：(1).1).取制动蹬 取制动蹬ABD ABD作为研究 作为研究对象，画出受力图。对象，画出受力图。(2)(2)列平衡方程 列平衡方程应用三力平衡汇交的条件得到 应用三力平衡汇交的条件得到 应用举例 应用举例 平面力系平衡方程 平面力系平衡方程15工程力学 应用举例 应用举例 例3：已知 求支座A、B处的约束力.平面力系平衡方程 平面力系平衡方程16工程力学解 解:(1)(1)取 取AB AB梁，画受力图 梁，画受力图.F FAx AxF FAy Ay此处，把分布力简化成 此处，把分布力简化成集中力 集中力Q Q，作用在，作用在D D点 点Q QD DF FB B 应用举例
8、应用举例 例3：已知 求支座A、B处的约束力.平面力系平衡方程 平面力系平衡方程17工程力学 例3：已知 求支座A、B处的约束力.应用举例 应用举例(2)(2)列平衡方程 列平衡方程F FAx AxF FAy AyQ QD D 平面力系平衡方程 平面力系平衡方程F FB B18工程力学 刚体系统平衡：刚体系统平衡：是指组成该系统的每一个刚体都处于平 是指组成该系统的每一个刚体都处于平衡状态。衡状态。外力：外力：外界物体作用于刚体系统上的力称为外力。外界物体作用于刚体系统上的力称为外力。内力：内力：系统内部各个刚体之间的相互作用力称为内力。系统内部各个刚体之间的相互作用力称为内力。刚体系统的平衡
9、 刚体系统的平衡 刚体系统：刚体系统：由若干个刚体连接而成的系统。由若干个刚体连接而成的系统。19工程力学 对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当取系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系统其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用在该部分上的外力。因此，对不同的研究对象而言，外力、内力是相对的。刚体系统的平衡 刚体系统的平衡注意！注意！20工程力学 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡系统平衡的特点：(1)系统整体是平衡的；(2)物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体,每个物体都受有平面一般力系作用）(3)由n个刚体组成的物系
10、，其中n1个刚体为二力体或受有平面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，n3个刚体受有平面一般力系作用，且：n=n1+n2+n3，则整个系统可列出m个独立的平衡方程，且 m=n1+2n2+3n3，可求解m个未知量。21工程力学 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡分析方法：分析方法：先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出所有的未知量为止。整体 整体 局部 局部 以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，然后求解。求解刚体系统的平衡问题，主要依据前面给出的平衡理论。22工
11、程力学研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点：分清内力和外力。灵活选取研究对象和列写平衡方程。如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下平衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n个未知量。刚体系统的平衡 刚体系统的平衡23工程力学已知：a、P、Q。求A、B 的约束反力。刚体系统的平衡 刚体系统的平衡例一24工程力学解：(1)考虑整体,受力如图所示，F FAx AxF FAy AyF FBx BxF FBy By列平衡方程如下：(2)考虑左半部，受力分析如图4 4个方程，个方程，4 4个未知量，可解。个未知量，可解。F FCy CyF FCx Cx 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡这里不需列全
12、部方程，只需有针对性地列出必要的方程！25工程力学 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡26工程力学 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡求解方法二（1）选取研究对象：左刚架，受力分析如图所示。F FCy CyF FCx Cx列平衡方程：27工程力学（1）选取研究对象：右刚架，受力分析如图所示。F FBx BxF FBy ByF FCy Cy F FCx Cx 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡求解方法二列平衡方程：6个方程可解出6个未知量思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？总结两种方法的特点。28工程力学图示结构，Fp和 l 均已知，分别求两种情况下的约束力。刚体系统的平衡 刚体系统的平衡例二2
13、9工程力学B BA All llllA AC CB Bll llFP第一种情形 MA(F)=0:FBC d-FP 2l=0解：该系统中，BC为二力杆。以AB为研究对象，作出受力图 Fy=0:FAy-FP+FBC sin45=0FAy=-FPFPFAyFAxFBCd dFx=0:FAx+FBCcos=0FAx=-2FP 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡30工程力学解：以整体为研究对象，作出受力图ll llA AC CB Bll第二种情形M=FP lA AC CB BM=FP lFAFC列平衡方程 列平衡方程此时 此时AB AB为二力杆 为二力杆。刚体系统的平衡 刚体系统的平衡正确识别出二力杆，对解
14、题有很大帮助。正确识别出二力杆，对解题有很大帮助。31工程力学已知：四连杆机构ABCD 受力P、Q 作用。求:机构平衡时P、Q 的关系。例三 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡32工程力学解：以整体为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡AD AD、BC BC均为二力杆 均为二力杆33工程力学 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为P，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计，试求B处的约束力。P 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡例四34工程力学解：取整体为研究对象。受力分析如图。列平衡方程FAyFAxFCxFCyP P解得 P 刚体系统的平衡 刚体系
15、统的平衡35工程力学再取杆AB为研究对象，受力分析如图。列平衡方程联立求解可得FAyFAxFByFBxF FE EP 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡F FE E=P=P36工程力学 结构由杆AB与BC在B处铰接而成。结构A处为固定端，C处为辊轴支座。结构在DE段承受均布载荷作用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为M。若q、l、M等均为已知，试求A、C二处的约束力。刚体系统的平衡 刚体系统的平衡例五37工程力学解：以整体为研究对象，受力如图：分布力化成了集中力Q，且Q=2ql，作用在B点。列平衡方程F FA Ax xF FA Ay yM MA AM MQ QF FC C 刚体系统的平衡
16、 刚体系统的平衡38工程力学 以BC杆为研究对象，从铰链B处把BC取出来，则BC杆必然受到铰链的作用力，如图：把分布力化为集中力P，P=ql，作用在G处。得到BC杆的受力图：列平衡方程解得G G 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡39工程力学例六 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡平 面 结 构 如 图 所 示，不 计 各 杆 自重。已知：试求：支座A、C 处的约束反力40工程力学 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡FDYFDXFEPED解：先取ED为研究对象，受力如图。列平衡方程41工程力学PFEEQ2L 2LFCC D BFBYFBX(b)（2）取EDCB组合体为研究对象，画受力图 刚体系统的平衡 刚
17、体系统的平衡列平衡方程思考：怎么列方程简单？分布力化成了集中力 分布力化成了集中力Q Q42工程力学2L(c)PFCFEEQ2LC DBMFAYFAXMA 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡（3）取整体为研究对象，画出受力图列平衡方程，求解出FAX、FAY、MA思考：该题还可以怎么做？43工程力学 齿轮传动机构如图所示。齿轮 的半径为r，自重P1。齿轮 的半径为R=2r，其上固定一半径为r的塔轮，轮 与 共重为P2=2P1。齿轮压力角为=20,被提升的物体C重为P=20P1。求：（1）保持物C匀速上升时，作用于轮上力偶的矩M；（2）光滑轴承A，B的约束力。ABrrRMCPP1P2 刚体系统的平衡
18、刚体系统的平衡例七44工程力学 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡齿轮某一特定圆上的比值p/和压力角 都定为标准值，这个圆称为分度圆 分度圆，直径用d表示.压力角压力角啮合力与齿轮分度圆切线的夹角,标准值为20。相邻两齿同侧齿廓间的弧长称为该圆的齿距 齿距p45工程力学ABrrRMCPP1P2压力角压力角啮合力与齿轮分度圆切线的夹角,标准值为20。刚体系统的平衡 刚体系统的平衡46工程力学解：(1).取，轮及重物为研究对象，受力分析如图所示。ABrrR MCIIIPP1P2CBKPFBxFByFnP2列平衡方程解得 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡47工程力学 2.再取轮为研究对象，受力分析如图所示
19、。ABrrR MCIIIPP1P2AKMP1FAxFAy列平衡方程解得 刚体系统的平衡 刚体系统的平衡48工程力学前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。注意到：平面任意力系有3个，平面力偶系只有1个。平面汇交力系和平面平行力系各有2个，因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超静定（或静不定）问题。静定、静不定问题 静定、静不定问题49工程力学 图（a），（c）均为静定
20、问题；而图（b），（d）均为超静定问题。(a)(a)(b)(b)(c)(c)(d)(d)静定、静不定问题 静定、静不定问题50工程力学判断下面结构是否静定？F FA Ax xF FA Ay yF FB Bx xF FB By yF FA Ax xF FA Ay yF FB Bx xF FB By yF FA Ax xF FA Ay yM MA AF FB Bx xF FB By y否 否是 是否 否 静定、静不定问题 静定、静不定问题思考思考51工程力学 静定、静不定问题 静定、静不定问题思考思考判断下面结构是否静定？52工程力学 需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，而只是不能仅仅用
21、静力学平衡方程来解决的问题。如果考虑到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的补充方程也可求出全部未知约束力。这将在材料力学、结构力学等课程中加以研究。工程上很多结构都是超静定的。由于结构增加了多余约束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用材料，使安全更可靠。静定、静不定问题 静定、静不定问题53工程力学本章小结本章小结（1）平面力系是静力学的重点内容，要特别注意研究方法和解题技巧及步骤.在解系统平衡问题时，通常需按题意考虑选取整个体系，或选取体系中某几个物体组成的（子）体系，或选取体系中的单个物体为研究对象。注意每个研究对象的受力图应分别画出，不应混在一张图上画。（3）列平衡方程时，总是希望一个方程式中只含一个未知量，这样既能迅速解出未知量，又不致因计算差错而相互影响。因此，应根据具体情况灵活选择平衡方程的形式以及投影轴和矩心。（2）平面力系平衡方程的三种形式。54工程力学3.平面力系的平衡问题 4-5(b)4-5(b)4-6(b)4-6(b)作业题作业题55