2023年云南省高考文科数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf-淘文阁

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1、2023年云南省高考文科数学压轴题总复习/y2 _ /31 .椭圆E：/+记=1（。0），短轴长为2且离心率为万.（I）求椭圆E的方程；（H）如图，椭圆E与x轴交于4 B两点,与y轴正半轴交于点C,。是椭圆E上异于顶点外的点，直线C。交x轴于点N,直线Z C交8。于点直线80的斜率为“，直第1页共104页2.已知函数 F (x)=/(x+1)-l ax,G(x)-aco s x,若 F (x)与 G(x)在 x=0 处的切线互相垂直.(I )求实数。的值：(I I )若函数g (x)=F(x)+G(x),求函数g (x)在(-1,1)上的极小值.第 2 页共 104页3.已知函数/

2、(x)=m x-nxl n x(j n,n/?).(I )若函数/(x)在(1,/(l)处的切线与直线x-y=O 平行，求实数的值;(I I )若=1 时，函数/G)恰有两个零点X I,X 2 (0 X l2.第3页共104页4.已知函数(x)=ax+lnx+.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)对任意的x 0,不等式/(x)W/恒成立，求实数。的取值范围.第4页共104页5.在平面直角坐标系中，A,8 分别为椭圆：万+y 2 =i的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,b)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合，且 C、。两点在y轴右侧，C 在。的上方)，直线/O与 8 c相

3、交于点。.(1)设的两焦点为尸1、尸 2,求/尸”尸 2 的值；(2)若 6=3,且P O =*P C,求点。的横坐标；(3)是否存在这样的点P,使得点0的纵坐标恒为?若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.第5页共104页7 F c.6.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为（0,1）,离心率e=等，过椭圆的右焦点尸的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4 B两点（1 ）求椭圆的标准方程；1（II）当直线/的斜率为5时，求弦长|4 8|的值.（III）设M （机，0）是线段OF（O为坐标原点）上一个动点，且（而+病）1 m，求机的取值范围.第 6 页共 1 0 4 页7.已知项数

4、为(znC N*,m 2 2)的数列“”满足如下条件：(T)an G N*(n 1,2,w)；aia2-a,n.若数列为满足b；=(ai+azqMam)e N*,其中=1,2,m,则称篇为 a”的“心灵契合数列”.(1)数列 1,5,9,11,15是否存在心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数列“；若不存在，请说明理由；(2)若为即的“心灵契合数列”,判断数列也”的单调性,并予以证明；(3)己知数列斯存在“心灵契合数列”如，且G=1,劭,=1025,求机的最大值.第 7 页共 1 0 4 页8.设数列4：a,“2,，(2 3)的各项均为正整数，且ai WazWWa

5、”.若对任意在 3,4,”,存在正整数3 /(1 Wi W/Vk)使得四=。汁华则称数列/具有性质7.(I )判断数列4：1,2,4,7与数列血：1,2,3,6是否具有性质丁；(只需写出结论)(I I )若数列4具有性质T,且m =l,图=2,。=2 0 0,求的最小值；(III)若集合 5=1,2,3,，2 0 1 9,2 0 2 0 =S US 2 US 3 US 4 US 5 US 6，且 SC 5 =0(任意3/6 1,2,6 ,i壬/).求证：存在$,使得从S中可以选取若干元素(可重复选取)组成一个具有性质7的数列.第8页共104页9.已知函数/(x)=g(x)=2l n x

6、+2a(aR).(1)求/(x)的单调区间；(2)证明：存在(0,1),使得方程/(x)=g (x)在(1,+8)上有唯一解.第9页共104页1 0.已知函数/(x)=x2-2bx-Inx.(I )讨论/(x)的单调性；(H)设 6 2 0,若/(元)在xo处有极值，求证：f (xo)方 0）的长轴长是焦距的2倍，且过点（一1,（1）求椭圆C的方程；（2）设尸（x,y）为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，/、8分别为椭圆C的左、右顶点，点尸满足P P =（4-x,0）.证明：为定值；|P F|设。是直线/：x=4 上的动点，直线A Q、B Q分别另交椭圆C于 A f、N 两点，求|

7、四用+|询的最小值.第1 2页共104页1 3.正整数数列“”的前N项和为S”前项积7,e N*(/=!,2,H),贝|J称数列*为“Z 数列”.(I)判断下列数列是否是Z 数列，并说明理由；2,2,4,8；8,24,40,56.(H)若数列斯是 Z 数列，且公=2.求 S3和乃;(I ll)是否存在等差数列是Z 数列？请阐述理由.第1 3页共104页14.函数f(x)满足：对任意a,P G R,都有/(耶)=a/-(p)+0/(a),且(2)=2,数列斯满足 a*=/(2)(nN+).Q”(1)证明数列关为等差数列，并求数列“的通项公式；(2)记数列仍“前项和为S”且加=

8、迎地，问是否存在正整数机，使得(5+1)(S”-4)+19 篇0 成立，若存在，求 m的最小值；若不存在，请说明理由.第1 4页共104页115.已知函数/(x)=-x+al n x.(I)求/(x)在(1,/(I)处的切线方程(用含。的式子表示)(II)讨论/(x)的单调性;(III)若 x)存在两个极值点.证明：然詈勺一 2.第1 5页共104页1 6.已知函数/(x)=lnx-a x(6rGR)的最大值为-1.(I)求函数/(x)的解析式;(II)若方程/(X)=2-x/有两个实根XI，X2，且 X1X2，求证：Xl+x2l第1 6页共104页X 2 y21 7.

9、已知椭圆E：熊 +3=l(a b 0)的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y-2=0相切.(I)求椭圆的标准方程；()A,B,C 为椭圆E 上不同的三点，。为坐标原点，若&+办+辰=3,试问:N8C的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.第1 7页共104页X y V 218.已知椭圆C：-7+77=1 Cab0）的离心率为二长轴长为4&.（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）设点尸是椭圆C上的任意一点，若点尸到点（2,0）的距离与点P到定直线（r 0）的距离之比为定值入，求人与f的值；（III）若直线/：y k x+m*#0）与椭圆C交于

10、不同的两点，N,且线段MN的垂直平分线过定点（1,0）,求实数4的取值范围.第 1 8 页共 1 0 4 页19.设S”为首项不为零等差数列 a”的前项和，已知a 4a 5=3。9,5 5=2 0.(1)求数列 a“的通项公式；设7，为数列人的前项和求公的最大值第 1 9 页共 1 0 4 页2 0.设数列斯,bn 已知 a i=4,6 1=6,a +i=，b”+i=0n(C N*),(1)求数列瓦-a 的通项公式;(2)设S”为数列加的前项和，对任意 N*,若夕(S“-4)G l,3恒成立，求实数p的取值范围.第2 0页共104页2 1.己知函数/(x)=2l

11、n(x+1)+s i nx+l.(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0)处的切线方程;(2)证明：x+l n x；(3)证明：/(x)W(x+1)2 叫第 2 1 页共 104页1 32 2.已知函数/(x)=+a x (a R),g(x)=ex+x.(1)当a=-4时;求函数/(x)的极值；(2)定义：对于函数/(x),若存在x o,使/(x o)=x o成立，则称x o为函数的不动点,如果函数尸(x)=/(x)-g (x)存在不动点，求实数a的取值范围.第2 2页共104页/y22 3.已知椭圆/+记=1 (a 6 0)的右焦点到右准线的距离为1,过椭圆的右焦点且垂直于长轴的直线被

12、椭圆截得线段长为夜.(1)求椭圆的标准方程；(2)若。为坐标原点，直线/与椭圆交于P,。两点，且直线/与。0：/+/=|相切，证明：O P _ LO。.第2 3页共1 0 4页X y o2 4.已知椭圆C：葭+6=1（。方0）的左、右焦点分别为F l，F 2,M（l,分为椭圆上一点，且|X|+|加 2 尸 4.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点/作互相垂直的两条直线分别交椭圆C 于另一点4 B,求证：直线N8过定点，并求出定点的坐标.第2 4页共1 0 4页25.斯是等比数列，公比大于。，其前项和为&（叫 N*）,瓦是等差数列.已知田=1,。3=。2+2,44=63+65，45

13、=04+266.(I)求 “和加的通项公式;(II)设 5=(an+D Q+i+l)数列 C n 的前项和为Tn，求Tn的值.(III)设dn=bn，.其中 kN*,求di(nN*).bnClog2bn+l),n=2k 1-1第2 5页共1 0 4页2 6.已知函数/(x)的定义域为。，若存在实常数入及a (a W O),对任意在。，当x+托。且x-a E D时，都有/(x+a)+/(x-a)=A/(x)成立，则称函数/(x)具有性质M(人,a),集合 =(入，a)叫做函数/(X)的性质集.(1)判断函数/(x)=/是否具有性质(入，a),并说明理由；(2)若函数g (x)=s i

14、n 2 r+s in x具有性质M(入，a),求g (x)的A/性质集；(3)已知函数尸(x)不存在零点，且当x w R时具有性质M(t+4 1)(其中4 0,rH I),若a=h()(6N*),求证：数列%为等比数列的充要条件是&=t或上=Q 1 0 1 t第2 6页共104页2 7.已知函数/(x)=a/+c o s x -3的图象在点(0,/(0)处的切线与直线x+=0垂直.(1)判断/(X)的零点的个数，并说明理由；(2)证明：/(x)/对 x (0,+8)恒成立.第2 7页共104页2 8.已知函数/(x)=(x-a-1)-+(x0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)当aW2时

15、，若/(x)无最小值，求实数a的取值范围.第2 8页共104页/y229.已知椭圆C：葭+金=1 (心 6 0)的左焦点F(-0),椭圆的两顶点分别为Z(-a,0),B(a,0),M 为椭圆上除4 8之外的任意一点，直线用4 的斜率之积为一宗(I)求椭圆C 的标准方程；(I I )若 P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k的直线/不经过P点且与椭圆C 交于E,F两点，设直线尸E,P尸的斜率分别为上，且左1+依=-1,试问直线/是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.第2 9页共10 4页3 0.己知椭圆C：务哙=l（a b 0）的离心率为:，过焦点且垂直于长轴的弦长为

16、3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点（1,0）的直线/交确圆C 于 4,8 两点，在 x 轴上是否存在定点P,使得日1 而为定值？若存在，求出点p 的坐标和届丽的值：若不存在，请说明理由.第3 0页共104页31.已知各项均为正数的数列“的前”项和为S”，且4 5.=必+2册.(I )求数列利的前项和为(II)求证：中何+“+后+第3 1页共104页3 2.已知等差数列 “和等比数列瓦的各项均为整数，它们的前项和分别为S”Tn,且b=2a=2,6 2s3=5 4,。2+乃=11.（1）求数列即,出的通项公式；（2）求跖?=。1 加+。2b2+0 36 3+瓦 I；（3）是

17、否存在正整数加，使得笔铲恰好是数列斯或也”中的项？若存在，求出所有满足条件的机的值；若不存在，说明理由.第 3 2 页共 1 0 4 页3 3.已知函数/(X)=历 -x+Q有两个不同零点XI，X 2(X1X2).(1)求。的取值范围；11(2)证明：当0用工工时，X 2X 2 b 0),它的上，下顶点分别为4,B,左，右焦点分别为F i，F i,若四边形/1 8丘2为正方形，且面积为2.(I )求椭圆E的标准方程；(I I)设存在斜率不为零且平行的两条直线/I,/2,它们与椭圆E分别交于点C,D,M,N,且四边形C D M N是菱形，求出该菱形周长的最大值.第3 5页共104页

18、3 6.已知椭圆C：2+2 =1 （a 6 0）的离心率为万，且经过点（三，2）（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）若直线/与椭圆C交于V、N两点，8为椭圆C的上顶点，那么椭圆C的右焦点尸是否可以成为 8 M N的垂心？若可以，求出直线/的方程；若不可以，请说明理由.（注:垂心是三角形三条高线的交点）第 3 6 页共 1 0 4 页3 7.已知人是非零实数，数列。”的前项和为S”满足S”=l+入斯+i，且 6=-2.(1)求。|、。3,并判断 4 2,。3 能否依次成等差数列，并说明理由；(2)写出数列斯的通项公式，并求出数列斯是等比数列时入的值；(3)是否存在入，使得对于

19、任意的C N*,都有为常数)恒成立？若存在，则求人的取值范围，并对每个人的值写出相应的的最小值加(入)；若不存在，请说明理由.第3 7页共104页3 8.某种汽车购买时费用为1 6.9 万元，每年应交付保险费、汽油费共0.9 万元，汽车的维修保养费为：第一年0.2 万元，第二年0.4 万元，第三年0.6 万元，依等差数列逐年递增.（1）求该车使用了 3年的总费用（包括购车费用）为多少万元？（2）设该车使用年的总费用（包括购车费用）为/（），试写出/（）的表达式；（3）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.第 3 8 页共 1 0 4 页39.若方程/(

20、x)=苫有实数根xo,则称xo为函数/(x)的一个不动点.已知函数/(X)=小+(a+1)x-alnx(e为自然对数的底数)aER.(1)当时是否存在不动点？并证明你的结论；(2)若a=-e,求证/(x)有唯一不动点.第3 9页共104页4 0.已知函数/(x)(I )求/(x)的单调区间：(I I)过点P(1,0)存在几条直线与曲线y=/(x)相切，并说明理由;(I I I)若/(x)G-1)对任意x CR恒成立，求实数的取值范围.第4 0页共104页%2/y24 1.在平面直角坐标系x Q y 中，已知椭圆。：+)=1 C2：+=1 设直线/与椭圆。切于点M,交椭圆C2

21、于点/，B,设直线/1 平行于/,且与椭圆C2 切于点N.(1)求证：直线恒过原点。；(2)若点”为线段ON 上一点，求四边形。/N 8 的面积.第4 1页共104页4 2.已知/8C的三边长B C、AC,48 成等差数列，且 8、C 的坐标分别为力(-3,0)、C(3,0).(1)求顶点8 的轨迹的方程；(2)求曲线E的内接矩形的面积的最大值.第4 2页共104页4 3.已知首项相等的两个数列斯,垢(与H 0,n 6 N*)满足anbnu -an+y bn+2bn+bn0.(I )求证：数列普是等差数列；Jn(I I)若与=2f 求斯的前项和S ；(I I I)在(

22、H)的条件下，数列 S”是否存在不同三项构成等比数列？如果存在，请你求出所有符合题意的项；若不存在，请说明理由.第 4 3 页共 104页4 4.已知等比数列 a 前项和为SJ,T=m=2,数列 6 的各项为正，且满足S3+3 a3bn+2-b/=至塔 a1=aib.（1）求数列和瓦的通项公式；1 1 1 6 V3 1（2）若 5=硒（2+诟短前）求证：WFW5+C2+C3+Cn0时，f(x)g (x)恒成立，求。的最大值.第 4 5 页共 104页4 6.已知函数/(x)=al n x(a W O)与y =/好的图象在它们的交点p(5,t)处具有相同的切线.(1)求/(x)的解析

23、式；(2)若函数g(x)=(x-1)2+m f(x)有两个极值点x i，X 2，且x i b 0)过点(1,万)，离心率为万，A,8 分别是椭圆 C 的左，右顶点，过右焦点尸且斜率为A (A 0)的直线/与椭圆相交于，N 两点.(7)求椭圆C 的标准方程；(2)记 8F N的面积分别为S i，S 2，若自，求女的值；(3)记直线/M、8 N 的斜率分别为k”k i,求1的值.第4 7页共104页/y2 pj4 8.已知椭圆C：滔 +记=1 (“6 0)经过点(1,下)，且短轴长为2.(I )求椭圆C的标准方程；(I I )若直线/与椭圆C交于P,0两点，且。尸，0。，求A O P 0面积

24、的取值范围.第4 8页共10 4页4 9.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过/(0,-2),8(3,-1)2两点.(1)求 E的方程；(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于，N 两点，过且平行于x轴的直线与线段48 交于点7,点满足M T=TH证明：直线N 过定点.第 4 9 页共 104页50.某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有人(依N*,左 2)份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验左次；方案二：混合检验，将左份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则无份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，

25、为了确定上份血液中的阳性血液样本，则对份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a(a 0)元，且左份血液样本混合检验一次需要额外收：a元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p(0pl).(1)若A aeN*,%22)份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X,求X分布列及数学期望；(2)若k=5,0pl-以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；若p=l-专，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求人的最大值.参考数据：历2=0.7,加3=1.1,/7=1.9,-10=2.3,

26、加 11=2.4第5 0页共104页2023年云南省高考文科数学压轴题总复习参考答案与试题解析/v2 V 31.椭圆氏-y +港=1 短轴长为2且离心率为二.cr bL 2(1 )求椭圆E的方程；(I I)如图，椭圆E与 x轴交于4,B两点,与y轴正半轴交于点C,0是椭圆E上异于顶点外的点，直线C。交工轴于点M 直线力。交 8。于点直线 6。的斜率为?，直解得=4,6=1,x2故椭圆的标准方程为T+y 2 =1.4(I I)证明：由(I )可知：2(-2,0),B(2,0),C (0,1),则直线A C 的方程为x-2 y+2 =0,设直线8。的方程为y=w (x-2),联立方程

27、x 2 y 4-2 =0y =m(x-2)，解得4 m+2x=72 工m 1I 所以点j 4-m+72 ，-4m-)，_ 4 m 2m-1 2m17 -21将直线8。的方程(x-2)代入椭圆方程解得：x8m224mQ=W 7 T 37 Q =W 7 T 一,8 m2-2 -4 m所以 07丁7)，4 m2+1 4 m2+1设N(XM 0),因为C,Q,N三点共线,第5 1页共1 0 4页 4m 1所以k cQ=k cN，即4M 4-47n2+10-1迎一,解得 x N=2 m+r所以直线MN的斜率=4m 4m+2_4m-22m-1 2m+l4nl(2m+l)_ 2m+l=2(2m+l)2

28、-2(2m-l)2=4即 4n=2m+,故原结论成立.2.己知函数 F(x)=l n(x+1)-2ax,G(x)=-a c o s x,若 F(x)与 G(x)在 x=0 处的切线互相垂直.(I)求实数。的值；(I I )若函数g (x)=F(x)+G (x),求函数g (x)在(-1,5)上的极小值.1(I )依题忌，F (X)=值万一2。，故尸(0)=1 -2 a,且 G (x)=/+a s i n x,故 G (0)=1,由题可知，l-2 a=-l,所以a=l.(I I )依据题意，g (x)=ev-2 x -co s x+l n(x+1),-1 X gf(0)=0,当(-1,0)时，

29、函数力(x)单调递增，而 (0)=1,又因为/(一得)=e FJ+c o s (-白)-1 0 0 0,即函数万(x)单调递增，即g (x)单调递增,故当(x o,0)时，g (x)g (0)=0,故函数g (x)在(x o，0)上单调递减，在(0,)上单调递增，第 5 2 页共 1 0 4 页则当x=0时，函数g (x)有极小值g (0)=0.3.已知函数f(%)=仇x Q n,n E/?).(I )若函数/(x)在(1,/(1)处的切线与直线x-y=0 平行，求实数的值;(I I )若=1时，函数/(X)恰有两个零点X I,X 2 (0 X l 2.解：(I )因为f G)=黄

30、一且切线与直线x-y=0 平行，可得/(1)=n-1 =1,所以=2；1(I I )证明：当=1 时，f(x)=m-l n x,1/1-。m m 由题意知4i n%1 =0 l n x2=0(2)一得：23=需又一 1即l n-=-，x i x2令2 =合，贝 l jx 2=%l，且 f l,X1又因为x i+x 2=x i+f x i=(l+，)x i，由知：Zn t=g靖,所以必=晨 1)，要证 X l+X 2 2,只需证(1 +t)导 2,t2-l即证一-2l n t,即t 2 仇亡 0,令九(t)=t-1-2 Zn t(t l),则h)=o,所以A(/)在(1,+8)上单调递增

31、且力(1)=0,所以当正(1,+8)时，h(/)0,BP XI+X22.4.已知函数 (x)=ax+l n x+.(1)讨论函数/G)的单调性；第 5 3 页共 1 0 4 页(2)对任意的x 0,不等式/(x)W e-恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)定义域为(0,+8),/(X)=a +=写注，若a 2 0,则/(x)0,f(x)在(0,+8)递增，若a 0,则/(%)=学，/(x)在(0,-1)递增，在(一，+8)递减，综上知a 2 0,/(x)在(0,+8)递增，a 0,则9白)=生上也，X X令 h(x)=(x -1)e+l n x,x 0,h(x)=x ex+0.

32、所以(x)在(0,+8)单调递增，而(1)=0,所以(0,1)时，h(x)0,即 g (x)0,即 g (x)0,y g(x)单调递增.所以在x=l处y=g (x)取得最小值g (1)e -1,所以a W e-1,即实数“的取值范围是 a|a W e-1 .5.在平面直角坐标系中，A,8分别为椭圆：万+y 2 =i的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,6)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合，且C、。两点在y轴右侧，C在。的上方)，直线N O与8 c相交于点。.(1)设的两焦点为尸1、尸2,求尸2的值；T 4 T(2)若6=3,且P O =*P C,求点。的横坐标；(3)是否存

33、在这样的点P,使得点0的纵坐标恒为g?若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.第5 4页共104页解：(1)由椭圆的方程知，Fi(-1,0),F i(1,0),A(0,1),则N 0 4尸 2=45,A ZFAF2=90Q；(2)若 6=3,设 C、。的两点坐标为C(xi,yi),D(%2，”)，T 3 TPD=|P C,3 3 3 3,-(X2 旷 2-3)=2。1，丫 1-3),即久 2=2 久 1，、2=2 丫 1-2，x2而 C(xi,y i),D(x2/)均在万 +y=1 上，代入得%!2+2y/=2%2 +|d 73,)，解得yi=2，y2=-/分别代入解得,与=|

34、2=*直线3 c 的方程为y=2x-1,直线的方程为 y=r+1,联立器二:，解得、=1，2 o 点的横坐标为百；(3)假设存在这样的点P,设直线/的方程为y=fcc+b(k 1),点 C,。的坐标为。(xi,yi),D(孙”)，(v k x b联立 c 2 c，得(2产+1)f+4 蜘+2 6 2-2=0,由=1 6 2 7-8 (2+1)(ft2-1)+2yz=2 o,得写!，(,4k bX1 +x2=-2k2$1 i_/,2由，2 b2_2，可得 k x/2 =F-O 1 +乂2)，lX1X2=2F+T直线B C的方程为y=绰工-1,直线力。的方程为y=x+1,X1

35、x2、一(y=x T ,而 x i y 2=k x X 2bx ,x y =k x X 2bx i，联立 _1，得 y=”专 x+l(勺，2+冷当)+(刀 2-丫 1)=2 k xi X2+b(Xi+X2)+(X2-Xi)=(叼+以)+力(2-巧)=1 =1(x2y i-x1y2)+(xi+2)一匕 02-)+(巧+彳2)-b2(x2-x1)+b(x1+x2)一方一寸则 b=3 l,因此，存在点尸(0,3),使得点。的纵坐标恒为;.6.已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1),离心率e=竽，过椭圆的右焦点尸的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4 8 两点第 55页共 1 0 4 页

36、（I）求椭圆的标准方程；1（I I ）当直线/的斜率为5 时，求弦长|/8 的值.（I I I）设0）是线段。尸（。为坐标原点）上一个动点，且（扇 1+藤）1/，求机的取值范围.解：（）由题意可得 b=l,e=?=竽，c2=a2-b2,解得：2 =5,X2所以椭圆的标准方程为：y+/=1;（H）由（I ）可得：右焦点尸（2,0）,由题意设直线/的方程：y=（x-2）,即x=2 尸2 设 4 （xi，y）f B（小 /），%=2 y 4-2联立直线与椭圆的方程：（亏+y O 整理可得：9 f+8 y-1=0,巾+7 2=一勺，巾尸-q，所以弦长|/8|=4 1 +2 2/3 1 +丫 2）2

37、-4 y l y 2 =遍磊+,=与 2即弦长的值与（I I I）由（I ）的右焦点尸（2,0）,由题意可得0 V mV 2,联立直线/与椭圆的方程：X2 2（亏+y 2设直线/的方程为x=（y+2,设力（xi,巾），B（X2,”），）1，整理可得：（5+Z2）炉+4 夕-1=0,4 1 2 0y i+y 2=5 y i y 2=5 2 x i+x 2=t（y i+y 2）+4=j ，xi -x i t（y iT TM A 4-M B=（xi -m,y i）+（%2 n i,y i）（xi+%2 -2?，y i+2），AB=（X2 -xi,-巾），因为（M A +M B）J,4 B

38、,所以（xi+%2 -2/n）（X2 -xi）+（川+7 2）（y 2-y i）=0,2 0 4/-整理可得：（去？-2 加）-病=0,f#0,所以可得/2=4 一 5 0,解得：ml，所以可得：0m 垸，6所以加的取值范围（0,-）.第5 6页共104页7.已知项数为(z nC N*,m 2 2)的数列“”满足如下条件：(T)an G N*(n 1,2,w)；a i a 2 -a z n.若数列饱满足b；=(1+2,展二即1)%e N*,其中=1,2,m,则称加为即的“心灵契合数列”.(1)数列1,5,9,1 1,1 5是否存在心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵

39、契合数列”；若不存在，请说明理由；(2)若也”为劭的“心灵契合数列”,判断数列出的单调性,并予以证明；(3)己知数列斯存在“心灵契合数列步”，且。1=1,而=3 2 5,求加的最大值.解：(1)数列1,5,9,1 1,1 5不存在“心灵契合数列”，门+5+9+l心1 5=4 1.加=整。=1 0,4 1-5 0,41-9。,4 1-1 1 1 5 立 z*。2=空丁=9,b 3=y=8,6 4=下丁 =丁棚.数列1,5,9,1 1,1 5不存在“心灵契合数列”.(2)数列如为单调递减数列.,“+1 -6=写竽,nGN*.又a i 为单调递减数列.(3)V l WY

40、j Wm,bi -bj=:历GN*,bbi.bm.：.bt-bj&C,：.bt-bj=：.b-b,=。仁)=：b.i-b,=-an.m-1.又 am -a=（a加一 am.1）+（d m -1 一斯？-2）+.+（。2 -）+a i N （m-1）+（？-1）+（7?7 -1）=（m-I）2.（L 1）2 0 2 4,即加W 3 3.又詈N*.W3 3.例如：斯=3 2-3 1,（1，3 3）,此时,b=竽(。1+出1)一。九32=一+5 3 0 6 N*,且数列与为单调递减数列，故满足题意.：.m的最大值为3 3.8.设数列4：a i，az，,a”(3)的各项均为正整数，且a i W

41、a z WWa.若对任意A e 3,4,n ,存在正整数3 J(l W i 0 9.若 H=9,V a9=20 0 且“9 W 2a8,二1 28废1 0 0,同理，6450.32“625,1 61 2.5,86.25,4“33.1 25,.数列各项均为正整数，；.。3=4,.数列前三项为1,2,4.,数列4 具有性质T,a 4只可能为4,5,6,8 之一，而又84。心 6.25,.0 4=8,同理，有。5=1 6,。6=32,77=64,0 8=1 28,此时数列为 1.2,4,8,1 6,32,64,1 28,20 0.但数列中存在1 W i W J 9,使得20 0=。汁小该数列不具有性

42、质T,.e i O.当=1 0 时，取 4 1,2,4,8,1 6,32,36,64,1 0 0,20 0 (构造数列不唯一)，Az 1,2,4,8,1 6,32,36,64,1 0 0,20 0,经验证，此数列具有性质T,的最小值为1 0.(I I I)假设结论不成立，即对任意S G=l,2,6)都有:若正整数 a,be S i,a b,贝 U b-aCS i，否则，当 a b-a时;h -a,a,b是一个具有性质T的数列；当时，a,a,b是一个具有性质T 的函数.(力由题意可知，这 6 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于3 3 7 个，不妨设此集合为S”从 S i 中取出 3 3

43、7 个数，记为a,ai,，0 337且a ai -。337，令集合 M=S 337-。市=1，2,336 US.由假设，对任意 i=l,2,336,337-ai S,.M US 2US 3US 4US 5US 6,(n)在 S 2,S 3,S 4,S5,S6中至少有一个集合包含M 中的至少6 8 个元素，不妨设这个集合为S 2,从 S2nN i中取出 6 8 个数，记为bi,历，加8，且 61 Vb2 第 5 8 页共 1 0 4 页令集合 M=b68-汕：=1，2,67CS.由假设b6s -b任S z,对任意 k=T,2,6 8,存在 s k E 1,2,336使得 bk=a337

44、 aS k,I.对任意 i=1 2，67,b6s-bi =(a337-aS68)-(a137-as.)=as.-aS68，由假设 as.-aS 6Q g Sr,/./?68-6/SSi,.)g -b任Si US2,N2S3US4US5US6.(访)在S 3,S4,S5,S 6 中至少有一个集合包含N 1中的至少1 7 个元素，不妨设这个集合为S 3,从 S3CIN2中取出 1 7 个数，记为 Ch C2，C17，且 C1C2,0 时，由 -6 f 0,得 Q+0 或 V a y/a2-+a,第5 9页共1 0 4页由得一a-+a x V a+0 时，/(%)的单调递增区间为(一 8,

45、-a-y j a2-4-a),(-a 4-Va2 4-a,+00),单调递减区间为(-a-4a?+a,-Q),(-a,-a+Va2+a).(2)令/i(x)=/(x)-g(x)=-2，n x-2a(x l),则当(0,1)时，=(x+2a)J-(x+a)zx令 h (x)=0,则 x=l +Vl Ta,.当 l x Vl +V I T 时，h (x)0,：.h(x)在(1,1+V I T”)上单调递减，在(1 +VI 7G,+8)上单调递增,=h(l +V T T a),又 h(1)=1-2“，当 O V a V 4时，h(x)0,即人(/)0,又 h(x)在(1 +a,+8)上单调递增，=h

46、(1 +a)0,得x 小尹;由/(x)V 0,得 O V x v+J：+2,_,b+Jb2+2所以函数/(%)在(0,-)上单调递减，在(b+y/b2+2；+8)上单调递增.2(I I)证明：由(I )得，函数/(x)在 =出界处取得极小值,所以当X O=b+誓,极小值为/(x o)，第60页共1 0 4页因为/(x o)=2延-产0-1=0,所以 2bx o=2x Q-1,因为 620,x o O,万所以2x 1 2 0,可得打之三，所以/(x o)=XQ 2bx o+l n x o=XQ (2%g 1)-l n x o=-XQ-/M XO+1，令函数 g (x)=-x2-l n

47、x+,工 6停，+8),则 g (x)=-2x-0,所以函数g (x)在苧，+)上单调递减，所以 g (x)W g(曰)=一 4 一/7 +1=+，2,1因此/(X O)0,即 3+加 0,设/(x i 川)，B(X 2，)，则 y i+y 2=4t,y i”=-4/n,由N/O 8=90 ,所以小 b=0,即为x 2+y i y 2=0,又 X 1=%J,X 2=P 22,所以9 1 2”2+7 1”=0,故 W=-16,所以-4N?=-1 6,即机=4,因此直线A B的方程为x=)+4,该直线恒过定点(4,0)；第6 1页共104页（2）（z）因为Z B过定点（2,1）,所以

48、由（1）可得2=什加，即加=2-3=1 6户+16 m=16 （户-什2）0 恒成立，y i+/=4f,y i y 2=_ 4m=4t -8,由题意可得M（然2,0），c （生誓眩，中），2 2 16 2班以I C UI 巧+工2 _ 3 1+丫2）2 _ /+聂22 _ （力+弦）2 二1一及）2“I 以|C A 1|-2 16 _ _ 2 16 _ _ _ 16-，所以S i=3 cM i历-”|=刍y i -”产，因为W-y i=d（、i +丫2）？-4y l y 2=1 1 6/4（4t 8）=4A/t2 t +2 2A/7，此时 t=时，等号成立.所以S i=-歹2陛务（2 0）

50、。6 0）的长轴长是焦距的2 倍，且过点（一1,1）.（1）求椭圆C的方程;（2）设尸（x,y）为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，A,8分别为椭圆C的左、右顶点，点 P 满足P P=（4-x,0）.证明：啰为定值；PF 设。是直线/：x=4 上的动点，直线AQ.BQ 分别另交椭圆C 于 M、N两点，求|画|+|而的最小值.解:（1）由题意可得=2 的1 9靛+市=1a2=h2+c2,解得：q 2=4,b2=3,所以椭圆的方程为：丁x+y=1；4 3(2)由(1)可得力(-2,0),B(2,0),F(1,0),7 2X V 因为尸（x,y）为椭圆C上的动点，点尸满足P P=（4-X

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