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1、第 1 课时 利用空间向量求空间角提 升 关 键 能 力 考点突破掌握类题通法考 点 一 异 面 直 线 所 成 的 角 基础性1.2022陕西西安市西安中学高三模拟 已知三棱柱ABC-AiBiG的侧棱与底面边长都相等，的中点为 ,4D_L底面A 8 C,则异面直线A 8与 CG 所成角的余弦值为()C.D.-4 42.底面为正三角形的直棱柱ABC-AIBIG 中，AB=8,A 4=6,M,N 分别为A8,BC的中点，则异面直线AiM 与 8W 所成的角的余弦值为()11131213如图所示，在棱长为2 的正方体ABCABIGI中，E 是 棱 C G 的中点，AF=2AD,若异面直线A E 和
2、 4 厂所成角的余弦值为哈，则A的值为.反 思 感 悟 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹南余弦值的绝对值.提醒 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.考 点 二 直线与平面所成的角 综合性pN例1 2021浙江卷 如图，在四棱锥尸-ABC。中，底 面ABC。是平行四边
3、形，Z A B C=120,AB=1,BC=4,fl4=V15,M,N 分别为 BC,PC 的中点，P D L D C,P M A.MD.(1)证明：A B L P M.(2)求直线AN与平面PDW所成角的正弦值.听课笔记：反 思 感 悟 求 直 线 与 平 面 所成角的方法(1)定义法：作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键：证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角.(2)公式法：sin。=号(其中/?为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，/为该点到斜足的距离，6为斜线与平
4、面所成的角).向量法：sin 8=|cos=(0,V3,1),cos =煞嘉=之=、,|AB|-|CCi|ZX234,因此，异面直线A B与 C G 所成角的余弦值为4答案：D2.解析：如图，|而了|=|而的=-42+6 2=2 g,AiM；B iN=(Ai4 4-iAB)(B +河)=(A/+iA B)(A.+|B C)=A 42+|A7 T BC+|AB-A T T+JAB-BC=36+JX 8X 8X(-|)=28,，一，”，no 7-cos(AjM,B1N.答案：C3.解析：以。为原点，以D4,DC,O A 分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系(图略).正方体的棱长为 2,则 4(
5、2,0,2),01(0,0,2),(0,2,1),4(2,0,0),所以羽=(0,2,-1),A./7=A4+AF=A4+AAD=(O,0,2)+2(2,0,0)=(-22,0,-2),所以cos /，=R=霹 番 二 五 晨 二 哈，解得7=X 入=一!舍去)答案：5考点二例 I解析：(1)证明：在OCM中，易知力C=l,CM=2,ZDCM=60,由余弦定理，得 OM2=C C2+CM2-2CDCMCOS/O C M=l+4 2 X lX 2 X 1=3,所以DM=限所以。M2+C2=C M 2,所以CM为直角三角形，且NCDM=90。，即 DVLLQC.又因为。P_LOC,DPn DM=D
6、,DP,OMu平面 P)M,所以OCJ_平面PDM.因为 ABZ)C,所以AB J_平面PDM.因为PMu平面PDM,所以 AB_LPM.(2)如图，连接AM.因为 4BC),ABA.PM,所以 PM_LCD又因为 DMC DC=D,DM,Cu平面 ABCD,所以PMJ_平面ABCD.因为AMu平面ABC,所以PM_LAM.由余弦定理，得 AM=VAB2+BM2-2AB-BM cos zABC=+4 2 x 1 x 2 cos 120=小,所以 PM=7/一 M A2=45 7=2位.取 A D 的中点为E,连接M E,则 ME,DM,PM 两两垂直.以M 为坐标原点，分别以MZ),ME,M
7、P所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，可得 A(一遮，2,0),尸(0,0,2V2),D(V3,0,0),M(0,0,0),C(V3,-1,0).因为N 为 PC的中点，所以r 4所以丽=（苧，-|,V2）.由（1）可知，DC_L平面PDM,所以平面POM的一个法向量为元=（0,-1,0）.设直线AN 与平面PCM所成的角为仇则 sin。=叵 更 1=1=叵川。|AN|DC|唇 二 6-对点训练P解析：（1）连接E C,由己知BC触/D,E 为中点，又 A 8 L B C,故四边形ABCE为正方形，所以知ECJ_AD.,面 RW_L 面 ABC。，又面以BC 面 ABCD=AB
8、,BCLAB,BCu平面 ABCD,平面 PAB,故 BCLPA.同理可证CEVPA.又 BCnCE=C,故 以，平面ABCD连接A C,可知4C_L8E,又 巩 _L8E,B4n A C=A,，可知BE_L平面用C.又 PCu平面C,：.PCLBE.由已知。E 统 8 C,故四边形8CDE为平行四边形，故 CDB E,：.可知 PC_L CD.解析：（2）以A 为坐标原点，分别以品，A D,点的正方向为x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，p.由N P B A=4 5。，知 以=AB,不妨设A B=1,则可知 B(l,0,0),P(0,0,1),E(0,1,0).P B=(1,0,-1)
9、,P E =(0,1,-1).设平面P 8 E 的法向量为=(x,y,z),n-P B =0.n -P E =0 x z=0.y-z=o则(令 z=1,则 x=y=1,=(1,1,1).又 C(l,1,0),故同=(1,1,-1).设 PC与平面P 8 E 所 成 的 好 仇 则sin(9=|c os(P C,n)l =考点三例 2 解析:(1)因为 P O _ L 平面 A B C。，所以 Q _ L A。，PDVDC.在矩形A 8C 中，A D L D C,故可以点。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设 B C=f(/0),则 4 ,0,0),BQ,1,0),M(g,1,0),P(0,
10、0,1),所以而=(f,1,-1),A M=(-|,1,0).因为P B _ L A M,所 以 而 而=一 号+1=0,得/=鱼，所以3 c=夜.解析：(2)易知 C(0,1,0),由(1)可得点=(一企，0,1),A M=(-y,1,0),C B=(V2,0,0),P B=(V2,1,-1).设平面APM的法向量为 1 =(即，yi,zi),贝 i j(iii-A P =0 广 必 i+Z i=0(叫.A M =0 (y xx+yi=0，令则zi=2,yi=l,所以平面APM的一个法向量为i=(鱼，1,2).设平面PM8 的法向量为2 =(田，2,Z 2),则伊.8=0,即1&=。，(n2
11、-P B =0 1/2 x2 4-y2 z2=0得 2 =0，令 2=1，则 Z 2=l,所以平面PM8 的一个法向量为 2 =(0,1,1).所以二面角A-PM-B的正弦值为J1-(甯)2=察.对点训练解析：(1)如图建立空间直角坐标系，则 A(2百，0,0),E(0,0,0),C(0,-2,0),4(2次，0,2),Bi(0,2,2),F(V3,1,2),所以扉=(百，1,2),AC=(-2V3,-2,0),而 T=(0,0,2),设面4 C C A 的法向量为”=(x,y,z),则泮U o,即产 喙 二 穹=,令 x=l 则 y=一遮，z=0,所以“=(1,-V 3,0),因为 E?=B X 1+1X(一遮)=0,EF4面A C G 4,所以EF平面ACGAi；解析：(2)因为诿=(2 k，0,0),EC=(O,-2,0),设面AEF的法向量为帆=(乃，,z i),则护,更=。，即产兀2zi-令=2,则=0,zi=-l,所以 m=(0,(m EA=0 I 273x7=02,-1)；设面CE尸的法向量为“=3,”，Z2),贝,巴=,即 同.二 2：2 =0,令 X 2=l,则刃=0,1,0，-日)设二面角A S C 为。，则*=湍V22+(-l)2x甯，故二面角A-E尸-C 的余弦值为詈.