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1、 仁华学校数学思维训练导引解 析（五年级）仁华思维导引解析1讲：循环小数与分数 仁华思维导引解析2讲：和差倍分问题.仁华思维导引解析3讲：行程问题之三 仁华思维导引解析4讲：数的整除 仁华思维导引解析5讲：质数与合数 仁华思维导引解析6讲：格点与割补 仁华思维导引解析7讲：数字谜综合之一 仁华思维导引解析8讲：包含与排除 仁华思维导引解析9讲：复杂抽屉原理 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析10讲：逻辑推理之一1讲：估算与比较、通分与
2、裂项2讲：行程问题之四3讲：应用题综合之一4讲：约数与倍数5讲：余数问题6讲：直线形面积7讲：圆与扇形8讲：数列与数表综合9讲：数字谜综合之二仁华思维导引解析2 0讲：计数综合之一仁华思维导引解析1讲：循环小数与分数【内容概述】循环小数与分数的互代，循环小数之间简单的加、谶运真，涉及满环小故与分数的主要利用运算定律进行间理的问题.【典型问题】唯良J 1.真分散个化为小数后，如果从小数点后第一位艘字开始连续若干个数字之和是1992,那么暹多少？|分析与解）1=0 142 857.-=0.2 85714,-=0 42 8571.1=0.57142 8.-=0 7142 8 5.7 7 7 7 76
3、,一=0 8 5714 2.7因此，真分数，化 初 傲 后，从小鼓点第一位开始每连续六个散字之和邪是lX+2+8+X 7=2；,又因为 1992 +2 7=732 1,2 7-2 1=6,而6=2+4,=0.85714 2,即a=6.难度等J 2.某学生将1田乘以一个数a时，把12 误看氏L2 3,使乘积比正献果减少0 3则正确结果该是多少？3 3 分析与解由题意隔：I 2 3a-1 2 3a=0.3,BP：0 003a=0.3,所以有：a-.解得m=9 0,所900 10 2 3 2 i ll以 1.2 3。=1.2 3 X 90=li-1x90-xP O-lll.90 90 琅及事税 3.
4、计舞：0.1+0 125*0.3*0 1 6.第果惊留二位小教.分析与解方法一：0.1+)125-b 0.3+0 160.1111+0.1250+0 3333+0 1666=07359*0.736.方法二：0.1+0 1250.3+0.16=53*7 2=0.736 i*0 736.难 度 等fid 4.计 1 5,0 01+0.12+0 23+0 34+078+0 89.|分析与解|方法001+0 12+0 23+0.34+0.78*0.89_ 1 12-1 23-2 34-3 78-7 89-8=90*90-+-90-*90r+-90-+-901 1 1 2 1 3 1 71 81=-4-
5、H-H-4-4-90 90 90 90 90 90 216=2 4.方法二，0.01+0 12+0 23+0 34+0.78*0 89=0+0.1+0 2+0.*0.7+0 巩 0.0H 0.02*0.034 0.04 0.08 0.09)=2 H0.0IX(l+2+4+8+9)=2 1+X2790=2 1+0.3=24.地 度 级 5.将嬉坏小数0 3 2 3 与“79673相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似.值的最后一位小数是多少？分析与解0c.02：7 Xxz 0c.：1r79c6c72：=_ 2 7 x 179672 _ 1 179672 _ 4856；n 4 Or-=X
6、T T T T T T-=一 一 漏=0 00485 6.999 999999 37 999999 999999语环节有6位，100+6=164.因此第100位小数是循环节中的第4位8,第101位是5,这样四舍五入后第10。位为9.难 度 级 6.将下列分数妁成最简分数,1666666666666666666664 分析与解I 技规律，=1.64 41666 _ 1 16666 _ 16664-4,66664 4166 _ 1664-4所以 16666666666 _ 1入 66666666664=*地 度 多 板 7.将下列其式的计算结果写成带分散,0 5x2 36x59119 分析与解2
7、12 2=11=1 d=58 119 119 I H9J 119 119 难 度 d 8.计菖:4480 _ 2 1934 185568333 2 5909 352 55 分析与解74480 2 1934 1 185568333*2 5909*1 352 5562 811 2 5909 352 55x _ x-8333 2 1934 5381!3x7x3x997 13x1993 5x641x1113x641 2 x11x997 3x3x3x19937x5K 7 难度等级“讨m 1 1 1 1 1 1 分析与解 原式=+TTTT+毛3T十 7n77+Too+778128 8128 4064 20
8、32 1016 508 2542 1 1 1 1 1=-4-4-+-+-+-8128 4064 2032 1016 508 254111111-+，+-+-+-4064 4064 2032 1016 508 25411111 +-+，+2032 2032 10)6 508 25411 一*+1 1+1016 1016 508 254_ I 1 I=荻+荻+西.I-127,地及级10.i+M：85且-3.0+0 15x331+4 I 18 5)分析与解原式=x3.6x,4 85 1 4 6.1 5 M 5.5 X X 4 4 3 4 2 1i -y -35+19=-x3.6x 10+5.5-4
9、12=9+5.5.4 5=10.唯，更等级 11.i+S：41 2 X 8 1+HX 9-1+537X 0 19.4 分析与解 x t=412 x081+11x9.2 5+0.19x：4I2 +12 5)=4I2 x(.81+0 191+11x9.2 5+0 19x12 5=412+11x8+1 lx 1.2 5-h 19x1.2 5=412 +85+1,2 5x30=500+37.5=537 5.5 5 T7 5 x(g +凯 地度等级，2-计 昭(*+|分析与解1 原式=停+外修+号=13x(泊)仔+耳=13.璀度J 13 计 目.1 x 2 x 3+2 x 4*6 +4x8x12 +7x
10、14x2 1 1x3x5*2 x6x10+4 x12 x2 0+7 x 2 1 x35*IA 柘上被 I 1 x 2 x 3*2+2 3+4 3+7 =1 x 2 x 3=2再 高 不 K 一际I 一 小 难度等级 3 314.(1)已知等式0 l2 6X 79+12 X El-6石+2 5=10,08,那么口所代表的数是多少？(2)设上题答案为a.在直式(1993 8l+a)X O 的。内，堵入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值.间。内的所埴数字是多少？3 3|分析与解1 (1)设口所代表的数是X，0.12 6 x 79+12-X-6*2 5=10 08.解得，x=0 03,即
11、所代表的数是003.(2)设。内的所堵数字是y，U993.SU0 03lxj.1993 8 4 x p.有当y为8 W 1993.84 xy=1993 84X 8=15050.94.难度等级 15.求下述算式计宜结果的整数部分：【f2l+l3 +l5 +l7 +l11 +13)L385.分析与解|5 t=l x 385+1x385+-!-x385+-x 385+x 385+x3852 3 5 7 II 13=192 5+12 8.3+77+55+35+2 9.6=5174所以原式的整数部分是517.仁华思维导引解析2讲：和差倍分问题【内容概述】各种具有和差倍分关系的综合应用题,重点是包含分数的
12、问题.基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或空彤，开结合起采选仃比较m求州目夫的里，具甲要注意甲位“1”的恰当选取.【典型问题】难度 级i.有甲、乙两个数.如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的，,那么甲敌是乙数的多少倍？|分析与解|甲数的小数点向左移动两位，则甲数能小到原来的看，设这时的甲数为 1，则乙数为1X 8=8.那么姮来的甲数=1X100=100,则甲数是乙数的100+8=12.5倍.唯及等级 2.有三堆根子，母堆棋子数一样多，笄且都只有思、白两色模子.已知第一堆里的果子和第二地里的白子一样多，第三堆里的鼻子占全部雪子的,.如果把这三堆棋子集中在一起，那么白子占全部根子的几分
13、分析与解|如下表所示，第一堆再于、自于第二堆黑、了第三堆黑子臼于设全部里子为“5”份，第三雉里的鼻子则为“产 份，那么剩下的黑子占5-2=3”份，而第一堆里的男子和第二堆里的白子一样多，将第一堆果子和第二埴白子调换，则第二城全都为黑子.所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆根子总数为3X3=9”份，其中黑子占5”份，则白子占剽下的9-5=4”份,那么白子占全部根子的4+9=1.唯 度 考级 3.甲、乙两厂共同完成一扰机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机，床，开且甲厂的生产量是乙厂 的 那 么 甲、乙两厂一共生产了机床多少台？分析与解1因为中厂生产的是乙厂的 也 就 是 甲 厂 为12份，乙厂
14、为13份，那么申厂比乙厂少I价=8台.总 共=8X(12+13)=200台.瑕 良 等 级 4.足球实C票15元一张,庐侨后双众电加了一半，收入噌加了五分之一，那么T H票降阶多少元？|分析与解|设原来人数为“1”,则现在有1+0 5=1 5.原来收入为1X15=15,降价后收入为15X(1+|=18元，那么降价后0票为18+15=12元，则一张门票降价了 15-12=玩.唯 及 考级 5.李刚给军属王奶奶运酬煤，第一次运了全线的，第二次运了5映.这 时，已运来的恰好是没运来的同还有多少块蜂窝煤没有运来？|分 析 与 解|已经运来的是没有运来的则运来的是5份，没有运来的是7份，也就是运来的占总
15、数的卷.则 共 有50+岛9=120。块.还剥下 1200X=70。块.地度等级 6.克两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都典下同样长的一段以后，发现短抵带剩下的长度是长纸带剩下的长度的g间典下的一段长多少厘米？分析与解方法一1开始囹,两条跃带的长度差为21 13=%0米）.因为两条纸带都剪去同样长箕，所以两条纸带前后的长度差不变.设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，有它们的差为13-8=5份，则每份为8+5=】展米）.所以，剪后短纸带长为16X 8=12 8（国米,于是典去13-12.8=0 2（曙米）.方法二：设期下xB米，则 W=-7 5,交叉相乘得；13
16、X（13-X）=8 X（0一X）,解得X=O 2即剪下的一段长02厘米.瑕及考级 7.为挖通3。咪长的陵道,甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工.第一天甲、乙两队各掘进了 10米，队第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙以每天的工作效率总是前一天的I；倍.那么，两队班这条隧道需要多少天？I分析与解I网下表说在第五天没有全天干活,那么第四天干实I以后剩下，300-231 75=58 75米.那么共用时间为4+6875+2.0 625=4整 天.天数12345甲10204080160乙101522J3375力6力当天工作量2035113.73210.623已充成工作量2055117
17、.523125&1 375 唯臭 8.有一块菜地和一块麦地.菜地的T和麦地的三分之一放在一起是13公顷.麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是1处顷,那么菜地是多少公懈？分析与解渤 2莱地3菜地2I=1 蚣顷麦地，麦地2=78公顷麦地3=72公顾菜地；_ 1 =12公 15麦地即5信菜地公顷数+5倍 麦 地 御 数=78+72=150,所以菜地与赛地共有150+5=30(公弱.而菜地够去麦地，为7 8-72=(5(公顷)，所以菜地有(306)+2=18(公顷：，.唯吹等 J 9.春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共15co棵.植树开始后，当栽种了杨树总数的，和30棵柳树以后,又临时运来15棵槐树
18、，这时剩下的3种树的棵数恰好相等.问隙计划要栽植这加树各多少趣？分析与解|将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则，杨树=5份 柳 树=珀+3豳，槐树=2份-1海，则 一 150030+15)+(2+2+5)=165槐，有：植树=5X165=825棵：柳树=165X2+30=360棵：槐树=165X2-15=315棵.1-1 10.师徒二人共同加工17阶零 件，师簿加工零件个数的;比徒弟加工零件个数的:还多1 S.那么，徒弟一共加工了多少个零件？|分析与解|我们用“师”表示师傅加工的零件做，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有；僦=8一4-2I-4定勺4I-3派120.而 4“师”-M 徒”=1
19、70X4=680.徒弟一共加工了 8叶零件.难度级 II.一批工人到甲、乙两C工地进行淆理工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的4倍.上午去甲27工地的人数是去乙工地人数的J信，下午这批工人中有已的人去甲工地，其他人到乙工地.到傍废时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做庆.那么这批工人共有多少名？分析与解|设甲地的工作量为“1 5,则乙堆的工作量为I.甲 乙3 3 1 f 1lB-1+3 4 1+3 4于是甲工&整天平舄用%批工人的g+4+2=乙工地一整天平均用了这批工人的1一 g=1 3这批工人的;完成了“1 5的工作篁，那么:毓批工人完成】5+2=0 75”的工作量，于是乙工
20、地还剩卜17.75=0 25的工作 这“0.25”的工作室需要4人工作1大.而甲、乙珑的工作篁为15+1=2 5,那么需2 5+0.25X4=40人工作庆.所以原来这批工人共有404=36人.难 度 级 12 .有一个分数，如果分子加1,这个分数就等于;,如果分母加1,这个分数就等于;.问原来的分数是多少？分 析 与 解|如果分子加I，则 分 数 为!，设这时的分数为，4 则 原 来 的 分 数 为 票，分母加】后2 2 x 2 r为，?!，交叉相乘得 X x-i)=2 x+l,解得x=4,则原分数为之.2 r+l 3 8 魏 度 d 13.图2 4是某市的园林规划图，其 中 草 地 占 正
21、方 形 的 竹 林 占 圆 形 的 正 方 形 和 图 形 的 公 共 部 分是水池.已知竹林的面积比草地的面积大45评方米.间水池的面积是多少平方米？(分 析 与 解|因为水池是正方形的!，是 圆 的!，则正方形是水池的4倍，圆是水池的7倍，相差74=4 73倍，着450平方米，则水池=450+3=150平方米.欢度等级3 凡唐僧师徒四人吃了许多馒头唐僧和猾八戒共吃了球的;,唐僧和沙僧共吃了总数的菽唐僧和孙悟空共吃了总数的!.那么唐僧吃了总数的几分之几?4I分析与解I国+猪=:、唐+沙=！、唐+孙（两边同时加减危+猪+唐+沙+唐+丹=湄+（愚+猪+2 3 4沙+孙）=赠+1 =；+g+；=1
22、 /.5Ni 2唐=仃，唐=卷,唐f f l 哈了总数的 唯良等级 15.小李和小张同时开始创作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零年要休息1分钟，小张若制作4个零件要休息1汾钟.现在他们要共同完成制作300个零件的任务,需要多少分钟？分析与解1方法一，先估算出大致所需时（用，然后再进行调整.因为小李、4球的工作效率大致相串那么完成时小李完成300+2=150个零件左右：d浮完成150个零件需要L5C+3 X 4=200分钟在2W分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198+5.5X4=144个零件，并且刚休息完所以在汾钟后，即200分钟时完成144+2=146个
23、零件那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，d煤生产2个零件，正好完成.所以共需202分钟才能完成.方法二，把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，J条 西5 5分钟侬4个.则在44分钟内小李做了 44+4 X 3=3扑，小花做了 44+5.5X 4=3?1S他们一共侬了，33+32=65个.300+65=440也就是他们共同做了4个44分钟即：44 X 4=176分钟后，还剩下40个零件没有做完.而22=4+4+4+4+4+2=5.5X4,所以22分钟内小李做了t 3+3+3+3+3+2=17个，小张敝了：4X
24、 2=16个，那么不剩下：4 0-1 7-16=7个，4分钟内小李做寸，小张像4个，共做4+3=7个,即这4竹零件还需要2盼钟.所以士用时间 44X4+26=202分钟.仁华思维导引解析3讲：行程问题之三【内容概述】涉及分数的行程问题.吸水速度、逆水速度与流通的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发悻图示的辅助件用，有时宜恰当送择运动过程中的关通点分段加以考虑.【典型问题】璞度争J 1.干师依堂主从甲弛开往7,电交情.如果他往诋都以每小时60千米的谟唐行酢,正好可以将时正回田地.可 是，当到达乙地时，他频从甲地到乙地的速度只有4小时5汗米.如果他想按时返回甲地，他应以多
25、大的速度往回开？分析与解设甲地到乙地的路程为成位 1”，那么按时的往返一次需时间意,现在从甲到乙花费了时间1 +55=1,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是-1=1.556Q 55 W即如果他想按时返回甲地，他应以每d时6仟米的速度往回开.璀及导级 2 .甲、乙两她相距100千米 端先骑摩托车从年地出发，同时后小李莺驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是分 同5阡 米,中 途4 1后为每小时4阡米.汽车速度是若d冏8阡 米，汽车曾在途中停驶1诊 钟.那 么，J曝萼驶的摩托车够速是在他出发后的多少，1司？分析与解汽车从甲地到乙地的行驶时间为101+80=1 2 5d材=1小时1
26、5分钟，加上中途停驶的10分钟，共用时1小时2 5分钟.而小张先d的 小 时 出 发，但却同时到达，所以小张从甲到乙共用了2小时2汾 钟，即2初 冏.以下冷出两种斛法方法一，设 网S?驶的摩托车减速是在他出发后用时，有5型/4 0*(2 3-,=1 0 0,解得x=；.所以d球驾驶的摩托车满遨是在他出发后g d W.方法二，如果全程以每，1附5阡米的速度行驶，需1。+50=2，1出的时间，全程以每小时40千米的速度行驶，需100+40=2.川材.依据鸡兔同茏的思想知，小张以母小时5阡米的速度行驶了与=!的 路 程，即行驶了!X 1002.5-2 6 6=弁 米 的 路 程 处，距出发y +50
27、=1小时.地 度 等 级 3.一位少年短跑选手，顺风踉9。米用了 1则中.在同样的风速下，逆风跑70米，也用了 10秒 钟.同t在无风的时候.他跑10眯要用多少秒？I分 析 与 解|我们女。道*氏 速 度=无 风 速 度风速，逆风速度=无风速度一风速.有顺风时速度为90+10=9米 做，逆耳速度为70+10=7米的.有无阳顺=字)8秘.22所以无风的时候跑10咪，需100+8=12渤.欢 度 争 1 4.一条小河流过A.B.C三 镇.A.B两铺之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为若4时II千 米.B.C两05之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每d冏3 5千米.已知A,C两镇水路相距5阡 米，
28、水流速度为每小时15千米.某人从A银1上船顺流而下到B ,吃午愎用去日阳,挎着乘木船又耐而下到Cf f i，共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米？分析与解|如下画出示意图，术小 1.5千/，展 .50千氽工 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1A 凡图 R 木船 c好 和I什尔/小川 木，3 5千余/小有A-B段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有B-C段顺水的速度为3 5+1 5=5千米川田.而从A-C全程的行驶时间为81=7d词.设AB长 汗 米，有 费+=7.解得x=2 5.所以A，B两锁间的距面是2 5千米.地袅坂 5.一条大河有A,B荫个港口，水由Ai丽B,水
29、燕费牌是每小时4千米.甲、乙丽船同时由丽B行驶，各自不停地在A.B之间往返航行，甲船在静水中的速度是铮1时28千米乙龄在静水中的速度是呼I田2阡米.已知两船第二次迎面相遇的她点与甲船第二次追上乙船(不苴甲、乙在A处同时开始出发的那一次)的地索相距4阡 米，求 生B两个港口之J间的距葡.分析与解设AB而地的总程为单位1”.91.甲、乙两人在A、8来国桁走，均从A点同时同向出发.则第n次同向相遇时，甲、乙而人妁路程差为2,甲、乙两人在A、8来SJ行走，均从A点同时同向出发，则第0次指向杷遇时,甲、乙而人的珞程和为2小甲、匕两人在A、B来囱方走，分别从A、8而点相向出发，则第n次向向相遇时，甲、乙曲
30、人的路程差为(ln-1),干、乙两人在A、B来即4t走，分别从A、8而点相向出发，则第n次相向相遇叶，甲、乙而入的路程和为(in1).有甲船的耐速度为32千木，)t，逆水速度为24千米/力对，乙船的吸水速度为24千米打阳，逆水速度为16千米川冏.两船第二次幽相遇时，它们的路程和为“4”甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.H.有第二次迎面相遇时，一定是甲走了23个阳长度，乙走了21个AB长度.设甲走了2+jrtAB的长度，则乙走了2一汗他的长度，有MX 展=+若,解得x=，即第二次迎面相遇的地点距涵；AB的距离.O.有第二次申追上乙时，有甲行走2Txy为整数，zWI)个AB的长度，则乙行
31、走了 2y-4+会 期 的长度，有y y z p-2 y-2 4 +=-+-+2 4 3 2 2 4化简有3 y位=2 0,显然无法湎是y为整放,z W h.情 况 心-2y-Q.情况图.有第二次甲追上乙时，有甲行走2升 1也丫为整数，z W i ybA B的长度，则乙行走了2 y-3+z个A B的长度，有W+奈京号+-+看化同有3 y+2 z=1 3,有z=0 5 y=4.即第二次甲追上乙时的地点距B点1 A B的距西,那么距A也是2 A B的距离.2 2所以 题中两次相遇点的距离为g-；=)*A B，为4。千米，所以A B全长为2 4阡米.发良坂 6.甲、乙两船分别在一条河的4 B两地同时
32、相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上.相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地后，部立即按庾来路线返航，两船第二次相遇时，甲船北乙船少行!0 0 0米.如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔可冏2吩，那么河水的流遢为用力出多少千米？分析与解因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等，所以有甲、乙同时刻各自到达B、A两地.接看两船再分别从B、A两地往A D中间行驶.所以在第二次相遇前始终是船崎、船顺流，那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.有：干静水速度+水速=乙龄水速度一水速.还有从开始到甲第一次到达B地，乙第T 火到达A池之前，两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船
33、少行驶的1 0)咪是在甲、乙各自返肮时产生的.甲乙返航时，有甲在河流中行驶的速度为甲静水速度一水速,乙在河流中的速度为乙静水速度+水速.它们汨速度差为4倍水速.从第一次相遇到第二次相遇，两船共行驶了2 A B的路程，而从返航到第二次相遇两船共行驶了A B的路程，嗣 间8 0+2=4 0分钟.有 4 倍水速=1 0 0。+而J =1 5 0 眯，有水速=3 7 5 米川司=0 3 7 5 千米/，J 可.即河水的潦谏为每小时0 3 7 汗来.地 反 争 税 7 .甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一爆的时间是7 阴钟.如果在出发后4 5 分钟甲、乙二人相遇，那
34、么乙走一圈的时间是多少分$刺|分 析 与 解|甲行走4 汾 钟，再行走7 0-4 5=2 5 分钟即可走完一圈.而甲行走4 汾 钟，乙行走4 5 分钟也能走完一圈.所以甲行走2 5 分钟的路程相当于乙行走4 5 分钟的路程.甲行走一圈需7 诊 钟，所以乙需7 0+2 5 X 4 5=1 2 盼钟.即乙走一圈的时f睚1 2 6 分钟.唯 度 等 做 8 .如图甲和乙两人分别从一国形场地的直径两端点同时开始以勺速按相反的方向绕此圆形路线运动.当乙至了 1 0。米以后.他们第一次相遇,在甲走完一周前6 咪处又第二汶相遇.求此雌场地的周长.|分 析 与 解|注意现察图形，当甲、乙第一次框遇时，甲乙共走
35、完!置的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙搀走完1+）=,圈的珞程.所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1:3,所以第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3 倍.郁）1 0 0*3=3 0 0 米.有甲 乙第二次相遇时，共行走（廊-6 0）+3 0 0,为 圈，所以此图形场地的周长为4 8 0 米.难度 9.甲、乙二人在同一条椭方形跑道上作特殊训炼，他们同时从同一地京出发,沿相反方向跑,好人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一隆时，乙的速度是甲逵度的g.甲跑第二周时速度比第一圈提高了 1（乙跑第二圈时速度提高了；.已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第T 火相
36、遇点的最近路程是190米，那么这条棉圆槌道长多少米？分析与解设甲跑第一圈的速度为3.那么乙跑第一澄的速度为2.甲跑第二圈的速度为4,乙跑第二圈的速度为最.如下图，第一次相遇地点逆时针方向的距出发点（的跑道长度.有甲回到出发点时，乙才跑了:2 的跑道长度.在乙接下来跑了!1跑道的距离时，甲 以4”优速度跑了-+2 X 4=3 圈.3 3所 以 汇 剌 吟 的 跑 度 长 度，甲以4的速度，乙 以5的速度相对而跑，所以乙跑了 g x y-|4+y=1圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点!图.8 8J J5即 第 一 次 相 遇 点 与 第 二 次 相 邀 点 相 差=所 以 这 条 脸 形 跑
37、 道 的 长 夏 为 *=400米 地员级3 1 0.汨图3-2，在400米的环形跑道上，A.D 两点，目距10咪.甲、乙两人分别从A,D 两点同时出发，按逆时针方向跑步,甲4 秒跑5米，乙每秒跑4米，母人母跑100米，都要停1啾钟.那么甲追上乙需要时间是多少加S 3-2 分析与解如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100+（5-4）=10瞅.此时甲跑了 100X5=500米,乙跑了 100X4=400X.而 痛 上 甲 跑 500米，所需K）时间为18*4X 10=140秒，所以140150秒时甲都在逆时针距磋,500处.而乙跑400米所需的时间为18+3 X 10=130秒，斯以130
38、140秒时乙走在逆时针距B点40浏.显 献 开 始 计 算 140秒 时,甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒.唯良 1 U.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A,B两 点.甲、乙两人分别从A,B两点同时相背而跑,两人咽遇后，乙国麻身与甲同向而跑，当甲跑到烟,乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的遨度和方向都不变，那么甲追上Z时，甲从出发开始,共跑了多少关？|分析与解|如下图，记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC的路程时,乙跑了BC的路程 而当甲跑了400米时，乙跑了 2BC的路程.由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次钊达所需时1 旬的1.即 依=；、40。=
39、200（米），也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍.有甲到达A,乙到达B8U，用追上乙的需比乙多跑4 w-w u=g u 米的路程，所以此后甲田雷跑妫十（2一1）X2=600米，加上开始跑的1圈400米.所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=180米.唯 友 等 级 1 2.如图3-3,一个k方形的房屋长13米，宽S米.甲、乙两人分别从房里的两个墙角出发，甲每秒4恪3米，乙每秒钟行2米.间：经过缈长时间甲第一次看见乙？分析与解开始时，甲在耐针方向距乙8+13+8=29米.因为一边股长为1 3,所以谖少要追至只相差1 3,即至少要追上2 9-13=16米.
40、当中送上乙16米所需时间为1 6 j（32）=1碗.此 时 田 行 了 3X16=48米,乙行了2*16=32*.有甲、乙的位置如下图：2产8*显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面的那条边之前到达上面的边,从而看见乙.而 田 丽 认 湎 的 丽,需 戢 深 所 耕 1间 知+3=沙.限 姆 过 16+1=16,秒后甲第一次看见乙.雄友争fit 1 3.如图3 4学校操场的40(浮能道中登着300米小80道，大跑道与，J或道有200米路程相重.甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向强，乙以每秒4米的速度沿小跑道I耐 针 方 位 跑，两人同时从两跑道的交点A处出发，当他们
41、第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？|分析与解|如下图，甲、乙只可能在大跑道上相遇.并且只能在ABW 的针的半跑道上.易知小跑道AB逆时针路程为1 00,顺时针路程为2 0 0,大跑道上AB的顺、逆时针路程均是200米.我们将甲、乙的行程状况分析潘楚.当中第一次到达两，乙还投有到达B点，所以第一次相遇一定在逆时针的B法处.而当乙第一次到达B点时，所需时间为200+4=50秒，此时甲跑了50 X 6=300米，在B点900-200=100米处.乙跑t l小跑道到达A需100+4=2砂，则甲又跑了25 X 6=150米，在 底 左 边(100+150)-200=50米处.所以当中到达B处时，乙还
42、未到B处，那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇.从乙再次到达破1开始计常，还需(400-50):(6,4)一3渺，甲、乙第二次相遇，此时甲共跑了5th25卜 35=11 瞅.所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了 110X6=66眯.地度等ci（7 1 r1 4.如图3-5,正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120千米,在CD上的时速是6。千米，在口A 的时速是8阡 关.从CDJL一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们格在AB中点相遇.如果从PC的中场M,同时反向各发出一辆汽车，它们将在处上一点N相遇.问A 5N的距离除以N至B的距语所得到的商是多
43、少？S 3-J 分 析 与 解1如下图，设甲始络顺时针运动,乙始终逆时针运动，并设正方形ABCD的边长为单位a N OAt 1)然后分析丙的情况，丙4分钟，行T ED的路鱼，道看丁的情况，丁的速度等于丙的速度，丁 1吩钟行走了DF的距离.ED有 丁.即 5ED=2DF.10（A D-A B +B D-60+DF联立7（AE+ED”5（60+AE）,于是，I精 到 姆P的位亶关系，AE-87解得 E D-18.=45S.BET S四边形版D-SAM-SziED广SAPCB0X（8?+18）-1 X 6 0 X 8 7-1 X 1 8 X 4 5-y X 1 5 X（87+18）2497.5（平方
44、米）仁华思维导引解析4 讲：数的整除【内容概述】能彼?，3.4,5.8.9,1 1整除的故的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补墙问题，乘根末尾零的个数的计等.【典型问题】地 友 争 技 1 .1 7 3口是一个四位数.数学老师说，“我在其中的方框内中先后埴入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，1 1，6整 除.”间数学老师先后城人的3个数字的和是多少？分析与解|方法一：利用壑除特征注 叁%被 9,11.6掾除的歙的*相能被9排除的数，其数字和是9的总数I艇被1 1接除的歙，其一数位数字和与倡数位数字和旧是为1 1的禽数,或符其后三位与前隔开,将新如成的而个数诈老,将是1 1的倍数，桅
45、被戌除的数，其撅写和是3的信软，且末位为D,2,4,6.8的其中之一.1+7+3=1 1,当口内墙入7 B 7,1 7 3 5的数字和为1 8,为9的倍数，所以当口内埴7所组成的数为9的倍数1 7 3口的奇数位数字和为7+口，偶位数数字和为1+3=4,所以当口内填1 1+4-7=谢，奇载隹领字的导因数位数字和的差为”,所蛆成的教为”的倍数：1+7+3=1 1.当口内堵入1,4.7时，为3的倍数，但只有4为偶数，所以当口内埴入蝴成的或为6的倍敢.所以，这三种情况下堵入口内的数字的和为7+8+4=1 9.方法二，采用试除法用 1 7 3 0 滁，1 7 3 0+9=1%2.1 7 3 0-5-1
46、1 =1 5 7 3.1 7 3 0+6=2 8：2.所以衣次海上（9-2=）7、（1 1-3=）8、（6 2=）4后得到的1 7 3 7、1 7 3 8、1 7 3 4依次能被9、I I、6整除.所以,这三种情况下埴入口内的数字的和为7+8+4=1 9.内 皮 等 级 2 .如臬六位数1 992口能被1 0 5整除,那么它的最后两位数是多少？分析与解I因为1 0 5=3 X；X 5,所以当这个大位款同时满足能被3、7、5出除的致的特征即可.而能破7余数的救,桥箕后三位与苗隔开.精折组成的两个歙作W.科母7的保数，掂被5斐数的数.月末位只处是。或5.方法一，利用整除特征末位只能为。或5.如果末
47、位埴入0,那么数字和为1+9+以2+口+0=2 1+口，要求数字粕是3的倍数，所以可以为0,3,6,9.验证均不是2 0 0-1 99=1,2 3 0-1 99=3 1.泗 一I卯=6 1,2 90 7 1 9=91,有91 是7的倍效，即 1 992 y睫：7的於数，所t痢中数字的木两位为刘.犯果末位堵入5,同上睥法,验证没有数同时商足能被3、7、5整除的特征.所以，题中数的末两位只能是9。.方法二，采用试除法用 199200试除，199200+105=18971 5.余 15可以看成不足(10515=)90,所以补上9 0,即在末两位的方格内填入9黑阿.地文等级 3.某个七位数1993口口
48、口能够同时被2,3,4,5.6.7.8,91静，那么它的最后三位数里依次是多少？分析与解方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5,又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0.在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80.又 因 为 还 能 同 时 被 9整除，所以 这 个 数 的 数 字 和 也 应 该 是 9的倍数，199W0,两前，I993C60.1993D80 的数字和分别为24+A,26+B,18+C,30+D.对应的A、B、C、D只能是3,I,8.6,即末三位可他是320,140,860,680.而只有320,68跷 8的倍数，
49、再验证只有1993320,1993680中只有1993320是7的倍数.因为有同时能被2,4,5,7.8.9整除的数，一定能同时破2,3,4,5.6.7.8.宛几个数整除，所以 199332c为所求的这个放.显然，其末三位依次为3,2 0.方法二 采用试除法一个数能同时被2,3.4,5.6,7,8.9整除，而将这些数一分解桢因数i2 3 4 5 6 7 i 9U UU U U U U U,舱l这 个数一定能被 23 X 32 X 5 X 7=8 X 9 X 5 X 7=2520羽除.用 1黄3而6试除,2叨 3加。孑达2。17902200.余2200可以看成不足2520 2200=320,所以
50、在末三位的方格内加入3206P可.唯度 t 4.从5 1,2,3,4,5,6,7,8.9 2 1此数字年选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3,5,7,13整除，这个数最大是多少？分 析 与 解|因为(3,5,7.13=1365.在 100)00之内最大的1365的倍数为9964义100000+】365=73355.100000-355=99645).有996451365=98280,982801365=96915,969151365=95550,95550-13=M 185.所以，满足题意的5位数最天为94185.难友争fit 5.修改31743的某一个数字，可以得到823的倍放,间修