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1、2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：图像的平移、折叠、旋 转（10题）一.解 答 题（共10小题）1.（2021吉林模拟）如图，矩形ABCQ中，A8=8,8 C=6,点 P 为边BC上一个动点，将4BP沿 AP折叠，点 B 落在8 处，过点8 作 8,E H B C 交 A P 于 E,连线BE.（1）判断四边形8PB E 的形状，并说明理由.（2）点P移动过程中，C 8 是否有最小值？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由.备用图2.（2019广陵区校级二模）如图，将 矩 形 先 过 点 A 的直线乙 1翻折，点 D 4 的对应点D）刚好落在边8 c 上，直线L1交 O
2、C于点F；再将矩形4 8 8 沿过点A 的直线上 翻折,使点5 的对应点G 落在A。上，EG的延长线交A。于点H.（1）当四边形4E。”是平行四边形时，求乙4。”的度数.3.（2011 河西区二模）如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCQ折叠，使点8 落在边上 不 与 A、。重 合.MN为折痕，折叠后5,C与 D N 交于P.I 连接8 8 ,那么8 8 与 的 长 度 相 等 吗？为什么？II设AB=x,求），与 x 的函数关系式；IH猜想当8 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC B 面积最小？并验证你的猜想.4.(2 0 1 1香坊区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，轴
3、，将A B。沿 翻 折 后，点8落在点。处，A O交y轴于点区 过点。作D C _ L x轴于点C,O B=5,O C=3.(1)求点4的坐标；(2)点P从A点出发，沿线段AO以遥个单位/秒的速度向终点O匀速运动，同时点Q从A点出发，沿射线AD以3个单位/秒的速度匀速运动，当P到达终点时点Q也停止运动，设P。的面积为S (S#0),点P的运动时间为f秒，求S与l之间的函数关系式(直接写出自变量f的取值范围)；(3)在(2)的条件下，过 点Q作射线AO的垂线交射线AO于点N,交x轴于点当t为何值时，M N=-P N.45.(2 0 1 1 陕西)如图，在矩形A 8 C。中，将矩形折叠，使B落 在
4、 边(含 端 点)上，落点记为E,这时折痕与边B C或 者 边(含 端 点)交 于 凡 然后再展开铺平，则以B、E、尸为顶点的B E F称为矩形A B C Q的“折痕三角形”(1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形A B C O的任意一个“折痕B E F”一定是一个三角形(2)如图，在矩形A B C D中，A B=2,8 c=4,当它的“折痕B E F”的顶点E位于A。的中点时，画出这个“折痕B E F”，并求出点F的坐标；(3)如图，在矩形A 8 C。中，A B=2,B C=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕6.(2 0 2 0 天津二模)将一张直角三角形纸片A B C 放置在平面直角坐标系中
5、，点 A、B在 x轴上，点 C 在 y 轴上，/A C B=9 0 ,且 A C=8,BC=6.(I )如图，求点C的坐标；(I I )如图，沿斜边A B的中线C D把这张纸片剪成A。和BC 2 0 2 两个三角形，将ACIDI沿直线DiB C A B)方 向 平 移(点 A、D1、。2、B始终在同一直线上)，当点与点8重合时停止平移.如图，在平移的过程中，C 1 O1 与 BC 2 交于点E,AC i 与 C 2 、C 2 B分别交于点尸、P,当点。1 平移到原点时，求。1 E的长；在平移的过程中，当 AC i D i 和 BC 2 O2 重叠部分的面积最大时，求此 时 点 Di的坐7.(2
6、 0 1 9 津南区二模)在平面直角坐标系中，点 A(4,0),8为第一象限内一点，且LAB,OB=2.(I )如图，求点B 的坐标;(I I )如图，将 0 A8沿x轴向右平移得到0 A B,设。=m,其中0?4,连接BO ,A 2与。B 交于点C.试用含，的式子表示 8 C 0 的面积S,并求出S的最大值；当 BC O为等腰三角形时，求点C的坐标(直接写出结果即可).8.(2 0 2 2信阳一模)在ABC 中，ABAC,ZBAC=90，点、D,E 分别是 AC,BC 的中点，点P是直线D E上一点，连接4 P,将 线 段 以 绕 点P顺时针旋转9 0 得到线段连接AM,CM.(1)问题发现
7、如 图(1),当 点P与 点D重合时，线 段C M与P E的 数 量 关 系 是,Z A C M(2)探究证明当点P在射线E C上运动时(不与点E重合)，(1)中结论是否一定成立？请仅就图(2)中的情形给出证明.(3)问题解决9.(2 0 2 1安阳一模)在 ABC中，AB=4 C=3,N 8 AC=9 0 ,将边A 8绕点A逆时针旋转至4 B,记旋转角为a.分别过A,C作直线8 8,的垂线，垂足分别是E,F,连接B C交直线A F于点Q.BA图 2/F图 1(1)如 图 1,当 a=4 5 时，AEF的形状为；(2)当 0 a (:均为等腰直角三角形，/ACB=NDCE=90,点B,D,E
8、在同一直线上，连接A。，BD.请探究AD与 2。之间的位置关系？并加以证明.若A C=8C=JT5，DC=CE=近,求线段4。的长.【拓展延伸】(2)如图 2,ABC 和 (?均为直角三角形，ZACB=ZDC=90,AC=5/五，B C=R C D=M，C E=1.将 绕 点 C 在平面内顺时针旋转，设旋转角N BCD为 a(0 Wa Gg ADD C得出。G=OC=A8=AG,发现AG。、GED，、OEC都是等腰直角三角形，再证明ABEgEC尸即可解决问题.【解答】解：(1)如 图1中，：四边形AE。H是平行四边形，：.AG=GD,:EH LAD,四边形AE。”是菱形，A ZAD H=NAD
9、 B,-：AAEG是由ZXAEB翻折得到，：.AB=AG=D G,.四边形ABC。是矩形，.8=9 0 ,：.ZAD 3=30,：.ZAD H=30.(2)结论：AEF是等腰直角三角形.理由：如图2中，连接.四边形ABCD是矩形，J.AD/BC,ZADD1=NDD C,AB=DC,ZB=/C=90,：AD=AD,A ZADD=ZAD D,：.ZDD A=NDD C,在O。G 和)C 中,上时，过点P 作尸F L A Z)于 F.,.0 0=10-3 f,AP=,由 A Pf s/v i o n,.PF&w,：.PF=t,FPQO=2 Q P F=-3 p+5f (OV r V 也).2 2 3
10、当点。在射线AC上时，过点P 作 P GLAO 于 G,：.QD=3t-10,AP=,同上得：PG=t,：.S PQD=l.QD-PG=-t2-5t(1 2 2、B始终在同一直线上)，当点与点B重合时停止平移.如图，在平移的过程中，GO与BC 2交于点E,AC i与C 2。、C 2 B分别交于点尸、P,当点功 平移到原点时，求力1 E的长；在平移的过程中，当4。和BC 2 2重叠部分的面积最大时，求此 时 点D 的坐标.(直接写出结论即可)【专题】几何综合题；运算能力；推理能力.【分析】(I)根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论;(I I)根据平行线的性质得到NB EDI=N B C 2
11、 2,根据直角三角形的性质得到D C=D A=D B,即CIQI=C 2 2=BQ 2=A)I,根据勾股定理即可得到结论；如图，设 平 移 的 距 离 为x,AC i Q i和8 C 2 O 2重叠部分的面积为y,由题意得，AB=1 0,ADBDI CD C2D2 5,求得 DE=BDD2FADI=5-x,得到C2F=CIE=X,过E作EM_LOIB于M,由平移知，N C2D2O=N E D i B,根据三角函数c Q的定义得到图-=-,求得人=2 4 1 5-X),s 2 k BE D,=L x BO i X H=_ l l (5-x)E D 1 C2D2 2 5 1 2 2 52,求得 s
12、 i n B=：l,c o s B=W,得到 P C 2=当，PF=x,5 A F C,P=-PCiXP F=-L r2,5 5 5 5 2 2 5根据三角形的面积公式列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论.【解答】解：(1)在 R t/v i B c中，=VAC2+BC2VS2+62=,0,TAU8C=2A8 0C,2 2.1 1yX 8 X 6=yX 1 0 X O C).0 C=5.点C的坐标为(0,2 4),5(I I )：CQ C2 O 2,：.NBEDI=/BC2D2,；N A B C=9 0 ,C O是斜边上AB上的中线，：.D C=D A=D B,即 CD=C2D2=
13、BDIA D,：./BC2D2=NB,:.NBEDI=NB,：.ED=BD,在 R tA B Di C2 中，BDi=AJBC22-D1C22=62-()2=-y,.)!=IS；5如图，设 平 移 的 距 离 为X,A。和B C2 0 2 重叠部分的面积为y,由题意得，A 8=1 0,AD=BD2=CD=C2D2=51V2I=X,A DE=BD=DiF=ADi=5-x,C1 F=C E=x f过 E 作 EM J_ D1 8 于 M,如下图所示，plf C9 O在 和 R t C2 n2。中，si nZ EDi M=-,si nZ C2 f 2 0=-,ED C2D2.EM c2 ED ，2。
14、224 h 5,5-x 5：.h=24(5-X/i ,s ABED,=L x 2 0 1 义=辿(5-x)2,25 1 2 25VZCI+ZBC22=90O,NCI=NC2FP,：.ZFPC290,:NBC2D2=NB,sinB=,cosB=,5 5：.PC2=-x,PF=-x,S AFC,P=ApC2 X PF=_Lr2,5 5 2 25A y=S A B C,D,-S A B ED.-S AFC,P=ASAABC-(5-x)2-A?,2 2 1 2 2 25 25,y=-1A-2+.T=-1 .(x-A 2.)2+8 (0 4W 5),25 5 25 3.当x=时，y有最大值8,此时，D(
15、空，0).15【点评】本题考查了几何变换的综合题，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.7.(2 0 1 9津南区二模)在平面直角坐标系中，点A (4,0),2为第一象限内一点，且。8LAB,O B=2.(I )如图，求点8的坐标;(I I )如图，将 O A B沿x轴向右平移得到(?A B,设。=m,其中0?即可；8利用B C O 为等腰三角形，则有CB=C。确定出?，再利用相似求出8,即可.【解答】解：（I）-：OBLAB,0A=4,08=2,.*.N4OB=60,NOAB=30。,AB=243,过点B 作 BDLOA,.00=1,B
16、D=,：.B（1,V 3）.（I D 0 B 是OAB平移得到，.NA O B=NAO8=60,O B AB,V OO=m,：.A 0=4-?，：.O C=2 A O=上（4-W，A C=J A O=近（4-%），2 2 2 2:.BC=AB-A C=Jm,2_C=-m （4-w）=返-（巾-2）2+4,2 8 8当）?=2 时，S 般 大=M 2如下图，作BE_LOA,CDOA,由有，AO=4-in,O C=A(4-w),A C=-(4-m),2 2：.CB=AB-AC=2代-返(4-w)=2 2由平移得，A ACO=NABO=90,.B C O 为等腰三角形,.CB=O C,(4-tn),
17、2 2m=2(V3-1).BEXOA=OBXAB,R OBXAB/XOK AE=MBE=3,：/XACO SA B。，.CD=A 0 b A，CD=A 0 .xBE=三X F=4-2 (依-1)x y=浦-3,O A 4 4 2：BE LOA,CD LOA,.BE/CD,A D CD,A E B EAD=-XAE=3,B E 2 _*.OD=OA-AD=4-3)=3 T,_ 2 2 Q(3V 3-1 3-3 3-)-2-2-,【点评】此题是几何变换综合题，考查了平移得性质，一个角为3 0 的直角三角形，相似三角形的判定和性质，用机表示出有关线段如(AO=4-m,O C=1 (4-m 2A C=
18、Y 2 (4-)。3=退)是解本题的关键.2 28.(2 0 2 2信阳一模)在A 8 C 中，AB=AC,N B A C=9 0 ,点。，E 分别是 A C,B C 的中点，点P是直线O E上一点，连接4P,将线段雨绕点尸顺时针旋转9 0 得到线段PM连接A M,CM.(1)问题发现如图(1),当点P与点。重合时，线段C M与P E的 数 量 关 系 是C M=5PE,Z A C M=45 .(2)探究证明当点P在射线E。上运动时(不与点E重合)，(1)中结论是否一定成立？请仅就图(2)中的情形给出证明.(3)问题解决【考点】几何变换综合题.【专题】几何综合题；推理能力.【分析】(1)利用等
19、腰直角三角形的性质解决问题即可.(2)结论不变.连接A E.证明推出 1=迎=&,Z A C M=Z A E DP E AP=4 5 ,可得结论.(3)如图(3)中，过点 P作 P Q _ L8C于。.设 P Q=E Q=机，则 C Q=愿?，P E=m,想办法用m表示A C,即可解决问题.【解答】解：(1)如 图(1)中，Uy9：AB=AC,ZBAC=90,NB=45,:AD=DC,BE=EC,：.DE/AB.：.ZCED=ZB=45,VAD=DC,PM_LAC,MP=AP=PC,C.MAMC,：.ZMAD=ZMCA=45 ,A Z CME=Z CEM=45 ,:CM=CE,u：CP LEM
20、,；PE=PM,：.CM=PM=PE.故答案为：CM=42PE,45.（2）结论成立.理由：如 图（2）中，连接4E.图（2）：AB=AC,BE=EC,；.AE 平分/BAC,，NC4E=2/BAC=45,2:DE AB,A Z A D E=1 80 -Z BAC=90 ,：.AD=DB,：.AE=y/2AD,：AM=-/2AP,.AC=A M AE AP,：Z PAM=ZCAE=45,：.ZCAMZEAP,：./CAM EAP,.空=迎=&，ZACM=ZAED=45,PE AP:.CM=PE.(3)当点P在点E的上方时，如 图(3)中，过点P作 PQ,8 c于 Q.：P C M 是等边三角形
21、，ZMCP=60,V ZMCB=-ZACB+ZACM=45+4 5 =90 ,：.ZPCQ=30,设 PQ=EQ=m,则 CQ=yf3m,PE=m,：.BC=2CE=2ni+2m,；.A C=V _ B C=(V 2+V 6)m,2 _.AC _ (V 2+V 6)m=+PE V2m当点P在点E是下方时，同法可得，典=炳-1,PE综上所述，满足条件的值为1+遥 或 我-1.【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.9.（2021安阳一模）在A8C中，AB=
22、AC=3,N84C=90,将边AB绕点A 逆时针旋转至A 8,记旋转角为a.分别过A,C 作直线B B,的垂线，垂足分别是E,F,连接B C 交直线A F于点Q.（1）如 图 1,当 a=4 5 时，ZXAEF的形状为 等 腰 直 角 三 角 形；（2）当 0 a360 时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请就图2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；在旋转过程中，当线段A E=1时，请直接写出CF的长.【考点】几何变换综合题.【专题】几何综合题；推理能力.【分析】（1）结论：AEF是等腰直角三角形.通过计算证明NAFE=45,可得结论;（2）结论成立.想办法证明NAFE=45,可得结论
23、；分两种情形：当点E 在 4 B 的下方，当点E 在 A 8的上方，分别求出EF,E B,可得结论.【解答】解：（1）结论：是等腰直角三角形.理由：如 图 1 中，BEY/F图1；NABC=90,ZBAB=45,：.ZCAB=900-45=45,：AB=AB=AC,:.NABB=N4B 8=ZAB C=ZACB1=67.5,：.Z C B 尸=180-2X67.5=45,VCF1BF,：.NFCB=NFB C=45,：.FB=FC,A C=A B,AF垂直平分线段C B,：.NAFB=/4FC=45,VAE1EF,：.ZEAF=ZEFA=45,：.EA=EF,.AEF是等腰直角三角形.故答案为
24、：等腰直角三角形；(2)结论成立.理由：如图2中，图2：A B=A C=A B,：.Z B B C=AZBAC=45,2:CFLBF,：.ZFC B=NFB C=45,：.FB=FC,：A C=A B,.A尸垂直平分线段C B,J.AQFB=/Q F C=45 ,:.NAFE=NQFB=45：AEEF,.ZEAF=ZEFA=45,J.EAEF,.4E F是等腰直角三角形；如图 2 中，在 Rt/XABE 中，BE=EB=VAB2-AE2 32-12=27 2)：AE=EF=,：.CF=B F=2 M -1.如图3 中，当点E 在 4 8 上方时，同法可得CF=FB=EF+EB=1+2&,B综上
25、所述，满足条件的C F的值为2&-1或 2&+1.【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是证明AEF是等腰直角三角形，学会用分类讨论的思想思考问题.10.(2021 济南二模)【问题探究】(1)如 图 1,ABC和 均 为 等 腰 直角三角形，Z A C B=Z D C E=W ,点 8,D,E 在同一直线上，连接AD,BD.请 探 究 与 8。之间的位置关系？并加以证明.若A C=B C=JiU，D C=C E=求 线 段 的 长.【拓展延伸】(2)如 图 2,4BC和OEC均为直角三角形，ZACfi=Z
26、DCE=90,A C=J五，8 c=4，C D=M，C E=.将a o C E 绕 点 C 在平面内顺时针旋转，设旋转角NBC。为 a(0 Wa/，所 以 c m 同 理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.5.矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有：角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等
27、于斜边的一半.6.正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.7.翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实
28、际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含尤的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数.8 .坐标与图形变化-平移(1)平移变换与坐标变化向右平移。个单位，坐标P (x,y)n P (x+a,y)向左平移4个单位，坐标P (x,y)=P(x -a,y)向上平移匕个单位，坐标P (x,y)=P (x,y+b)向下平移个单位，坐标P (x，y)=P (x,y-b)(2)在平面直角坐标系内，
29、把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个 整 数 ,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移。个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移个单位长度.(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.)9 .几何变换综合题几何变换综合题.1 0 .相似三角形的判定与性质(1)相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.(2)三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.