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1、第一章行列式及其应用行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的.日本著名的“算圣”关孝和在1683年的著作 解伏题之法中就提出了行列式的概念及算法.与莱布尼茨从线性方程组的求解入手不同,关孝和从高次方程组消元法入手对这概念进行阐述.行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家，他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念.1683年，日本数学家关孝和在 解伏题之法中第一次提出了行列式这个概念。该书中提出了乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。1693年，德国数学家莱布尼茨从三元-次方程组的系统中消去两个未知量得到了 一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没
2、有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行列式中元素的位置：i j 代表第i 行第j 歹!I。1730年，苏格兰数学家科林麦克劳林在他的 论代数中已经开始阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组的解法，并给出了四元一次方程组般解的正确形式。1750年，瑞士的加布里尔克莱姆首次在他的 代数曲线分析引论给出了元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。此后，行列式的相关研究逐渐增加。1764年，法国的艾蒂安裴蜀在论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。法国人的亚历山德西奥菲勒范德蒙德在1771年的论
3、著中首次将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。此后，数学家们开始对行列式本身进行研究。1772年，皮埃尔-西蒙拉普拉斯在论文 对积分和世界体系的探讨中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，提出了子式的定义。1773年，约瑟夫路易斯拉格朗日发现了的行列式与空间中体积之间的联系：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。行列式被称为“determinant”最早是由卡尔弗里德里希高斯在他的 算术研究中提出的。“determinant”有“决定”意思，这是由于高斯认为行列式能够决定二次曲线的性质。高斯还提出了一种通过系数之间加
4、减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消元法。十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。止 匕 前，高斯只不过将“determinant”这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥古斯丁 路易柯西在1812年首次将determ inant 一词用来表示行列式。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。柯西还证明了曾经在雅克菲利普玛利比内的书中出现过但没有证明的行列式乘法定理。十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯约瑟夫西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果。行列式是现行高中普通课程标准（实验
5、）中新增加内容，安排在选修42 中，行列式作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生理解数学基本原理、，榭、越，培养学生数学知识的迁移能力，进一步学习提供必要的数学准备。行列式作为一种重要的数学工具引进，从更高的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。本文结合中学数学课程内容，将从空间几何、平面几何、解析几何、高中代数等方面探究行列式在中学数学领域中的应用。一、行列式在平面几何中的应用一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难，利用行列式的知识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题。例 1 证明不存在格点三角形是正三角形。证明：（反证法）假设存在格点三角形是正三角
6、形。不妨设 人 说 是格点三角形且是正三角形。设其顶点坐标分别为次3，%）,3（不 ,的），。（巧 ,xfryieZ（i=l2r3）疑=（巧一鼻的一 MXdC=（巧一事居一乂），所以，y 2 MM3一。乂因为S y =T/净第=（-天+（%-居）2）交。前后矛盾,所以不存在格点三角形为正三角形。例 2证明三角形三条中线交于一点。（1 9 8 0年高考题）如 图1如 图1所示，在三角形A B C中，H、I、J分别为边BC、A C、A B的中点。求证：三条直线A H、B L C J相交于一点G。证明：不妨以A B所在直线为x轴，点C在y轴上作直角坐标系。设A、B、C三点的坐标分别为A (a,O),
7、B(b,O),C(O,c),则显然有分别求得直线方程:A H：c ac-X V-.b-2a b-2a=0C J：-x+v c=0abBI：c be-x+y-=02b-a 2b-a令A H所在直线为y=届+&,则一得，（”*W，a t+*=0.(2)b-2a ob=A =ac代 入（2）得,b-2 aac _x y-.=U从而A H所在直线为*-2 a b-2a为:同理，将这三个直线方程看做以孤产为未知数的齐次线性方程组，则其系数行列式b 2a b 2a2c-1 cabc be2b a 2b a2b-ab-2a2a+bb-2a3&-勿S+与a-z i)(2&-旗A-2a)1-b-2ab-ab-2
8、a0 廿一.(2b d)(b-2d)3b-3aS+3 X&-3b 3a(2&9b-ab-2a环-e(2bd)(b-2a)一%2（“力 1a+f t=_ 瓷02 4 3-a）=0所以齐次线性方程组有唯一解，即这三条直线交于-点。例3求证：三角形三条高线交于一点。如 叫B色的,正=（-也 人/=（w c）因为直线AD法向量为（一瓦切，且过点次/）,所以直线AD为。同理，直线BE为一+向=，直线CF为 五=。一 比+士 而=将三个直线方程看做是以x,y,1为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为-b c 曲c cA0 0=ahc ahc 0故齐次线性方程组有唯一解，即三条直线交于1 点。利用齐次线性
9、方程组有非零解的充要条件这一理论，能给出中学解析几何中直线方程、圆锥曲线方程等的行列式形式。例4求经过点I ,和I ）,且焦点在x轴上的椭圆方程。W+炉=1解：设椭圆方程为L X 一，若 点 由 叫）和 旭在椭圆上，则片1=0将其看成关于a,3?和-1 的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆方程可写成:=0_32-99-41坦|162+ly111163116-K211132一99一4即1=/一4+f9得解,且焦点在X轴上的双曲线方程。例5求经过点（4、叵）和金_ 乙解：设双曲线方程为V胪，若点（%）和点（小）在双曲线上，则我1-1-一1户1/1不-2-2/M%ul2a一一2-22X不巧将其
10、看成关于a）,占？和-1 的齐次线性方程组，因为它有非零解，所以椭圆方程可写成：士 -J 1解 得9 42-1例6求 椭 圆5 4 内接三角形ABC面积的最大值。不妨设三角形A BC 的坐标分别为&M），（孙 必），（巧 ，则有1 +号 印解:Q 幽 Q J用 R O A JJB C 又在圆里正三角形面积最大，故 4,所以 2即 椭 圆5 4 内接三角形A BC 面积的最大值为 2。每个多项式都可以表示成几个多项式的和或者差，而每个多项式又可以表示成儿个多项式的乘积，因此利用行列式的定义，就可以将任一多项式表示成一个行列式，进而利用行列式的性质对其进行分析.例如，设任一个多项式为F,它总可以表
11、示成为P=PQ-M N其中为多项式，于是照。应用行列式进行分解因式重在构造，利用行列式的性质进行运算，以使得可以提取公因式。例7分 解 因 式7-无+2解.x+x2-x+2=7（无+D-（其一?）x2 x-2=1 x+1（第一列乘以1 加到第二列）x2 x2+x-2x+2X2(x+2Xx-1 x+2（提取公因式）Jx+2)(x-D_(x+SXx2 x+Xl例 8 分解因式X3+4X2+X-6解：原式=/G+4)G D任-6)五-6户口 产2 I-1 x+4-1 x+4|-1 x+4|=(x-IXx+(x+3)例 9 分解因式/+叼 一21/+如+7,-3解：原 式=任+2/M _电_(一1)(
12、如+7产3)2x+7jr-3其 一 yr+2 j-l-13r+6jr 3x-j1=(x+2jr-1)=(x+2jr-IX r-y+3)例 1 0 分 解 因 式 无+1解：原 式（TU+D=(7 4-x+IXx3-x2+D例 11 分解因式 5x*+24J?-15J?-118r+24解 原 式=X2(5X2+24X-15)-2(59X-12)；+24%-15 59x-12|5X2+24X-15-lOx+llx+lg2 X2 r|2 f-4=（工一2）+24x-152-10 x-9x+2+24x-1525X2+14X-24%+4=(x-2X x+4)d*2 4 x-1 5 5x-62 1=（i-
13、2X x+4X 5x-IX x+3）o应用行列式解决代数不等式问题：廿 十 廿+1-abc,_ t例1 2求证不等式 3,其 中 也CW R。证明：要证明 3 一 ，只需证明3+*3+c3-3a&c0.a b ca5+i5+c3-3a&c=c a bb c a（将第二行和第三行分别加到第一行）a+ft+c a+ft+c z+ft+c=c a bb c a=(u+ft+cXa2+A2 4-c2-a&-6c-ac)=_(a+R+c)(a-6)2.(a c)2+(ftc)2J2 向c因为 ACA+所以 a3+*5+c5-3 a&c 0,故 3 一 得证。例 13 求证不等式+*2 trf2)(ac+
14、W)2 o证明：心飘十鸟-g b d fa2 4-ft2 ac+ftrf产+即I M(根据行列式线性性质展开)=0+a2d2 向crf+62c2-a4m+o=s-加）2 2 0。即证。例1 4求证：当xNa+b+c时，不等式证明:a ab（第二行乘以1加到第一行）b（第三行乘以1加到第二行）-abxx-c（分别从第一行和第二行提取公因式x）02X0 1 1 a b x c_ j3x a b cy所以当 xNa*A+c 时、(jc-a-b-cfi故不等式（工_ 一占乂 一 一 ac0c一与一助任一切一阳工一冉A 2a&c恒成立例 1 5 用行列式证明柯西不等式：求证不等式（42+.2 +A +4
15、 2 g 2 *与2 +A +V）之（昭+a/2 +A+a1Al）2 ,其中，力I R.证明：%力日=&+域 +A +用 斌 +环 +A +)-(A+A 也 产4 +A+a：4+A+a/4+A+a上a 及+A+比a；atbt7 UaA氏=iN-l M2总 4 4又由于 J 742印,(-唳:2D=2 S(aA J从而 7、网g=二(昭 闻2 A 04可即 万N O,即证得柯西不等式。(a；+a22+A+42购2 +2+A +V)(A+*+Ao在中学数学中详细介绍了一元二次方程的解法，而学生要解决未知数含根式或高次的方程就需要较强的解题技巧和思维能力，而采用行列式这个有用的数学工具去解决这类问题
16、就可以取得事半功倍的效果。7+yJx-3 _-JljC 9+y/x 3例 16 解方程：X/3X+7-A/3 V7X-9-A/X3 O解：(J3bc+7+x-3)-(7 x-9-JJC-3)-7K-9+Jx-3)-(1其+7-JJC_3)=01x4-7+:工-3-j7x-9+/x-31 2/3x+7nn Lx+7 Vx 3-7x 9 3 x+7%/x 3 J7r 9 J“一3一尸仍=0|h-3 Vx-3 I一2、反 项+7 7 TK-9)=0五-3=0或 j3 x+7-j7 x-9 =0解得：丈=3,五=4。6例1 7已知反比例函数”一 和一元二次函数，=巧=1,在实数域内有三个交点且分别设为
17、A,B和C。易 知 4T-2）巩-Z T）,C Q6 ,即 期=a-D ,必=（4 与。所以这三个交点构成的三角形面积为：将 形 如 4 +%无源的分式有理化（其中），显然直接采用中学数学现行的理论是不能解决这个问题的，我们不妨利用中学数学中求等比数列前N项和的方法构建一个齐次线性方程组，结合行列式给出解决这类分式有理化的通法。一般地，不妨设s=%+,之 后，即 符 歹有理化，分 别 用 表 和 吠去乘S,得到：S=OQ4/花y/cS=.4,桁 4市号我 为=.-Vac4.彳/?变形为：（出一的+迷+府=0,（勺-指 切#4 桁 弋 匕 2=o（q 4./?=0将其看成关于1,正,廖 的齐次线
18、性方程组，有非。解，故系数行列式等于0,例 1 8 将I1矛2+2#?分母有理化。1 1由 2 1-1+32-114=1 1 2=41 2 1 1解：代 值 求 得1+能+2师121。行列式在解决中学数学中的三角函数问题也有妙用，本文通过构造齐次线线性方程组给出余弦定理的行列式证法，和利用行列式的恒等变形的特性解决一些棘手的三角恒等式证明问题。例 1 9 证明三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。（余弦定理）U p Q a2=廿+C2 2Accos4融2=j .y 2 a 6 c o sca=bcxKC-ccxxsBb=ccxtsA acosCc=a
19、cOsB+bcOsA 由 n1+cZ-SSecosd知等式中不含cosA和 皿。，则我们将射影定理变形为：ccosB+BcosC a=0-O-cosR+acosC一（占一ccos4=0acosB+O-cos。一（c占cosa=0将其看成关于8sB，85c和T 的三元齐次线性方程组，该方程组必有非0 解,b0 a b-ccjosA所 以 a 0 c-b c o s A=Q将其展开有c b a0 a bccxtsAa c T 8sd =ac?-aftccosji+aft2-a&ccosZ-a3。即 O2=*2+C2-26CCOSJ4,得证。同理可证和(3).例2 0证明三角恒等式：cos2a+cn
20、s24-c(js2(z4-)2cosacnscos(z+)=1证 明.cns2rz+cos2+cos2(sacoscDs(rz-l-)11 cosa=cosz 1|cos)5 cos(a)向cos尸cos(a+)1 00 an2 a0 sinan 0=0 snzsn/5|sin%0 an/Tdn y3sin22附：1。应用行列式解决空间几何问题中学数学必修4和选修2-1已经针对平面向量和空间向量有了较为深刻的研究，新课标要求学生掌握空间向量的线性运算和数量积，在此基础上我们引入空间向量的外积和混合积，探寻行列式的儿何意义，以新的视角去认识向量与空间几何的紧密关系，开辟新的解题思路和方法，为初等
21、数学和高等数学的衔接做好铺垫。M JL A A定 义1：两个向量a 与 6 的 外 积”乂占仍是个向量，它的长度规定为|a x 8|=|a|M|&i,它的方向规定为：a与 b 均垂直，并且使（幺瓦”又与成右A A A A手系，即当右手四指从a弯向6（转 角 小 于）时，拇指的指向就是a x b的方向。向量的外积亦称向量积。A.A JL rr rrr定义2：设“，b,c 是3个向量，称（“X与-c 为这三个向量的混合积。（a x 与-c 可记作（瓦c）。在直角坐标计算向量的外积和混合积：设1 0工工灯是一个右手直角标架，,b，c在 其 中 的 坐 标 分 别 是 我，%，2(2勺3),则(赢初=
22、仅矶明 瓦 与*11*1对，可，=(axft)-c=a2%c2%&So例1已知正方体期 汨 一/A C /)的棱长为1,M点是棱AA的中点，点0是对角线BD的中点。(2010年四川高考卷18题)(1)求证：0M为异面直线AA和BD的公垂线；(2)求二面角的大小；(3)求三棱锥旗O8 C的体积。解：以点D为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系办 一 统 则由已知 Dc o Ao x ；(1)证明：8 Oi f =Q T,-2-1,0),-A l =(0,0,1),=(-1,-1,l)ounr uuu m u*-：_OM AA=o O i f 2M)=-2 l+2-1+0=0 二 OM VAX
23、 OM BD又因为0M与异面直线AA和BD都相交,所以0M为异面直线AA和BD的公垂线。(2)取 平 面B蛇 的 一 个 法 向 量 为%=(0,1,0),设 平 面 血。的法向量为啊，因为U UM 8=(0,1,2 T )，所以2=MRMC0-1=叱刀1 1由图分析可知，二面角跋一8。一 为锐角，故二面角H B O i r的大小为arccos-因 为 苏=（27 2 ,0）,加=（万 旦-2）丽=（2七 吐 一2寸例2如图3所示，ASCO和 细心都是边长为2的正三角形，平 面MCD_L平面此D,M _L平 面BCD,AB=23 o（2010年江西理科卷）（1）求点A到平面M fC的距离;（2
24、）求平面dC M与平面3 8所成二面角的正弦值。解:建立如图4所示的直角坐标系一，则由已知xo,o,（acao,oiA f（oA BXB0 出 毋 施，招工8）(1)方法一：ff=(0 1 0,-2 C=Q一出,2/）血/=（0,7 5.7 5）,所以-0 60 1 00-君 y/3-函-2 因为 BC=a 7 5,0)J W =(0,一出,W)B C x B M=(所以一百5档OHo-5)图 4U K i u m r-r-即 BCxjRAf=(-1 u m t u r n r-r-所以，=ACXBM=(T _ 6，_ O又 器=_2回故-3+3+6 6 2回陋+3+3 一 芯-5 设 平 面
25、4 C M的法向量为叫，由 于a=d j l 2 S =(T。,西，从而5 =CAcCAf=我526出 眄=6 5,回0设平面BCD的法向量为足 由 于 原=(L71(a 5=(-2o,o)从而2E值JI：犯fl =(PA2 同22石从而平面ACM与平面BCD所成二面角为锐角，其正弦值为 5。例 3 如图所示，在长方体川 m 一M i G A 中，已 知 疑=4 3 =3，以=2,E、应E=M =1,点 M、N分别为线段4 G ,的中点。F 分别是线段A B,BC上的点，且求证点尺Z平面；(2)求点N到直线M E的距离；求异面直线g，叫 的 距离。解：如图6所示以D为坐标原点建立空间坐标系D-
26、xyz,则0，G(0,4,2),T。，(3,3,0)月(2 4,0)M,22)N(0,4D；显然有这三个向量M E,而歹，见张成的平行六面体体积为0,故这三个向量共面,所 以 四 点 此 共 面。(2)由向量外积定义知距离为d,所以设点N到直线M E的 ，解得:/3面a=-7UUUB.设 异 面 直 线 g，叫 的 距 离 为 不，易 知g=(T V),U U U B叫=(一 2”M=(-L L 0),所以异面直线g,四的公垂线的方向向量为 g x j i 7 =:：K为=Q0,X14),异面直线能，叫 的 距 离为直线E C 1上任意一点和直线F D 1上任意一点连线在公垂线的方向向量的投影
27、,d9=EF BCFIXi W n Vw 1 即|g x E/102+22+14245IT2.应用行列式解决数列问题1.n%=0定 理 1若一等差数列 第 k,l,n 项分别为则证明：根据等差数列通项公式=4+（”，变形为吗,则三点（工4）,（乙4）,（耳）满足直线方程吟kd-a*+（O|tf）=0,Id _%+（O|rf）=0,nrf a.+（O|rf）=0.三 个 直 线 方 程 看 成 以 为 未 知 数 的 齐 次 线 性 方 程 组，其系数行列式为:1,%=0故由三点共线的充分必要条件得例 1等差数列加 力，已知求”解：令”二%,由定理1 得,0nmm+nm-xn-xJ C=0,-n
28、m-xln-x|0=0,-m（n+=0,（m-n）x=0,x=0 即 a=0例 2等 比 数 列 加 力，第 七L”项 分 别 为/，再则证明：根 据 等 比 数 列 通 项 公 式 变 形 为 1%1=同 间 7，闯9喟小小啦喇皿-+*=。0从而，三 点 日,1 4”（人，）满足直线方程（*）,则切前-上一l g k|+l g 料=。，取团”一3 1.1+收 姆=。，t e|?|-t e|a.|+l g W=0-l g|g|,XJ g 三个直线方程看做以 q为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为k2 屈1/取同1=0故三点共线的充分必要条件得，”看k J 1 O例 3 若在各项均为正数的等
29、比数列,中，=1 0 且#1,所以数列 1呜，是等差数列。m n 1n m 1=0对等比数列（G两边同时取自然对数，由定理1得 E +3*1,解得：3，-=,故%-=1。定理2若%,是等差数列 4第k,L n项 则4,4,4也是等差数列 4J/4 14 4 1的第k j.n的充分必要条件是 4.瓦 一4 I-k证明：由等差数列通项公式=4+（一9 4,得/一.，一瓦nkA 4 1ai bi 1.41.4一 瓦 0w，一4所 以，/i w 4 l。例4已知等差数列a,b,c中三个数都是正数，且公差,0,求证它们倒数所组成的1 1 1数列a,7,c不可能成等差数列。（1984年高考文科卷）证明：设
30、a,b,c是等差数列（吗 的b-a-b adab2d1,2,3项，其 中 4）的公差为d,且a,。是数列，口 的 第1,2,3项，贝IJ1 1 1所以由定理2得，数列，不，c不可能成等差数列。例5已知一。）鹏 日9一柳%3与5/=0若正数不乂z成等比数列且g,l,其中E 且E,l,求证a,b,c成等差数列。证明：因 为 正 数 成 等 比 数 列，所以log.Jog.产Jog-z成等差数列，由定理2得:10gli x a 110g.y b 1=*log,x+clog,j+alogB z-*logB z-clog,x-alogB y=。-c)l o gB x+(c-a)l o gB y+(a-b
31、)l o g.z=0所以a,b,c成等差数列.定理3若等差数列第1,j项分别为，勺,前n项 和 为，贝I，1,1j 勺 1=0n 2s0 f n.=.+5 f d=O|+-a证明：由等差数列通项公式和前n项和公式I 2，变形为“dn+g-d），则三点 I ，在直线y=血+3-卜L/.+(O|_ r f)=0,j r f-a/+(a1-r f)=0,n r f _(.-O j).(4-10=0_n三个直线方程看成以&-L（%一吟为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为:i，o由三点共线的充要条件得:j 勺 1=0所 以 二 珥 一 F 。例6等差数列的 前n项和为吨，且 鼻=3%=4,则公差d等
32、 于（）（2009年福建理科卷第3题）A.1 B.C.2 D.33O解：山定理3 得,4 1=02 4-q6 12 6al4 一.12 6a,=012-3.3d f =2-血=0,解得：4 =0,2,故答案为c。p J?SpqSq=0定理4 若等差数列前p,q,r项和为号，S”S,则，r Sf n（H I）,S=na.+-d证明：由等差数列前n 项和公式 2,变形为/q-s.=o所以d)d-=0d)d我,-3+q=_S g=q当+/0-S,=0-12 2，将其看成关于 2 2 的齐次线性方程组,必有非0 解，所以其系数矩阵等于0,即例 7 已知等差数列 42P Pg qr r2中&=ioo$0
33、=1。求$0。解：由定理4 得:10100110102 1001003 101 1/4 0第 1 列 的 10倍分别加到第2 歹 U、第 3 列,得10 0 0100 9000-990no nooo sllo-uoo=0,9000-99011000 Su o-llO O=0,将 第 1 列提取1000,第 1 行提取9 得1-11011 1 1 0 0$0 1100+1210=0解得&=-口。例8已知等差数列(2满足：4=7,%4勺=26。,的前n项和为(2010年山东理科高考卷18题)求，及 耳：=(neiV-)(2)令 4 T ，求数列用的前n项 遥。解：因为2%=%+,=2 6,所以.=
34、1 3。3 7 16 13 1=由定理 1 得4 1 39+60n+7“-1 3 -3,-4 2 =0整理得：1 3 13 7 1=0=2+1由通项知当n=l时，,=3,所以由定理3得储 招 一3”n第3列的T 倍加到第1歹l j,第3列的(-3)倍加到第2列，得2 4,=0,)=0,S_=n+2.n-n 2sli-6n 整理得：5 =2+2,b _ 1 _ 1 _ 1 _1 _ 1或-1-3+工-1 一 行+4”=或0 0 12 4 1n2-n 2sa 6n n1一81一924-1221=0n由定理3得，8,1将第3列的一 1倍加至第1歹i j,将第3行 的8倍加至第2列得,2 1n+-n6
35、从上面可以得出，结合直线上三点共线和齐次线性方程组有非零解的理论就可以探求到行列式与等差数列问题的结合点.在求解等差数列问题时，行列式解答可以摆脱传统中学数学解决此类问题对首项和公差的依赖。由等差数列和等比数列的关系，上述定理还可以推广等比数列中的一些应用。第二章矩阵及其应用“矩阵(Ma t r i x)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。1 9 世纪5 0年代,西尔维斯特引入“矩阵”词来表示“一项由m行 n列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者,首先为简化记法引进矩阵,然后系统地阐述了矩阵的理论体系。随后,弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了
36、矩阵的现代理论。然而,矩阵思想的萌芽由来已久,早在公元前1 世纪中国的 九章算术 就已经用到类似于矩阵的名词。但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题,并没有建立起独立完善的矩阵理论。1 8 世纪末到1 9 世纪中叶,这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛,行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件,矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。2 0 世纪初,无限矩阵理论得到进一步发展。矩阵代数在1 9 世纪沿着两个方向发展，一个是凯莱与西尔维斯特的抽象代数结构,另一个是以凯莱为代表的用代数观点研究几何空间。凯莱在这两个方向都做出了杰出的贡献。凯莱的矩阵理论对群论、不变量理论的发展
37、起十分重要的作用。在群论的创造者伽罗瓦(E G a l o i s)及当时相当多的数学家的群论研究中，有不少人认为群论就是研究置换群。凯莱第一个认识到,置换群的概念可以推广。在三篇文章中,凯莱引进了抽象群的概念,并举出矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群的实例来阐述抽象群(不同于置换群)。凯莱创造的矩阵论,给出了矩阵乘法的特殊规则以及不满足交换律的特征,在代数不变量理论中成为重要而基本的内容。1 9 世纪末不变量理论统一了数学的很多领域,并通过微分不变量对物理学产生影响。凯莱的矩阵理论将超复数当作矩阵看待的思想，将矩阵论与超复数等线性结合代数相联系的思想，为进一步研究超复数代数提供了新的工具。
38、泰特(P。G T a i t)评价矩阵论的创造是“凯莱正在为未来的代物理学家锻造武器。”1 9 世纪末,沿着矩阵代数的两个方向进一步做出突出贡献的就是弗罗伯纽斯和基灵(Wi l h e l m K i l l i n g)等人。弗罗伯纽斯和基灵是以维尔斯特拉斯为首的柏林学派的两位数学家。他们在维尔斯特拉斯初等因子理论的精神鼓舞下,用柏林学派的哲学观点指导研究,分别在矩阵代数和空间模型理论不同的领域做出了贡献。弗罗伯纽斯于1 8 7 8 年 到 1 8 8 0 年期间引入了符号矩阵代数(T h e s y m b o l i c a l a l g e b r a o f m a t r i c
39、 e s),论证了在初等因子观点下的矩阵代数具有的优点,创立了我们现代意义下的矩阵理论，在矩阵理论的发展史上具有深远的影响。基灵用初等因子理论作为工具,给出了维尔斯特拉斯理论的几何解释,为克莱因(F e l i x K l e i n)进一步发展李(L i e)代数结构理论起了基础性的作用。矩阵的出现,起初是数学表达形式的改变,是数学工具的创新。后来发现矩阵本身有许多特殊的性质,如其性质依赖于不同数域上元素的性质。在矩阵的初等的理论中，元素是通常的实数。实数域、整数域上的矩阵理论分别由H。J.S.Smithl873年、G.Frobeniusl879年开创，并且数学家们限制于整数元素做了大量的工
40、作。19世纪末，对矩阵的研究元素已经属于抽象域，复多项式域矩阵理论是由KoW eierstrass于1868年开创的,模数域矩阵理论是由弗罗伯纽斯于1880年开创的，至此矩阵理论体系已基本形成。从1843年哈密顿抛弃乘法交换律发明了四元数，1844年格拉斯曼发展了更具一般性的n个实数的有序列，到1883年康托尔由有限集合推广到无穷序列，代数已开始打破其既有定律突破普通代数，从而使实数域嵌入复数域、复数域嵌入超复数域，随之矩阵以其特有的运算和运算律开拓了矩阵代数的现代理论,又以与其它代数共有的属性纳入了抽象代数综合研究的行列。20世纪初,矩阵理论得到了进一步的发展,矩阵由最初作为一种工具经过两个
41、多世纪的发展,现己成为独立的一门数学分支-一矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。目前，它已经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。一、矩阵在数学分析中的应用例1矩阵在求不定积分中的应用:21(sinx;cosj1)siiix=cosx=Oxsnx-Flxc（）sx解：版 cosx=sinx=-Ixsinx+O xcosxdx0A.=0-1j f4为求导矩阵，则-1 0为求积分矩阵。Jsin cosx+Ccosxzc=onx+C02）求解：设 求 导 在 力 下 的 矩
42、 阵 为A,则-2a1+21+C,+C,Jtf1d）c=+C,3)求 才 小 而。解：设求导在表/1 下的矩阵为AoC L-n,n(-l)X L D1H叶3下的第一列元素为 5+1-。1 1 。J 士/+域”-1)丁/+L+(-iyH ln!xffr+(-1)22 版/+c%J例 2：证明数学分析中的导数为零的函数是常值函数。已知女 尸 国 使得人加0求证/8=俳 冷d证明：爪 =心/0一设8 为求导函数 限多项式的基为Laem=0=0 x l+0 x x+L +0 x d.g(=l=lx l+O x x+L +O x d.=JEC*-1=0 x l+0 x x+L +nxx*l+x设函数g
43、在多项式的基下的矩阵为4 f l M、*=QU，力 0 0 L1 0 LM M L00 L000JI 10000 xMx*A.0 0 L1 0 LM M L0 0 Loo0n 10000,设矩阵A的特征值为Z由1 一幺1=，求4=0 的特征向量卬-闻=0,4=。=-击=0即/=0jtanjt4=n、皿+力 cfidSK)bS&ca+dy)c+邛+dbf 9 3)=即(oa+fi7)x+afi-VbSd力 K+印+db例 3已知，求a解:dA 1)I。dAcbL1c d)4C令I。4小 a如1cB _ 4_|J 则+。例 4 瓯+”,3=2,求 Ra=%i 2 _&bk+a,产、,Q4 J x
44、A-.设,、4+讲。贝 1 Jcosflxjsinfisin 0+cos日O 不 Ccos。一in cxssG1mrcxss&-s in d)j鼻)(in0 cos 6)J|1 产(msGsn d sinificos日ccxisnff-snnffsin cos 油_ COSHXsinrfsnnx-1-cos例5已知珥i*p 4+g/4=,/，已知。求-P9-解：一q&,4 44 。一=4 =-p-设%q _ _ R _ g1 ix、+o：)m 七 of a例6求证等差数列的通项公式=,+(一D。证明;Ixa+rfa.=a_j+rf=-、Oxar+1.已知。X T1O01 5-1 DJ7u.O
45、L +(n-rf,.J，=-1 =附：矩阵在幻方中的应用。幻方(magic squares)是组合数学经典问题之一。以1,2,为元素的“阶方阵，如果每行元素之和，每列元素之和，两条对角线上元素之和都相等，则成为一个“阶幻方。s=nfn2+1)2每行(列，对角线)元素之和成为幻和，幻和为o世界上最早的幻方是公元前22世纪我国的 洛书所载的3阶幻方2、7与1.设P是一个数域，称为幻方，如果满足(1)证明尸中所有幻方的集合V构成一个子空间。证明黄=彳%，其中“由对称幻方构成，修 由反对称幻方构成。证 明 令 八=似 人；1/尸4,则d为幻方，当且仅当,一(1)1)显然0”。再设=于是B LbiA+B
46、)=tLA”B=2 g.M +矶X W trB X a=(幺+矶(k4nli=Mfc叽=(f c 叽叱*4=自“一。于是V是子空间。-(A+jf)2)由式知，d是幻方，则/也 是 幻 方。再由结论1)知，2 均为幻方,于是结论2)成立。2 求 2,3 阶幻方所成线性空间的基与维数。A I解 1)设 I，中 是 2 阶幻方。于是由a*B=a+c=a+d=A +d可得a=b=c=dt 即/=%，因此dfaV=l。2)由上题，分别求，约 的基与维数即可。.b c、A-h/d e/设(c a3).于是1%).*.=.4-ft 4-c,+02+%+ft+rf,/+/+/=z5+rf+c,./=a2+2c
47、_将 前 3 式相加，可得+用此式分别减方程组(1)中前三式可得/=/2=c,%=b。将此代入方程组的第四式可得8=2c d。由此得K 的基:因此4 4,4是P的基，SmP=3。3 设/=(=&)为”阶幻方。证明将幺 的第一行与第”行互换，第二行与第”一1行互换，所得矩阵亦为幻方。对列亦如此。1、产=z=+A证令u )为”阶方阵。乂由所说的行变换所得矩阵为卫4,幺山所说的列变换所得矩阵为。L由 1题所定义，注意PAlPftrAlJ=3 叫=见血 S=(t r 4)L.(皿1.=0 Q H J=(trQPla=tr411r再 注 意 期 5 史耳I v =刘 括/P=Snn P=/，所以卫4,A
48、P都是幻方。4 分别构造以0,。2,3;1,2,3,4 为元素的幻方。解 矩 阵0 1 2 3、3 2 1 03 2 1 0勺4 42 3 3 23 2 2 3(0 1 2为所求。第三章多项式及其应用多项式是代数学中一个非常重要的研究对象，初等代数的许多问题都与多项式有关，多项式函数又是形态最简单的初等函数,代数式的变形的许多应用是针对多项式进行的。多项式在中学数学的应用，我们将以拉格朗日插值多项式为例。大家知道，在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫路易斯拉格朗日命名的种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如
49、对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华华林 于 1 7 7 9 年发现，不 久 后（1 7 8 3 年）由莱昂哈德欧拉再次发现。1 7 9 5 年，拉格朗日在其著作 师范学校数学基础教程中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。定 理 已知2 n 个数L，双 环 X e K。其中 殁%不相同，定义n-1 次多项式二（力（Z L
50、IXH）L4 8 注 月（i=i,2 “，n）为（叼&1 3roi次求证v 3 =1co*L 1 1co w。q是满条 件 *，（i=l,2-,n）的唯一的次数小于n的多项式。（称为拉格朗日插值多项式）证明：易知心 尸.吩虫#）,从而上 出 满足电的条件，且&（今 T,如果有一个次数小于n的多项式7 8满足条 件（为,田，。那么f Q O-L（x）有 n个根 。如果3 8一1 8 ,其次数小于n,矛盾。所以Q）成立例 1 求一个次数小于4的多项式3 8使得f Q）=3,/p）=-L f（4）=0=2。解：由 n=3 时的拉格朗日插值公式，有+人）（3 0FX/4）+/（a）（名R白.乂4 4（