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1、2022年湖北省恩施州中考数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3 分，共 36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.（3 分）8 的相反数是（）A.-8 B.8 C.1 D.-18 82.（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）3.（3 分）函数产 线 的 自 变 量 的取值范围是（）A.在 3 B.%23 C.且%W3D.4.（3 分）如图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（恩|施 万A.“恩”B.“乡”C.“村”5.（3 分）下列运算正确的是（）)D.“兴”A.。2。3=屋 B.a3-ra
2、2 1 C.a3-a2a D.(73)2a66.（3 分）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：月用水量 3456（吨）户数4682关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的（）A.众数是5 B.平均数是7 C.中位数是5 D.方差是17.（3分）已 知 直 线 将 含3 0 角的直角三角板按如图所示摆放.若N l=120，则N 2=()C.140D.1508.（3分）一艘轮船在静水中的速度为3 0km/h,它沿江顺流航行144加与逆流航行96攵机所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h,则符合题意的方程是（）A.144
3、=96 B.144=9630+v 30-v 30-v vQ.144 96 D.144 9630-v 30+v v 30+v9.（3分）如图，在矩形A8CD中，连接8 D,分别以心。为圆心，大 于 的 长 为 半 径 画 弧，两弧交于P、。两点，作直线P Q,分别与AD、3 c交于点M、N,连接3M、D N.若AD=4,A B=2.则四 边 形 的 周 长 为（）A.5 B.5 C.10 D.20210.（3 分）如 图 1 是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A 的压强P（单位：cmH g）与其离水面的深度h（单位：M的函数解析式为。=筋+尸0,其图象如图2 所示，其中Po为青
4、海湖水面大气压强，2 为常数且ZW 0.根据图中信息分析（结A.青海湖水深16.4m处的压强为1 88.6cmH gB.青海湖水面大气压强为76.0c/T/gC.函数解析式。=焙+。0中自变量力的取值范围是D.P 与/?的函数解析式为=9.8X105/2+7611.（3 分）如图，在四边形 A8CD 中，NA=NB=90，AZ）=10c/n,3 c=8 cm,点 P 从点。出发，以 lcm/s的速度向点A 运动，点M从点8 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P 的运动时间为，（单位:s）,下列结论正确的是（）A.当=4S时，四边形A B M
5、 P为矩形B.当=5s时，四边形CDPM为平行四边形C.当 时，=4sD.当 C）=PM 时，/=4s 或 6s12.（3 分）已知抛物线 y-2 bx+c,当 x1 时，_y0；当 x2时，y 2 c；若c l,则%当 已 知 点 A（m i,用），B（m2,小）2在抛物线）=尹 bx+c上，当mm2 n2;若方程尹-hx+cO的两实数根为x,x2,则X+X2 3.其中正确的有（）个.A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共有4 小题，每小题3 分，共 12分）.13.（3 分）9 的算术平方根是.14.（3 分）因式分解：-6a2+9a=.15.（3 分）如图，在 RtZVLBC
6、 中，ZC=90,AC=4,BC=3,Q O为R t A A B C的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留7T)_（3分）观察下列一组数：2,1,多,第 个 数 记 为an,且满足.an an+2 an+l它们按一定规律排列，贝!J。4=,6/2022三、解 答 题（本大题共有8个小题，共72分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.1 7.（8分）先化简，再求值：马1三1-1,其中=我.x2 x1 8.（8分）如图，已知四边形A 3 C Q是正方形，G为线段AD上任意一点，C E上B G于点E,D F L C E于点、F.求证：DF=BE+EF.1 9.（
7、8分）2 0 2 2年4月2 9日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动.某校学生积极参与本次主题活动,为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查.根据调查结果绘制如下不完整的统计图（如图）.请结合图中信息解答下列问题:（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图.（2）若该校共有1 2 0 0 名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁 4名学生中，随机抽取2 名学生谈一谈劳动感受.请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率.2 0.（8分）如图，湖中一古亭，湖边一古
8、柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣.某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭8位于北偏东6 0 ,他们向南走5 0 根到达。点，测得古亭8位于北偏东4 5 .求古亭与古柳之间的距离A 8 的长（参考数据：加七1.4 1,q 1.73,结果精确到1 M.-匕4 东21.(8 分)如图，在平面直角坐标系中，0 为坐标原点，已知NAC3=90,A(0,2),C(6,2).D为等腰直角三角形AB C的边3 c 上一点，且S BC=3SZWC.反比例函数y=K (ZW 0)的图象X经过点D.(1)求反比例函数的解析式.(2)若 A 3所在直线解析式为券=内+力(。/0),当
9、 1 2时，求%的取值范围.22.(10分)某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动.已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2 辆甲型客车和3 辆乙型客车共需1300元.甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生.（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？（2）若学校计划租用8 辆客车，怎样租车可使总费用最少?2 3.（1 0分）如图，。为OO外一点，出、P 8 为。的切线，切点分别为A、B,直线PO交。于点。、E,交A 3 于点C.（1）求证：AADEAPAE.（2）若N A E=3 0,求证：AE=PE.（3）若 P E=4,C D=6,求
10、C E 的长.2 4.（1 2 分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-%2+c与y 轴交于点。（0,4）.（1）直接写出抛物线的解析式.（2）如图，将抛物线旷=-/+c向左平移1 个单位长度，记平移后的抛物线顶点为。平移后的抛物线与轴交于A、B 两 点（点A在点8的右侧），与y 轴交于点C.判断以8、C、。三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.（3）直 线 与 抛 物 线 y=-%2+c交于知、N两 点（点N在点M的右侧），请探究在轴上是否存在点T,使得以8、N、T 三点为顶点的三角形与 A B C 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.（4）若将抛物线y
11、=-炉+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线B C最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y=-2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.2022年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.（3分）8的相反数是（）A.-8 B.8 C.1 D.-18 8【分析】根据相反数的定义进行解答即可.【解答】解：8的相反数是-8,故选：A.【点评】本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确解答的前提.2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【分析】根据各个选项中
12、的图形，可以写出是否为中心对称图形或轴对称图形，然后即可判断哪个选项符合题意.【解答】解：选项A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；选 项B中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项B符合题意；选 项C中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意；选 项。中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项。不符合题意；故选：B.【点评】本题考查中心对称图形、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，写出各个图形是否为中心对称图形或轴对称图形.3.（3分）函 数 旷=辽1的自变量的取值范围是（）x-3A.B.%23 C.Q-1【分析】利用分式有意义的条件和二次根
13、式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得出结论.【解答】解：由题意得：x+l O,I x-3#0解得：x N -1且 W3.故选：C.【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，二次根式，分式有意义的条件，依据题意列出不等式组是解题的关键.4.（3分）如图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（）国恩|施|iTA.“恩”B.“乡”C.“村”D.“兴”【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可.【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“振”与“兴”是对面，故选：D.【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的
14、特征是正确判断的前提.5.（3分）下列运算正确的是（）A.a2*a3a6 B.ai-r-d1 1 C.a3-a2a D.（a3）2a6【分析】分别根据同底数幕相乘，底数不变指数相加；事的乘方，底数不变指数相乘；同底数幕相除，底数不变指数相减，合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项计算后利用排除法求解.【解答】解：A、a2*a3a5,故本选项错误；B、c-rca,故本选项错误；C、和 不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、（a3）2=屋，故本选项正确.故选：D.【点评】本题考查了同底数幕的乘法，同底数幕的除法，合并同类项的法则，幕的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键.6.（
15、3分）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：月用水量（吨）3456户数4682关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的()A.众数是5 B.平均数是7 C.中位数是5 D.方 差 是1【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可.【解答】解：这组数据出现次数最多的是5吨，共出现8次，所以用水量的众数是5吨，因此选项A符合题意；这组数据的平均数为3X4+4X6+5X/6X 2=4.4(吨)，因 此 选 项B4+6+S+2不符合题意；将 这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数 为 反=4.5(吨)
16、，因此选项C不符合题意；2这 组 数 据 的 方 差 为(3-4.4)2X3+(4-4.4)2X6+(5-4.4)220X8+(6-4.4)2义2仁0.4 6,因此选项。不符合题意；故选：A.【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的前提.7.(3分)已 知 直 线 将 含3 0 角的直角三角板按如图所示摆放.若Nl=120,则N 2=()【分析】过点3作3交4 c于 点R利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性质解答即可.【解答】解：过含3 0 角的直角三角板的直角顶点8 作 8尸人交AC于点RV ZC=30 ,A ZA
17、=90-ZC=60.：ZlZA+ZA D E,：.ZADE60.,:BF 6,：.ZABF ZADE60,/FBG=90-ZABF=30.:BF/k,l/l2,：.BF/h,：.ZBGH+ZFBG=0,A Z 56/7=180-ZFBG=150,；.N2=/BGH=150.故选：D.【点评】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角相等，过点3 作 3尸3交AC于点尸是解题的关键.8.（3分）一艘轮船在静水中的速度为30km/h,它沿江顺流航行144加与逆流航行96攵机所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h,则符合题意的方程是（）A.1
18、44=96 B.144 9630+v 30-v 30-v vC.144=96 D.4=9630-v 30+v v 30+v【分析】根 据“顺流航行144%相与逆流航行96%m所用时间相等”列分式方程即可.【解答】解：根据题意，可 得144=96,30+v 30-v故选：A.【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.9.（3分）如图，在矩形A 8C Q中，连 接8 D,分别以8、。为圆心，大 于 的 长 为 半 径 画 弧，两弧交于P、。两点，作直线P。，分别与A。、3 C交于点M、N,连 接3M、D N.若A 0=4,A B=2.则四边形M BNO的 周 长
19、 为（）A.$B.5 C.10 D.202【分析】利用作图过程可得尸。为3。的垂直平分线，利用垂直平分线的 性 质 和 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 证 明 四 边 形 为 菱 形,利用勾股定理求得8 M,则结论可得.【解答】解：由作图过程可得：PQ为的垂直平分线,；.BM=MD,BN=ND.设 PQ与 8。交于点O,如图，则 BO=DO.四边形A3CQ是矩形，C.AD/BC,：./M DO=ZNBO,ZDMO=/BNO,在和N 30中，Z M D O=Z N B O=PW 时，r=4s 或 6s【分析】根据题意，表示出QP,BM,A 0 和 的 长，当四边形A B M P为矩形
20、时，根据A P=B M,列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据Q P=C M,列方程求解即可；当时，分两种情况：四边形CQPM是平行四边形，四边形CQPM是等腰梯形，分别列方程求解即可.【解答】解：根据题意，可得BM=t,A D 10cm,BCScm,二.4尸=1 0-3 CM=8-f,当四边形ABMP为矩形时，APBM,即 10-tt,解得t=5,故A 选项不符合题意；当四边形C0PM为平行四边形，DP=CM,即，=8-t,解得1=4,故3 选项不符合题意；当 CD=PM时，分两种情况：四边形CQPM是平行四边形，此时CM=PD,即 8-1=/,解得，=4,四边形CDPM是等腰梯
21、形，过点M 作 MGAD于点G,过点C 作 CHLAD于点H,如图所示:则NMGP=NC”Z)=90,：PM=CD,GM=HC,:AMGPQACHD(HL),：.GP=HD,VAG=AP+GP=10-,2又；BM=t,：.10-2解 得，=6,综上，当CD=PM时，f=4s或6s,故 C选项不符合题意，。选项符合题意，故选：D.【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含/的代数式表示出各线段的长是解题的关键.12.（3 分）已知抛物线 y -2 bx+c,当 x1 时，y V O；当 x2时，y 2 c；若 c l,则 83；已知点A （m i,
22、小），3（m 2,2）2在抛物线=尹-b x+c 上，当 阳 V/7 1 2 2；若方程尹-bx+c=O的两实数根为X i,如 则为+%2 3.其中正确的有（）个.A.1 B.2 C.3 D.4【分析】利用一元二次方程的根的判别式可判断；把l=1、=2,分别代入，得到不等式，求得即可判断；求得抛物线的对称轴为直 线x=b,利用二次函数的性质即可判断；利用根与系数的关系即可判断.【解答】解：a=L0,2.抛物线开口向上，当=1 时，y0；当=2 时，y 0,故正确；,当=1 时，y 0；当=2 时，y 0,：.l-h+c-+c,2当c l 时，则力3,故正确；2抛物线的对称轴为直线=且开口向上，
23、当x V b 时，y的值随的增大而减小，二.当如V/n 2 V A 时，rt ni,故正确；.方 程-bx+cQ的两实数根为汨，必2X1+X2=2/?,又X3,2.,.Xi+X2 3,故错误；综上，正确的有，共 3 个，故选：C.【点评】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，掌握二次函数的性质是解题关键.二、填空题（本大题共有4 小题，每小题3 分，共 12分）.1 3.（3 分）9的算术平方根是 3 .【分析】9的平方根为 3,算术平方根为非负，从而得出结论.【解答】解：（3）2=9,.9 的算术平方根是3.故答案为：3.【点评】本题考查了数的算术平方根
24、，解题的关键是牢记算术平方根为非负.14.（3 分）因式分解：-6a2+9a=a（a-3）2 .【分析】先提公因式。，再利用完全平方公式进行因式分解即可.【解答】解：原式=a（-6a+9）a（a-3）2,故答案为：a（。-3）2.【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键.15.（3 分）如图，在 中，ZC=90,AC=4,B C=3,。0为RtZXABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留n）5【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积=243。的面积-正 方 形C E O D的 面 积-。面积
25、的当 代入数据计算即可.4【解答】解：作OLLLAC于 点。，作。_LC8于点E,作。尸，AS于 点R连 接OA、OC、O B,如图，V Z C=90,O D=O E=O F,.四边形CEO。是正方形,VAC=4,BC=3,ZC=90,1 A3=VAC2+BC2=V42+32=5,SAA B C-SAAOC+SCOB+SABOA，4X3=40D 3-0E 5-OF -F-+-，2 2 2 2解得 O D=O E=O F=T,.图中阴影部分的面积为：123-1X1-i r x p x 2=5-3K,2 4 4故答案为：5-【点评】本题考查三角形的内切圆、勾股定理、扇形面积的计算，解答本题的关键是
26、求出内切圆的半径.16.(3分)观察下列一组数：2,1,2,，它们按一定规律排列,2 7第n个数记为C ln,且满足上+-1-=_ 2则。4=工_,42022=an an+2 an+l 513032-,【分析】由 题 意 可 得 以=.2,即可求解.3(n-1)+1【解答】解：由题意可得：0 =2=2,久=工=2,。3=2,1 2 4 7.，+J-=2,a2 a4 a3.2+-=7,a4，4=1=2.a3 a5 a4 5=-13同理可求。6=2,8 162-3(n-l)+1 i 2022-，3032故答案为：,-.5 3032【点评】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键.三、
27、解答题(本大题共有8个小题，共72分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.(8分)先 化 简，再求值：工1-1,其中=在.x2 x【分析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可.9【解答】解：z z k+z z l-1x2 x=(x+1)(x-l)X _|x2 x-1=x+l _ X=x+l-x=，X当=加 时，原式=q=近.y 2时，求%的取值范围.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得出A C=B C=6,由SAABC=354ADC 得到。=2,即可求得。(6,4),代入 y i=K(k W
28、O)X即可求得攵的值；(2)利用待定系数法求得”的解析式，然后解析式联立，解方程组求得交点坐标，根据图形即可求得.【解答】解：(1)V A (0,2),C(6,2),.AC=6,A B C 是N C 为直角的等腰直角三角形,：.BCAC=6,：D为等腰直角三角形A B C 的边B C上一点，且SAABC=3 ADC.：.CD=2,：.D(6,4),二反比例函数y=K (Z W O)的图象经过点),X./=6 X 4=2 4,.反比例函数的解析式为=建；(2)V A (0,2),B(6,8),二.把 A、B的坐标代入yiax+b得，b=2，I6a+b=8解得卜=1,I b=22=工+2,(一 2
29、4 r r/解 y丁 得 卜=-6或卜=4,y=x+2 bi 卜=6两函数的交点为(-6,-4),(4,6).当y 2时，的 取 值 范 围 是-6 或 0 xV 4.【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，数形结合是解题的关键.22.(1 0 分)某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动.已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租 用 2 辆甲型客车和3 辆乙型客车共需1300元.甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐2 5 名师生.(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元
30、？(2)若学校计划租用8 辆客车，怎样租车可使总费用最少？【分析】(1)设租用甲种客车每辆工元，租用乙种客车每辆y 元，根据题意建立二元一次方程组，再解方程即可得出结论.(2)设租甲型客车加辆，总费用为川元，则租乙型客车(8-m)辆，根据总费用=每辆车的租金X 租车数量，即可得出w 关于工的函数关系式，由师生总人数结合甲、乙两种型号客车的载客量，可求出入的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解：(1)设租用甲种客车每辆元，租用乙种客车每辆y兀，根据题意可得，卜4 y=5 0 0 ,|2 x+3 y=1 3 0 0解得卜=2 0 0.l y=3 0 0 租用甲种客车每辆2 0
31、 0元，租用乙种客车每辆3 0 0元.(2)设租用甲型客车机辆，则租用乙型客车(8-z n)辆，租车总费用为卬元，根据题意可矢口，v v=2 0 0 m+30 0 (8 -m)=-1 0 0 m+2 4 0 0,V 1 5/n+2 5 (8 -m)2 1 8 0,.0 V w i W 2,-1 0 0 E=30 ,求证：AE=PE.(3)若 PE=4,C D=6,求 C E 的长.【分析】（1）连 接。4,利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；（2）利 用（1）的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
32、（3）C E=x,贝ij DE=CD+CE=6+x,OA=0E=。OC=OE-2C E=-,。尸=0七+。=但，利用相似三角形的判定与性质得2 2出比例式即可求得结论.【解答】（1）证明：连 接0 A,如图，弘为。的切线,：.AOLPA,：.ZOAE+ZPAE=9Q.DE是。的直径,：.ZDAE=90,A ZADE+ZAED90.：OA=OE,：.ZOAEZAED,：.ZADEZFAE；(2)证明：由(1)知：ZAE=ZME=30,V ZPAE=90 ,A ZAED=90-ZADE=60.ZAED=ZFAE+ZAPE,.NAPE=N%E=30,：.AE=PE；(3)解：C E=x,贝！J OE
33、=CD+CE=6+%,.QA=OE=立区，2：.OC=OE-CE=,2C P=O E+P E=14+X2,.,%、P 3 为。的切线，：.PA=PB,PO 平分/APB,C.POLAB.弘为。的切线，：.AOPA,：.AOAC/OPA,0 A O P -=-90 C 0 A6+x 1 4+x.r _ 2 *6-x 6+x，亍T即：炉+1 0%-2 4=0.解得：=2或-1 2 （不合题意，舍去），：.CE=2.【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连 接O A是解决此类问题常添加的辅助线.2 4.（1 2分）在平
34、面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-/+c与y轴交于点P（0,4）.（1）直接写出抛物线的解析式.（2）如图，将抛物线y=-炉+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为0,平移后的抛物线与轴交于A、3两 点（点A在点8的右侧），与y轴交于点C.判断以8、C、。三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.（3）直 线8C与抛物线y=-2+c交于知、N两 点（点N在点用的右侧），请探究在轴上是否存在点T,使得以8、N、T三点为顶点的三角形与 A B C相似，若存在，请 求 出 点7的坐标；若不存在，请说明理由.（4）若将抛物线y=-%2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直 线8
35、 C最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y=-炉+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.【分析】(1)把点尸(0,4)代入y=-三+c,即可求得答案；(2)根据题意平移后的新抛物线y=-(%+1)2+4,平移后的抛物线顶点为 Q(-1，4),再求出 C(0,3),B (-3,0),A (1,0),如图1,连接B Q,CQ,P Q,可推出：是等腰直角三角形,3。是等腰直角三角形，即可证得 B C Q是直角三角形.(3)设丁(羽0),且 0,则 3 T=%+3,利用待定系数法得出直线 B C 的解析式为y=X+3,联立方程组求得：M(-上乎_,昱普),N (也 I,史叵)，进而可得B N=
36、5&而,再分两种情况：2 2 2当L N B T s A C B A 时,则 且 L=哒，当时，则 至1=BN BC BN约，分别建立方程求解即可得出答案.BA(4)由于直线A B 与 y轴的夹角为4 5 ,当抛物线沿着垂直直线AB的方向平移到只有1 个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P(3 4-Z),可得 y=-Cx-t)2+4 -t,联立得 了 2+(i -2/)%+产-1=0,运用根的判别式即可求得答案.【解答】解：(1).抛物线y=-乎+c 与y 轴交于点P (0,4),抛物线的解析式为y=-炉+生(2)B C Q是直角三角形.理由如下：将抛
37、物线)=-如+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y=-(%+1)2+4,.平移后的抛物线顶点为Q(-1,4),令 =0,得 y=-1+4=3,：.C(0,3),令)=0,得-(x+1)2+4=0,解得：x,X2=-3,：.B(-3,0),A (1,0),如图1,连接8。CQ,PQ,：P(0,4),Q(-1,4),.Q D 轴，PQ=,V C P=4 -3=1,：.PQ=CP,N C P Q=9 0 ,.C P Q是等腰直角三角形，：.ZPCQ=45,V OB=OC=3,NBOC=90,2 BOC是等腰直角三角形，.N B C O=4 5 ,A Z B C Q=1 8 0 -4 5 -4 5 =
38、9 0 ,.8 C Q是直角三角形.（3）在轴上存在点T,使得以8、N、7 三点为顶点的三角形与A A B C相似.A B C 是锐角三角形，N A 8 C=4 5 ,.以8、N、7三点为顶点的三角形与 A B C 相似，必须N N B T=Z A B C=45 ，即点7 在y 轴的右侧，设 T G,0）,且 0,则 8 T=x+3,:B(-3,0),A (1,0),C(0,3),：.ZABC=45,4 8=4,BC=3五,设直线B C的解析式为ykx+b,则-3 k+b=0,l b=3解得：卜=1,l b=3直线B C的解析式为y=x+3,由 尸2y=-x +4解得:X厂-1+/5x2=25
39、-V5了2 J-2-：.M(-互 叵 显近_),N(ZL 至运),2 2 2 2B N=、疸 X 7 2 =.5 1+7 1 1,2 2当aN3 T s C 5 A 时，则好=毁,B N B C x+3 4-5&W I U2解得：%=上 迅，3：.T（1+2人,0）；3当 N 3 T s/4 5 c时，则 好=此，B N B A x+3 3 7 2*5 7 2 7 1 02解 得:尸3+3一,_ 4：.T（3+3旄,0）；4_综上所述，点T的坐标7 （土 岖，0）或（空 渔，0）.3 4（4）抛物线y=-R+4的顶点为。（0,4）,直线B C的解析式为y=%+3,直线A8与y轴的夹角为4 5
40、,当抛物线沿着垂直直线48的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等,设平移后的抛物线的顶点为P （3 4-/）,则平移后的抛物线为y=-（%-t）2+4 -t,由-(%-力 2+4 -t=x+3,整理得：炉+（1-2，）x+t2+t-1 0 平移后的抛物线与直线8C最多只有一个公共点,(1-2?)2-4 (P+L 1)=0,解得：尸且8平移后的抛物线的顶点为P（3 2 7）,平移的最短距离为亚1.8 88【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的平移变换，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式的应用等，熟练掌握二次函数的图象及性质、数形结合、分类讨论是解题的关键.