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1、2.1.1 指数与指数鬲的运算（二）（一）教学目标1 .知识与技能.（1）理解分数指数幕的概念；一（2）掌握分数指数 幕和根式之间的互化；_（3）掌握分数指数幕的运算性质；一（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.一2 .过程与方法一通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幕的概念，和指数幕的性质.一3 .情感、态度与价值观一（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；一（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；一（3）让学生体验数学的简洁美和统一美、（-）教学重点、难 点 一1 .教学重点：（1）分数指数幕的理解；一（2）掌握并运用分数指数幕的运算性质；一2
2、.教学难点：分数指数 幕概念的理解一（三）教学方法一发现教学法一1 .经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律、2.在学生掌握了有理指数幕的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到般的研究方法、（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出回顾初中时的整数指数格及运算性质.一优=4 Q Q 4 =1 （4 W 0）老师提问，一学生回答.学习新知前的问题0 无意义an(0)(am)=amn(an)m=amn,(ab)n=anbn什么叫实数？一有理数，无理数统称实数.一简 单 复习，不仅能唤起学生 的 记忆，
3、而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：6 7 0.2y=a2=a5 _ J(a&丫 =Q =Q，(3)ja2=W dy=a3=a4 _妤=汨7=/=/小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，(分数指数募形式).根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幕的形式.如：.=cP=(a 0)_yjb=b=(b0)yfc=c=(c 0)即：a=q (a 0,N,1)老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，(分数指数幕形式)”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是
4、否也可以写成分数指数幕的形式从而推广到正数的分数指数 幕的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成为此，我们规定正数的分数指数幕的意义为：一学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论.教师巡视指导.让 学生经历从概念a-O,m,n E N*)正数的定负分数指数幕的意义与负整数幕的意义相同.-1 L 1即：a =0,加，e N*)a规定：0的正分数指数疑等于0,0的负分数指数幕无意义.说明：规定好分数指数幕后，根式与分数指数基是可以互换的，分数指数基只是根式的一种新的写法，而不是 2 1 1am-am-am am(a 0)“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是
5、培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数暴的再发 现 过程，有利于培养学生的创造能力.深化概念由于整数指数幕，分数指数幕都有意义，因此，有理数指数幕是有意义的，整数指数基的运算性质，可以推广到有理数指数塞,即：(1)ar-a=a+a 0,r,se Q)(2)(a，=as(a 0,r,5 e Q)(3)(ab)r=arbr(Q 0,b 0,re Q)若a0,P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 5 7-P 5 8-让学生讨论、研究，教师引导.通过本环节 的 教学，进一步体会上一环节的设 计 意图.即：行 的不足近似值，从由小于后的方 向 逼 近
6、行，垃的过剩近似值从大于、历的方向逼近近.所以，当行不足近似值从小于行的方向逼近时，5&的近似值从小于5 0 的方向逼近5垃.当J 5 的过剩似值从大于J 5 的方向逼近 正 时，5行的近似值从大于5拉的方向逼近5行，(如课本图所示)所以，5女是一个确定的实数.一般来说，无理数指数毒ap(a 0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数慕的性质同样适用于无理数指数累.无理指数幕的意义，是用有理指数暴的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：2。的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幕，无理数指数累有意义，且它们运算性质相同，实数指数 幕有意义，也有相同的运算性质，即：d =
7、/+s(a O jw R,s e R)(ar)s=ars(a 0,r G R,S G R)(a*b)r=arb(a 0,r G 7?)应用例题学生思考，口答，教师板演、通过举例例 136,例 2）求值点评.这二个例2 -1 1 6 -8 3；2 5 2；（-）-5；喻）4.例 2 （P5 6,例 3）用分数指数幕的形式表或下列各式（。0）例 1 解：2 2 8?=Q33 x-=2 3=22=4 ；题 的 解答，巩固所学的分数指数塞a3.a；a2 ；y f/a.2 5 W=(5 2 尸与根式的分析：先把根式化为分数指数累，再由运算性质来运算.3+，1解：.y a=a3=a 5=*；,2 2+2
8、8Q2 4Q2=Q2=Q 3=a3,=5 叫)=5；5(1)-5=(2-)-5=2(-5)=3 2 ；互化，以及分数指数幕的求值，提高运 算 能y Ja=J a =(排)2=cP.鼾 二(|)4 吟=(2 尸.2 7力.课堂练习：P 5 9 练 习 第 1,2,3,4题补充练习：（2 +l）4.（j _）2 +l1.计算：-?一 的 结 果；4 8-23 8 ,例 2分析：先把根式化为分数指数暴，再由运算性质来运算.解：ay.a=t z3-a22.若%=3,QO=384,1 73H =a 2=a2；求生 （%）；的值.%a2=a2-cP2+2 =a 3 =Q3；y/a=4 2 2=(ay =a
9、?.练习答案：0 4 +41.解：原式 2 622-2-6=2 =5 1 2；12.解:原 式=3X(128)”3=3X2T.归纳1.分数指数是根式的另一种写法.先让学生独 自 回 忆，然后师生巩固总结2.无理数指数幕表示-个确定的实数.共同总结.本节学习3.掌握好分数指数幕的运算性质，其成 果，使与整数指数舞的运算性质是一致的.学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力.课后作 业：2.1第 二 课 时 习 案学生独立完成巩固新知作业提升能力备选例题例1计算(1)(2 1)+2-2-(2 2-(0.0 1)5.1 2 _ 2(1)(0.0 0 0 1)-4 +(2 7卢-()-2 +(1)-5【
10、解 析】原 式=(0 1 4)-4 +6 3)3 _ (3 2 1 2 +吟)2。=o,l,+3=1 0 +9-+2 7 =.7 7【小结】一般地，进行指数暴运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2化简下列各式：(1 )白 鼻+卿cT，+a ;4(2)f (2 0 x始.【解析】31 1 _ 2 I”3/_ 1 _ 1(1 )原 式=储2 a 2 3 a 3 2a 2=+九-22 7=Q3+(5)5 +(q _ 2)32 7 _2 2_7 _2=。3 3 =。3 6 3_ 1+2 a 2 3 =。6 ；(2)原式二j”；?工十川
11、一：叭蓝4/)3+2 a3Z)3+a3 a3i 1 I 2 I I 2 i73(t 73-2b3)(a3+2a3b3+4 b3)a3：=-2 -1-1-2-1-a 4力3 +2。3方3 +4 。3 一2方31 1!=3 .。3 .3 =Q【小结】(1)指数幕的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数暴化为正指数事的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幕的形式表示，便于用指数运算性质.(2)根据一般先转化成分数指数幕，然后再利用有理指数幕的运算性质进行运算.在(3)利用分数指数幕进行根式计算时，结果可化为根式形
12、式或保留分数指数幕的形式,将根式化为分数指数 幕的过程中,性质准确求解.如7(-2)6=(-2)6 2 =(2 6)5 =8一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算但不能既有根式又有分数指数基.2.1.1 指数与指数塞的运算（三）.O.m.n e N*)师：总结完善知，为引m 新课作入a n=f （Q0,加,N ）an2.分数指数基的运算性质.铺垫.a-as a+s(a 0,r e R,se R)(a0/e R,s e R)(a *b)r=a1 bf(a 0,r G R)应例1.（P5 6,例4）计算下列各式（式学生思考，口答，教师板演、点用中字母都是正数）一评.-(1)例1 （先由
13、学生观察以上两个通举2 1 1 1 1 5(2 362)(-6 a2i3)-(-3 a666)式子的特征，然后分析、提问、解答）过这二例1 3分析：四则运算的顺序是先算乘个例题(2)(m 4 n 8)8方，再算乘除，最后算加减，有括号的 解的先算括号的.整数幕的运算性质答，巩及运算规律扩充到分数指数暴后，其固所学运算顺序仍符合我们以前的四则运的分数算顺序.指数嘉我 们 看 到（1）小题是单项式的与根式乘除运算；（2）小题是乘方形式的运的 互算，它们应让如何计算呢？化，以其实，第（1）小题是单项式的及分数乘除法，可以用单项式的运算顺序进指数幕行.的 求第（2）小题是乘方运算，可先值，提按积的乘方
14、计算，再按幕的乘方进行高运算计算.能力.解：（1）原式例 2.(P57例 5)计算下列各式(1)(V 25-A/125)-/252(2),L (0)2 1 1 1 1 5=2 x(6)+(官+3 7=4 而=4a1 3(2)原式=(加)8(户)82 -3=m n例 2分析：在 第(1)小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数 幕再计算，这样就简便多了，同样，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幕后再由运算法则计算.解：(1)原式=1 I 1(2 5?1 2 5 5)+2 5，2 3 1=(5?-5 5)+5 52_ _ 3 _ 2=5 r2 -5 2-i=5 7
15、-5=V 5-5(2)原式a2 2-=“23存 於=#=聒.小结:运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，乂含有负指数.练习答案：课堂练习：化简：2 _ 9 _(1)(囱尸-v io o2；(2)13 +2后-，3-2及；(3)小曲八._2 _2解 原式=3-3 x l()3 x l(n2 11=3x l O；(2)原式=1+行(1 +行)=2；1 1 (3)原式=(3 1)户户3 J_ 3=(Q5)=Q2/强化解题技巧.归1.熟练掌握有理指数幕的运算法先让学生回顾反思,然后师生共巩纳贝IJ,化简的基础.同总结，完善.固本节总2.含有根式的式子化简，
16、一般要先学习成结把根式转化为分数指数暴后再计果，形算.成知识体系.课作业：2.1第三课时 习案学生独立完成巩固新后知作提升能业力备选例题!_1例1已知+j5 =3 ,求下列各式的值.4 +心/+-2；3 _3臣一。5【分析】从已知条件中解出。的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法1从 整 体 寻 求 结 果 与 条 件=3的联系，进而整体代入求值.【解析】(1)将/+/5=3两边平方，得Q +Q-+2 =9.即 Q+G=7.(2)将上式平方，有/+/2+2 =4 9.a2+a2=4 7.3 _ 3 1 I(3)由 于/-a 2=(标)3 _(j2)3-3 3=+。+1=8.【小结】
17、对 条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换 或 求值后代换”两种方法求值.1”,一 八珏 X-l X +1 X-X3例2化简 j +-j-./+/+1 x+l -1【分析】根据本题的特点，须注意到!1 2 1x-1=(x )3-I3=(X，-1).(+/+1),X +1 =(x )3 +13=+1)(%+1),2 1 1 i 1 1x-x=x3(x H2-11=/(3 -l)(x +1),应对原式进行因式分解.【解析】原式!1 1 21（x3）3-l3（x3）3+l3 炉工3 _炉=-1 I T T（X*）2 +Q+1 x?+1 X -1_ 2 I=（户-l）3+x3+l
18、）2 I（%7）+/+1!1 1（卢+1）（卢_?+1）7+1x j J-1）（X+1）T3 1!1 1 2 I=/-l +x /+1一 工3-工5_=-x3.【小结】解这类题，要注意运用下列公式:2 y x。万+a1-b-=a-b,八 71 _ 、/土 后72 1 I=Q2Q*炉+b,/j 1 1 /2 1 1 2 拉 干 方+加 =a b.2.1.1指数与指数鬲的运算(一)(-)教学目标.1.知识与技能一(1)理解次方根与根式的概念；一(2)正确运用根式运算性质化简、求值；一(3)了解分类讨论思想在解题中的应用、2 .过程与方法一通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出次方根的
19、概念，进而学习根式的性质.一3.情 感、态度与价值观_（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；一（2）培养学生认识、接受新事物的能力、（-）教学重点、难点一1 .教学重点：（1）根式概念的理解；.（2）掌握并运用根式的运算性质、2 .教学难点：根式概念的理解._（三）教学方法一本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与次方根的关系，并强调说明根式是次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用
20、类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法、（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题先让我们一起来看两个问题（见 教 材p5 2-5 3）在问题2中，我们已经知道2 2 2是正整数指数塞，它们的值分别为2 4 8.6000.10000.100000那么，（,菽,（今西,（；）词的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识、老师提出问题，一学生思考回答.由 实际 问 题 引入，激发学生 的 学 习积极性.复习引入什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？_归纳：在初中的时候我们已经知道：若x2=
21、a,则x叫做a的平方根.同理，若x =a ,则x叫做a的立方根 一根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为 2,负数没有平方根，一个数的立方根只有一 个，如一8的立方根为一2；零的平方根、立方根均为零.一师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的定义.学 习新知前的简 单 复习，不仅能唤起学生 的 记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.形成概念类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念、次方根：一般地，若x=a,则x叫做。的次方根（t h r o o t）,其中 1,且G N*,当为偶数时，正数的次方根中，正数 用 标 表 示，如果是负数，用-标 表
22、示、当为奇数时，。的次方根用符号底表示，一布叫做根式.其中称为根指数，a为被开方数、老师点拨指导，由学生观察、归纳、概括出次方根的概念.由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括 的 能力.深化概念类比平方根、立方根，猜想：当 为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当为奇数时呢？让学生对为奇偶数进行充分讨论.通过探究得到：为奇数，=a；通过分为奇数和偶数两种情。为正数:0一4,Q 0零 的 次 方 根 为 零，记 为 五=0举 例：16的次方根为2,-27的5次 方 根 为 不 等 等，而一27的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一 定 先 考虑被开方数到底是正数还是负数，还要
23、分 清n为奇数和偶数两种情况.根据次方根的意义，可 得：举出实例,加深理解.学生掌握知识的准确 性、全面 性，同时培养学生的分类讨论的能力(y/a)n=a(布)=a肯定成立，行 表 示a”的次方 根，等 式 疗 =a一 定 成 立 吗？如果不一定成 立，那 么 等 于 什 么？让学生注意讨论，为奇偶数和。的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：为奇数，折=。n为偶数，07a=a=1一凡 a j(a-b)2思考：标=(后)”是否成立，举例说明.课堂练习：1.求出下列各式的值；(2)/(3-3)3(=一3；(4)“a-b)2=a-b课堂练习1.解：一7；(2)3。3 ；(3)3a-33a-3 a
24、 13-3 a a .3.解：原式=-8+1+V J -2=-9 +V 3 .通过例题的解答，进一步理解根式 的 概念、性质.归纳总结1.根式的概念：若 1且eN*,则渥 而n次方根.n为奇 数 时,x=标，为偶数时，x=+y a；先让学生独自回忆,然后师生共同总结.通过小结使学生加强对知识的记忆，加深对数学思2.掌握两个公式：为奇 数 时，（后），为偶 数 时 而=|a|=f 一。（a 1,且 e N*）（3）2 x-y）2n（1,且 e N*）【解析】（1）（V a）3=a.（2）当为奇数时，=3万;当为偶数时，0（3 万）=%一3.2 x-y）2n x-y ,当时，2y l（x-y）2=
25、x-y；当x 10 a lOVQ V I深化函数的定义域为R的 性 质.一质.一非奇非偶函数师：帮助学生完善、函数的值域为R a=1增函数减函数x 0,ax lx 0,axlx 0,ax x i问题：指数函数y =（Q 0且）,当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.师：画出几个提出问题、生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数歹=炉明确底数是确定指数函数的（0且“力），当底数越大要素.时，在第象限的函数图象越高、（底大图高）应用例1求下列函数的定义域、值域例1分析:此题要利用指数掌 握举例1(1)y =0产(2)夕=3同函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.解：（1）由 x-l
26、w O 得指数函数的应用.所以函数定义域为课堂练习（PM2）x I X W 1 .由-w 0 得 y w 1,x-1所以函数值域为y y o 且丁 力 1).(2)由 5%1 2 0得x N 5例 2(P 6 2例 7)比较下列各题中的个值的大小(1)1.72-5 与 1.73(2)0.8 5与 0.8 一 2(3)1.70,3 与 0.93-所以函数定义域为由 J 5 x 1 2 0 得 y N l,所以函数值域为yyi.例 2 解 法 1：用数形结合的方法，如 第（1）小题，用图形 计 算 器 或 计 算 机 画 出y =1.7 的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5,3 的点,显然，图象
27、上横坐标就为3的点在横坐 标 为 2.5 的点的上方，所以1.72 5 1.73.解 法 2：用计算器直接计算：1.7 3 3.7 7134.9 1所以，1.72-5 =1.7 在R上是增函数，且 2.5 3,所以，1.72 5 =0.89,c=L28,按大小顺序排列a,h,C i2.比较凉与G的 大 小(。0且a/).例3 0 3例8)截 止 到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过2 0年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？可以用解法1,解法2解决，但解法3不 适 合.由于1.73=0.9浦不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找
28、到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.73与0.9浦的大小.练习答案1.1,208 0,807 0.8-9；2.当。1时，则a/当0 a cP-.分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿经 过1年 人口约为 13(1+1%)亿经过2年 人口约为 13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%?亿经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%彳亿经过X年 人口约为 13(1+1%)亿经过20年 人口约为 13(1+1%产亿解：设今后人口年平均增长率为1%,经过X年后，我国人口数为y 亿，则y=13(1+1%)*当 x=
29、20 时，y=13(1+1%)20 S160Z.)答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N,平均增长率为P,则对 于 经 过 时 间 X 后 总 量y=N(1+p),像y=NQ+p)x，a 0 且)的函数称为指数型函数.归纳总结本节课研究了指数函数性质及其应用，关键是要记住a 1 或时y 的图象，在此基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用，形如y -kax(a 0 且4 声 1).学生先自回顾反思,教师点评完善.形 成 知识体系.课后作业作业：2.1 第五课时 习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例 1 求下列函数的定义域与值域(1)y =2i；尸
30、钞；(3)y =4、+2、M+1；【分析】由于指数函数夕且a w l)的定义域是K ,所 以 函 数 歹=。”、)(。0且“R 1)与函数/(%)的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.【解析】(1)令x 4 w 0,得x w 4定义域为 x I X 火,且X H 4 .1 ,/-w 0,.-.2*7 丰 1,x-41.y =2口的值域为 丁|y 0,且y工1 .(2)定义域为x e R.v|x|0,7=(|尸=(|)叱(|)=1故歹=(|)闵的值域为 y|y N l .(3)定义域为x e 7?.y =4x+2x+,+l=(2x)2+2-2x+l=(2+l)2,且20,.,.y l.故歹=
31、4、+2卅+1的值域为 y|yl .【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.例2用函数单调性定义证明。1时，)，=/是增函数.【解析】设尤1，X2 R且X|0,力G R),则 有 力-axQ,：.ax 0,a1 1,A aXi-ax 0,即故y =（a l）为 R上的增函数，同理可证OVq V l 时，y =，是 R上的减函数.2.1.2指数函数及其性质（三）一 1 时，判断函数例 1掌握指数-尸 是 奇 函 数.师：你觉得应该如何去判断一个函形式函数举例ax-1数的奇偶性？（生口答，师生共同归纳总结）方法引导：判断一个函数奇
32、偶性的一般方法和步骤是：（1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.（3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论/（一X）和f（X）之间的关系.若/（-x）=f（x）,则函数/（X）是定义域上的偶函数；若/（一X）=/（X）,则函数f（X）是定义域上的奇函数；若/（一X）守（X）且奇偶性的判断.例 2求 函 数 尸（1）的单调2区间，并证明之、f（X）-f（X）,则函数/（X）在定义域上既是奇函数又是偶函数.师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显
33、示规范的解答过程，规范学生的解题）证明：由1 邦，得 X 翔，故函数定义域为 X 冲 0 ,易判断其定义域关于原点对称.又/（一X）=+1 =（+M=1 +。a-x-（a-x-i）ax -ax=f（%），（-x）=-f（x）.函 数 尸 是 奇 函 数.ax例 2师:证明函数单调性的方法是什么？（生口答，师生共同归纳总结）方法引导：（1）在区间。上任取勺 如（2）作差判断（X|）与/（乃）的大小：化成因式的乘积，从Xi 必出发去判断.（3）下结论：如果/（%!）f（X2），则函数/（X）在区间。上是增函数；如 果/（不）/（X 2）,则函数/（X）在区间。上是掌握指数形式函数单调性的判断.减函
34、数.解：在R上任取X I、必，且X 1 X 2,y （J j则比=-.=（-）y （1）阳2-2阳 2xi2-x2+2x2+2xl _/J _ （x2-xi ）（X2+X|-2）2 .V X!0.当X、历 右（-0 0,1 时，修+必一2 V o.这时,（应一修）（必+川2）1.必 *y i y 9函 数 在（-8,I 上单调递增.当 X 、必 1，+8）时，X 1+X 2-20,这 时（通一修）（双+可2）0,即 也 1.必：.y2=出对任意的1毛 工2，有i 2，课堂练习1.求函数 尸3T,2 X+3的单调区间和值域.又是减函数.%,丁=(;)在 1,+8)是减函数对任意的王%2 2,又)
35、=(;)是减函数必 0,函 数 月(x)的值域为(0,8 1 .2.分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法(1)证明:设阳,2 G R,且 再%2则/(须)-/()2 2=(a-)(a-)2+1 2、+12_ _ _ _ _ 2 _ 2(2-2)一2 +1 2(2+1)(2+1)由于指数函数y=2在R上是增函数，且 Xj X2,所以 2X 2X2 即 2x,-2X2 0 得2+1 0,2X1+1 0所 以/(x,)-/(x2)0 即/(x,)0且a H 1,讨论/(%)=-3-的单调性.【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单
36、调性题，3 17 3 3指 数 一 一+3丫 +2=-(8-3)2+1 1,当 时 是 减 函 数，时是增函数,2 4 2 2而/(x)的单调性乂与0 a 1和。1两种范围有关，应分类讨论.【解析】设“=*+3 x +2(X4)2+T3则当XN时，是减函数,23当XW时，是增函数，2又当时，y=4”是增函数,当0。1时，原函数/（x）=q3+3/2在4,+8）上是减函数，在（8,上是增函数.当0 0,即 4 y 2 4 2 0,A y2l,又：0,：.y l二值域为 歹|歹2 1 .2.1.2指数函数及其性质（一）一（-）教学目 标 一1 .知识与技能一了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数
37、的概念，掌握指数函数的图象.一2 .过程与方法一能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征.一3.情 感、态度与价值观一在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识.（-）教学重 点、难点一1 .教学重点：指 数 函 数 的 概 念 和 图 象._2 .教学难点：指数函数的概念和图象.一（三）教学方法一采用观察、分 析、归 纳、抽 象、概 括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒 体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性.一（四）教学过程教学一环节教学内容师生互动设计意图1.在本章
38、的开头，问 题（1）中时间x与GDP值中的 y =1.0 7 3（x e x W 2 0）与 问 题（2）中时间t和C T 4含 量P的 对 应 关 系由实际问题引入，不仅能激发复习一1 J-P二 ）两 了，.学生思考回答函数的特征.学生的学习兴趣，而且引入请问这两个函数有什么共同特征.一2.这两个函数有什么共同特征.1 _ L _ _ 1把P=（;解。变 成 尸=仁 产0 ，从而得出这2 2两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数,即都可以用歹=优（。0且。声1来 表 示）.可以培养学生解决实际问 题 的 能力.形 成指数函数的定义一由 特概念一一般 地，函 数y =a*（a 0且。声1）
39、叫做指数函数，其 中x是自变量，函数的定义域为R.回 答：在 下 列 的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？一（1）尸 2*2 _学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导，一学生探讨分析，教师点拨指导.殊到一般，培养学生的观察、归纳、概 括 的 能力.一理 解概 念 一(2)广(-2)、,(3)y =-2X(4)y -7 ix _(5)y =x2.(6)y=4 x2(7)y=.(8)y =a-l)r(1,且 Q W2).小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为。0,x是任意一个实数时，优 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.如 A 当x 0时,优等于0若 a=0,当 0时，无
40、 意 义若。0,且4*1)的形式才能称为指数函数，a为 常 数，一1如：y=2-yfy=2 y =xy =3v l 5,y =3 +1等等,不符合.y =0且Q w 1)的 形 式，所 以 不 是 指 数 函 数.使 学生进一步理解指数函数的概念.深化概念我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究.下面我们通过先来研究歹=/（。1）的图象，用计算机完成 以 下 表 格，并且用计算机画出函数丁=2、的图象学生列表计算，描 点、作图.教师动画演示.学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评.通过歹U表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋 势，通过描点，作图培养学生的
41、动手实践能力.不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程.培 养 学生的归纳概括能力.X-3.00-2.50-2.00-1.50卜=2,1耳4-1.000.000.501.001.502.00_2124再研究先来研究y=的图象,用 计算机完成以卜表格并绘出函数y=（；）、的图象.X-2.5(-2.00-1.5C-1.0C0.00(夕4_211.001.502.002.5024从图中我们看出丁 =2 与y=的图象有什么关系？通过图象看出丁 =2，与丁=（步 的 图 象 关 于7轴 对 称，实质是=2、上的点（-x j）与产 上 点（Wy）关于y轴对称.讨论：丁 =2 与
42、 =（；厂的图象关于歹轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？利用电脑软件画出夕=5 ,y=3 /=（；）、）=（、的函数图象.一1问题：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看J (7 1)与 歹=。一”两函数图象的特征关于V轴对称.应用举例例1 ：(P 6 6例6)已知指数函数/(x)=ax(a 0且a,1)的 图 象 过 点(3,i t ),求/(0),1),)(-3)的值.学生思考、解答、交流，教师巡视，注意个别指导，发现带有普遍性的问题，应及时提到全体学生面前供大家讨论.例1分析：要求/(0)J(l)J(-3)的值,只 需 求 出a,得 出f(x)=(再 把0
43、,1,3分别代入X,即可求得/(0),/(3).解：将 点(3,兀)，代入/(x)=ax得到/(3)=万，即 a3=7 T,解 得：a =%导，于 是/()=万3 ,所以/(0)=%=1,/(0)=必=我,7(-3)=7 1巩固所学知识，培养学生的数形结合思想和创新能力.归纳总结1、理解指数函数y=a (a 0),注 意。1与0 a 1两 种 情 况学生先自回顾反思，教师点评完善.通过师生 的 合 作总结，使学生 对 本 节1尸峥(0.1)y=i(b.i)-课 所 学 知识 的 结 构有 一 个 明晰的认识，0 1 x o2、解题利用指数函数的图象，可不地 分 析 题 目，培养数型结合与分类讨
44、论想.一利于清晰:的数学思形 成 知 识体系.课后作业作业：2.1第四课时 习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1指出下列函数哪些是指数函数:y=4；(2)y x(3)y -4 x；(4)y -(-4)v；(5)y -7 ix (6)y -4x2；(7)y =xx；(8)y=(2a-l)(a A ,且 a H l).【分析】根据指数函数定义进行判断.【解 析】(1)、(5)、(8)为指数函数；(2)是 基 函 数(后 面2.3节中将会学习)；(3)是1与 指 数 函 数4x的乘积；(4)底 数4 0,.不是指数函数；(6)指数不是自变量X,而 底 数 是x的函数：(7)底 数x不是常数.
45、它们都不符合指数函数的定义.【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.例2用计算机作出的图像，并 在 同 坐 标 系 下 作 出 下 列 函 数 的 图 象，并指出它们与指数 函 数 尸2”的图象的关系,产 与 尸 2、+2.出尸2,-1与 尸 22.解：作出图像，显示出函数数据表X-3-2-1012320.1250.250.512482川0.250.512481621+20.512481632比较函数尸2 山、尸 2计 2与 尸 2 的关系：将指数函数尸2 的图象向左平行移动1 个单位长度，就得到函数=2田的图象，将指数函数夕=2、的图象向左平行移动2 个单位长度,就得到函数产2 2
46、 的图象作出图像，显示出函数数据表X-3-2-10123T0.1250.250.512482X-0.6250.1250.250.51242 520.31250.6250.1250.250.512比较函数尸2,T、产 2、-2与 尸 2 的关系：将指数函数产2 的图象向右平行移动1 个单位长度，就得到函数尸2、T的图象，将指数函数产2”的图象向右平行移动2 个单位长度,就得到函数尸2、-2的图象小结：当机0时，将指数函数尸2、的图象向右平行移动机个单位长度，就得到函数 尸 2 f 的图象；当加0时，将指数函数尸2 的图象向左平行移动加个单位长度，就得到函数了=2的图象2.2.1对数与对数运算（二
47、）_（-）教学目标.1.知识与技能：理解对数的运算性质.一2.过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识.一3.情感、态态与价值观_通 过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊一一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神.一（-）教学重点、难 点 一1.教学重点：对数运算性质及其推导过程2.教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明（三）教学方法.针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法.一（四）教学过
48、程.教学环节教学内容师生互动设计意图复习复习：对数的定义及对数恒等式一学生口答，教师板书.对数的概念和对数恒等引入loga N=b ah=N(a 0,且6T/1,N 0),.指数的运算性质.am an=am+n;a,n+an=a,nn式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备.提出问题探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数叮对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道那加+如何表示，能用对数式运算吗？.如：一am-an=am+n,设=am,N =an.于是MN=a+,由对数的定义得到一M=a
49、=m=logu M,N=a=n=logu NMN=a+=log(,MN.log“M+log“N=log。MV(放出若即：同底对数相加，底数不变，真数相乘 一提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？一学生探究，教师启发引导.一概念（让学生探究，讨论）_如果。0 且M 0,N 0,那让学生多角度思考，探究，教让学生明确由“归纳一猜形成么：一师点拨.一想”得到的结(1)l o g.M N=l o g.M+l o g NM l o g“H =l o g /T o g“N(3)l o gf l Mn=nl o ga M (n e R)证明：一(1)令=，,N =a 则:=aman=a
50、m-nN,M.-.W-M =10 gf l 又由“=N =am -10 g q M.n=l o g”N即：.Ml o g”M-l o g a N =m -n=l o g.(3).Nn w 0时,令N=l o g a A/,则M-anbh=n l o g.M,贝=anN b Q =加:N=bB P l o ga=l o ga M -l o ga N当=0时，显然成立、让学生讨论、研究，教师引导.论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳 i 猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略.通过这一环节的教学，训练学