小学数学基本概念.pdf

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1、小学阶段数学基本知识和基本概念自然数用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6、7、8、9、1 0 叫做自然数。整数零和自然数叫做整数。（这里仅对小学范围内而言）小数先弄清什么是“十进分数”。分母是1 0n的（n为自然数）分数叫做“十进分数”。由于任何一个“十2_ 7进分数”都能写成小数的形式，例如：1 0 =0.7,/=0.0 7 等等，所以一般而言，小数是特殊形式的分数。但是不能说小数就是分数！混 小 数（带小数）小数的整数部分不为零的小数叫混小数，也叫带小数。纯小数小数的整数部分为零的小数，叫做纯小数。循环小数小数部分有规律地重复出现一个或几个数字，例如：0.3 3 3,1.2 4 7 0

2、 4 7 0 4 7 0 都是循环小数。纯循环小数与纯小数有实质性的区别，指循环节从十分位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。例如：0：,0-4 7 o混循环小数与纯循环小数有唯一区别：不是从十分位开始循环的循环小数，叫混循环小数。例如，1 2 4 7 0,1 1,0 0 6 0 8 0有限小数小数的小数部分只有有限个数字的小数（不全为零）叫做有限小数。无限小数小 数 的 小 数 部 分 有 无 数 个 数 字（不 包 含 全 为 零）的 小 数，叫 做 无 限 小 数。循 环 小 数 都 属 于 无 限 小 数 的范 围，但 不 是 仅 指 循 环 小 数 而 言。例 如，圆 周 率n也 是

3、无 限 小 数（就 现 阶 段 而 言，还 没 有 发 现 其 规 律 性）。分数表 示 把 一 个“单 位1”平 均 分 成 若 干 份，取 其 中 的 一 份 或 几 份 的 数，叫 做 分 数。（分 成 零 份 在 此 不 讨论）真分 数分 子 比 分 母 小 的 分 数 叫 真 分 数。假分 数分 子 比 分 母 大，或 者 分 子 等 于 分 母 的 分 数 叫 做 假 分 数。（分 母、分 子 为 零 在 此 不 讨 论）带分数一 个 整 数（零 除 外）和 一 个 真 分 数 组 合 在 一 起 的 数，叫 做 带 分 数。带 分 数 也 是 假 分 数 的 另 一 种 表 示

4、形式，相 互 之 间 可 以 互 化。0关 于 三（n表示自然数）是否是分数0是分数，但不能用分数的意义去解释它，它既不属于真分数，也不属于假分数，而是一个特殊分数。数与数字的区别数 字（也就是数码）：是用来记数的符号，通常用国际通用的阿拉伯数字0 9这十个数字。其他还有中国小写数字，大写数字，罗马数字等等。数是由数字和数位组成。零的意义零既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限。如温度等。零是个完全有确定意义的数。零是一个数。零是一个偶数。零是任何自然数的倍数。零有占位的作用。零不能作除数。零是中性数。罗马数字的记数方法罗马数字共有7个：I、V、X、L、C、D、分别表示（一），（五），（

5、+）,（五十），（一百），（五百），（一千）。记数方法有以下几种：1.相加，当某数字的右边相等或较小时，则表示相加。例如，XXX V则表示X+X+X+V=10+10+10+5=35 C V表示 100+5=105.2.相减，当某数字的右边比其它大时，则表示相减，例如，LD表示D-L=500-50=450。ICM表示M-C-1 =100（）一100-1=899.3.某数字的上面加上一横线，表示原数的一千倍。例如：D表示50万。兀 表 示（L-I）X 1000=49000。4.原则上是尽量少写数字。例如4,不能写成U I I,应 该 写 作IV。十进制十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法。特点

6、是相邻两个单位之间的进率都是十。10个较低的单位等于1个相邻的较高单位。常 说“满十进一”，这种 以“十”为基数的进位制，叫做十进制。二进制进率是“二”（满二进一），用“二进制”来表示数。特点是只需要两个数字：0和1,不足的是记数冗长，特别是较大的数。一般在电子计算机上使用。加法把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中两个数都叫“加数”，结果叫“和”。减法已知两个加数的和与其中 个加数，求另 个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。其 中“和”叫“被减数”，已知的加数叫“减数”，求出的另一个加数叫“差”。乘法求n个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。其中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数

7、”（相同的这个数也叫“被乘数”，另一个数也叫“乘数”），结果叫“积”。除法已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法是乘法的逆运算。其 中“积”叫 做“被除数”，已知的一个因数叫做“除数”，求出来的另一个因数叫做“商”.加、减法的相互关系加数=和一另一个加数减数=被减数一差被减数=差+减数利用这样的关系，求未知数X。例 1：X+37=54解：x=54-37x=17例 2：87-x=63解：x=87-63X=24例 3：x-87=63解：x=63+87x=150例1、例2、例3分别运用上面三个关系式，求出未知数X。乘、除法的相互关系因数=积+另一个因数除数=被除数十商被除

8、数=商*除数利用这样的关系，求未知数X。例 1：3x=63解：x=634-3X=2 1例 2：6 3-r x=2 1解：x =6 3+2 1x =3例 3：x+2 1=3解：x =3 X2 1x =6 3例1、例2、例3分别运用上面的三个关系式，求 出 未 知 数X。加、减法的运算定律加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变，叫做加法交换律。通常运用这种定律，进行简算。例 如:9 3 +1 8 7 7 =1 8 7 7+9 3=1 9 7 0 等。加法结合律：三个数相加，先把前二个数相加，再加第三个数，或者，先把后二个数相加，再加上第一个数，其和不变。这叫做加法结合律。例如：7 3+

9、6 9+3 1=7 3+(6 9+3 1)=7 3 +1 0 0=1 7 3在减法中，被减数、减数同时加上或者减去一个数，差不变。在减法中，被减数增加多少或者减少多少，减数不变，差随着增加或者减少多少。反之，减数增加多少或者减少多少,被减数不变，差随着减少或者增加多少。在减法中，被减数减去若干个减数，可以把这些减数先加，差不变。乘、除法运算定律乘法的交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变O这叫做乘法的交换律。通常运用这种定律进行简算。例如：3X137=137X3=411 等。乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数，或者，先把后两个数相乘，再和第一个数相乘,积不变。这

10、叫做乘法结合律。应用上述二个定律，可以使一些计算简便。例如：43X25X4=43X(25X4)=43X100=43004X7X9X25=(4X25)X(7X 9)=100X63=6300乘法分配律：两个数的和(或差)与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加(或相减)。这叫做乘法分配律。应用这个定律，可以使些计算简便。例如：102X54=(1 0 0+2)X54=100X54+2X54=5400+108=550898X54=(1 0 0-2)X54=100X54-2X54=5400-108=529273X64+64X27=64X(73+27)=64X100=6400103X8

11、8-88X3=88X(1 0 3-3)=88X100二 8800乘法的其他运算定律一个因数扩大若干倍，必须把另一个因数缩小相同的倍数，其积不变。例如：64X125二(644-8)X(125X8)=8X1000=8000除法的运算定律一-商不变性质两个数相除，被除数和除数同时扩大或者缩小相同的个数(零除外)，商的大小不变。例如：11725-?25=(11725X4)+(25X4)=46900-?100=469乘法的意义道乘法算式般有下面儿个意义：一、求几个相同加数的和是多少？二、求一个数的若干倍是多少？例如：2 7 X 1 3,其一求13个27的和是多少？其二求27的13倍是多少？（乘数比1大的

12、小数也是如此）327x 又如：27X0.3或者 10的意义：求27的十分之三是多少？除法的意义一道除法算式，一般有下面儿个意义：一、一个数里有几个除数。简 称“包含除法”。例如，2 4+3表示24里面包含有几个3。二、一个数是另一个数的多少倍。例如：24+3,表示24是3的多少倍？三、把一个数平均分成若干份，每份是多少？简称 等分除法”。例如：24+3,表示把24平均分成3份，每份是多少？24+工四、已知一个数的儿分之儿是多少，求这个数。例如：3,表示：已知一个数的三分之一是2 4,求这个数。整除与除尽整除：甲数除以乙数0八 乙为自然数），商是整数，余数为零。就说甲数能被乙数整除。除尽：甲数除

13、以乙数（乙数不为零），商是有限数。就说甲数能被乙数除尽。整除可以说是除尽，但除尽就不能说一定叫整除。例如：1+5=0.2,叫除尽，但不叫整除。因为商是小数。又如：10+3=31,既不叫整除，（因为余数不为零）也不叫除尽。约数和倍数当甲数能被乙数整除时，就说甲数是乙数的倍数，乙数是甲数的约数。这两个概念都是相对而存在。一个自然数，不存在是否倍数与约数。例如：“3是约数”，就是一个错误说法。只能是对3、6、9、等数而言，是其中某个数的约数。奇数与偶数凡是能被2整除的数叫偶数，反之，不能被2整除的数叫奇数。质 数（素数）与合数一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除了

14、1和它本身以外，还有其他的约数,这个数就叫合数。1是否质数由于1的约数只有1个，所 以1既不是质数，也不是合数。公约数几个数公有的约数，叫做公约数。它的个数是有限的，既有最大的，也有最小的。互质数两个数的公约数只有1,而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。质数与互质数这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。质因数把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这样的质数叫做质因数。分解质因数把个合数分解成儿个质数相同的形式，就叫做分解质因数。公倍数几个数公有的倍数，叫做公

15、倍数。它的个数是无限的，只有最小的，没有最大的。最大公约数儿个数公有的约数中，最大的个就叫做这儿个数的最大公约数。最小公倍数几个数公有的无限个倍数中，最小的一个，就叫做这几个数的最小公倍数。能被2整除的判断方法一个数能否被2整除，只要看这个数的末尾是否有0、2、4、6、8这五个数的其中一个即可。能被4整除的判断方法个数能否被4整除，只要看这个数的末尾两位数能否被4整除即可。能被8整除的判断方法一个数能否被8整除，只要看这个数的末尾三位数能否被8整除即可。能被5整除的判断方法一个数能否被5整除，只要看这个数的末尾是否有0、5这两个数的其中一个即可。能被3整除的判断方法一个数能否被3整除，只要看这

16、个数的各个数位上的数字和能否被3整除即可。（或是把每个数位上被3除的余数加起来，满了就弃，只看最后结果能否被3整除）例如：判断75394213这个数能否被3整除？方法如下进行：从最高位开始。第一个数被3除的余数为1,第二个数被3除的余数为2,合起来刚好是3,就不参与计算。第三、四两个数被3除的余数为零。第五、六两个数能被3整除，最后一个数能被3整除，但第7个数不能被3整除。所以，这个数肯定不能被3整除。能被9整除的判断方法它与判断3的方法相似，差别仅在于和一定能被9整除。能被7整除的判断方法一个数能否被7整除，只要把这个数的末尾（已去掉最后一个数）逐次减去末尾数字的2倍，最后的结果如果是零或者

17、是7,这个数一定能被7整除。例如：判断37569能否被7整除。判断方法：第一步：3756-9X2=3738；第二步：3738X2=357；第三步：35-7X2=21；第四步：2-1 X 2=。，这个数一定能被7整除。能被11整除的判断方法与判断7的方法相近。把个数的末尾（已去掉最后个数）逐次减去末尾数字，最后的结果如果是零，或者能被11整除，这个数一定能被11整除。例如：判断38467能否被11整除。判断方法：第一步：3846-7=3839；第二步：383-9=374：第三步：3 7-4=3 3；第四步：3-3=0,这个数一定能被11整除。能被13整除的判断方法与判断7的方法相近。把一个数的末

18、尾（已去掉最后一个数）逐次减去末尾数字的9倍，最后的结果是零或者能被13整除，这个数一定能被13整除。例如：判断258245能否被13整除。判断方法，第一步：25824-5X9=25779；第二步：2577-9X9=2496：第三步：2496X9=195：第四步：1 9-5 X 9,注意：由于不够减，改写成：5X9 19=26,26能被13整除，所以这个数一定能被13整除。能被25整除的判断方法它与4的判断方法相同。一个数能否被25整除，只要看这个数的末尾两位数能杳被25整除即可。（或者是把这个数扩大4倍，未尾是两个零也可以判断）能被125整除的判断方法它与8的判断方法相同。个数能否被125整

19、除，只要看这个数的末尾三位数能否被125整除即可。（或者是把这个数扩大8倍，末尾是三个零也可以判断）分数单位7 1取分子为I,分母不为零的真分数，就叫这个分数的分数单位。例如：8的分数单位是8,它有7个这样的分数单2之 1位。又 如5的分数单位是5，它有13个这样的分数单位（将带分数化成假分数）。分数化有限小数的判断方法一个分数能否化成有限小数，主要看分母（这里的分数一定是最简分数）是不是只有质因数“2或5”。掺杂任何其他7_ 17 17 17 5质因数，都不能化成有限小数，反之，就一定能化成有限小数。例如：25、75、75等都能化成有限小数。75、6、1335都不能化成有限小数。分数没有基本

20、单位对于不同的分数来说，由于各自的等分量不同，所以表示的大小就不相等。例如3 7：5和9这两个分数的单位分别是5和9 ,每一份的大小不一样。不同的分数，有不同的分数单位。没有一个共同的标准量，就没有基本单位。另外，分数是用于连续的量，而连续量在变化过程中是不可能分剩的。在计量时、这些单位是独立的，不可能有辅助单位。因此，也就没有基本单位。分数的基本性质一个分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的一个数（零除外），分数的大小不变，这叫分数的基本性质。分数的通分、约分4 3 3 1通分：把几个单位不同的分数，化成相同单位，且大小不变的分数，叫做通分。例如：7和5 ：8和4。通分4 =2 0 3 =2

21、1 3 =1 5 =2后，方535,而48 o3 _ 1 7_ _ 3 _ =1 _约分：把一个分数化成同它相等的，分子、分母较小的分数，叫做约分。例如：9 ；3 4。约分后，9 3.1 7 =!_ 与 一 5。循环小数化分数的方法把一个循环小数化成分数，分为以下几种：一、纯循环小数：循环节是几位数，其分母就由几个9决定，分子就是循环节。例如：.5.7,0.1-3=3-9=3=5-97-9=54二、混循环小数：小数部分的第个数字到循环节，所组成的数，减去不循环的数字所组成的数的差是分子。由循环节的位数确定几个9,不循环的数字确定0,“9”放在左边，“0”放在右边。例如：。屏1 3亮嘴21 51

22、 8.2 5 5 0 7 =1 82 5 5 0 7 -2 59 9 9 0 0连分数连分数是繁分数的特殊表现形式，其特征是阶梯型的。例如:5 就叫连分数。百分数表示个数是另一个数的百分之向的数，叫做百分数。百分数是特殊分数。特征是分母为1 0 0,采用符号“%”（叫做百分号）来表示。分子可以是整数，也可以是小数。百分率两个相同量的比的比值，用百分数和的形式表示时，这个比值叫做这两个量的百分率，也叫百分比。通常的“X X率”就是百分数。如“出勤率”等。成数、折扣成数、折扣是指那些分母为10的分数。如三成是十分之三，八折是十分之八。千分数表示一个数是另一个数的千分之几的数，叫做千分数。用 符号“

23、”来表示。准确数与近似数（近似值）与实际情况完全符合的数，叫做准确数。与实际情况接近而有一定误差的数，叫做近似数（或叫近似值）。量客观事物所具有的能区别程度异同的属性叫做量，也就是说，事物的多少、大小、长短、轻重、高低、快慢等属性都叫做量。连续量与不连续量连续量：不能用数数的方法来计量的量，叫做连续量。例如，长度、体积等。不连续量：只能用数数的方法来计量的叫做不连续量。例如，人数、树木的棵数等。计量要测定某种量，必须有 种同类量作标准，把一种量和另种作标准的同类量进行比较，叫做计量。名数与不名数量数与计量单位名称合起来叫做名数。例如：7米、18千克、9时25分等都叫名数。没有带单位名称的数，叫

24、做不名数。如2、4、6、8等，都叫不名数。单名数与复名数只含有 个计量单位名称的名数叫做单名数。例如7米、18千克等都叫做单名数。含有两个或者两个以上的同类计量单位名称的名数，叫做复名数。例如：2米3分米5厘米，8小时33分，8吨8千克等都叫复名数。高级单位与低级单位一般各种度量都由几个计量单位组成一个系统。计量单位较大的叫做高级单位，计量单位较小的叫做低级单位。高、低级单位是两个同类计量单位名数的数相比较才有，没有单个的高、低级单位的名数。度、量、衡度：测定物体的长度时，叫做度。量：测定物体的体积（或容量）叫做量。衡：测定物体的重量，叫做衡。公历年的平年、闰年平年：把公历年份除以4（这里不是

25、整百的公历年份）有余数时，就把这一年叫做平年，计365天。其中二月份有28天。闰年：把公历年份除以4（这里不是整百的公历年份）余数为零时，就把这一年叫做闰年，计366天。其中二月份有29天。如果年份是整百的，则除以4 0 0,再看余数。时刻与时间时刻表示一天内某一个特指的时候，例如上午8时30分开会，这 里 的“8时30分”这是时刻。时间表示两个是期或两个时刻的间隔。例如，做作业用去30分钟，这里 的“30分钟”就是时间。比和比值比：两个数相除，叫做两个数的比。一般地当数a除以b（bKO）就叫做a与b的比，记作a:b。也可以用分数形式表7示为8。比值：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比和比

26、值有本质的不同。如8既可看作是比，又可看作是比值。如 果 化 成5,则只能表示为比值。比的化简把一个比化为最好简整数比，叫做比的化简。一般情况下，化简以后的比，前后两项为互质数。比例表示两个比相等的式子叫做比例。正比例两种相关联的量，种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的积定。这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。几何学几何学是数学的三大基础部门之一。专门研究物体的形状、大小和相互的位置关系。也就是研究客观世界的形式及其数量关系。一般分为：解析几何学、微分几何学、非欧几何学、射影几何学、拓扑学、代数几何学等等。体用来度量一个物体的形状与大小，叫做几何体，简称

27、“体”。面面是几何学中的原始概念。通常指一个物体的表面或者是平面。面没有厚度。线线是儿何学中的原始概念。通常可以理解为：二个面相交的地方就是线。它既没有宽度，也没有厚度。点点是几何学中的原始概念。通常理解为：两条线相交的地方就是点。点只有位置。没有长度、宽度和厚度。直线一点在平面上或者空间中向一定的方向或相反方向运动所形成的轨迹，叫做直线。通过二点能够引伸一条直线，也只能引一条直线。直线是向两个方向无限延伸的。它没有端点，无法度量。射线从线段的一个端点朝一个方向无限延长，就得到一条射线。这个端点叫做射线的端点，也叫做原点。射线只有一个端点，它无法度量。线段把三个不在直线k的点用线段逐点连接起来

28、，所组成的图形叫做折线。其中每条边的线段叫做折线的边，其起点和终点叫做端点。曲线既不是直线又不是折线的线，叫做曲线。如圆就是条封闭曲线。垂线、垂足两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫垂足。斜线和斜足两条直线相交不成直角时，其中的一条直线叫做另一条直线的斜线，交点就业是斜足。平行线在同平面内的两条不相交的直线，叫做平行线。面积和地积面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。地积就是土地的面积。体积和容积（容量）体积：用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。容积：一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量。球的体积计算球的体积等于球的半

29、径的立方与”的 积 的。球的表面积计算球的表面积等于球的直径的平方与“的积。方程、解议程和方程的解方程：含有未知数的等式叫做方程。小学里一般称为简易方程。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。应用题根据生产和生活中的实际问题，用文字或语言叙述出些已知数量，已知数量与未知数量之间的相互关系，并需要出未知数量的题目，叫做应用题。应用题与式题式题可以直接计算，应用题只有已知量的问题，没有运算顺序。应用题一般分为两大类，简单应用题。在复合应用题中，典型应用题是它的一种特殊类型。数量关系数量关系是指应用题中条件与条件之间，条件与问题之间的关系。常

30、用的数量关系有：单价、数量和总价；速度、路程和时间；工作效率、工作量和工作时间等等。分析法分析法通常是指答应用题的一种思考方法。它是从“问题”入手，步步顺推，同因导果的思考方法。分析一综合法把“分析法”与“综合法”综合在一起进行思考，就叫做分析综合法。平均数问题有儿个不相同的数，要移多补少，使它们完全相等。求这样所得到的数，叫做平均数问题。股计算公式是：总数+总份数=平均数例：张明和李华的身高加起来是280厘米，张明和王强的身高加起来是276厘米，李华和王强的身高加起来是290座米。这三人的平均身高是多少厘米？算式是：(280+276+290)+2+3=846+2+3=423+3=141(厘米

31、)答：这三人的平均身高是141厘米。归一问题在解答过程中，必须先求出“单一量”（单位时间的工作量、物品的单价、单位时间所走的路程等），再根据其他条件求出结果。通常把这类应用题叫做如一问题。例：高年级同学在校内搞绿化植树活动。5个同学栽树20棵，照这样计算，12个同学可以栽树多少棵？20+5X12=4X12=48（棵）答：12个同学可以栽树48棵。较复杂的归一问题：通过两次或两次以上的运算才能求出单一量的归一问题，叫做较复杂的归一问题。例：用4台粉碎机7小时可以粉碎饲料8400千克。照这样的工作效率，再工作5小时，这4台粉碎机还可以粉碎多少千克饲料？8400+4+7X（5X4）=2100-=-7

32、X20=300X20=6000（千克）答：这4台粉碎机还可以粉碎6000千克饲料。行程问题在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫 做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。相遇问题两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。例1：AB两地相距2800千米，甲乙两车同时从AB两地相向开出。甲车每小时行45千米，乙车每小时行25千米。两车需要几小时相遇？2800-?（45+25）=2800+70=4 0 （小时）答

33、：两车需要4 0 小时相遇。相离问题两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。追及问题两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。一般有：追及的路程+速度差=追及时间速度差X追及时间=追及的路程追及的路程+追及时间=速度差例 1：甲、乙两人分别从东西两地同时向东面行。甲步行每小时行5 千米，乙骑车每小时行1 4 千米。4小时后，甲被乙追上。求东西两地的距离。当乙追上甲时，乙比甲多走

34、的路程正好是东、西两地的距离。(1 4-5)X 4=3 6 (千米)答：东西两地的距离为3 6 千米。例 2：分、时针重叠问题。当时针在3 点，分针在1 2 点时，分针第 诙与时针重叠时，是几点儿分？4_ 4_当把针的速度看作“1”时，时针的速度是分针速度的1 1 ,两者的速度差是1 1 1 ,两针相距1 5 格。4_1 5 4-(1-1 1)4_=1 5+1 14_=16”答：分针和时针第一次重叠时，是三点十六又十一分之四分钟。流水问题（行船问题）已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度0解答这类问题，一般要掌握卜面几个数量关系：船的静水速度+水速=顺水船速船的静水速度一水速=逆

35、水船速（顺水船速+逆水船速）+2=船的静水速度（顺水船速一逆水船速）+2=水速例：从甲地到乙地的水路有120千米，水的速度为每小时2.5千米。某船在静水中每小时行7.5千米。它在甲、乙两地之间往返一次需要多少小时？解：求船在甲、乙两地之间往返次共需多少小时，实际上就是求它顺水而下与逆水而上共需多少小时。7.5+2.5=10（千米）一顺水船速7.5-2.5=5（千米）一顺水船速120+10+120+5=36（小时）答：它在甲、乙两地之间往返一次需要3 6小时。过桥问题洌火车通过座桥或者是钻过个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时间等关系的类应用题。解答这类应用题，除了根据速度

36、、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。例1：一列火车全长180米，每秒行驶2 0米，要经过840米的隧道，全车通过需要多少秒？列式：（840+180）4-20=10204-20=51（秒）答：全车通过需要51秒。例2：一列火车通过605米长的桥要45秒，以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒。求这列火车的速度及车长。分析：行驶605米与行驶380米的时间差，是所行的路程的差，用去的时间，就是行驶两个不同路程的时间差。由此可以求出火车的速度。列式：（605-380）+（4 5-3 0）=225+15=15（米）用火车的速度乘以45秒（或30

37、秒）得到火车45秒所行的路程，比桥长要多。这个多的实际上就是车长（或是30秒所行的路程，比山洞要长，这个多出的就是车长）。列式：15X45-605=675-605=7 0（米）或：15X30-380=450-380=70（米）答：这列火车的速度是每秒行15米，车长是70米。和倍问题已知两个数量和及两者之间的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做和倍问题。一般关系式有：总数+（倍数+1）=较小的数较小的数X倍数=较大的数例：甲、乙两个学校，甲校和乙校的学生人数的和是240人，甲校人数是乙校人数的3倍。甲、乙两校各有学生多少人？240+（3+1）=2404-4=60（人）一乙校人数60X3=180人一

38、甲校人数答：甲校有学生180人，乙校有学生60人。和差问题已知两个数的和与差，求这两个数的应用题，叫做和差问题。一般关系式有：(和一差)+2=较小数(和+差)+2=较大数例：甲乙两数的和是2 4,甲数比乙数少4,求甲乙两数各是多少？(24+4)4-2=28+2=14-乙数(2 4-4)4-2=20+2=10-甲数答：甲数是1 0,乙数是14。差倍问题已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做差倍问题。基本关系式是：两数差+倍数差=较小数例：有两堆煤，第二堆比第一堆多40吨，如果从第二堆中拿出5吨煤给第一堆，这时第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原来两堆煤各有多少吨？分析：原来第

39、二堆煤比第一堆多40吨，给了第一堆5吨后，第二堆煤比第一堆就只多405 X 2吨，由基本关系式列式是：(4 0-5 X 2)4-(3-1)-5=(4 0-1 0)4-2-5=3 0+2 515-5=10（吨）一第一堆煤的重量10+40=50（吨）一第二堆煤的重量答：第一堆煤有10吨，第二堆煤有50吨。还原问题已知个数经过某些变化后的结果，要求原来的未知数的问题，般叫做还原问题。还原问题是逆解应用题。一般根据加、减法，乘、除法的互逆运算的关系。由题目所叙述的的顺序，倒过来逆顺序的思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。例：仓库里有一些大米，第 天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售

40、出的重量，比剩卜.的一半少12吨，结果还剩下19吨，这个仓库原来有大米多少吨？分析：如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是19+12吨。第天售出以后，剩下的吨数是（19+12）X 2吨。以下类推。列式：（19+12）X 2-121X 2=31X2-12 X2=62-12X 2=50X2=100（吨）答：这个仓库原来有大米100吨。置换问题题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。例：个集邮爱好者买了 10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？分析：

41、先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20X100=2000（分），比原来的总值多2000-1880=120（分）。而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算2010=10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。列式：（2000 1880）+（2 0-1 0）=120-?10=12（张）一10分一张的张数100-12=88（张）-20分一张的张数或是先求出20分张的张数，再求出10分张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。盈亏问题（盈不足问题）题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多（盈）或 少（亏）的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题

42、（也叫做盈不足问题）。解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。其计算方法是：当一次有余数，另一次不足时：每份数=（余数+不足数）+两次每份数的差当两次都有余数时：总份数=（较大余数一较小数）一两次每份数的差当两次都不足时：总份数=（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差例1：解放军某部的一个班，参加植树造林活动。如果每人栽5棵树苗，还剩下14棵树苗；如果每人栽7棵，就差4棵树苗。求这个班有多少人？一共有多少棵树苗？分析：由条件可知，这道题属第一种情况。列式：（14+4）+（7-5）=18

43、+2=9 （人）5X9+14=45+14=59（棵）或：7X 94=6 3-4=59（棵）答：这个班有9人，一共有树苗59棵。年龄问题年龄问题的主:要特点是两人的年龄差不变，而倍数差却发生变化。常用的计算公式是：成倍时小的年龄=大小年龄之差小（倍数-1）儿年前的年龄=小的现年一成倍数时小的年龄几年后的年龄=成倍时小的年龄一小的现在年龄例1：父亲今年54岁，儿子今年12岁。几年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍？（5 4-1 2）+（4-1）=42+3=14（岁）一儿子几年后的年龄14-12=2（年）-2 年后答：2年后父亲的年龄是儿子的4倍。例2：父亲今年的年龄是54岁，儿子今年有12岁。几年前父亲

44、的年龄是儿子年龄的7倍？（5 4-1 2）+（7-1）=424-6=7（岁）一儿子几年前的年龄1 2-7=5 （年）5 年前答：5年前父亲的年龄是儿子的7倍。例3：王刚父母今年的年龄和是148岁，父亲年龄的3倍与母亲年龄的差比年龄和多4岁。王刚父母亲今年的年龄各是多少岁？148X2+4）+（3+1）=3004-4=75（岁）一父亲的年龄148-75=73（岁）一母亲的年龄答：王刚的父亲今年75岁，母亲今年7 3岁。或：(148+2)+2=1504-2=75(岁)7 5-2=73（岁）鸡兔问题已知鸡兔的总只数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类应用题，叫做鸡兔问题，也叫“龟鹤问题”、“置换问题”.般

45、先假设都是鸡（或兔），然后以兔（或鸡）置 换 鸡（或兔）。常用的基本公式有:（总足数一鸡足数X总只数）+每只鸡兔足数的差=兔数（兔足数X总只数一总足数）+每只鸡兔足数的差=鸡数例：鸡兔同笼共有24只。有64条腿。求笼中的鸡和兔各有多少只？(6 4-2 X 2 4)+(4-2)=(6 4-4 8)+(4-2)=16 4-2=8 （只）一兔的只数2 4-8 =16（只）一鸡的只数答：笼中的兔有8只，鸡 有16只牛吃草问题（船漏水问题）若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。牛一边吃草，草地上一边长草。当 增 加（或减少）牛的数量时，这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢？例1：一片草地，可 供15头

46、牛吃10天，而供25头牛吃，可吃5天。如果青草每天生长速度一样，那么这片草地若供10头牛吃，可以吃几天?分析：一般把1头牛每天的吃草量看作每份数，那 么15头牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上这片草地10大长出草，以下类推其中可以发现25头牛5天的吃草量比15头 牛10天的吃草量要少。原因是因为其一，用的时间少；其二，对应的长出来的草也少。这个差就是这片草地5天长出来的草。每天长出来的草可供5头牛吃一天。如此当供10牛吃时，拿出5头牛专门吃每天长出来的草，余卜.的牛吃草地上原有的草。(15X 10-25X 5)+(1 0-5)=(150-125)4-(1 0-5)=25+5=5(头)一可

47、供5头牛吃一天。150-10X5=150-50=100(头)一草地上原有的草可供100头牛吃一天1004-(1 0-5)=100+5=20(天)答：若供10头牛吃，可以吃20天。例2：一口井匀速往上涌水，用4部抽水机100分钟可以抽干;若用6部同样的抽水机则50分钟可以抽干。现在用7部同样的抽水机，多少分钟可以抽干这口井里的水？(100X 4-50X 6)4-(100-50)=(400-300)4-(100-50)=1004-50=2400-100X2=400-200=2002004-(7-2)=2004-5=40（分）答：用7部同样的抽水机，40分钟可以抽干这口井里的水。公约数、公倍数问题运

48、用最大公约数或最小公倍数解答应用题，叫做公约数、公倍数问题。例1：一块长方体木料，长2.5米，宽1.75米，厚0.75米。如果把这块木料锯成同样大小的正方体木块，不准有剩余，而且每块的体积尽可能的大，那么，正方体木块的棱长是多少？共锯了多少块？分析：2.5=250厘米1.75=175 厘米0.75=75 厘米其中250、175、75的最大公约数是2 5,所以正方体的棱长是25厘米。(2504-25)X(175+25)X(754-25)=10X7X3=210(块)答：正方体的棱长是25厘米，共锯了 210块。例2：两啮合齿轮，一个有24个齿，另个有40个齿，求某一对齿从第一次接触到第:次接触，每

49、个齿轮至少要转多少周？分析：因为24和40的最小公倍数是1 2 0,也就是两个齿轮都转120个齿时;第一次接触的一对齿，刚好第二次接触。1204-24=5(周)1204-40=3(周)答：每个齿轮分别要转5周、3周。分数应用题指用分数计算来解答的应用题，叫做分数应用题，也叫分数问题。分数应用题一般分为三类：1.求一个数是另一个数的几分之几。2.求一个数的儿分之儿是多少。3.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。其中每一类别又分为二种，其一：一般分数应用题；其二：较复杂的分数应用题。例 1：育才小学有学生1 0 0 0 人，其中三好学生2 5 0 人。三好学生占全校学生的儿分之儿？292答：三好

50、学生占全校学生的9。2例 2：一堆煤有1 8 0 吨，运走了 9。走了多少吨？21 8 0 X 9 =8 0 (吨)答：运走了 8 0 吨。2例 3：某农机厂去年生产农机1 8 0()台，今年计划比去年增加9。今年计划生产多少台？21 8 0 0 X (1+9 )2=1 8 0 0 X 9=2 4 0 0 (台)答：今年计划生产2 4 0 0 台。2 2例 4：修一条长2 4 0 0 米的公路，第一天修完全长的9 ,第二天修完余下的9。还剩下多少米？2 22 4 0 0 X (1-9 )X (1-9 )2 2=2 4 0 0 X 9 x9=1 2 0 0 （米）答：还剩下1 2 0 0 米。2