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1、直线的倾斜角和斜率一、教学目标（一）知识教学点知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式.（二）能力训练点通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系,培养学生的知识转化、迁移能力.（三）学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想.二、教材分析1.重 点：通 过 对 一 次 函 数 的 研 究，学 生 对 直 线 的 方 程 已 有 所 了 解，要对进一 步 研 究 直 线 方 程 的 内 容 进 行 介 绍，以激
2、发学生学 习 这 一 部 分 知 识 的 兴 趣；直线的 倾 斜 角 和 斜 率 是 反 映 直 线 相 对 于X轴 正 方 向 的 倾 斜 程 度 的，是研究两条直线位置 关 系 的 重 要 依 据，要 正 确 理 解 概 念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫.2.难 点：一 次 函 数 与 其 图 象 的 对 应 关 系、直线方程与直线的对应关系是难点.由 于 以 后 还 要 专 门 研 究 曲 线 与 方 程，对这一点只需一般介绍就可以了.3.疑 点：是 否 有 继 续 研 究 直 线 方 程 的 必 要？三、活动设计启发、思考、问答、讨论、练习.四、教学过程（一）复习一次函数及其图象已知
3、一次函数y=2x+l,试 判 断 点A （1,2）和 点B（2,1）是否在函数图象上.初中我们是这样解答的：VA（1,2）的 坐 标 满 足 函 数 式，.点A在函数图象上.1）的坐标不满足函数式,.点B不在函数图象上.现在我们问：这样解答的理论依据是什么？（这 个 问 题 是 本 课 的 难 点，要给足够的 时 间 让 学 生 思 考、体 会.）讨论作答：判断点A在 函 数 图 象 上 的 理 论 依 据 是：满足函数关系式的点都在函数 的 图 象 上；判 断 点B不 在 函 数 图 象 上 的 理 论 依 据 是：函数图象上的点的坐标应满 足 函 数 关 系 式.简 言 之，就是函数图象上
4、的点与满足函数式的有序数对具有一一 对 应 关系.（二）直线的方程引导学生思考：直角坐标平面内，次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是.一次函数丫=1 +1 3,x=a都 可 以 看 作 二 元 一 次 方 程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应.以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解.这时，这个方程就叫做这条直线的方程：这条直线就叫做这个方程的直线.上面的定义可简言之：（方程）有 一 个 解（直 线 上）就 有 一 个 点；（直 线 上）有一个点（方程
5、）就 有 一 个 解，即 方 程的解与直线上的点是一一对应的.显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的个概念.（三）进 一步研究直线方程的必要性通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决,如y=k x+b中k的 几 何 含 意、已知直线上一点和直线 的 方 向 怎 样 求 直 线 的 方 程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究.（四）直线的倾斜角一条直线1向 上 的 方 向 与x轴 的 正 方 向 所 成 的 最 小 正 角，叫做这条直线的倾斜 角，如 图1 2 1中 的a .特 别 地，当 直 线1和x轴 平 行 时，我们规定
6、它的倾斜角 为0 ,因 此，倾 斜 角 的 取 值 范 围 是0 ,“直线的斜率反映了直线对布的侦制程度.直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于X轴的直线没有斜率.（六）过两点的直线的斜率公式在坐标平面上，已知两点P l（x l,y l）、P 2（x 2,y 2）,由于两点可以确定一条直线，直 线 P 1 P 2 就 是 确 定 的.当 X 1#X 2 时，直 线 的 倾 角 不 等 于 9 0 时，这条直线的 斜 率 也 是 确 定 的.怎 样 用 P 2 和 P 1 的 坐 标 来 表 示 这 条 直 线 的 斜 率？设直线R6的假向角是a,斜 率 是 璃 是 向 上 的 方 向，从R.
7、P 2分别向x轴作垂线P 1 M 1、P 2 M 2,再作P 1 Q _ L P 2 M,垂足分别是M l、M 2、Q.那么：a=N Q P i P 2（图 1-2 2 甲）或。=JT-NP2P1Q（图 1-2 2 乙）在图”22甲中.|ga=笠二江.P&*3在图1 -22乙中，电=tgZP2PlQ=祟-力 力.QPi。-KM果 晒 向 下 时.丽 向 上，用苜面的结论可得，lga=lLZZi=ZiZZL.*1f y综上所述，我们得到经过点P l（x l,y i）、P 2（x 2,y 2）两点的直线的斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当X 1=X 2时，公式右边无意义，直线的斜
8、率不存在，倾斜角为9 0 ；（2）k与P l、P 2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.（七）例题例1 如图1-2 3,直线1 1的倾斜角a 1=3 0 ,直线1 2 1 1,求1 1、1 2的斜率.图 1-23解,1阳明二轲哼，,1 2 的倾斜角 a 2=9 0 +3 0 =1 2 0 ,.工的斜率匕=电由=-本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板.例2 求 经 过A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角.8-5-2 *-2-(-；.tg a
9、 =-l.V O W a =S a=120.k=l,a =4 5 .3.(1.4练习第3题)已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(l)A(a,c),(b,c)；(2)C(a,b),D(a,c)；(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).解:(1)a=0 ；(2)a =9 0 ；(3)a =4 5 .4.已知三点A (a,2)、B(3,7)、C(-2,-9 a)在一条直线上，求实数a的值.7-2 5.7+9a 7+9aW：-ku-3-a 3-a 3*2 5A、B、C三点在一条直线上，.kAB=kAC.5 _7+9a3 1-5解之有a=2或&=，.9六、板书设计
10、1.6 aHMMHMOM12fl M l3.IDNUNW4 1-22H Ifl 1-23m直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标（一）知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式,并利用直线的截距式作直线.（二）能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力.（三）学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识.二、教材分析1.重
11、点：由于斜截式方 程 是 点 斜 式 方 程 的 特 殊 情 况，截距式方程是两点式方 程 的 特 殊 情 况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上.2.难 点：在 推 导 出 直 线 的 点 斜 式 方 程 后，说 明 得 到 的 就 是 直 线 的 方 程，即直 线 上 每 个 点 的 坐 标 都 是 方 程 的 解；反 过 来，以这个方程的解为坐标的点在直线上.3.疑点.k=U L不谖算直线I的方程，因为直线I上的点p,的坐标不满足这个方程，但化为y-y i=k(x-x i)后，点 P1的坐标满足方程.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程(一)点斜式已知直线1
12、 的 斜 率 是 k,并 且 经 过 点 Pl(xl,y l),直 线 是 确 定 的，也就是可求 的，怎 样 求 直 线 1 的 方 程(图 124)?设点P(x,y)是 直 线 1 上 不 同 于 P1的任意一 点，根据经过两点的斜率公式得k-2可化为，IE也注意方程(1)与 方 程(2)的 差 异：点P l的 坐 标 不 满 足 方 程(1)而 满 足 方 程(2),因 此，点P 1不 在 方 程(1)表 示 的 图 形 上 而 在 方 程(2)表 示 的 图 形 上，方 程(1)不能称 作 直 线1的方程.重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可
13、以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线1上，所 以 这 个 方 程 就 是 过 点P 1、斜 率 为k的 直 线1的方程.这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式.当直线的斜率为0 时(图1-2 5),k=0,直 线 的 方 程 是y=y i.图 1-25当直线的斜率为9 0 时(图1-2 6),直 线 的 斜 率 不 存 在，它的方程不能用点斜式 表 示.但 因1上 每 一 点 的 横 坐 标 都 等 于x l,所 以 它 的 方 程 是x=x l.()斜截式已知直线1在y轴 上 的 截 距 为b,斜 率 为b,求直线的方程.这个问题，相当于给出了直线上一点(0,b)及
14、 直 线 的 斜 率k,求 直 线 的 方 程，是点 斜 式 方 程 的 特 殊 情 况，代 入 点 斜 式 方 程 可 得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的.当kWO时，斜 截 式 方 程 就 是 直 线 的 表 示 形 式，这 样 一 次 函 数 中k和b的几何 意 义 就 是 分 别 表 示 直 线 的 斜 率 和 在y轴上的截距.（三）两点式已知直线1上 的 两 点P l （x l,y l）、P 2（x 2,y 2）,（x l#x 2）,直线的位置是确定的，也 就 是 直 线 的 方 程 是 可
15、求 的，请 同 学 们 求 直 线1的方程.A-就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式.引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴 和y轴 上 的 截 距 确 定 的，叫做直线方程的截距式.对截距式方程要注意下面三点：（1）如 果 已 知 直 线 在 两 轴 上 的 截 距，可以直接代入 截 距 式 求 直 线 的 方 程；（2）将 直 线 的 方 程 化 为 截 距 式 后，可 以 观 察 出 直 线 在x轴 和y轴 上 的 截 距，这 一 点 常 被 用 来 作 图；（3）与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示.（五）例题例2 三 角 形 的 顶 点 是A（-5,0）、B
16、（3,-3）、C（0,2）（图1-2 7）,求这个三角形三边所在直线的方程.本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.解：直线AB的方程可由两点式得:0.*一（一-3-0即 3 x+8 y+1 5=0这就是直线AB的方程.B C的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：=-Xy-a+y.由斜截式得：即 5 x+3 y-6=o.这就是直线BC的方程.由截距式方程得AC的方程是即 2 x+5 y+1 0=0.这就是直线AC的方程.（六）课后小结直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的,要会加以区别.四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用.要注
17、意四种形式方程的不适用范围.五、布置作业1.（L 5练 习 第1题）写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：经过点A（2,5）,斜率是4；点B（3,-I）,斜率是百络立点C（-点，2）,耐 角 是304 j(4)经过点D(0,3),倾斜角是0 ；(5)经过点E(4,-2),倾斜角是1 2 0 .解：(t-5 =4(-2)j(2)y+-l=-3)j6-2邛 区+何助=3,(5)jr+2=-V3(x-4).(BBtt)2.(1.5 练习第2 题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：(1-2=K-1(2)y-3 =(r-4)i劭+3=-l)(5+2 =-9+1
18、).解：(1)(1,2),k=l,a =4 5 ；(2X4,3),k=a a=60*I(3)(1,3)i k=-1 a =1 3 5 ；(4X-L-2),k=率 a=150*.3.(1.5 练习第3 题)写出下列直线的斜截式方程：(1训*4，#融回-2,倾斜角是1 3 5。，y 轴上的截距是3解：(l)y=i-2 i y=r+3.4Si4.(1.5 练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图.(1)P 1(2,1)、P 2(0,-3)；(2)A(0,5)、B(5,0)；(3)C(-4,-3)、D(-2,1).解：0-5 5-0y+1 _ z*2-34-1
19、-4*2K*y-1(图略)六、板书设计S 1 .匿商W H B Urs13.M tt3Ml直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标（一）知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式,并利用直线的截距式作直线.（二）能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由 般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力.（三）学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识.二、教材分析1.重
20、 点：由于斜截式方 程 是 点 斜 式 方 程 的 特 殊 情 况，截距式方程是两点式方 程 的 特 殊 情 况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上.2.难 点：在 推 导 出 直 线 的 点 斜 式 方 程 后，说 明 得 到 的 就 是 直 线 的 方 程，即直 线 上 每 个 点 的 坐 标 都 是 方 程 的 解；反 过 来，以这个方程的解为坐标的点在直线上.3.疑 点.k=幺刍不能算直线I的方程，因为直线I上的点X-Xi的坐标不满足这个方程，但化为y-y i=k（x-x i）后，点 P1的坐标满足方程.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程（一）点斜式已知
21、直线1 的 斜 率 是 k,并 且 经 过 点 P l（x l,y l）,直 线 是 确 定 的，也就是可求 的，怎 样 求 直 线 1 的 方 程（图 1-24）?设点P(x,y)是 直 线1上 不 同 于P l的 任 意 一 点，根据经过两点的斜率公式得k-y-y i可讹 为，(2)注意方程(1)与 方 程(2)的 差 异：点P 1的 坐 标 不 满 足 方 程(1)而 满 足 方 程(2),因 此，点P 1不 在 方 程 表 示 的 图 形 上 而 在 方 程(2)表 示 的 图 形 上，方 程 不 能称 作 直 线1的方程.重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对
22、上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线1上，所 以 这 个 方 程 就 是 过 点P 1、斜 率 为k的 直 线1的方程.这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式.当直线的斜率为0 时(图1-2 5),k=0,直 线 的 方 程 是y=y l.y耳0图 1-25当直线的斜率为9 0 时(图1-2 6),直 线 的 斜 率 不 存 在，它的方程不能用点斜式 表 示.但 因1上 每 一 点 的 横 坐 标 都 等 于x l,所 以 它 的 方 程 是x=x l.图 1-26(二)斜截式已知直线1在y轴 上 的 截 距 为b,斜 率 为b,求直线的方程.这个问
23、题，相当于给出了直线上一点(0,b)及 直 线 的 斜 率k,求 直 线 的 方 程，是点 斜 式 方 程 的 特 殊 情 况，代 入 点 斜 式 方 程 可 得：y-b=k(x-0)也就是|y=tob I上面的方程叫做直线的斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的.当kWO时，斜 截 式 方 程 就 是 直 线 的 表 示 形 式，这 样 一 次 函 数 中k和b的几何 意 义 就 是 分 别 表 示 直 线 的 斜 率 和 在y轴上的截距.(三)两点式已知直线1上 的 两 点P l (x l,y l)、P 2(x 2,y 2),(x l W x 2),直
24、线的位置是确定的，也 就 是 直 线 的 方 程 是 可 求 的，请 同 学 们 求 直 线1的方程.；。卢曰k 九外,吗-!-*1当y l W y 2时，为 了 便 于 记 忆，我们把方程改写成y-yt _ x-xtV，一力请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式.对两点式方程要注意下面两点：（1）方 程 只 适 用 于 与 坐 标 轴 不 平 行 的 直 线，当直线 与 坐 标 轴 平 行（X 1=X 2或y l=y 2）时，可 直 接 写 出 方 程；（2）要 记 住 两 点 式 方 程，只 要 记 住 左 边 就 行 了，右 边 可 由 左 边 见y就 用
25、x代 换 得 到，足码的规律完全一样.（四）截距式例1 已 知 直 线1在x轴 和y轴 上 的 截 距 分 别 是a和b （a W O,b W O）,求直线1的方程.此题由老师归纳成己知两点求直线的方程问题，由学生自己完成.解：因为直线1过A（a,0）和B（0,b）两 点，将 这 两 点 的 坐 标 代 入 两 点 式，得y-0.一.b-0 0-1就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式.引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴 和y轴 上 的 截 距 确 定 的，叫做直线方程的截距式.对截距式方程要注意下面三点：（1）如 果 已 知 直 线 在 两 轴 上 的 截 距，可以直接
26、代入 截 距 式 求 直 线 的 方 程；（2）将 直 线 的 方 程 化 为 截 距 式 后，可 以 观 察 出 直 线 在x轴 和y轴 上 的 截 距，这 一 点 常 被 用 来 作 图；（3）与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示.（五）例题例2 三 角 形 的 顶 点 是A（-5,0）、B（3,-3）、C（0,2）（图1 2 7）,求这个三角形三边所在直线的方程.本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.解：直线A B的 方 程 可 由 两 点 式 得：y-0.*(一-3-0 3-(-B)即 3 x+8y+1 5=0这就是直线A B的方程.B C的 方 程 本 来 也
27、 可 以 用 两 点 式 得 到，为 简 化 计 算，我们选用下面途径:=_%_+学.由斜截式得：y-+2.3即 5 x+3 y-6=0.这就是直线B C的方程.由截距式方程得A C的方程是即 2 x+5 y+1 0=0.这就是直线AC的方程.(六)课后小结直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的,要会加以区别.四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用.要注意四种形式方程的不适用范围.五、布置作业1.(1.5练 习 第 1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：经过点A(2,5),斜率是4；经过点B(3,-I),料率是百经过点C(-怎 2),储斜角是W ;(4)经过点D
28、(0,3),倾斜角是0。；(5)经过点E(4,-2),倾斜角是120。.解：(1-5=4(-2)J(2)y4-l=-3)j所 _2邛5+向 j助=3,(5)y+2=-V3(x-4).(BMF)2.(1.5练习第2 题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：(1 -2=-1(2)y-3 =-4),(3)y 4-3=-(1-1)(钮+2=一 条-1).解:(1)(1 2),k=l,a =45 ；颂4,3),k=a=60*i(3)(1,-3),k=-l,a =1 3 5 ；(4X-U-2)k二率 a=150*.3.(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：
29、是字,倾斜角是1 3 5 ,y轴上的截距是3.解，(l)y=-2 i y=-H-3.4.(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图.(1)P 1(2,1)、P 2(0,-3)；(2)A(0,5)、B(5,0)；(3)C(-4,-3)、D(-2,1).解：产i25 5a*y=I.(图略)六、板书设计 1 .1 .O t t2.M S3MH直线方程的一般形式一、教学目标（一）知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比.（二）能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培
30、养学生灵活运用知识、简化运算的能力.（三）学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题吩为二的辩证唯物主义观点.二、教材分析1.重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系.2.难 点：与重点相同.3.疑 点：直 线 与 二 元 一 次 方 程 是 一 对 多 的 关 系.同 条 直 线 对 应 的 多 个 二 元一 次方程是同解方程.三、活动设计分析、启发、讲练结合.四、教学过程（一）引入新课点斜式、斜截式不能表示与x 轴 垂 直 的 直 线；两点式不能表示与坐标轴平行的直 线；
31、截 距 式 既 不 能 表 示 与 坐 标 轴 平 行 的 直 线，又 不 能 表 示 过 原 点 的 直 线.与 x轴 垂 直 的 直 线 可 表 示 成 x=xO,与 x 轴平行的直线可表示成丫=丫0。它们都是二元一次方程.我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？（二）直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角a.当 a W 9 0 时，直线有斜率，方 程 可 写 成 下 面 的 形 式：y=kx+b当 a=9 0 时，它 的 方 程 可 以 写 成 x=x0的形式.由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二
32、元一次方程.这 样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于X、y 的一次方程.反过来，对于x、y 的一次方程的一,般形式Ax+By+C=O.其中A、B不同时为零.当BWO时，方 程 可 化 为这 就 是 直 线 的 触 式 方 程.它 防 院 率 为 在ytt上的除距为1 5A的 屿.D这里，我们借用了前一课y=kx+b表 示 直 线 的 结 论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云.当B=0时，由 于A、B不 同 时 为 零，必 有A H 0,方 程 可 化 为C它表示一条与y轴平行的直线.这样，我们又有：关于x和y的 一 次 方 程 都 表 示 一
33、 条 直 线.我 们把方程写为Ax+By+C=O这个方程（其 中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式.引导学生思考：直线与二元一-次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.（三）例题例I已知直型过点M6,4）,斜 率 为 求 直 线 的 朝 武.f解：直线的点斜式是 1 =彳。化成一般式得4x+3y-12=0.把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以1 2,就得到截距式衿“讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：（1）直 线 的 点 斜 式、两点式方程由于 给 出 的 点 可 以 是 直 线 上 的 任 意 点，因 此 是 不 唯
34、一 的，一 般 不 作 为 最 后 结 果 保 留，须 进 一 步 化 简；（2）直 线 方 程 的 般 式 也 是 不 唯 一 的，因为方程的两边同乘以一个 非 零 常 数 后 得 到 的 方 程 与 原 方 程 同 解，一 般 方 程 可 作 为 最 终 结 果 保 留，但须化为 各 系 数 既 无 公 约 数 也 不 是 分 数；（3）直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是 唯 一 的，如 无 特 别 要 求，可作为最终结果保留.例2 把 直 线1的 方 程x-2 y+6=0化 成 斜 截 式，求 出 直 线1的 斜 率 和 在x轴与y轴 上 的 截 距，并画图.解：将原方程移项，得2y
35、=x+6,两 边 除 以2得 斜 截 式：2因此，宜 哪 咖 率k=在却上的X,晓13.在上面的方程中如=0可得x=-6根据直线过点A（-6,0）、B（0,3）,在平面内作出这两点连直线就是所要作的图 形（图1-28）.本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线.图 1-28例3 证 明：三 点A(l,3)、B(5,7)、C(1 0,1 2)在同一条直线上.证法一 直 线A B的方程是：y-3 _-17 3-51化简得 y=x
36、+2.将点C的 坐 标 代 入 上 面 的 方 程，等式成立.:.A、B、C三点共线.证n-A法fc-.K 1r*=S7-U3=l_ 12-3；.A、B、C三点共线.证法三|A B|=#5T +(7-#=点|Aq=寸+(12-歹-9 K|Bq=J(12-a*(10-5)a-诋V|A B|+|B C|=|A C|,:.A、C、C三点共线.讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力.例4 直 线x+2y T 0=0与 过A(l,3)、B(5,2)的 直 线 相 交 于C,试求C分有向纭段减成的定比.此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C
37、分AB所成的定比，计算量大了一些.如果先用定比分点公式设出点C的坐标（即满足点C在直线AB上），然后代入已知的直线方程求入，则计算量要小得多.晶 设 5 礴 成 的 定 比 为*JUC点的坐标为1+5X 3+2 工-1 x Y,y -，-代入 x+2y-10=0 有:1*5%3+2、解之得 X=-3.即点8 而所成的定比为4=-3.（四）课后小结归纳直线方程的五种形式及其特点.例4 一般化：求过两点的直线与已知直线（或由线）的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标,代入已知直线（或曲线）求得.五、布置作业1.（1.6练 习 第1题）由下列条件，写出直线的方程，
38、并化成一般式：。潮 率 是g 缮 姐A（8,-2）j经过点B（4,2）,平行于x轴；拉吗，叽 将冽 是 去-3,(5)经过两点 P l (3,-2)、P 2(5,-4)；(6)x轴上的截距是-7,倾斜角是4 5 .解：(l)x+2y-4=0；(2)y-2=0；(3)2x+l=0；(4)2x-y-3=0；(5)x+y-l=0；(6)x-y+7=0.2.(习题二第胭)一条直壁过AQ,-3),它的豳角等于直线了 =看 峋 财 债 的 2瓯求这条直线的方祗解，已知直线的制率1=冬，假斜角。，所求宜酬潮角。，耕率所求+/=#&-，即3 K-y-坨=0.3.(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(O,2
39、),它的倾斜角的正弦是，求这条直”的方程.这样的底线有几条？解I 角为a,JSsnG=1,Oa=土 g,电=土所求直线的制率k=土 土 所 求 直 线 方 程 却=乎+2期=-$+2.4 .(习题二第十三题)求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程.解，当直绻蜻点时，直线在两恸上的藏距物为0,直线方租为丁=3_ _ _当直线不过侬号，设在两轴上奥4业为早=1,a a将P(2,3)代入有a=5,直线方程丸+y-5=0.5.(习题二第1 6题)设点P(x o,y O)在直线A s+B y+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A (x-x O)+B(y-y O)=O.证 明:将 点p(
40、x o,y o)的 坐 标 代 入 有C=-A x o-B y o,将C代 入A x+B y+C=O即有A(x-x O)+B(y-y O)=0.6.过 A(x l,y l)、B(X2,y 2)的直线交直线 1：A x+B y+C=O 于 C,曲E,而询W淀比AJCj b y,证明，设4=啜%，/=片 争 代 入 直 线1的方隈有，I 十 A 1 T +B*4-C=0.AX|4-By|+CAxa+Byt 4-C六、板书设计$1.sam sML ftt式MlM2M3M4两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两
41、平行或垂直直线的方程系数.(二)能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力.（三）学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣.二、教材分析1 .重 点：两 条 直 线 平 行 和 垂 直 的 条 件 是 解 析 儿 何 中 的 一 个 重 点，要求学生能 熟 练 掌 握，灵活运用.2 .难 点：启 发 学 生 把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题.3 .疑 点：对 于 两 直 线 中 有 一 条 直 线 斜 率 不 存 在 的 情 况 课 本 上 没 有 考 虑
42、，上课时要注意解决好这个问题.三、活动设计提问、讨论、解答.四、教学过程（一）特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直.当两条直线中有一条直线没有斜率时：（1）当 另 一 条 直 线 的 斜 率 也 不 存 在 时，两直 线 的 倾 斜 角 为9 0 ,互 相 平 行；（2）当 另 一 条 直 线 的 斜 率 为0时，一条直线的倾 斜 角 为9 0 ,另 一 条 直 线 的 倾 斜 角 为0 ,两直线互相垂直.（二）斜率存在时两直线的平行与垂直设直线11和12的 斜 率 为kl和k 2,它们的方程分别是11：y=kl x+b l；12：y=k2
43、 x+b 2.两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征.我 们 首 先 研 究 两 条 直 线 平 行(不 重 合)的 情 形.如 果 图1-2 9),那么它们的 倾 斜 角 相 等：a i=a 2.t g a l=t g a 2.即 kl=k2.反过来，如果两条直线的斜率相等，kl=k2,那 么t g a i=t g a 2.由于 0 a K1 8O0,0 a i lai y=34-7.(XXi x-y=5 l3i+2y-3=0.解，=3,曲 禺l的角力3，则二 o 1=45.。到
44、。的角e产兀兀陵1=1，=，设。到I的角为6.JN12 到 11 的角 0 2=J T -0 l=arctg3.2.(教材第32页，1.8练习第2题)求下列直线的夹角:3=-可*+4.(2-y=5,y=4.(3)5x-3y=9,6x+lOy+7=O.ft.(1 =3,=.V k l k 2=-l,1 1与1 2的夹角是9 0 .(2)k l=l,k 2=0.两直线的夹角为4 5 .1 1与1 2的夹角是9 0 .3.（习题三第1 0题）已知直线1经过点P（2,1）,且和直线5 x+2 y+3=0的夹角为4 5 o,求直线1的方程.解，已知直维制率1=，设所求直维阐率为匕，依题意有，解之有匕=如
45、=辛 所 以 直 线 方 程 为3 4 7丁-1=-7野-1=淤-25.即 3x+7y-13=o 或 7x-3y-ll=o.4.等 腰 三 角 形 一 腰 所 在 的 直 线11的 方 程 是2x-y+4=0,底 面 所 在 的 直 线12的 方 程 是x+yT=O,点（-2,0）在 另 一 腰 上，求 这 腰 所 在 的 直 线13的方程.解：这是本课例3将11与13互 换 的 变 形 题，解 法 与 例3相 同，所求方程为:x-2y-2=0.六、板书设计 1 .lOfiffiKKOMl.1111111M2.H l2 3两条直线的交点一、教学目标（一）知识教学点知道两条直线的相交、平行和重合
46、三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件.（二）能力训练点通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后 直 接 分 析 出y的 表 达 式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力.（三）学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想.二、教材分析1 .重 点：两 条 直 线 的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两
47、直线位置关系的进一步讨论.2.难 点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论.3.疑 点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是1 1：A l x+B l y+cl=O,1 2：A 2 x+B 2 y+C 2=0.如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线1 1和1 2的 交 点.因 此，两 条 直 线 是 否 相 交，就要看这两条直线的方程所组成的方程
48、组Api 4-Bjy+Cj=0(1)A ji+Bgy+C,=0.(2)是否有唯一解.(二)对方程组的解的讨论若A l、A 2、B l、B 2中 有 一 个 或 两 个 为 零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系.下面设A l、A 2、B l、B 2全不为零.解这个方程组：(1)X B 2 得 A l B 2 x+B l B 2 y+B 2 C l=0,X B 1得A 2 B l x+B l B 2 y+B l C 2=0.(4)(3)-(4)得(A 1 B 2-A 2 B 1)x+B 2 c 1-B 1 C 2=O.下面分两种情况讨论：(1)当声的，即 声38t可得B
49、|C|-将上面表达式中右边的A l、A 2分 别 用B l、B 2代入即可得-A -UL A N A B J上面得到y可把方程组写成Biy+Ajz+Ci=0,Bjjr+A 产=0.即将x用y换，A l、A 2分 别 与B l、B 2对换后上面的方程组还原成原方程组.综上所述，方程组有唯一解：B|Cj-BjC“A i B f B j A 冉-B J这 时1 1与1 2相 交，上 面X和y的值就是交点的坐标.(2)当 A 1 B 2-A 2 B 1=O 时:当B 1 C 2-B 2 C 1 W 0时，这 时C l、C 2不 能 全 为 零(为 什 么？).设C 2有=3 卢 空方程级刑队也就是说这
50、两条直线不相交，Aj B.q即两直线饰.如果B 1 C 2-B 2 c l=0,这 时 C l、C 2 或全为零或全不为零（当 C l、。全不眈卷哈母两25,因即无方多里解.（三）统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论（“向5#2期 售。导 匕(2X0BA|BA -B A,CBij#=00AB2-AjB|=0B|C|-BC|=0A.B7凡.C l C,Bi%说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的 种位置关系来研究.（四）例题例 1 求下列两条直线的交