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1、4.3利用递推公式求通项(精讲)(基础版)条件特征=f(n)表示含n的式子a.-%一 (4-a J+(a,-._2)+(a,-a._J=根据f(n)中与前后项下标的关系写出每个括号的结果=观察f(n)的特征选择合适的求和方法=计算化荷思路 注意：记得最后外 进行移项累加法a2-ai=解题思路 求通项方法an-l an-2an-an-l思路二(1)等式右边根据f(n)中与前后项下标的关系写出等式的结条(2)观察f(n)的件征选择合适的求和方法(3)计算化简(4)记得最后可进行移项3=f(n)含有口的式子条件特征 a前案乘法=根据f(n)中的n与前后项下标的关系列式=整理化简髓 注意：将即进行移项
2、公式a.=SB-SCn 2,n eN)a,aa+1=S1+1-S,(n eN)条件特征前述和与顶、项数的关系常 见 形 式 斗n“、1(3)5.、n、求通项相关的：求首项、列两式、作差、化简求首项:,有首项，比步略,无首项，令n=l进行求解公式法求通项 一式含而S.,此式题目已给列两式:.,一式含有S.*根据题目的式子把n变n 1作英：将上面两式和减(1)得到通项公式，检验n=1是否满足条件化简：(2)得到等差或等比数列(3)得到数列两项的关系式看a1是否符合n22时练的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写解题思路卷岩二4考法二否则应写成分段的彩式，即a.=S n 1K-S.-!n2求
3、前n项和有关的：将a jS jS1 1T代替，化简类比前礴积与项或项数关系T Tan-(n2JL nG N)或a”1=(n e N)L-i L0n为数列 a j的前n项积)分 式 巩=煮 大 或 小 二 号;解法：两边同时取倒数，即或v-1-=ka5n+Ep =k+1即dl-i-1-=k缘+1 P%P”an H缘p.1 、是以首项土1 ，公差k人的等差数列3 J 1 P又名倒数法构造等差数列整式：/也.=ka11T或8也11+1 =k a/0两项相减相乘解法：两边同时除以乘的部分，即=姐4 1 =J_ _ J L =一 卜=工 等差数列a a.a a.a a.a a.an n 1 o 1 n
4、n 1 n B 1 I n,a5-a吐.，L,=-ka1 1ali31 n1-1-=,k n 一1 等丛差 w 数花列心a11ali+i anaB+1 aan+1 aB+1 an aa模型三一 *-aB+1=pan+kp（p W 1 /O指数的底数与项数的系数相同）解法：同时除以p-夫 注意指数的次数是由后一项的下标决定）即-=+里,=-=&+上一 1 a+l.1 1 一0 一PPP ppp是首项与,公差是卜的等差数列IP J P P模型三模型一通项特征：两项放两边，系数则不同，相差常数项.形如a.jpajk解题思路：特定系数法(1)设方程：设a|+2=p(a_+/0(2)移项解：ajpajp
5、;l-凡令p4-4=A解;L(3)状入：将;I代入(1)中，再移项冬型平构成等比数列a.+4a.+2构造等比数列模型二通项特征：两项放两边，系数则不同，相差一次函数.形如acjpa+kn+b解题思路：特定系数法(1)设方程：i4anM+2(/i+l)+a=p(aj而+。)p2-A=Ar(2)移项解：an.jpac+(p4 +pa-0-4对比得 解得无科力j)a-a-A,=b45代入：将砥入(1)移项可笑构成等比数列a.+；lfl+a通项存征：两项放两边，系数不同，相差指数函数且底数与项的系数不同.形如aza.+kb解题思路：特定系数法(1)设方程：设a.“+初川印(aj助)移项解：a-jpaj
6、S-tO/lb-ge-ZOaMM，(3)4代入：将然入(1)中，再移项等二Y，构成等比数列aj助例题剖析考点一累加法【例 1-1(2022四川成都)己知数列“满足q,M-a“=2 5 e N)a 2=3,则与=【例 1-2】(2022全国高三专题练习)在数列%中，4=2,央=%+ln(l+4)，则4,等于()n+1 n nA.2+ln B.2 +(-l)In C.2n+nnn D.l+n+nlnn【一隅三反】1.(2022全国高三专题练习)数列 叫 满足=1,且。川-4=+1(叱)，则数列 4 的通项公式为().(+1)rt2+lA-an=B.a=/z.C.a=D.an=n-+n2.(2022
7、.山东济南市历城第二中学模拟预测)数列 4 中，4=0,4用 4 =“+,+1 且4=9,则=3.(2022全国高三专题练习)设数列 叫 满足4 =2,a向-%=3 22-,则a=.考点二累乘法【例 2】(2022全国高三专题练习)已知数列 q 满足。=竺2,n e N*),则数列%3 272 4-1的通项。“=()A.7 B.74 2-12n2+l C(2/7-l)(2n+3)D(n+l)(n+3)【一隅三反】1.(2022黑龙江 齐齐哈尔市第一中学校一模(文)数列 q 中，a,=1，当“N 2时，勺=2八 ,则数列 a0 的 通 项 公 式 为.2.(2022 全国高三专题练习)设数列 4
8、 是首项为1 的正项数列，且(+1)。3 用,=(),则它的通项公式4,=.3 （2 0 2 2 全国高三专题练习）已知数列%满足4=1,则数列%的通项公式为。=()A.2/7 1C.n2考点四构造等差数列【例 4-1】（2 0 2 2 四川省绵阳南山中学）已知数列 a,满足4=1,“向,（”eN*）,则 a=【例 4-2（2 0 2 2 江西）己知数列 满足：4=1,an=2an_l+2n-*1（n2,n e N）,则?=.【例 4-3】（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知数列 叫 满 足 4=1 吗-。,用=2 的,向，求出数列m 的通项公式；【一隅三反】1.（2 0 2 2 全国裸时
9、练习）已知数列。“满足4=3,且为+1=谭）,贝I 数 歹!=2.（2 0 2 2.全国高三专题练习）已知数列 叫 满 足 4=1,且（2）,则数列 4 的通项公式 4,=D.n考点三公式法【例 3-1 （2 0 2 2 上海市）数列 q 满足q=l,a+=S“,则数列%的 通 项 公 式 为.【例 3-2（2 0 2 2 全国高三阶段练习（理）已知数列%满足3 -2+3”2 4+3%+4,=2 ,n w N：则数列”,的通项公式为.【一隅三反】1.（2 0 2 2 上海民办南模中学高三阶段练习）已知数歹女勺 的前项和S,=2 -2,则数列 4 的通项公式为1 （、2.（2 0 2 2.广西.
10、模拟预测（理）正项数列%的前项和为S“，且有S“=a a“+,则S“=.3.（2 0 2 2 云南昆明一中高三阶段练习（理）已知数列 为 满足4+%+a“=2 （eN*）,则q,=3.（2022全国高三专题练习）已知数列%的首项q=1,且各项满足公式=仁”），则数列%的通项公式为（）221A.B.an=-C.an=n D.。=一 +1n考点五构造等比数列【例 5】（2022.安徽）设5”为数列 4 的前 项和，若q=1,%=2 “+1,则可=.【一隅三反】1.（2022全国,高二课时练习）在数列 q 中，q=:,=：“+3，”wN”,则该数列的通项公式耳=_ _ _ _ _ _8 2 32.（
11、2022上海市控江中学）已知数列 q,满足q=l，。向=3a,+l（eN,2 1）,则其通项公式4=.3.（2022.福建省长汀县第一中学）已知数列%满足=1,”用=*丁（）,则 的 前 项 和 为4.3利用递推公式求通项(精讲)(基础版)条件特征=f(n)表示含n的式子a.-%一 (4-a J+(a,-._2)+(a,-a._J=根据f(n)中与前后项下标的关系写出每个括号的结果=观察f(n)的特征选择合适的求和方法=计算化荷思路 注意：记得最后外 进行移项累加法a2-ai=解题思路 求通项方法an-l an-2an-an-l思路二(1)等式右边根据f(n)中与前后项下标的关系写出等式的结条
12、(2)观察f(n)的件征选择合适的求和方法(3)计算化简(4)记得最后可进行移项3=f(n)含有口的式子条件特征 a前案乘法=根据f(n)中的n与前后项下标的关系列式=整理化简髓 注意：将即进行移项公式a.=SB-SCn 2,n eN)a,aa+1=S1+1-S,(n eN)条件特征前述和与顶、项数的关系常 见 形 式 斗n“、1(3)5.、n、求通项相关的：求首项、列两式、作差、化简求首项:,有首项，比步略,无首项，令n=l进行求解公式法求通项 一式含而S.,此式题目已给列两式:.,一式含有S.*根据题目的式子把n变n 1作英：将上面两式和减(1)得到通项公式，检验n=1是否满足条件化简：(
13、2)得到等差或等比数列(3)得到数列两项的关系式看a1是否符合n22时练的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写解题思路卷岩二4考法二否则应写成分段的彩式，即a.=S n 1K-S.-!n2求前n项和有关的：将a jS jS1 1T代替，化简类比前礴积与项或项数关系T Tan-(n2JL nG N)或a”1=(n e N)L-i L0n为数列 a j的前n项积)分 式 巩=煮 大 或 小 二 号;解法：两边同时取倒数，即或v-1-=ka5n+Ep =k+1即dl-i-1-=k缘+1 P%P”an H缘p.1 、是以首项土1 ，公差k人的等差数列3 J 1 P又名倒数法构造等差数列整式：/
14、也.=ka11T或8也11+1 =k a/0两项相减相乘解法：两边同时除以乘的部分，即=姐4 1 =J_ _ J L =一 卜=工等差数列a a.a a.a a.a a.an n 1 o 1 n n 1 n B 1 I n,a5-a吐.，L,=-ka1 1ali31 n1-1-=,k n 一1 等丛差 w 数花列心a11ali+i anaB+1 aan+1 aB+1 an aa模型三一 *-aB+1=pan+kp（p W 1 /O指数的底数与项数的系数相同）解法：同时除以p-夫 注意指数的次数是由后一项的下标决定）即-=+里,=-=&+上一 1 a+l.1 1 一0 一PPP ppp是首项与,
15、公差是卜的等差数列IP J P P模型三模型一通项特征：两项放两边，系数则不同，相差常数项.形如a.jpajk解题思路：特定系数法(1)设方程：设a|+2=p(a_+/0(2)移项解：ajpajp;l-凡令p4-4=A解;L(3)状入：将;I代入(1)中，再移项冬型平构成等比数列a.+4a.+2构造等比数列模型二通项特征：两项放两边，系数则不同，相差一次函数.形如acjpa+kn+b解题思路：特定系数法(1)设方程：i4anM+2(/i+l)+a=p(aj而+。)p2-A=Ar(2)移项解：an.jpac+(p4 +pa-0-4对比得 解得无科力j)a-a-A,=b45代入：将砥入(1)移项可
16、笑构成等比数列a.+；lfl+a通项存征：两项放两边，系数不同，相差指数函数且底数与项的系数不同.形如aza.+kb解题思路：特定系数法(1)设方程：设a.“+初川印(aj助)移项解：a-jpajS-tO/lb-ge-ZOaMM，(3)4代入：将然入(1)中，再移项等二Y，构成等比数列aj助例题剖析考点一累加法【例 1-1(2 0 2 2 四川成都)己知数列“满足q,M-a“=2 5 e N)a 2=3,则与=【答案】=2 -1【解析】由题设，2=2 ,a3-a2=22,a4-a3-23,-a,1=2 T 且,所 以 4 =2 +2-+.+2 =2 2 ,又 =3 ,则%=1 ,故 a=2 1
17、,显然 4 =1 也满足 a”=2 -1.【例 1-2(2 0 2 2 全国高三专题练习)在数列 叫 中，q=2,5=%+皿1 +3,则4,等 于()n+n nA.2+T?I n z/B.2/7 +(/7-l)l n z?C.2n+nnn D.+n+nlnn【答案】c【解析】因&=&+l n(l +L),则 有&L-%=l n(n +l)-l n，n+n n n+1 n于是得，当2 2 时，,*+()*)+号-篌)+(+怒)=2+(l n 2-l n l)+(l n 3-l n 2)4-i-l n/7-l n(n-l)J =2 +l n/j,因此，a=2n+nnn,显然，q =2 满足上式，所
18、以 a“=2 +I n ”.故选：C【一隅三反】1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）数列%满足=1,且用-4=+1 5 w N），则数列 q 的通项公式为()n(n+1)1 r n(n-l)八 4二【答案】AB._ 2 +12D.an=rr+n【解析】因为。+1-4 =+1,贝！（凡一4 T=,%一 限=-1,：。3-%=3,=2,累加得。一 4=2+3+，n(n+)所 以=1 +2+3+=-.当 n=l时也成立故选：A.2.(2022山东济南市历城第二中学模拟预测)数列 叫 中，4=0,%一4=j n +i且”，=9,则=【答案】100【解析】a+t-an=.X.=4n+-4n,?.+1
19、a“=a“a,1+a“_ a“_2+,+%q+q =n+yJn1 -2+/2-/l+0=A/I 1V a=9,即 册-1=9,解得n=100故答案为：1003.(2022全国高三专题练习)设数列%满足4=2,“向-4=3 一 ，则。“=.【答案】22-1【解析】因为数列 q 满足4=2,%=3 22-1,所以当“N1时,用=(a,田-a“)+(a“-4,_|)+(%-4)+4=3(22-+22-3+2)+2=3x2(；：)+2=22+,所以 a=2-，2,ne N,因为q=2,也满足上式，所以数列“,的通项公式为4 =22T,eN*故答案为：22-考 点 二 累乘法【例 2】(2022全国.高
20、三专题练习)已知数列 4 满足“=!，q=誓!。,1(2 2,“eN”)，则数列 叫3 2/7+1的通项为=()1A.%4/I2-1C-(2-l)(2 +3)【答 案】AB.-7 2 n2+lD，(+l)(+3)【解 析】数 列 叫 满 足.需整理得念=需%2 -5 -2 2 -14 5所有的项相乘得：叫二+1；吁)整理得：，=看故选：A.【一隅三反】1.(2 0 2 2黑龙江齐齐哈尔市第一中学校一模(文)数 列 4中，=1,当 22时，则数歹1 J 叫的通项公式为【答 案】行【解 析】因 为q=2 ,*,2所 以2=2 ,4-1 _ 2 T -2 _ 2n2 L _ 22an-2 a-3 a
21、累 乘 得:WB,尸”，(+2)(T)n2+n-2所 以 色=2 2 =2 1-,n 2,n e N%,.,n2+n-2.由于 q=1,所以-2 2，N2,nwN.an-z“，+“_ r显 然 当 =1时，q=l满 足 _2k,an-L”2+2所 以q=2,w N .,.,.,n+n 2故答案为：2.(2 0 2 2全 国 高三专题练习)设数列 4是 首 项 为1的正项数列，且(+1)匕|-图;+a,用q=0,则它的通 项 公 式。“=.【答 案】-n【解 析】由(+1)城|一 同 +*a“=O,则 (+1)%-n a (an+l+4)=0又数列%为正项数列，即为 0,4=1a 7 7所以（+
22、1）。”+1 _ “=0，即 3 =-+1一 t a al t_,4 n-l n-2 1 ,1所以=-.a=-x-x x x l =一。-2 a 一 1 2 n故答案为：一n3 （2 0 2 2 全国高三专题练习）已知数列%满足4=1,4=鹿（川-%）,则数列 4 的通项公式为。=（）A.2/7-1 B.f C.n2 D.n【答案】D【解析】由4,=（+。”），得，%+1 凡 1 n-l 一 2 a,2 八即3 =，则工=-=7,=r,.,=7 2 2,a“n a,-n-l an_2 n-2%n-3 at 1由累乘法可 得%=,所以a“=,2 2,a又4=1,符合上式，所以为=.故选：D.考点
23、三公式法【例 3-1（2 0 2 2 上海市）数列 q 满足4=1,4“+产S ，则数列 ,的通项公式为._ f l,n=【答案】an=y2-n2【解析】当=1 时，/=E=1；当2 2 时，=S“，所以a“=S,T，又a,=S“-S,i，所以两式作差得a,用一%=见，所 以.=2 a,（2 2）,即%L=2（*2）,所以数列 4 是从第二项起公比为2的等比数列，anf l,n =l所以4=2.-2,n 2-_ f l,n=故答案为：4=L.2、【例 3-2】（2022全国高三阶段练习（理）已知数列 4满足3一 4+3-2出+-+3”,1+“=2,n w N，则数列 的通项公式为.【答案】崖一
24、【解析】当=1 时，4=2.当2 2 时，3七+3 2 +.+3%+%=2 ,3 1 1 +33%+.+*=.-3x,得a“=-2T（N2）.因为4=2 不满足上式，所以4=1-2，2 22,n=l,故答案为：【一隅三反】1.（2022 上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列 q 的前项和S.【答案】a,尸0,n=l2n-n 2【解析】4 =0,=1一、,，整理得到4,=E,-S“T，”2 20,77=12时出故答案为：可2.（2022广西模拟预测（理）正项数列 ,的前项和为S“，且有S”=。2 -2,则数列 a,J的通项公式为0,=12n,n 21 ）+贝 I S“=_I aJ【答案】g【解
25、析】依题意0,S,=+：）,1 （“.当 =1 时，）=-q+=4=1,21%）当”2 2 时，2S=S-S,T+1-,S“+S“_=1-所以数列代 是首项为S：=a；=l,公差为1的等差数列,所以 S：=,S“=6（eN）故答案为：薪3.（2022云南昆明一中高三阶段 练 习（理）已知数列 可 满足4+生+a“=2（eN”）,则,=【答案】P =1【解析】记数列 q 的前项和为S“，则由题知S.=2 ,当=1时，4=2；当2 2时，2,n=（2,n=1%=5,S,T=2 -2 T=2 T,所以q=：T 故答案为：2,n2 2 2考点四构造等差数列【例4-1（2022四川省绵阳南山中学）已知数
26、列 为 满足4=1,“，用=渣，（*）,则痴=【答案】4=7二472-3an 1 4 1 1 1 1【解析】因为。,用=广7,所 以 丁 =4+厂，所以-=4,又一=1,数列 工 是 以1为首项，4为公差的等差数列.所 以;=1+4（,L1）=4-3,所以“=丁 二4 3【例4-2】（2022.江西）已知数列 4 满足：4=1,4 =2%+2T（2,n w N）,则4=.【答案】-2T【解析】由题设，*=料+；（心2）,即 墨 碧=；（心2）,而卜；，贺是首项、公差均为T 的等差数列，即 呈=g+g（-1）=,二4,=，小.故答案为：n-2-【例4-3】（2022.全国高三专题练习）已知数列
27、叫 满 足4=1,q-4 m=2a,au,求出数列 ,的通项公式；【答案】氏=白2/?-1【解析】因为。向=24 7，所 以 等 式 两 边 同 除 以 用 得 一匚-；=2,所以数列I 是以=1为首项，2为公差的等差数列，所以，=1+2（-1）=2附-1所以q=丁 二 J%an 2 n-l【一 隅 三 反】1.（2 0 2 2 全国课时练习）已知 数 列 ”“满 足=；,且。e=司 七，则数列4=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2十【答 案】专a.11c【解 析】由 凡+小 丁 七 可 得 一=一 +3,3 q+1%所 以 数 列 是 等 差 数 列，且 首 项 为2,公 差 为3,则
28、工=3-1,=-1-%3 n-l2.（2 0 2 2.全国高三专题练习）已知数列 4满 足q=1,且a“=g%T+（g）（之2）,则数列 ,的通项公式4,【答 案】罗 +2 解 析 V a=1a_,+出(N2),二 3na=3&+1(/2),即3%一3 ，*=1 (*2).又q=1,3 1吗=3,.数列 3 Z,是 以3为首项，1为公差的等差数列，.VaLS+e l）x l=+2,二数 列 q 的通项公式4=祟.故答案 为：甯.3.（2 0 2 2全国高三专题练 习）已知数列%的首项 =1,且各项满足公式4 m N*）,则数列 叫 +乙的 通 项 公 式 为（）221A.an=n B.an=-
29、C.an=iV D.an=-+ln【答 案】B【解 析】因 为 数 列 a,J的 首 项q=l,且 各 项 满 足 公 式=（）,贝1 生声0,生*。，L ,以此类推，对 任 意 的“EN,4尸0,由q+12a 1 2 +a”1 1f可 得 丁=黄=一+孑，所以,a+2 an+l 2an an 21 1 1-=一a +i 2所 以，数 列 是 等 差 数 列，且首项为工=1,公差为5,1 ,n-/?+1 2一 =1+1厂=f-,因此，a=；.故选：B.%2 2 n+考 点 五 构 造 等 比 数 列【例5】（2022安徽）设S.为数列%的前项和，若 卬=1，4川=2%+1,贝1。=【答案】=2
30、-1【解析【因为4向=24+1,q=l,所以。向+1 =2（4 +1）,即 也4=2,所以%+1是以2为首项，2为an +公比的等比数列，所以4+1 =2 ,所以【一隅三反】7 1 11.（2022.全国高二课时练习）在数列 ,中，4=看，”=：为+：,e N*，则该数列的通项公式=_ _ _ _ _ _8 2 35 2【答案】【解析】因为数列 为 中，a1 1 21,2、+l=a +,即4.一耳=3%-三，故数列14是首项为6 一|=5，公比 为;的等比数列，解得见=看出+|5_ 224.2“T十 故答案为：春+十2.（2022上海市控江中学）已知数列 ,满足4=1,。，川=3a“+l（eN
31、,”21）,则其通项公式。“=【答案】：(3-1)【解析】令+1+C=3(q+C),则 1=3凡+2C,又+1=3a+1,C=，故 0用+；=3a,+；),而 4+=,1 3 1 1是公比为3,首项为3,则a,+：=*3 T,故答案为：:(3-1).3.（2022福建省长汀县第一中学）已知数列 q 满足=1,%+尸-V（N），则，的前 项和为【答案】2+2_3 一4【解析】数列 满足4=1，4川=度 丁（心，整理得：%H+3aMia,1 （1所以-+3=2 +3,。”+1 I7故P-+3 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以工+3 =4.2”=2”“，所以J _ =2 +i3,所以 口的前项和牛P +3 =2%44J I”故答案为：2 +2-3-4-3 7 1-4