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1、佳 木 斯 大 学授 课 教 案（2009-2010学年第1学期）课 程 名 称年 级线 性 代 数2008 级教研室大 学 数 学 第 一 教 研 室任 课 教 师佳 木 斯 大 学 教 务 处 制使 用 说 明一、从本学期起，一律使用电子教案并自行打印。字体一律使用“五号”字，用 A4纸打印。授课教案书写不得空项，每次课的授课教案按90分钟设计。二、学生名单应在上课前填写任课班级学生姓名，在每次上课时记录学生出席情况。三、课程授课情况及总结应在课程全部结束后一周内全部填写完整。四、考勤符号：a)事假 O 病假 x 旷课b)/迟到 早退五、课程教学评价是在完成全部教学任务及试卷分析基础上，对
2、本课程的教师水平、教学条件、教学效果、课内外活动等项内容的全面分析，特别是要结合本门学科的新知识、新技术、新进展及学生的智力水平进行分析，以促进本门课程的教学改革，提高教学质量。佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.8.263-4 节（计 90 min）授课题目 1、1 二阶与三阶行列式1、2 全排列及逆序数1、3 n 阶行列式定义课 型理论课使用教具常规教学教学目的1.会用对角劣2.通过给nV方法则计算2 阶和3 阶行列式、行列式定义，逐步培养学生的抽象思维能力教学重点和难点重点：n 阶行列式定义难点：n 阶行列式定义
3、参考教材1.线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.线性代数同步测试，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容 时间分配及备注一、引 言（线性代数发展简介）2分钟-、*.、二阶与三阶行列式定义对角线法则：只 对2阶 和3阶行列式适用5分钟20分钟四、一）二阶:。=D=二）三阶计算排列的逆J一）全排列；二）逆序和逆J三）奇排列和彳四）总结三阶彳a a 2a2 a22a a2a2 a22a3 a32手数的方之至数；禺排歹1；亍列式的牛=a。1 3。2 3。3 3学点,1%一2 a 2 1=。1 1。2 2。3 3 +%2 0 2 3 a 3 1 +。3%1。3 2一3 a 2 2。3
4、1 一。1 2。2 1。3 3 一。1 1。2 3。3 2P加以推广3分钟5分钟2分钟2分钟五、n阶行列式D=一）n阶行2列式出定义a a2 a na2 a22 a2nan an2 an川式定义是重点，也t,通过观察与归纳=Z（-D M的（P1P2 P n）是难点。其处理方法是：从二阶与三阶行利用全排列及逆序数，逐 步 引 出n阶行8分钟5分钟列式定义二）行列式的定义中应注意两点：5分钟1.和式中的任一项是取自。中不同行、不 同 列 的 个元素的乘积。由排列知识可知，。中这样的乘积共有!项。2.和 式 中 的 任 一 项 都 带 有 符 号（-1）,f为 排 列（pH2p）的逆序数，即 当P
5、R P”是偶排列时，对应的项取正号；当P R P”。是奇排列时，对应的项取负号。六、例题讲解及练习七、小结八、本授课单元思考题、讨论题、作业：)作业：1 (1),2(5)二)思考题：1.对角线法则适用于几阶行列式？2.怎样理解n 阶行列式定义？28分钟2 分钟1分钟2 分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象0 8级材料成型、铸造专业授课时间0 9.8.2 83-4 节授课题目1、4对换1、5行列式性质课 型理论课使用教具常规教学教学目的通过了解行列式性质的证明过彳阿，逐步培养学生的逻辑推理能力教学重点和难点重点：行列式的性质难点：行列式的性质的证
6、明过程参考教材1 .线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2 0 0 5年；2 .工程数学例题与习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1 996年；3 .线性代数同步测试，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注一、复习行列式的定义二、对换定义-）排列经一次对换改变一次奇偶性；二）、任意一个n元 奇（偶）排列，总 可 经 奇（偶）数次对换变为标准排列，三、行列式的性质（掌握），处理方法是：从对换与排列的奇偶性间的关系及n阶行列式的另一定义出发，了解行列式性质的证明过程，从而逐步掌握行列式的性质一）行列式。与 它 的 转 置 行 列 式 相 等。
7、二）互换行列式的两行（列），行列式变号。三）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子女,则k可提到行列式记号之外。四）行列式中如果有两行（歹U）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。五）若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。六）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。四、一些常见的行列式五、例题讲解及练习六、小结七、本授课单元思考题、讨论题、作业：）作业：5 （2）,（5）二）思考题：1.行列式有哪些性质？2分钟3分钟6分钟6分钟2分钟5分
8、钟5分钟5分钟5分钟5分钟5分钟8分钟2 5分钟5分钟1分钟2分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.2 3-4 节授课题目 1、6 行列式按行（列）展 开 1、7 克拉默法则课 型理论课使用教具常规教学教学目的通过掌握行列式按行（列）展开法则，简化行列式的计算，同时会利用克拉默法则解决n 元线性方程组的有关问题，初步培养学生应用所学知识分析和解决实际问题的能力教学重点和难点重点：行列式按行（列）展开法则及克拉默法则难点：行列式按任一行（列）展开公式及代数余子式的概念及重要性质的证明参考教材1.线性代数，程
9、铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.工程数学例题与习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容 时间分配及备注、复习行列式的性质5分钟二、三、四、五、六、七、行列式按行（列）展开一）把阶行列式中（i,j）元与所在的第i 行和第j列划去后所成的n-1阶行列式称为（/,；）元%的余子式，记作Mij；记&=（-1）,+7M.,则 称&为&j）元的代数余子式。二）阶行列式等于它的任一行（歹 U）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第i 行展开：D=q4+a,2A?+a A（i =1,2,）；或可以按第，列展开：=,/I.+a2
10、/2.+-+a/y（j =1,2,）.三）行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即+4 2 4 几 +%,4加=0，#J，或 1,A；+aniAn j=0,i H j克拉默法则一）用克拉默法则解线性方程组的两个条件：（1）方程个数等于未知元个数；（2）系数行列式不等于零。二）克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.用克拉默法则求含有 个未知元再,彳2,X,的个线性方程的方程组例题讲解及练习小结本授课单元思考题、讨论题、作业：）作业：7（2）,（5）（6）,8（1）,10二）思考题：1.计算行列式
11、通常采用的方法有哪些？2.克拉默法则的适用条件是什么？5 分钟10分钟8 分钟12分钟8 分钟34分钟5 分钟1分钟2 分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.4 3-4 节授课题目第 一 章 行列式课 型习题课使用教具常规教学教学目的理解n 阶行列式的定义，掌握行列式的性质，并利用行列式的性质化简、计算行列式。教学重点和难点重点：n阶行列式的定义、性质及行列式按行（列）展开法则，并利用这一法则并结合行列式的性质计算一般难度的行列式；有关齐次线性方程组有非零解的必要条件。难点：n阶行列式的性质及其利用其性质
12、求基本或有般难度的n阶行列式。参 考 教 材 L 工程数学例题与习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容时间分配及备注-、本章小结二、习题精讲-）计算下列行列式：1234 1+x 1 1 12341 1 1-x 1 11.2.3 4 1 2 1 1 1+y 14 1 2 3 1 1 1 -y1 2 3 4 52 2 2 1 1二）已知 3 1 2 4 5，求：（1）A 3 1+A 3 2+A 3 3 ；Q）A 3 4+A 3 51112 24 3 1 5 02X 1-x2+3X3+2X4=63x,-+3x,+lx.=5三）用克莱姆法则解线
13、性方程组：2 3 43再一工2 一 工3+214=33%一 天 2+313 =4（1 +4）玉+%2+尤3+工 4=1%,+（1+厂+X”=2四）问几取何值时，方 程 组 I,八、有唯一解/+工2+（1 +%）尤3+工4=3$+/+工3+（1 +义）14=4五）其他习题六、作业：5 （5）,7 （4）,91 5 分钟2 0 分钟1 0 分钟1 0 分钟1 0 分钟2 4 分钟1 分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象0 8 级材料成型、铸造专业授课时间0 9.9.9 3-4 节（计 9 0 m i n）授课题目2、1矩阵 2、2矩阵的运算课 型理
14、论课使用教具常规教学教学目的从矩阵应用的广泛性出发，使学生了解矩阵的概念；从矩阵与矩阵间的关系出发，掌握矩阵的运算教学重点和难点重点：矩阵及其运算法则难点：矩阵与矩阵相乘参考教材1.线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.工程数学例题与习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容时间分配及备注、矩阵的定义二、矩阵的加法）矩阵的加法定义二）矩阵加法运算规律三、数与矩阵相乘-）数与矩阵相乘定义-）数乘矩阵运算规律四、矩阵与矩阵相乘一）矩阵乘法定义-）矩阵乘法运算规律三）矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义，特别强调前面矩阵的
15、列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.四）特殊矩阵：（单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，三角矩阵）五）矩阵的幕六、矩阵的转置一）矩阵的转置定义二）矩阵的转置运算规律七、例题讲解及练习八、小结九、本授课单元思考题、讨论题、作业：）作业：3,4（4）,8,10-）思考题：1.为什么矩阵乘法不满足交换律？2.矩阵的转置运算有哪些规律？3.什么是对称矩阵？4.方阵的行列式有哪些运算规律？8 分钟3 分钊5 分钟3 分钟5 分钟8 分钟5 分钟2 分钟7 分钟2 分钟6 分钟30分钟2 分钟1分钟3 分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线
16、性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.11 3-4 节授课题目2、3逆矩阵 2、4 矩阵分块法课 型理论课使用教具常规教学教学目的1.从线性变换的可逆性引出矩阵可逆的定义，使学生清楚可逆阵的概念及矩阵可逆的充要条件2.使学生了解矩阵的分块法，以简化矩阵的运算教学重点和难点重点：1.逆矩阵的概念及性质和矩阵可逆的充要条件2.分块矩阵的运算及矩阵的按行和按列分块法难点：1.逆矩阵的概念及性质和矩阵可逆的充要条件2.分块矩阵的运算及矩阵的按行和按列分块法参考教材1.线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；教学内容时间分配及备注一、复习矩阵概念及其运算二、对
17、于阶矩阵A,如果有一个阶矩阵B，使AB=BA=E说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称逆阵.记为A-三、如果A 可 逆，则 A 的逆阵是唯一的四、矩阵A 可逆，则 同*0五、若|川W 0,则矩阵A 可逆，且其中4*为 A 的伴随矩阵.六、若 A 5 =E(或BA=E),则 3 =4 一|七、逆阵性质八、矩阵分块法九、例题讲解及练习十、小结十一、本授课单元思考题、讨论题、作业：)作业：11(1)(3),12(2)(3),16二)思考题：1.判断矩阵可逆的常用方法有哪些？2.怎样解矩阵方程？5 分钟8 分钟4 分钟5 分钟8 分钟4 分钟12分钟25分钟13分钟3 分钟1 分钟2
18、分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.996 34 节(计 90min)授课题目第 二 章 矩阵及其运算课 型习题课使用教具常规教学教学目的1、掌握矩阵的概念2、掌握矩阵的运算3、掌握逆矩阵的性质及可逆矩阵的判定及其求法4.掌握初等变换和初等矩阵5.会用初等行变换求逆矩阵及矩阵的秩教学重点和难点重点：矩阵的定义；一些特殊的矩阵：矩阵的运算规律，特别是矩阵的乘法；方阵的伴随阵的构造及其性质；逆阵存在的充要条件及求法。难点：逆阵存在的充要条件及求法。参考教材1.线性代数,程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；
19、2.工程数学例题与习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年;3.线性代数同步测试，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注一、本章小结二、习题精讲)填空：-1 3 2-1 1 n l(1)若 4=,B=,贝 UA 2 8=。-1 4J)-51 2(2)设 2 1 ,贝必A?=_ o_3 0F1 2 31(3)设 A=0 1 2,则A=_ o0 0 1-0 1 r(4)设 A=1 0 1 ,贝必的秩R(4)=_。_1 1 0ax 0 00 cij 0(5)对 角 矩 阵 A=.2.可 逆 的 充 分 必 要 条 件 是 .0 0 an_ O
20、10分钟20分钟二)计算：-2 ：-2 1 0-13(2)求矩阵A的秩，1 0 0 0 2 2 0 04=3 3 3 04 4 4 4_ 5 8 9 1 2(3)求A的逆矩阵p 0 8 14=3-1 6-2 0 -53 1 0 1 F 1 0 2 1(4)已 知4=-1 2 1 ,B=-1 1 1 ,求 满 足 方 程3 4 2 _|_ 2 1 13 A-2 X=8中的乂。三)其他习题作业：1 7,2 3,2 53 0分钟2 9分钟1分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.998 3*4 节（计 90min）授
21、课题目3、1矩阵的初等变换 3、2初等矩阵课 型理论课使用教具常规教学教学目的使学生能够掌握矩阵的初等变力奂及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法教学重点和难点重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法难点：初等矩阵的性质参考教材1.线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.工程数学例题与习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；3.线性代数同步测试，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注一、矩阵的初等变换定义与记号)初等行变换&一。“乂 左”十与),A 与 8 行等价(A B);二)初等列变换(c,c q x Kq
22、+S),A 与6 列等价(4:8);三)初等变换,A 与 8 等价(A 8).(E 0)四)矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形尸=1 0 0)1 /m xn二、初等矩阵一)定义单位阵经一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵.二)对矩阵A 作一次初等行(列)变换相当于用对应的初等矩阵左(右)乘A.三)方阵A 可逆0 4:Eo A=4 鸟 片(耳为初等矩阵)A 8 o存在可逆矩阵P,0 使5=PAQ.四)若(4,8)(E,X),则 A 可逆，且 X=A-1氏 特别地，若(A,E):(E,X),则A 可逆，且 X=A三、例题讲解及练习四、小结五、本授课单元思考题、讨论题、作业：)作业：2(2)(4),3,4
23、(1)二)思考题：1.一个非零矩阵的行最简形与行阶梯形有什么区别和联系？2.矩阵的初等变换与初等矩阵有什么关系？3.矩阵的初等行(列)变换有哪些？8 分钟8 分钟6 分钟10分钟3 分钟10分钟10分钟5 分钟24分钟3 分钟1分钟2 分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.23 3-4 节授课题目3、3 矩阵的秩 3、4线性方程组的解课 型理论课使用教具常规教学教学目的1.通过对矩阵的秩的定义及求法，使学生明白矩阵的秩在矩阵理论中重要性2.利用矩阵的秩，使学生清楚线性方程组的解Ax=b有解的充要条件，并能
24、用行初等变换求解线性方程组的解。教学重点和难点重点：1.矩阵的秩的概念和基本性质及用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法2.齐次线性方程组的解有非零解的充要条件和非齐次线性方程组的解有解的充要条件及用行初等变换求解线性方程组的解难点：1.理解矩阵的秩的概念和基本性质2.理解齐次线性方程组的解有非零解的充要条件及非齐次线性方程组的解有解的充要条件参考教材1.线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2 0 0 5 年；2 .工程数学例题与习题(卜 一 册)，工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1 9 9 6 年；3 .线性代数同步测试，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分
25、配及备注一、复 习 L 初等变换和初等矩阵 2.用初等行变换求逆矩阵二、矩阵的秩一)定义矩阵的左阶子式，矩阵的秩(E 0、二)R(A)=ro A的行阶梯形含，个非零行o A的标准形尸=r.I。o J三)矩阵秩的性质 0 4 R(A)4 m i n m,;R(A T)=R(A);若 4民 则 R(A)=R(8);若 P,。可逆，则 R(P 4 Q)=R(A);m a x R(A),R(8)R(A,B)R(A)+H(B);特别地，当8为列向量人时，有R(A)R(A,b)R(A)+1;R(A +B)4 R(A)+R(B);R(AB)m i n 7?(A),R(B);若 纥*尸 0,则 R(A)+R(
26、B)4.三、线性方程组的解法-)元线性方程组A x =A无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A )=；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n.二)求解线性方程组的步骤(见教材)四、线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,h).5分钟5分钟1 5 分钟1 5 分钟1 0 分钟4分钟3分钟3分钟五、n元齐次线性方程组A,，/=0有非零解的充分必要条件是R(A)n.六、矩阵方程A X =8有解的充要条件是R(A)=R(4,8).七、例题讲解及练习八、小结九、本授课单元思考题、讨论题、作业：)作业：9 (1)(2),1 2 (1)
27、,1 3 (2)(3)-)思考题：1.什么是矩阵的秩？求矩阵的秩有几种方法？2.用初等行变换法求解线性方程组的主要步骤是什么？6分钟1 9分钟2分钟1分钟2分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.25 3-4 节（计 90min）授课题目第三章矩阵的初等变换与线性方程组课 型习题课使用教具常规教学教学目的1.掌握初等变换和初等矩阵2.会用初等行变换求逆矩阵3.理解矩阵秩的概念4.利用初等变换求矩阵的秩教学重点和难点重点：矩阵的秩的定义、性质及求法，可逆阵的逆阵的求法以及解矩阵方程；n 元齐次线性方程组和n
28、元非齐性线性方程组有解的充要条件及其解法。难点：矩阵的秩的定义、性质；n 元非齐性线性方程组的解法。参考教材L 线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.工程数学例题与习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；3.线性代数同步测试，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容 时间分配及备注一、本章小结二、习题精讲)填空：1 2 -1 P1 .设矩阵 A=2 1 3 1 ,则R(A)=_ _ _ _ _ _ o3 1 2 2)2.设A为四阶方阵，且R(A)=3,贝 有R(4*)=_ _ _ _。代 1 1 1)1 A:1 13 .设矩阵A=,
29、且R(A)=3,则 女=_ _ _ _ _ _。1 1 A:1L 1 1 j4.设A是解方阵，且 砥4)=1,则R(A*)=_ _ _ _。5 .设 7?(4)=八，R(A)=r2,矩阵 1,则 R(C)=_ _ _ _。2 3 1 7、二)设4=3 7 6 2,且R(4)=2,求x的值、5 8 1 x ,1 0分钟1 5分钟8分钟三)试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：1 3 2、(1)A=2 6 5 1 3 J1 1 1 1、11-1-1(2)A=1-11-1U -i-i dX+ax2+X3=3四)问 应匕取何值时线性方程组,X+2a 2+X3=4 有唯一解、无解、无穷多X+bx3-
30、4解？在有无穷多解时，求通解。五)其他习题六)作 业：5,11,15,1730分钟10分钟16分钟1 分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间45min授课题目 4.1 向量组及其线性组合课 型理论课使用教具常规教学教学目的理解向量组的线性组合及线性表示的定义；掌握向量能够用向量组表示的方法；会利用矩阵的秩判断向量组的等价；教学重点和难点重点：向量的线性表示；向量组等价的判定；难点：线性表示与方程组有解得关系；向量组等价与矩阵的秩的关系参考教材1.线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.工程数学例题与
31、习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容 时间分配及备注一、向量及其运算1、向量：个 有 次 序 的 数 所组成的数组称为“维向量。分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.2、线性运算：（1）向量的加法：（2）向量的数乘二、向量组及其线性组合1、线性组合给定向量组A ：4,。2,对于任何一组实数&表达式 kxax+k2a2 H-1-kmam称为向量组A的一个线性组合，*心，*称为这个线性组合的系数.2、线性表示给定向量组A：6,。2,金，和向量仇如果存在一组数4，4,，4,，使匕=4%+4%+4“%,则向量b是向量组A
32、的一个线性组合,称向量b能由向量组A线性表示。3、定 理1向量。能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A =（q,出，,）的秩等于B=（如%，a.M 的秩.例 1 设色（3 （2 （2T%=31 2 2 1 3 0 1W 切 U 证明：向量b能由向量组四,出,。3线性表示，并求出表示式。4分钟与矩阵的运算相同3分钟k1,k2,-,km 为任意一组实数3分钟存在一组实数4,44分钟利用方程组A x =b有解的判别条件3分钟推 论:向量组A ,a m与向量组B :仇,也 等 价=R(A)=R(B)=R(A,B),其中 A =(%,%，4)，5 =(4也,，仇)4、向量组的等价：设有两个向量组A
33、做,明 及8：仇 也，也，若B组中的每个向证:因A组与B组互相线性表示，故知&(A)=R(4,B),R(B)=R(B,A)而 R(B,A)=R(A,B),故 R(A)=R(B)=R(A,B)5、性质：(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性结论：若矩阵A与矩阵B行(列)等 价，则A的 行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。6、定理2向量组8：4也,也能由向量组,册,线性表示=矩阵A =(%,电，4)的秩等于矩阵(A,8)=吗,狐,优也，仇)的秩，即 R(A)=R(A,8)推论：向量组A:%,g,“与向量组8 ：仇 也，也 等价=R(A)=R(B)=R(A,B),其中 A =(4当,M,“)，
34、8 =(仇,名,也)例2已知向量组A：41=1 ,%=1 B：d=0,b2=2也=2U H u J U 1-1证明：向量组A与向量组B等价。7、定理3设向量组8：仇 也，也能由向量组A:%,“2,线性表示，则R(仇也，仇)4 明,)三、小结1、n维向量 2、向量组3、线性组合 4、线性表示5、向量组等价 6、几个结论四、练习五、本授课单元思考题、讨论题、作业：.)作业：3.4.5二)思考题：2分钟2分钟2分钟4分钟利用矩阵方程A X =8有解的判别条件2分钟2分钟2分钟3分钟8分钟1分钟课后小结佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称:线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授
35、课时间45min授课题目4.2 向量组的线性相关性课 型理论课使用教具常规教学教学目的理解向量组线性相关与线性无关的概念；掌握向量组线性相关性的判别方法教学重点和难点重点：向量组线性相关及线性无关定义；向量组线性相关性的判别方法；重要结论难点：线性无关的判别；线性相关的结论参考教材1.线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；3.线性代数同步测试，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容 时间分配及备注一、线性相关：4分钟给定向量组4:%,敢,若 存 在 不 全 为 零 的 数 吊,2,，心，使%+k2a2+-+kmam=0则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关的，即若3+k2a2+
36、-+kmam=0当 且 仅 当 占=七=%,=0二、线性相关的判定1、定 理1向量组A：%,%，金线性相关o 向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。4分钟充要性证明2、定理2向量组4：%,“2,4”线性相关 矩阵A =(%,%，金)的3分钟秩小于向量个数机；向量组线性无关=R(A)=m.(-1 (2 (1)例1已知=3,a2=,%=4,试 讨 论 向 量 组 及b)3 向量组外 的线性相关性。3分钟例2已知向量组外,。2 M 3线性无关，仇=+“2,%=%+的，8分钟%=%+%，试证向量组”,与，&线 性 无 关。三种证法3、定理3(1)向量组A :%,g,线性相关，则向量组8
37、分钟8:M m，%+1也线性相关。反之，若向量组8线性无关，则向量组A也线性无关。（2）机个维向量组成的向量组，当维数小于向量个数?时一定线性相关。特别地，+1个维向量一定线性相关。（3）设向量组4 吗,。2,明 线性无关，而向量组8：%,4，见“”线性相关，则向量力必能由向量组A线性表示，且表示式是惟一的。三、小结:1.线性相关与线性无关的概念;线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）2.线性相关与线性无关的判定方法：定义、几个定理.（难点）四、练习五、本授课单元思考题、讨论题、作业：.一）作业：6.8.11.12）思考题:课后小结3 分钟11分钟1 分钟佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课
38、程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间45min授课题目 4.3 向量组的秩课 型理论课使用教具常规教学教学目的掌握最大无关组的定义及向量组秩的定义；会求向量组的最大无关组；掌握关于最大无关组的几个性质教学重点和难点重点：向量组的最大线性无关向量组；向量组的秩的结论；求向量组的最大无关组难点：求向量组的最大无关组参考教材 线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；教学内容 时间分配及备注一、复习：矩阵的秩：矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如5分钟果存在的话)全等于0,则D称为矩阵A的最高阶非零子式，而数r称为矩阵A的秩，记作：R
39、(A)二、向量组的秩3分钟1、最大无关组：设向量组A,若能在A中能选出r个向量,%，,对，满足(i)向量组 A):a 的,、%线性表示；(i i)向量组A中任意计1向 量(若A中存在r+1个向量的话)线性相关则称向量组&是向量组A的一个最大线性无关向量组。例1讨论向量组A：=“I0，Q,二1a3 =2的线性相关性。3分钟(0；3；2、性质：4分钟(1)最大无关组不一定惟一；(2)线性无关的向量组的最大无关组是其本身；(3)向量组与它的最大无关组等价；(4)两个最大无关组中所含向量的个数相同。3、向量组的秩：最大无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩。2分钟记作：RA4、最大无关组的等价定义：设
40、向量组A。：,电,%是 向 量 组 A 的一个部分组.，且满足：(i)向量组A 0 线性无关；(i i)向量组A的 任 一 向 量 都 能 由 向 量 组:现行表示；则向量组4)：4，如，明便是向量组A的一个最大无关组。5、矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。例 2 设矩阵(2-1-1 1 2)4-11-214A 4-6 2-2 4 1、3 6-9 1 9)求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量组用最大无关组现行表示三、小结1、向量组的最大无关组；2、最大无关组的性质；3、向量组的秩；4、最大无关组的等价定义；5、向量组的秩与矩阵的秩的关系四、练习五
41、、本授课单元思考题、讨论题、作业：.)作业：13.15.17-)思考题：5 分钟2 分钟3 分钟3 分钟14分钟1 分钟课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间45min授课题目4.线性方程组的解的结构课 型理论课使用教具常规教学教学目的1.理解基础解系的概念。2.掌握齐次线性方程组基础解系的求法。3.掌握非齐次线性方程组解的求法教学重点和难点重点：线性相关性在线性方程组中的应用；难点：基础解系的求法参考教材1.线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.工程数学例题与习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北
42、京：高等教育出版社，1996年；教学内容 时间分配及备注一、齐次线性方程组解的性质（性 质 1、性质2、定理7）线性齐次方程组AX=O （A 是相x 矩阵）解的性质：（1）设 X1,X2是 4X=0 的两个解，则幺X1+%X2也是AX=O的解，其中月,依为两个任意数；（2）零解X=0 总是AX=O的解；AX=O有非 零 解=秩（A）3时，它没有直观的几何意义.例 3 集合 y=x|x=(0,X 2,.：、X.)r,X 2,.:“,X R 是一向量空间.例4集 合 上 比 但 住 以:-也 匕 以 尸相号不是向量空间.例5齐次线性方程组的解集5=x|A x=0 是一个向量空间例6非齐次线性方程组
43、的解集S=x|A x#不是向量空间.例7设a,力为已知的维向量，集合L=x x=a+d Z e R 是一个向量空间.例8设向量组外,a*,厮与向量组玩岳，,瓦等价，记L i=x|x=Aif l|+九2败+,+乙阳”4,爸,.：“，&e R,L2=X X=1 仇+2。2+M M l,2,.：“，s e R,试证 Li=b定义7设有向量空间V 1及V2,若就称是 的子空间.定义8设V为向量空间，如果r个向量勾,。2,一,小 匕且满足(1)、火 线性无关；(2)丫中任一向量都可山4 1,色,、W.线性表示，那么，向量组外,。2,.就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数，并称丫为r维向量空间
44、.如果向量空间丫没有基，那 么V的维数为0.0维向量空间只含一个向量0.若把向量空间V看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，V的基就是向量组的最大无关组,丫的维数就是向量组的秩.3分钟3分钟3分钟2分钟3分钟2分钟3分钟2分钟4分钟6分钟例 9(2 2 f设 A =(a,a2,。3)=2 1 2、-1 2 2,(1 4 8=(仇,%)=0 3 .验 证 小 的1-4 2J是 R3的一个基，并求仇,b2在这个基中的坐标.例 1 0 设 A:。尸(2,2,-I)念=(2,7,21，的=(一1,2,2尸；B:=(1,0,-4)r,岳=(4,3,2尸.验证句,“2,的是R 的一个基，并 求，岳在这
45、基中的坐标.例 11在 R 3 中取定一个基4 1,敢,“3,再取一个新基小，砥 砥 设 A=(即。2,。3),B=(b,b2,bj).求用外,念,的表示仇,坛岳的表示式(基变换公式),并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).二、本章节习题课1、本章小节2、习题精讲课后小结4分钟5 分钟5 分钟8 分钟3 7 分钟佳 木 斯 大 学 授 课 教 案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间90min授课题目5.1 向量的内积、长度及正交性课 型理论课使用教具常规教学教学目的掌握向量内积的定义，会利用施密特正交化过程将向量正交化。教学重点和难点利用施密
46、特正交化过程将向量正交化参考教材1.线性代数，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.工程数学例题与习题（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容 时间分配及备注一、内积1、定 义1 :X,V,设有n维列向量*=.*,y=.,4-x,y =x,y,+x2y2+-+xnyn,dn,、y Jx,y称为向量x与y的内积。2、性质：(i)x,y=y,x ;(ii)Zx,y=y,Ax=Ax,y;(iii)x+y,z =x,z +y,z.(iv)当x =0时,x,x =O；当xw O时，x,x 0；(v)施瓦茨不等式x,y 0;当x =O时卜|=0；
47、1 0分钟内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当x与y都是列向量时，有x,y =xTy4分钟长度又叫范数当卜|=1时，称X为单位向量。4分钟(ii)齐次性：陀|=囚 国(iii)三 角 不 等 式:|x+y|x|+|y|3、正交：定义3：当x,y =O,称 向 量 x与 y 正交。注：（1）两非零向量正交的充要条件是x,y =O,（2）若不含零向量的向量组中的向量两两正交，则称其为正交向量组。4、定 理 1：若 n 维向量小/2,a,是一组两两正交的非零向量，则,a,线性无关。例 1：已知3 维向量空间R 中两个向量a =1 ,a2=2 正交，试求一个非零向量a?,
48、使两两正交。5、规范正交基定 义 4：设 n 维向量仇通2,牛是向量空间V（Vu R）的一个基，如果e”e2,两两正交,且都是单位向量,则称e e2,是 V3分钟若 x =0,则 x与任何向量正交8分钟7分钟的一个规范正交基。0、1、1、就 是 R 4的一001正11至oo-ce1一行oo=岛如77oI-个规范正交基。注：向量在规范正交基中的坐标的计算公式:设4,0 2,q是向量空间V的一个规范正交基，那么V中任一向量a 应能由0 ,e2,线性表不，该表示式为a =+&e?+与。为求其中的系数4（i =l,r）,可用e：左乘上式，有e：a=4 咪e,.=4即 4 =e：a-a,e j。6、把a
49、1,a2,a,这个基规范正交化：设a”a2,a1 是向量空间V 的一个基，要求V 的一个规范正交基。这也是,找，组 网 网H1 1,处的单包同量 耳，.j1 1,盯使1%,马,a：l,1%等价这样一个问题，称为把,a2,a1 这个基规范正交化。我们利用施密特(Schi m i dt)正交化过程把a“a2,a,规范正交化：取瓦=a,b,a22 a2 k 1 E，M，bJb.a -Mb-I Jb _也 二 包 Lbr r bb,1 b2,b2 2 及 45此时瓦加2,b,两两正交,且瓦42,b1 与 为/2,a 等价。然后，把它们单位化，即d=二1)”2=2 广-=工，就是丫Mi l h|蚓|的一
50、个规范正交基，此过程称为施密特正交化过程。(4 例 2：设4 =2 /2 =3 ,a3=-1 ,试用施密特正交化过程把这W组向量规范正交化。例 3：已知为=1 ,求一组非零向量a2,a?,使小声2/3 两两正交。三、正交矩阵：1、定义5:若 n阶方阵A满足：ATA=E,(即AT=AT),那么称A为正交矩阵，简称正交阵。注：(1)方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交。(2)上述结论对A的行向量也成立。(3)n阶正交阵A的 n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基。例如，下面的矩阵都是正交阵：施密特正交化过程不仅满足 b,b2,-,br与 a”a2,等价，还满足