2023年高考数学大招4比值或作差代换.pdf

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1、大招4 比值或作差代换大招总结本节我们来重新审视极值点偏移问题，并给出新的解题方法，极值点偏移问题的一般形式是：已知函数的极值点为也 两相异实数也C满 足 以)=/他)，求证。+/?(1 时,/(%)g(x);如 果 玉。，且/(尤|)=/。2)，证 明 再+%2 2.解 /(x)=(17)e，r(x)=O,解得x=l,当X变化时r(x),/(X)的变化情况如下表：X(-8)1(l,+oo)fM+0-/(X)/极大值所以/(x)在(-8,1)内是增函数，在(1,+O)内是减函数.函数/(X)在尤=1处取得极大值/且/=1 .e 证 明：由题意可知g(%)=2-x),得g(x)=(2-函 二 令

2、F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xex+(x-2)ex-2,于是 F(x)=(x-l)(e 242 i)e T,当方 1 时，2x2 0,从而 e 2*-2i。,又e-0,所以F(x)0,从而函数尸(x)在 工+o。)上是增函数.又%1)=二 一0-|=0,所以 x l 时，有/(%)尸(1)=0,即 x)g(x).(3)证 明：方 法1 ：若(%。(尤2 T)=。，由 及/(%|)=/(%2)，则X1=%2=1.与工尸七矛 盾若(1(21)。，由 及/(%)=/(马),得X=工2.与 百 矛 盾.根据得(h-。(马一1)0,不 妨 设 不 1.由(2)可知，w)g(w),则8(%2

3、)=/(2-)，所以/(%2)/(2-%2)，从而得/(2一%2).因为工2 1，所以2-尤2 2 马，即 +2.方法2:由/(%)=/(4)，得入户 一 国=we，化简得,X不妨设2玉，由方法1知，0 V xi 1 0,工2=，+玉，代入化简式，得e =,反解出=丁 二，X,e -1则 x1+x2=2x2t 2t+/=-+r,故要证x+s 2,即 证 丁 二+，2,又因为占一1 0,等价于证明：ef-l-ef-l21+Q 2)(e 1)0,构造函数GQ)=2r+Q 2冷 一1),(r 0),则G(f)=(f l)e+1,G,(t)=t e 0故 G在 r e (0,+oo)上单调递增，G(f

4、)G(0)=0,从而G(f)也在，e(0,+8)上单调递增，G(r)G(0)=0.例2.已知函数/(x)=x-a e*有 两 个 不 同 的 零 点x2,求 证：%+%2 2.解 证 明：/(幻=1 a e*函数/(x)有两个零点为，x2 1所以西=aex,&=四的因此=a(e*e*),即a 一 去，evi要证明%+%2,只要证明a(e*+e*)2,即 证：(王一乙)：二 区 2.e +1不妨设百2，记，=%一%2，则r 0，ez 1,因此只要证明：入-2,即(/2)e+f +20.记h(t)=(t-2)ez+r+2(r 0),则H=Q l)e +1.记m(t)=(f-l)e,则加(f)=/e

5、 .当 r 0时，加(f)0,所以加(。加(0)=1,即/0时。-l)e 一1,)(),所以Q)(0)=0,即。2)e+f+2 0成立，所 以 +2.例3.已知函数/(x)=lnx-a r,。为常数.(1)若函数/(幻在x=l处的切线与x轴平行，求。的 值；(2)当。=1时，试比较/(M与的大小；m)(3)若函数/(X)有两个零点M、/试证明为%2 e 2.解(1)由/(x)=ln x-iix,得：f (x)=-a ,x函数/(X)在 =1处的切线与X轴平行，/(1)=1-tz=0,即 a=l;(2)当 a=l 时，/(x)=lnx-x,/(x)=-1=-,X X当0%()./(x)单调递增时

6、，当x 1时，/(X)0,/(X)单调递减.令(加)=/(加)一/1，rn)(1 1 )n m-m-In-(m m)2 n m-m+,me8/、2 1 1 一竹+2 m-l则 h(m)=1 -=-m mr m又/z(l)=0,当 0 相 0,即；当选=1时,h(m)=0,即/(加)=/()；当相 1时，hni)0,即/(“)e2，即证In%+111犬2 2.In%+ln%2=(+%2),、2 人 人 In x-In x7 2 即证-，原命题等价于证明 一!-Xj+X2 玉一%2%+工2即 证：In 2 9(%2).令 五=,贝 打 1,x2 X 1 +工2 x2设g=1/符g小舟=”g 在(1

7、+8)上单调递增,又 g(l)=。,A g(t)g(l)=O,.2 2t-i2即 将”.方法2:直接按换元构造新函数：。=屿=跖。譬=强,x x2 In x X j设 e-Inx,+Inx2 2 0-Inr 2,1 1设 g(r)=In，-2 D(r 1),g，(f)=1-,=:鼻z+1 t(f+1)t(t+l)2g在)上单调递增，又 j g =0,.gQ)g(l)=0,lnt 2 二 1),即 M 2e2.t Q X例4.已知函数/(X)=；Inx(1)若/(X)在点卜2,/卜2)处的切线与直线4x+y=0垂直，求函数/(x)的单调递增区 间；(2)若方程/(X)=l有两个不相等的实数解再，

8、*2，证 明：玉+%2e .皿/八 /、a(lnx-l)(7 2、。1 但,解(1)/(%)=5-,-f e)=T =T .传，a =l,n x /4 4，令f(x)=坐 0,得：x e(0,1)u (1,e),即/(x)的单调戒区间为(0,1)和ln-x(l,e).证 明：由 In x.=ax.In x,-In=a(x,-x1 2dx,只要证xx2 e2 o In x,+In x2 2,即证Inx+Inz=(玉 +%)=(xi +2)1 2.%一42不 妨 设%，即证l n%2(3 H),令 五=rl,x2 玉 +x2 x2只需证lnf型 二D,g(f)=lnf良 二D =lnf+0一 2,

9、t+1 t+1 r +1则g 在(1,E)上单调递增,g(f)g=0。1),即证.In X例5.已知函数/(x)=(tze R),曲线y=/(x)在点(1,)处的切线与直线x+y+l=0 垂 直.(1)试比较2016 237与2017236的大小,并说明理由；(2)若函数g(x)=/(x)-Z有两个不同的零点玉，Z，证 明：再 飞 ，.x+a,I 口 v-Inx解(1)函数 f(x)=-,/(x)=T丁，x+a (x+a)所以/(1)=,又由切线与直线X+y+1 =0垂直，(1+n)l +a可得了(1)=1,即占6解得“二.u a，/、1nx.、1-lnx此时/(x)=,f(x)=X X令f(

10、x)(),gpl-lnx(),解得()x e ;令/(x)(),即l-l n x /(2017),即喘手201 o 2U1/20171n 2016 2016 1n 2017,BPW 2O16207 2OI72016(2)证 明：不妨设玉20，因为g(%)=g(马)=，所以化简得In尤|一口=0,In%2-匕2=0.可得In%+ln毛=%(玉+m)，In%-In%=3(5一/),要证明，龙/2 标，即证明111百+ln%2 2,也就是攵(玉+毛)2.因 为,攵:I一n x,!-I-n-x-9即 证 一!-I-n-x-,-I-n-x7-2-玉-x2玉一尤2即 n%2(、f),令 五=乙 则f l,

11、即证Inf 2(匕1)%+X2%+1令 颂=1/甘1),由/)=;一卷=霜故函数在(1收)上 是 增 函 数，所以久=。，即 也 誓 得 证.所 以2x,x2 e .自我检测1 ,已知函数/(x)=xlnx-x-50r2(a e R),在定义域内有两个不同的极值点再,%2(x 2e.解 析：(1)令g(x)=/(x)=ln x-x,由题意可知，g(x)=O在(0,+8)上有两个不同根再，*2，且 王%2.g(无)=巴，a 0X时，令g(x)=0,解 得：X=L .g(x)在I。上递增，在(工,+8 上递减，而x f0时，a a)a )r ng(x)f-w,X f+oo 时，g(x)f-o o,

12、故 g(x)max=g-=一山。-1 (),解 得：a)八 1067 ，aInx,=ax _ In x2-In xxIn x2=ax2 x2-x1即证了2+%2(、f)(/%o),In x2 In xx2(x1-x),、即证In/In/、-(x2 x1 0).x2+xi设/2(x)=lnxj 2(”1),则(x)=(:、，0,h(x)在(1,+8)上递增，h(x)h(l)=0,，lnx 2 J,(x l),令=三 1,则原不等式成立.x+1 X,2.已知函数/(x)=xlnx-lx。e R).(1)若函数y=/(x)图象在点(1,/(D)线方程为x+y +8=0,求实数。，人的 值；(2)若函

13、数/(x)K(),求实数a取值范围；(3)若 函 数 有 两 个 不 同 的 极 值 点 分 别 为 匹，x2,求 证：x,x2l.解 析：由/(x)=xlnx-x2,得/(x)=lnx a x+l,，切线方程为x+y +0,/(1)=1-。=-1,即。=2.又/(1)=-|=-1,可得切点为(1,1),代入切线方程得b=0；(2)/(x)4 0恒成立等价于a之 也L恒成立，即 迎2)%z ma x2 In x，2(1 In x)设 g(x)=，则 g(x)=C ,1,X X当 xe(0,e)时，g(无)0；当 xe(e,+。)时，g(x)1，只 要 证 也 仁 叫”(+%2)2 0 .王一马

14、In%,-In、八即 证 一!-4玉+)2.%1-x22(x-xA不 妨 设%，需证In用一比马一 _设成立,玉+(2五-1即证In土-.令，=土 1,X2 2 +1/%即证ln/丝心，令/?(r)=lnr 心，t+f+1则=-t Q+l)+l)/iQ)在(1,+8)上是增函数，./z)/z(l)=O,原式得证1 93,已知函数/。)=山 无 _ 依 _fex(aeR,/?R).(1)当8=1时，若y=/(%)存在单调递减区间，求。的取值范围.(2)若函数y=/(x)有两个不同的零点再，x2,求 证：/(土 爱)。)，.，/1 1 C IX X Q X +X 1则 f。)=_ax-=-=-，X

15、 X XI JV :函 数y=/(x)存在单调递减区间，/(尤)0有 解.即 一 一 一-0时，+2x 1 0在x()有解.当。=0时，2彳一10在无 0有 解；当a 0时，y=2+2%-1为开口向上的抛物线，g?+2%1 0总有x 0的 解；当。0总有1 ()的解；则需 =4+4a 0,且方程田;2+2x-l=0至少有一正根.此时，1。0.综上所述，。的取值范围为(一1,+。),(2)证 明：若函数y=/(x)有两个不同的零点匹，x2,则设函数与x轴的交点为A,B.设点A,B的坐标分别是(玉,0乂毛,0),0 x,x2,则点AB的中点横坐标为玉)X1+工22 X2)-/(xJ=lnx2-ln

16、XI-(%2-玉)=，/.lnx2-Inx,=(马一王),；。(+司)+匕,lnx7-In x,“)+0=-L,工2 一 百/、2 强 _ _ 设 =三，则y=-l,X +强 司 +，人/、2-1)1令-=-Inf,1 +r因为1 1时，/(r)0,所以r 在 1,4。)上单调递减.故/(。”。=。，而;二0,故/(%0)0.即 04,已知函数/(x)=e-*-以 有两个零点.(1)求实数。的取值范围；(2)设为，是函数y=/(x)的两个零点，证 明：x+无2-2.(1)依题意得f(x)=-eT a,当a 2 0时，f M 0,函数/(x)在R上递减，不可能有2个零点,当a 0时，/(x)=0

17、,e“故函数/(X)在,8,ln(L,+00上单调递增.则由=/加-a-a In 0,I a)7(1)得l+ln|一一 0,即a -8时,I a)/(x)-+oo,x f+o o时，/(x)-+oo,所以实数的取值范围为(-8,-e).综上所述：当。-e时，函数/(%)有两个零点.(2)证 明：依题意得：一 批:不 妨 设 王/，e-=ax2则卜+b(+内)，则ef卢e 演-e X|=一%J e-e-A,x2-xtex2 +e f _?故要证+尤2一2,即证-W 一玉令/=工2-玉，则 fe(0,+oo),设 g(f)=(e+l)-2(e-1),则 g)=汨-e+1.设)=g(f)=fe-e+

18、1,/i(/)=/ez 0,g 在(0,+oo)上单调递增，g(t)g(0)=0,g 在(0,+a)递增，.”)g(0)=0,故原不等式得证.5.已知函数/(x)=lnx-|x3+(a-l)x(其中 a 0).(1)求函数/*)的极值；(2)若函数/(x)有两个零点x2,求4的取值范围，并证明了(五 受)0时，a x4-l 0,若0 c x L/(x)0时，/(X)在=1处取得的极大值/=5-1,函数/(X)无极小值.(2)当。0时，由 知/(x)在x=l处取得极大值/=微一1,且当x趋向于0时，/(x)趋向于负无穷大，又/=ln2-2 2.设0%1 .由 知/(x)两零点分别在区间(0,1)和(1,叼)内，贝鬲山=虫虫+加1,2)%+%2 2/(%)=1。王一事$2+(_ 1)斗=o/(x2)=lnx2-两式相减得 In1-不(再2 +1)(%一%),贝 +工2)=一 In 4-6 Z-1,2-xI-x2 x2,(玉+工2、_ 2 1 J X _ 1 2(Xj-AI 2)%j+x2%)-x2 x2 玉一 x2+x2-xf+(4 i l)x2=0,J_ ln =%Z 玉一龙2 五+i 工2X2令1 =土（0，1）,x2 t+1 =0,所 以/但 芋 0.(7 1 rt,则/)=二m。.)单调递减，则w+1)