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1、精品文档专题三：高考理科数学概率与数学期望一 离散型随机变量的期望(均值)和方差假设离散型随机变量的分布列或概率分布如下： 1. 其中，那么称为随机变量的均值或的数学期望，记为或数学期望 =性质 1；2为常数2. ，其中刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为或 方差2方差公式也可用公式计算3随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为的标准差，即X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求，。X101P二超几何分布对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的分布如下表所示：其中高考资源网一般地，假设一个随机变
2、量的分布列为，其中，那么称服从超几何分布，记为，并将记为1高三1班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有个红球，个白球，这些球除颜色外完全相同现一次从中摸出个球， 1假设摸到个红球个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率 2假设至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率解：由22节例1可知，随机变量的概率分布如表所示：X012345P 从而 答：的数学期望约为说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到2. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：I取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。三二项分布1
3、次独立重复试验一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中。我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验。1独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。2次独立重复试验中事件恰好发生次的概率。2二项分布假设随机变量的分布列为，其中那么称服从参数为的二项分布，记作。1一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布。2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到
4、红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；(2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.1记甲击中目标的此时为，求的分布列及数学期望；2求乙至多击中目标2次的概率；3求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.【稳固练习】1.2021年高考浙江理箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的时机均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.()求X的分布列;
5、()求X的数学期望E(X).22021年高考重庆理(本小题总分值13分,()小问5分,()小问8分.),乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.() 求甲获胜的概率;() 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望3设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一队胜，假设有一队胜场那么比赛宣告结束，假定在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望32021年高考辽宁理电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷.()根据条件完成下
6、面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷与性别有关?()将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷人数为X.假设每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望和方差.5.2007陕西理某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确答复以下问题者进入下一轮考试，否那么即被淘汰，某选手能正确答复第一、二、三轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确答复互不影响. 求该选手被淘汰的概率； 该选手在选拔中答复以下问题的个数记为，求随机变量的分布列与数数期望.注：本小题结果可用分数表示6. 一批产品共10件，其中
7、7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数的概率分别布.(1)每次取出的产品不再放回去；2每次取出的产品仍放回去；3每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. 2007山东设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程x20实根的个数重根按一个计I求方程x20有实根的概率；求的分布列和数学期望；8.此题总分值12分下：消费额每满100元可转动如下图的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 假设指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2
8、次，所获得的返券金额是两次金额之和.I假设某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；假设某位顾客恰好消费280元，并按规那么参与了活动，他获得返券的金额记为元，求随机变量的分布列和数学期望. 9. (此题总分值12分)中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图单位：湖北理工学院湖北师范学院996507211516171819891258934601假设身高在175以上包括175定义为“高个子，身高在175以下不包括175定义为“非高个子
9、，且只有湖北师范学院的“高个子才能担任“兼职导游。1根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；2如果用分层抽样的方法从“高个子和“非高个子中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子的概率是多少？3假设从所有“高个子中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B，甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准I甲厂产品的等级系数X1
10、的概率分布列如下所示：5678P04ab01且X1的数字期望1=6，求a，b的值；为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.11. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下： 将频率视
11、为概率，解答以下问题：I从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；假设该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，假设从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。稳固练习答案【解析】此题主要考察分布列,数学期望等知识点. () X的可能取值有:3,4,5,6. ; ; ; . 故,所求X的分布列为X3456P () 所求X的数学期望E(X)为: E(X)=. 【答案】()见解析;() . 【考点定位】此题考查离散
12、随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. 解:设分别表示甲、乙在第次投篮投中,那么 , (1)记“甲获胜为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知, (2)的所有可能为: 由独立性知: 综上知,有分布列123从而,(次) 3. 解：1事件“表示，胜场或胜场即负场或负场，且两两互斥；2事件“表示，在第5场中取胜且前场中胜3场，或在第5场中取胜且前场中胜3场即第5场负且场中负了3场，且这两者又是互斥的，所以3类似地，事件“、 “的概率分别为，比赛
13、场数的分布列为 4 5 6 7 故比赛的期望为场这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负4.【答案及解析】 (I)由频率公布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷有25人,从而22列联表如下: 由22列联表中数据代入公式计算,得: 因为3.0303.841,所以,没有理由认为“体育迷与性别有关. ()由频率公布直方图知抽到“体育迷的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷的概率为,由题意, ,从而X的分布列为: 【点评】此题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望和方差,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适
14、中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. 5.解法一：记“该选手能正确答复第轮的问题的事件为，那么，该选手被淘汰的概率解法二：记“该选手能正确答复第轮的问题的事件为，那么，该选手被淘汰的概率的可能值为，的分布列为1236.1X的所有可能值为1，2，3，4。X的分布列为P(1)=7/10，P(2)=3/107/9=7/30，P(3)=3/102/97/8=7/120，P(4)=3/102/91/8=1/120。2X的所有可能值为1，2，3，4。X的分布列为P()= ，1，2，3， 3X的所有可能值为1，2，3，4。X的分布列为P(1)=7/10，P(2)=3/108/10=6/25，P(
15、3)=3/102/109/10=27/500，P(4)=3/102/101/10=3/500。7. 解：I由题意知，此题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的根本领件总数为66=36，满足条件的事件是使方程有实根，那么2-4c0，即b下面针对于c的取值进行讨论当1时，2，3，4，5，6；当2时，3，4，5，6；当3时，4，5，6；当4时，4，5，6；当5时，5，6；当6时，5，6，目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，因此方程x20有实根的概率为由题意知用随机变量表示方程x20实根的个数得到=0，1，2根据第一问做出的结果得到那么P(=0)= ，P(=1)= =，P(=2)= ，的分布列
16、为的数学期望E=0+1+2=1，8.设指针落在区域分别记为事件.那么. 3分假设返券金额不低于30元，那么指针落在A或B区域. 4分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0，30，60，90，120. 5分 10分 所以，随机变量的分布列为： 0306090120 11分其数学期望 12分9、解：1根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：.2分2由茎叶图可知，“高个子有8人，“非高个子有12人，按照分层抽样抽取的5人中“高个子为人，“非高个子为人；那么至少有1人为高个子的概率16分 3由题可知：湖北师范学院的高
17、个子只有3人，那么的可能取值为0,1，2,3；故，即的分布列为：01230123。答：略 12分10. 解：I因为又由X1的概率分布列得由由得，样本的频率分布表如下：345678030202010101用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：345678P030202010101所以即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.乙厂的产品更具可购置性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购置性。11. I首次出现故障发生在保修期内的概率为随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 (万元) (万元) 所以应该生产甲品牌汽车。