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1、优质文本圆【知识梳理】 (1) 圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径2圆的有关性质 圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。
2、上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧，用符号“表示，以为端点的弧记为“，读作“圆弧或“弧。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等
3、弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.3对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心即定点，二是半径即定长 1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数 2圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 3圆心角与圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 4圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角3. 点与圆的位置关系及
4、其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，那么 点在圆上 ;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明假设干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、
5、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设O的半径
6、为r，圆心O到直线的距离为d；dr 直线L和O相交. 直线L和O相切.dr 直线L和O相离.3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备以下三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫
7、做圆的外切三角形.6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.6. 圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切
8、: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 d(2)两圆外切 (3)两圆相交 d (Rr)(4)两圆内切 (Rr)(5)两圆内含 dr)3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.7. 圆内接四边形假设四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四
9、边形的外接圆.圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式: 圆周长2R (R表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式.圆的面积 (R表示圆的半径)6. 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)弓形的面积公式:(如图5)图5(1)当弓形所含的弧是劣弧时, (
10、2)当弓形所含的弧是优弧时, (3)当弓形所含的弧是半圆时, 例题解析【例题1】如图1，是的外接圆，是直径，假设，那么等于 A60 B50 C40 D30 图1 图2 图3【例题2】如图2，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点C，假设大圆半径为10，小圆半径为6，那么弦的长为 【例题3】如图3，内接于O，120，为O的直径，6，那么【例题4】如图4O的两条弦，相交于点E，70o，50o，那么的值为 A. B. C. D. 图4PBCEA图8【例题5】如图5，半圆的直径，点C在半圆上，1求弦的长；2假设P为的中点，交于点E，求的长 三、课堂练习 1、如图6，在O中，40，那么 度CA
11、BS1S2BCAO 图6 图7 图82、如图7，是O的直径，是弦，假设 = 32，那么的度数等于 3、O的直径8，C为O上的一点，30，那么.4、如图8，在中，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，那么+的值等于 5、如图9，O的半径10，P为上一动点，那么点P到圆心O的最短距离为。 图96、如图10，在O中，60，1求的度数； 2求O的周长7、：如图11，O的直径与弦相交于，弧弧，O的切线与弦的延长线相交于点F(1)求证(2)连结,假设O的半径为4,求线段、的长 8、如图12，在中，以为直径的O与交于点D，过D作，交的延长线于E，垂足为F(1)求证：直线是O的切线；(2)当5，8时，求的值 图
12、12 四、经典考题解析 1.如图13，在O中，A 60 ，3，那么的周长是. 图13 图14 图152.“圆材埋壁是我国古代?九章算术?中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何用数学语言可表述为如图14，为O的直径，弦于点E，1寸，10寸，那么直径的长为 A125寸 B13寸 C25寸 D26寸3.如图15，是半圆O的直径，弦和相交于点P，那么等于 A B C D4.O的半径是5，、为O的两条弦，且，6，8，求 与之间的距离5.如图16，在M中，弧所对的圆心角为1200，圆的半径为2，并建立如下列图的直角坐标系，点C是y轴与弧的交点。1求圆心M的坐标；2
13、假设点D是弦所对优弧上一动点，求四边形的最大面积 图16 五、课后训练 1.如图17，在O中，弦1.8，圆周角30 ，那么 O的直径等于 图17 图18 图192.如图18，C是O上一点，O是圆心假设35，那么的度数为 A35 B70 C105 D150 3.如图19，O内接四边形中，那么图中和1相等的角有 4.在半径为1的圆中，弦、分别是和，那么 的度数为多少？5.如图20，弦的长等于O的半径，点C在O上，那么C的度数是. 图20 图21 图22 6.如图21，四边形 内接于O，假设100，那么的度数为 A50 B80 C100 D1307.如图22，四边形为O的内接四边形，点E在的延长线上
14、，如果120，那么等于 A30 B60 C90 D1208.如图，O的直径10，于点H，2 1求的长； 2延长到P，过P作O的切线，切点为C，假设22，求的长九年级数学圆练习题一、 填空题：21分1、 如图，在O中，弦，那么=2、如图，在O中，是直径，那么3、如图，点O是的外心，那么BCOA1题图 2题图 3题图 4题图4、如图，是O的直径，弧弧，那么 5题图 6题图 7题图 5、如图，O的直径为8，弦垂直平分半径，那么弦 6、O的半径为2，弦2，P点为弦上一动点，那么线段的范围是 7、如图，在O中，50，20，那么的二、解答题70分1、如图，是O的直径.假设，与 的大小有什么关系？为什么？2
15、、：如图，在O中，弦.求证：弧弧；3、如图，：O中，、为弦，交于D，求证：1，2；4、如图，、为弦，于M，于N，是的中位线吗？5、如图，、是O的直径，、是弦，且，求证：B6、如图，是O的直径，C是O上的一点，于D，平分，交O于E，求证：弧弧 7、如图，3，4，90，以点C为圆心作C，半径为r.(1)当r取什么值时，点A、B在C外.(2)当r在什么范围时，点A在C内，点B在C外.(2)当r在什么范围时，C与线段相切。三、计算以下各题：40分 1、如图，为O的直径，为弦，交于D， =，求的长；ABCDE2、如图，在中，C90，3，4，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点D、E，求、的长3、如图，
16、O的直径和弦相交于点E，且1，5，60，求的长。4、如图，在直径为100 的半圆铁片上切去一块高为20 的弓形铁片，求弓形的弦的长. 5、如下列图，矩形的边。1以点A为圆心，4为半径作A，那么点B、C、D与A的位置关系如何？2假设以点A为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么A的半径r的取值范围是什么？ 四、作图题：9分如图是一块圆形砂轮破碎后的局部残片,试找出它的圆心, 并将它复原成一个圆要求：、尺规作图；、保存作图痕迹可不写作法ACDB 五、探究拓展与应用10分1、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况圆心在圆周角的一边上如图(1)所示：是的外角又 2即如果的两边都不经过圆心，如图(2)、3，那么上述结论是否成立？请你说明理由。