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1、贵州民族学院毕业论文题 目 数学建模思想在数学变式教学中 的应用 系 别 数学与计算机科学系 专 业 数学与应用数学 姓 名 甘小飞 指导教师 结稿日期 2015年9月8日第13页共14页数学建模思想在数学变式教学中的应用甘小飞贵州民族学院数学与计算机科学系摘要：本文将探讨如何将数学建模思想融入数学变式教学，并提出将数学建模思想融入数学变式教学中是数学教学行之有效的方法之一。文中通过引入典型简化的数学模型，力求达到反馈知识本质，高度概括问题的基本规律，提高学生的学习兴趣与学习效率。关键词：数学建模；变式教学Abstract: In this thesis, I will study how t
2、o make mathematical modeling thought merge into variable teaching of mathematics, then I will put forward that it is one of the effective methods in mathematical teaching. This article will study the typical simplified mathematical modeling, trying to get the feedback of the essence of knowledge and
3、 over generalize the basic disciplines of problems. In this way, it may improve students study interests and learning efficiency. Keywords: mathematical modeling; variable teaching 数学建模是数学学习的一种新方式，它以现实生活的真实问题为背景，将数学与现实、其他学科联系起来，为学生提供了更加丰富的学习空间。它能使学生运用所学，自主地、创造性地用自己的方式解决问题，体验到数学学习的价值。更重要的是，数学建模能培养学生“
4、主动”用数学解决实际问题的意识。传统的数学教学单纯的重复训练，消磨了学生的思想、智慧、个性和独立的创新能力。变式教学中引入数学建模思想可以使学生结合多变问题情境，提高学生的认知能力和概括同类问题的能力，让学生在变化中总结规律，提高学习效率。1 如何将数学建模思想融入数学变式教学中首先， 数学教师要更新教学观念，提高自己的数学建模意识和改革教学方法。将数学建模思想融入变式教学，不是用“数学模型”或“数学实验”课的内容抢占变式教学阵地，关键是渗透数学建模思想。这不仅仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教学思想和教学观念的更新。数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断
5、地学习一些新的数学建模理论知识来提高自身的建模素养。其次，在变式教学过程中，要循序渐进的给学生灌输“构造”思想，培养学生的建模意识。“数学建模”就是构造模型，但模型的构造并不是一件容易的事，因此，在变式教学中，要让学生学会建模就需要从一些容易的实际问题出发，让他们有获得成功的机会，享受成功的喜悦，增加学生的信心，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，进而培养学生的数学建模能力。教师在变式教学的过程中要重视数学思想方法和应用数学的教学，引导、培养学生用数学建模思想方法解决应用问题的能力。最后，在变式教学中，要万变不离其宗，无论如何变，模型就是宗，就是宏观；变中始终保持宏观模型。要把握数学建模思想
6、嵌入的时机，学生学习知识的主战场是课堂，因此，要把数学建模思想融入到变式教学中，数学建模思想就应从课堂的教学内容切入，把培养学生的应用意识落实到平时的教学中。从教学内容出发，联系实际，以教材为载体，把课堂问题由“问答”变化为“问题的设计分析问题、构造模型 解决问题应用” 1。2 赏析常见的几种数学模型和数学变式。2.1 一题多解变式、函数的最值模型所谓一题多解变式：就是对同一数学问题运用所学知识从不同的角度和方法提出不同的解题构想和方法。例1 甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度V的
7、平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元2。( I ) 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米小时）的函数，并指出函数的定义域。（II） 为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：此题主要考察的是二次函数的最值求解，二次函数的最值求解一般可以利用函数的单调性、求导、以及函数的对称性进行求解。要求二次函数的最值，我们得回顾二次函数的图像、性质、特别是函数的周期性和对称性，熟悉这些，并能解决这个问题。解法一： (I) 依题意，每小时运输成本为（）元，全程的行驶时间 为（时），所以全程运输成本为 ,其中，v的取值范围是（0，c. 即所求的函数及其定义域为, v（0，c. (II) 依题意
8、 s 、a、 b、 v都是正数，故,当且仅当，即时，上式取等号，所以有:若，则当时，全程运输成本最小；若当时，则有，因此，当时，a,b都是正数，因此， 当且仅当时，上式取等号，即得当时y取最小值。综上得：为了使全程运输成本最小，当 时，汽车应以速度 行驶，当 时，汽车应以行驶。解法二：（I）因为全程的行驶时间为（时），所以每小时的运输成本 为 ，依题设，因此所求函数为，定义域为. (II) 记 ,则当 时， 若 ，即时， 因为 所以，即在上式减函数，当且仅当时，取最小值，从而也在此时取最小值。若即时，则对任意都有：当且仅当 时，上式取等号。即得为了使(从而y)取最小值，应取为.综合起来可知：为
9、了使全程运输成本y最小，汽车的行驶速度应取c和这两个数中较小的值2。 设计意图：此题可以让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓宽思想、激发思维，使之从单一化、 固定化模式中转入多棱化、多角化和多面化模式，从而获得上升性思维能力。2.2 条件变式、函数的单调模型所谓条件变式：是指教师引导学生针对某一题目的条件进行合理的变化， 从而得到一组变式题目组，并通过对这一类题目的分析解决，使学生掌握该类题目的题型结构从而达到深入认识题的本质，提高解决题目的能力。 例2 若函数的单调递减区间为，求实数a的取值范围3。 例3 如函数在区间上单调递减，求实数a的取
10、值范围3。分析：“单调递减区间为”与“在区间上单调递减”是两个截然不同的问题情境。因此在做此类题目时，要让学生辨析这两种不同叙述的含义，在短时间内能够很快的完成问题的求解。解 (1) 令，即 , 当时，解得 ,函数 的减区间为, 又函数 的单调减区间为, 则 , 所以;当时，函数，恒成立. 当时，函数不存在单调减区间； 当时，函数恒成立，时，函数不存在单调减区间. 综上所述，若函数单调区间为，则。 解 (2)函数在区间上单调递减在区间上恒成立 在区间上恒成立 在区间上恒成立 在区间上的最大值小于等于，即, .设计意图：此题旨在锻炼学生的审题能力和对数学语言精确性和严密性的考察。“函数在某区间内
11、单调”和“函数的单调区间是某区间“，前者说明所给区间是函数单调区间的子集，后者说明所给区间恰好是函数的单调区间。因此在解题过程中一定要养成认真审题的好习惯。2.3 结论变式、数列模型所谓结论变式：是指保留题意中的条件，提出探索性结论，目的在于发展学生的创造思维，加深对知识的理解和灵活运用。 例4 已知数列是等差数列， 设数列的通项为 ，（其中且）， 记 是数列的前n项和，试比较 与 的大小4。 分析： 此题主要考察学生对等差数列的定义、通项、性质、求和方面等知识以及对数函数的性质的掌握程度，要比较 与 的大小，就得知道关于n的函数，因此，首要任务就是求出通项公式和前n项和。 解 数列是等差数列
12、，设数列的公差为d， 又 ， ； 要比较与的大小，可先比较 与大小, 取时，有 成立； 取时，有 成立； 猜测 用数学归纳法证明如下：（1） 当时，已证式成立；（2） 假设当时，式成立； 即 成立； 当 时， = 所以， 从而 也成立。 综合（1）（2）得，对任意正整数n，式都成立。 所以，根据对数的单调性，可知： 当时， ； 当时，。2.4 推广变式、圆锥曲线模型所谓推广变式：是指某一数学问题的条件和结论变换成更一般的形式， 让学生把研究对象扩展到更大的范围进行考察，以达到开阔学生视野、培养学生形成良好的思维品质和创造能力的目的。例5 ABC两个顶点A、B的坐标分别是（-6,0）和（6,0）
13、,边AC、BC所在的直线的斜率之积为m，求顶点C的轨迹方程，并说明曲线的形状4。例6 设A（-a,0）,B(a,0) (a0)时曲线C上的两定点，点P式曲线上除了A、B以外的一个动点，直线AP、BP的斜率分别为，且,求曲线C的方程4。 分析：这是“两定点之积为定值的轨迹方程”的一道变式题组，已知了两个点的坐标，并且知道另外一个点分别与这两个点连线的斜率的乘积为一定值m，因此可以根据题意得到一个等式，然后化简。这是从具体数字到抽象的一般参数，是思维的一次飞跃。解 （1） 设定点C的坐标为，由题意知， 即， 整理得 ， A、B、C三点构成三角形， . 当时，方程时焦点在x轴的双曲线，除去A、B两点
14、； 当时，方程是以AB为长轴，离心率为的椭圆，除去A、B两点； 当时，方程是以AB为直径的圆，除去A、B两点； 当时，方程是以AB为短轴，离心率为的椭圆，除去A、B两点。解（2）设P点的坐标为，由题意得：， 即 ，整理得 因为A、B、C构成三角形，所以， 当时，方程是以AB为实轴，离心率为的双曲线，除去A，B两点； 当时，方程是以AB为长轴，离心率为的椭圆，除去A、B两点； 当时，方程是以AB为直径的圆除去A、B两点； 当时，方程是以AB为短半轴，离心率为的椭圆，除去A、B两点。设计意图：从特殊到一般，改变背景将其推广，让学生真正感受到“源于课本，又高于课本”的深刻含义，能够激发学生的兴趣和求
15、知欲，这样将知识、能力、和思想方法在更多的新情境、更高的层次中，不断地反复地渗透，达到了螺旋式的再认识，再深化，乃至升华的效果。3 数学建模思想融入变式教学中的意义3.1 数学建模思想融入变式教学是全面提高学生数学素质的需要。数学素养是指在正确的数学思想的指导下，具有完整的数学知识，并能用数学基础知识、方法，正确提出问题、分析问题。数学建模和变式教学能够让学生在数学课堂中学到扎实的基础知识、科学有效的学习方法，主要表现为：（1）注重知识的产生和发展过程，引起学生独立思考基础概念、定理和公式的数学学习的本源问题，避免题海战术而导致便于应付。（2）注重强调解题步骤的本质理解，教给学生一种动态生成的
16、数学知识，发展学生的创造性思维过程，避免学生用套接的模式解题而导致思维呆板僵化。（3）适时把握数学建模和变式时机，把握模型的类别和变式方式的尺度，利于学生深入数学学习，培养学生良好的学习素养和学习习惯，利于学生创新精神和实践能力的提高。3.2 数学建模思想融入变式教学是实现数学价值和数学教师专业化发展的需要。作为一名数学教师，走专业化发展之路应具备三大要素：数学科学专业知识、数学教育理论知识和信息技术知识。在教学过程中，通过典型事例的数学模型和变式教学，能够很好的把上述三者结合起来，即通过一题多变更加生动的突出问题的本质，师生深入理解知识本源，同时又能从理论的层面来理解建模和变式的根由，使教师
17、素养及时提升。变化是事物的表面形式，不变才是事物的本质。借助信息平台创造理想问题的环境，引导学生在变化中思考问题并解决问题。因此，数学建模和变式教学成为专业知识、理论知识和信息技术平台的中间桥梁，数学理论是土壤，建模和变式是手段，信息技术是工具，学科内容是载体，学生思维是能力核心。通过这一教学过程，可以使教师专业素养日趋完善。3.3数学建模思想融入变式教学是减轻学生过重的学业负担和针砭时弊教学课堂的需要。长期以来，由于饱受应试教育影响，中考试题的累积和推销在无形中助长了题海战术的发展，师生多以大量讲题做题来应对，大有做遍天下习题之势。数学教学单纯的重复训练，消磨了学生的思想、智慧、个性、合作精
18、神和独立的创新精神。数学建模和变式教学可以使学生结合多变的问题情境，通过典型模型反馈知识的本质，高度概括问题的基本规律，促进学生认知能力的逐步形成，提高学生概括同类问题一的能力，让学生在变化中学习知识，在变化中总结规律，切实提高课堂教学效率。3.4 数学建模思想融入变式教学是适应新课程改革和教师自我素养提高的需要。数学建模和变式教学是师生迎接新挑战，强化思想观念、提升能力素质、改变传统工作作风和发扬科研创新的需要，利于教师完成从知识的传授者导向学习参与者的参与促进者和引导者的跨域，利于教师从“教书匠”向科研型教师的转型，利于教师从只是单一化到学问综合型的转变，利于教师从教学风格向教学方式现代化
19、的转化，利于教师从关注面向全体学生向关注全体与个体结合的模式转承5。总之，利用数学建模解数学题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。 参考文献： 1 查有梁.中学数学建模M 南宁：广西教育出版社,20032 韩相河.走进名师课堂M 济南：山东人民教育出版社,20083 聂必胜.数学与变式教学的探究性研究J 上海：华东师大论文,20044 郭清波.变式训练性试题M 延边人民出版社,20045 张文娣.中学数学变式教学与能力培养M 济南：济南教育出版社,2003 致谢： 非常感谢李强老师在我毕业论文（设计）阶段给我的指导。从最初的选题、资料收集、写作、修改，到论文的最后定稿，他都给我耐心的指导和无私的帮助。因此，我向他表示我诚挚的谢意，同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给我的指导和帮助。是老师们教会了我专业知识、如何学习、如何做人，正是由于他们，我才能在各方面有所进步，在此向他们表示我由衷的谢意。最后祝愿所有老师身体健康、工作顺利、合家幸福！