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1、淮北师范大学信息学院 2013 届学士学位论文 利用导数解题的综合分析和探讨研究系 别: 数 学 系 专 业: 数学与应用数学 学 号: 200918084001 姓 名: 柴 先 红 指 导 教 师: 王 慧 指导教师职称: 讲 师 2013年 5 月 10 日利用导数解题的综合分析和探讨研究柴先红（淮北师范大学信息学院，安徽 淮北，23500）摘 要导数时近代数学的基础，时数学分析课程中重要的基础概念之一；是研究客观世界物质运动变化的有力工具，在现代化建设的各个领域中有着广泛的应用，自然对中学数学也有着重要的指导作用.本文就从五个方面来介绍导数在中学数学中的应用，运用导数的思想方法和基本理
2、论来解决数学中有关函数性质的讨论及其应用、数列前项之和、不等式的证明、应用题求解等问题.既为解决初等数学的某些问题找到了一些新的途径，又使导数对初等数学的知道作用得到具体说明.需要再修改！关键词：导数, 应用, 函数，数列，不等式，初等数学Derivative Comprehensive Analysis and Discussion of Research to Solve ProblemsChai Xianhong(Huaibei normal university college of information, huaibei, 23500)Abstract Derivative as
3、the basis of modern mathematics, the mathematical analysis is one of the important basic concepts in the course; Is the study of the objective world powerful tool, change of material movement in modern construction has been widely used in every field, nature also has an important guiding role for mi
4、ddle school mathematics. This paper from five aspects, introduces the application of derivative in the middle school mathematics, based on the idea of derivative method and basic theory to solve in mathematics, a discussion about the nature of the function and application, the sequence of the sum re
5、ferred to in the preceding paragraph, the inequality proof, such as word problem solving problems. Some elementary mathematics to solve the problems found out some new way, and the derivative of elementary mathematics know role for specific instructions.Keywords: derivative, application, Function, T
6、he sequence, Inequality, Elementary mathematics目 录引言1一、 导数的概念 2二、导数的应用2 1. 导数在数列中的应用 2 2. 求曲线的切线方程 7 3. 导数在探究函数性质中的应用 8 3. 1利用导数判断函数的单调性 8 3. 2利用导数求函数的最值与极值 11 3. 3导数在函数中的其它应用 15 4. 导数在不等式中的应用16 5. 导数在实际问题中的应用17总结 18参考文献 18引言 导数是函数与解析几何的交汇点，有着重要的工具作用. 是我们学习的必需工具之一，用它可以解决许多数学问题. 现已是高考重点考察的基础知识，主要以应用题
7、的形式出现，例如利用导数处理函数的最值、极值和单调性问题及曲线问题等，除此之外，导数还有其他用途，比如利用导数研究函数的图像，利用导数证明不等式等问题.导数的概念 定义 设函数在点的某邻域内有定义，若极限 （1）存在，则称函数在点出可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作. 令则（1）式可改写为 . 定义 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限 存在，则称该极限值为在点的右导数，记作. 类似地，左导数为 注：右导数和左导数统称为单侧导数.若函数在区间I上没一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数）则称为I上的可导函数.此时对每一个,都有的一个导数（或单侧导数）与之对应.称为在I上的导函数，
8、简称为导数.记作，或，即 .导数的几何意义函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率。若表示这条切线与轴正向的夹角，则=。从而0意味着切线与轴正向的夹角为锐角；0，故.（2） 令，则.因为，0.故0），.（1） 若曲线与曲线在他们的交点处具有公共切线，求的值；（2） 当时，求函数的单调区间.解 （1）.由题知,，故 ,得.由（1）知，.令，即,又,所以 ，,令，得.0时，的情况如下：+0-0+所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为.例7 已知函数. 求的单调区间； 若对任意的，都有，求的取值范围.解 ,令 .），当时，则递增； 当 时，则递减； 当时，则递增.故的单调递增区间为，单调递减区间为.
9、），当时，则递减； 当时，则递增； 当时，则递减.故的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，因为.所以不会有.当时，由（1）知在上的最大值是.故 等价于,故. 例8 已知函数，当时，讨论的单调性. 解 令 ,）,当时，故在上递增;当时，故在上递减.)由, ，故在上递减； ，则时，则递减；，则递增；，则递减. ，时，则则递减；，则递增.综上，当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递增，在和上递减. 3.2 利用导数求函数的最值与极值 求可导函数的极值的一般步骤和方法是： 求导数； 求方程的根； 检验在方程的根的左右符号.若在根左侧附近为正，右侧附近为负，那么，函数在这个根处取得极大值；若在根左
10、侧附近为负，右侧附近为正，那么，函数在这个根处取得极小值.对于连续，在内可导的函数的最值求解，可先求出函数在上的极大（小）值，并与比较，即可得出最大（小）值.例9 求函数的最值.解 , 令 当1时，在上单调递增； 当0，在上单调递减；所以，为的最小值点，即 例10 设 若在上存在单调递增区间，求的取值范围；当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解 由当时，的最大值为令 故 当时，在上存在单调递增区间. 令故在上单调递减，在上单调递增.当时，由所以 在上的最大值为.又 ，即故在上的最小值为,，从而在上的最大值为.例11 已知函数满足 求的解析式及单调区间； 若求的最大值.解 由，所以.又，
11、故.所以.又,令,当时，当时你，.从而在上单调递增，在上单调递减. ， (1) 若则对任意常数，当时，且时，可得，因此（1）式不成立. 若，式恒成立时，此时. 若，设，则当时，；时，从而在上单调递增，在上单调递减.故有最小值所以等价于 , (2)因此 设则所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得最大值.从而，即当时，式成立，故综上，的最大值为. 例12 求函数的单调区间和极值. 解 ，令.当1时，0，故递减；当0，故递增；故在处有极小值，即. 例13 设，其中，曲线在点处的切线垂直于轴.（1） 求的值；（2） 求函数的极值.解 （1），由题意知， .(2)由（1）知，（0）, 令, （舍），
12、当01时，1时，0，故在上为增函数；从而在处取得极小值.3.3 导数在函数中的其它应用1）.利用导数判断函数的凹凸性即拐点 在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律.如图4所示的函数的图形在区间内虽然是一直上升的，但却有不同的弯曲形状.因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的.从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：定义3 引用出处设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有 则称为上的凸函数.反之，如果总有 则称为上的凹函数.那
13、么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？例14 求函数的凹凸区间及拐点.解 因，则,令，得.所以0+0-0+凹1拐点凸 拐点凹2）.利用导数求参数问题 利用导数求函数中参数的范围，它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸.例15已知且在处取得极值，对，恒成立，求的取值范围. 解 ,由条件在处取得极值知,故 .从而对恒成立，即,对 恒成立. 令,则只要的最小值不小于就行即.该题转化为求的最小值，由可得在上单调递增，在上单调递减，故,即.4. 导数在不等式中的应用 不等式是数学的重要部分，它遍及数学的每一个分支学科.证明他们的方法很多，因此更是具有很强的技巧性，对于某些不等式不易证明时，可根据给出
14、不等式的特点构造函数，利用函数的单调性来加以在证明，往往可以达到事半功倍的效果，定会觉得豁然开朗.例16 证明不等式.证明 先证左边不等式,令，即证对，为单调递减函数，,不等式成立,同理可证右边.5. 导数在实际问题中的应用学习的目的，就是要会实际应用.解决实际应用问题在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解.例14 长方体物体E在于中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为（0）雨速沿E方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（
15、只有一个淋雨面）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；（2）其他面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积时，（1） 写出的表达式；（2） 设010，0，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 解（1）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为,故, 由（1）知， 当0时 ，； 当时，； 故；，. 当时，是关于的减函数. 故当时，, 当时，在上，是关于的减函数;在上，是关于 的增函数.故当时，.总结导数在数学学习中应用非常广泛，特别中学数学中几乎涉及到各个方面，本文就导数的有关知识在数学中的相关应用进行了探讨，简述了利用导数求函数的单调区间、极值、最值的基
16、本方法，以及导数在不等式和数列中的利用.同时，导数在实际生活中也有广泛应用.时研究数学的必不可少的工具之一.参考文献：1华东师范大学数学系.数学的应用J.数学通讯，2003,（12):12-13.3徐智愚.用导数解初中数学题J.数学通报，2000,（10)：35.4高群安.运用导数巧解题分析M.北京：高等教育出版社，2001.2窦宝泉.导数在中学数学中J.2005,（4）：22-23.5李绍平.高考对导数问题考查的五大热点J.中学数学研究，2004，（5）：要有页码.6曲一线.高考理数M.北京：教育科学出版社,2012.7刘崇丽.应用数学教程M.地点：化学工业出版社，1998.8同济大学数学科研室.高等数学M.4版.北京：高等教育出版社，1996.9华东师范大学数学系.数学分析（第二版）M.北京：高等教育出版社，1991.10梅里特，陈三平，丁仁.工程技术常用数学M. 地点：科学出版社，1976.17