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1、课次29学时2授课类型理论课授课章、节：第十一章 无穷级数8 一般周期函数的傅立叶级数教学目的、要求：会将周期为2l 的周期函数展开为傅立叶级数；会将定义在0, l 上的函数展开为正弦级数或余弦级数。教学重点及难点：本节重点是将周期为 2l 的周期函数展开为傅立叶级数以及将定义在0, l 上的函数展开为正弦级数或余弦级数；难点是将定义在 0, l 上的函数展开为正弦级数或余弦级数。教 学 基 本 内 容教学方法及手段 高等数学课程教案一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 二、函数展开成正弦级数或余弦级数奇延拓: f ( x )0 x p令 F ( x ) = 0x = 0且F ( x + 2p )
2、= F ( x ), - f ( - x )偶延拓: f ( x )令F ( x ) = f ( - x )- p x 00 x p- p x 0且F ( x + 2p ) = F ( x),例1三、以2L为周期的傅氏级数定理 设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开 式为课堂多媒体讲解apxpxf ( x) =0 +(a cos n+b sin n),2nn=1lnl其中系数 a , b 为nna= 1 lf ( x) cos np xdx,(n = 0,1,2,L)nl-llb= 1 lf ( x) sin np xdx,(n = 1,2,L)nl-ll
3、(1) 如果f ( x)为奇函数,则有f ( x) = b sin np x , 2npxnl其中系数 b 为b= lf ( x) sindx,n=1(2) 如果f ( x)为偶函数,则有nnl0lf ( x) = a0 + a cos npx ,其中系数 a 为a= 2 l f ( x) cos npxdx2nln=1nnl0l四、例题例2、例3作业、讨论题、思考题：练习P2561（1，3）若曲线L关于直线(平面) y = x对称则 f (x)ds = f ( y)dsLL高等数学教程第五章 定积分 习题参考答案1.(1)2.431(b22习题 5-1 (A)- a2 )(2) e -13.
4、(1)3(2)p R 2(3)p cos xdx = 2p cos xdx2222-p02p(4)p sin xdx = -20sin xdx04. Q =-22T I (e)dtT15. 88.2KN6.M = l r(x)dx08.(1)2 x 2 dx p sin xdx221100(3) (3)2 ln xdx 2 (ln x)2 dx(4)4 ln xdx 4 (ln x)2 dx1133(5)1 xdx 1 ln(x + 1)dx009.(1) 1 1 ex2dx e(2)1(e2- e) e21dx e2 - e02eln x(3)p x arctan xdx 2 p(4)- 2
5、e2 0 ex2 - x dx -2e- 11334932习题 5-1 (B)1.(1) 1 xdx(2)11dx(3)1b j (x)dx03. V = p R- R(R 2 - x 2 )dx0 1 + x 2b - a a4.21. - sin x ,-21 + x42. (1) 2x(2)3x 2习题 5-2 (A)1 + x121 + x8- 2x(3) (sin x - cos x) cos(p sin 2 x)(4)2xj (x 2 ) sinj(x 2 )2 - j (x) sinj(x)23. t cot t4. - cos xe y25. 极小值I (0) = 016. (
6、0,)47.8 a 338.-1；29.(1)21(2)p(3)p + 1(4) -183a4(5) 1 - p4(6) arctan (e2) - p(7)4(1 - e-1 )122(8)4(9)8 (1 + 22)(10) e2 + 1 - cos 4 + cos 21510.(1) 0; 0(2) p(3) 0(4) 0 (k l), p (k = l)11.(1) 1(2) 2(3)2(4)133习题 5-2 (B)1.(1) ln 2(2)1(3)2k + 1p2.f (x) 在 x = 0 处连续，可导，且 f (0) = 03.f (x) = 3x 2 - e x-1 ， 1e
7、p2p4.， -12 1 3x 21115. F (x) = x 2 - 2x +当0 x 0 时收敛于(beab ) -1(4) 收敛于 2(5) 收敛于p + 1 ln 2 42(2) 收敛，1(3) 发散(5) 收敛， 8(6) 收敛， p333. e24. n!1.(1)习题 5-5(B)1 ln 2(2) 发散(3) 发散(4) 033(5) 发散(6)p(7)2(8)p + ln(+ 2)2222. l 1时发散， l 1 时收敛于1(ln ln a)1-ll - 13. k 1时发散， k 1 时收敛于1， k = 1 -1时取最小值4.p2(k - 1)(ln 2) k -1l
8、n ln 2习题 5-61.(1) 发散(2) 收敛(3) 收敛(4) 收敛(5) 收敛(6) 发散(7) 发散(8) 收敛(9) 发散(10)绝对收敛2.(1)11Ga(a ) ,a 0(2) G( p + 1) ,p -1总复习题五一.1. D2. A3. B4. B5. C6. D7. D8. C二.1.- 3 f (cos 3x) sin 3x2. 0 cos t 2 dt - 2x 2 cos x 4x23.y = 2x4.15. sin x 26.7.p124 -p8.49.ln 310.4 - 111.112.215p2三.1.12. 当-1 x 0 时，1 - 1 (1 - x
9、)22223.134. ln(2 +3) -5.321 ln 26.2 (1 - 3e -2 )37.08.39.1f (0)42n10.a = 1, b = 0, c = 1211.2p(定积分)习题选解习题 5-1(B)f (x) 与g(x) 在a,b 上连续，证明：(1) 若在a,b 上 f (x) 0 ，且baf (x)dx = 0 ，则在a,b 上 f (x) 0 .(2) 若在a,b 上 f (x) 0 ，且 f (x) 不恒为零，则baf (x)dx 0 .(3) 若 在 a,b 上 f (x) g(x) ， 且f (x) g(x) .b f (x)dx = b g(x)dx ，
10、 则 在 a,b 上aaf (x) 在a,b 不恒为零，则至少存在一点 xa, b使 f (x ) = A 0 .不妨00设 x (a, b) ，由 f (x) 在 x = x处连续及极限的局部保号性，存在00d 0 ，使(x0- d , x0+ d ) (a, b) ，且在(x0- d , x0+ d ) 上 f (x) A ，于2是b f (x)dx x0 +d f (x)dx x0 +d Adx =A 2d 0 .ax -dx -d 22这与题设ba00f (x)dx = 0 矛盾.(2)由在a,b 上 f (x) 0 baf (x)dx 0 .而如果baf (x)dx = 0 ，则由(
11、1)知在在a,b 上 f (x) 0 与条件矛盾，故只有baf (x)dx 0 .(3)由(1)即得.习题 5-2(B).g(x) 连续，且g(1) = 5 ， 1 g(t)dt = 2 ，设 f (x) = 1 x (x - t)2 g(t)dt .02 0证明： f (x) = xx g (t)dt - x tg (t)dt ，从而计算 f (1) ， f (1) .00证明： f (x) =1 x 2 x g(t)dt - 2xx tg(t)dt + x t 2 g(t)dt2000f (x) =1 2xx g(t)dt + x 2 g(x) - 2x tg(t)dt - 2x 2 g(
12、x) + x 2 g(x) 200= xx g(t)dt - x tg (t)dt00f (x) = x g(t)dt + xg(t) - xg(t) = x g(t)dt00f (1) = 1 g (t)dt = 20f (x) = g (x) ， f (1) = g(1) = 5 .习题 5-3(B).21.(7) pcos x - sin xdx令x = p- t ，0 1 + sin x cos x22I = pcos x - sin xdx = - 0 sin t - cos tdt = psin t - cos tdt = -I0 1 + sin x cos xp 1 + cos
13、t sin t20 1 + sin t cos t22 I = p0cos x - sin x dx = 0 . 1 + sin x cos x21.(8) pcos xdx =1p (cos x + sin x) + (cos x - sin x)2dx220 sin x + cos x2 0sin x + cos x2= 1 p dx + p1d (sin x + cos x) = 1 p + ln sin x + cos x p = p .200sin x + cos x22041.(11) 计算Jm= p x sin m xdx( m为自然数).0解： J= p x sin m xdx
14、 = p p sin m xdx令 x = p + tm02 02p= p 2 sin m xdx0 m - 1 m - 3 L 3 1 p 2当m为偶数时mm - 24 2 2于是Jm= m - 1 m - 3 L 4 2 pmm - 25 3p当m为大于1的奇数时. 当m = 1时f (x) 为连续函数.证明： x0f (t)(x - t)dt = x t00f (u)dudt .证明：设tf (u)du = F(t)，则x tf (u)dudt = t F(t)dt = F(t) t x- x tF (t)dt000000= F(x) x - x tf (t)dt = xx f (u)d
15、u - x tf (t)dtpI= 4 tan n xdx,n N且n 1.n0000= x xf (t)dt - x tf (t)dt = x (x - t) f (t)dt .000证明：(1) I+ I=1(2)1 I1nn-2n -12n + 2n2n - 2证明：(1) In+ In-2= p40tan nxdx + p40tan n-2xdx = p40tan n-2 x(tan 2 x + 1)dxp= 4 tan n-2 xd tan x =01.n - 1(2) 由(1)知， In+ In-2=1n -1， I+ In+2n=1n + 1p而在0,4上， tan n+2 x
16、tan n x tan n-2 x于是I I I， I+ I 2I I+ In+ 2nn-2n+2nnnn-2即习题 5-5(B).1n + 1 2In1n - 1，1 I2(n + 1)n 1= (k -1)(ln 2)k -1;k 1时，收敛于1(k - 1)(ln 2 )k -1. 求其最小值，即求 I (k ) = (k -1)(ln 2)k -1 的最大值：I (k) = (ln 2)k -11 + (k -1) ln ln 2, 令 I (k) = 0 k = 1 -且当k 1-1, I 1-1, I 0, ln ln 2ln ln 21,ln ln 2 当 k = 1 -1 时，
17、该积分取得最小值。lnln 2总复习题五.一(5). 题目(略)解： F (x) = x 2 x0F (x) = 2xx0f (t)dt - x t 2 f (t)dt0f (t)dt + x 2 f (x) - x 2 f (x) = 2xx0f (t)dt现要求k 使lim2xx0f (t)dt= l 0lim2xx0x0f (t)dt= limxk2x0f (t)dt，显然k - 1 0(否则极限为 0)x0xkx0xk -1用罗必达法则，上式= lim2 f (x)=2 limf (x) - f (0)x0 (k - 1)x k -2k - 1 x0xk -2当k - 2 = 1时上式
18、为 2f (0) 0 ，故k = 3 .k - 1三.(10) 确定常数a, b, c 使limx0ax - sin x= c .x ln(1 + t 3 ) dtbt解：首先因为lim(ax - sin x) = 0 ，必须lim x ln(1 + t 3 ) dt = 0 b = 0x0x0 bt于是limax - sin x= lima - cos x= lim x(a - cos x)= lim a - cos x = cx0x ln(1 + t 3 ) dtbtx0 ln(1 + x3 )x0ln(1 + x3 )x0x 2x必须a = 1 ，从而可得极限c = 1 .2sin ps
19、in 2pp三.(11) 求极限lim(n +n+ L + sin) .11x0n + 1n +n +sin psin 2p2npppp解：n +n+L+sin1(sin+ sin 2+L + sinp ) =n 1 nsin in + 1n +n + 1n + 1nnn + 1nni=12n而limn 1 n sin ip= 1 sinpxdx = 2n n + 1nn0pi=1 原式= p .2四.(5)设 f (x) 在a, b 上连续， g(x) 在a, b x a, b ， 使下式成立b f (x)g (x)dx = f (x )b g (x)dxaa(积分第一中值定理)证明：不妨设
20、g(x) 0(a x b)( g(x) 0 时证明类似)由 f (x) 在a, b 上连续得 m f (x) M .由 g(x) 0 得 mg(x) f (x) g(x) Mg(x) ，mb g(x)dx b f (x)g(x)dx M b g(x)dxaaabf (x)g(x)dx而b g(x)dx 0 ，(1)当b g(x)dx 0 时， m a Maab g(x)dxab f (x)g(x)dx由介值定理， $x a, b，使 f (x ) =b g(x)dxaa即baf (x)g(x)dx = f (x )b g(x)dxa(2)当b g(x)dx = 0 时， g(x) 0 .等式也
21、成立.a四.(6) 设 f (x), g(x) 在a,b 上都连续.证明：(1)(baf (x)g(x)dx)2 baf 2 (x)dx b g 2 (x)dx(柯西-许瓦兹不等式)a(2) (b f (x) + g(x)2 dx)2a不等式). (ba1f 2 (x)dx) 2+ (b g 2 (x)dx) 12a( 闵可夫斯基证明：(1)对实数t ， f (x) + tg (x)2 0 b f (x) + tg (x)2 dx 0a即baf 2 (x)dx + 2t baf (x)g (x)dx + t 2 b g 2 (x)dx 0a于是判别式2baf (x)g(x)dx2 - 4baf
22、 2 (x)dx b g 2 (x)dx 0a即baf (x)g (x)dx2 baf 2 (x)dx b g 2 (x)dx .a(2) (b f (x) + g(x)2 dx)2= b f2 (x)dx + 2b f (x)g (x)dx + bg 2 (x)dxa bb f 2 (x)dxaa= (ab f 2 (x)dx b g 2 (x)dxaaf 2 (x)dx + 2+aab g 2 (x)dx )2a+ b g 2 (x)dxa即(b f (x) + g(x)2 dx)2 (b1f 2 (x)dx) 2+ (b g 2 (x)dx) 1 .2aaa四.(7) 设 f (x),
23、g(x) 在-a, a 上都连续， g(x) 为偶函数，且 f (x) 满足条件 f (x) + f (-x) = A( A 为常数).(1) 证明a-af (x)g(x)dx = Aa g(x)dx02(2) 利用(1)的结论计算积分p-p2sin x arctan ex dx .证明：(1) a-af (x)g(x)dx =0-af (x)g(x)dx + a0f (x)g(x)dx0f ( x) g ( x)dx 令x = -t- 0f (-t ) g (-t )dt = af (- x) g ( x)dx- aa0于是a-af (x)g(x)dx =a0f (-x)g(x)dx + a
24、0f (x)g(x)dx= a f (-x) + f (x)g(x)dx = Aa g(x)dx .0(2) 取 f (x) = arctan e x ，g(x) = sin x ，a = p0上，则 f (x), g(x) 在- p , p 222连续，且g(x) 为偶函数.又由(arctan e x + arctan e - x ) = 0 arctan ex + arctan e- x = A令 x = 0得2 arctan1 = A ， A = p2，即 f (x) + f (-x) = p .22于 是 ppsin x arctan ex dx =p sin xdx = pp sin xdx = p .22-p2 02 022