湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题含答案.pdf

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1、湘 豫 名 校 联 考2 0 2 3 年 5 月 高 三 第 三 次 模 拟 考 试数 学（文 科）注意 事项：1.本 试卷 共 6 页。时 间 120 分 钟，满 分 150 分。答 题 前，考 生先 将 自 己的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 试 卷 指 定 位 置，并 将 姓 名、考 场 号、座 位 号、准 考 证 号 填 写 在答 题 卡 上，然 后 认 真 核 对 条 形 码 上 的 信 息，并 将 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定位置。2.作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案

2、 标号 涂 黑。如 需 改动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂其 他 答案 标 号。作 答 非选 择 题 时，将答 案写 在答题 卡上 对应的 答题区 域内。写在 本试 卷上无 效。3.考试 结束 后，将试 卷和 答题卡 一并 收回。一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项中，只有 一项 是符合 题目 要求的.1.已 知 集 合 2 A x x，2 16xB x，则 A B（）A.2,4 B.2,4 C.2,D.2,42.已 知 复 数322 ii iz，则 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于（）A

3、.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限3.已 知 向 量 a，b满 足 6,10 a b，2 3 8,15 a b，则 a b（）A.2 9 B.2 9 C.1 3 D.1 34.已 知 x，y 满 足 约 束 条 件3 0,1 0,0,0,x yx yx y 则 3 4 z x y 的 最 大 值 为（）A.4 B.9 C.1 1 D.1 25.某 学 校 统 计 了 1 0 位 同 学 一 周 的 课 外 体 育 运 动 总 时 长（单 位：小 时），数 据 分 别 为 6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则

4、 以 下 数 字 特 征 中 数 值 最 大 的 为（）A.平 均 数 B.中 位 数 C.方 差 D.众 数6.若 双 曲 线1C 与 双 曲 线222:17xC y 有 相 同 的 焦 距，且1C 过 点 3,1，则 双 曲 线1C 的 标准 方 程 为（）A.2 216 2x y B.2 219 73 73 1y x C.2 216 2x y 或2 219 73 73 1y x D.2 216 2x y 或2213xy 7.函 数 3221xf x xx 的 部 分 图 象 大 致 为（）A.B.C.D.8.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图，若 输 入 的 a，b，m 分 别

5、为 1，1，4，则 输 出 的 M（）A.4 B.5 C.1 8 D.2 7 29.已 知 0 a，0 b，且 1 a b，则 下 列 不 等 式 不 正 确 的 是（）A.14ab B.2 212a b C.1 121 a b D.1 a b 1 0.已 知 等 差 数 列 na 中，1 8 52 2 a a a，3 1126 a a，则 数 列 c o sna n 的 前 2 0 2 2项 的 和 为（）A.1 0 1 0 B.1 0 1 1 C.2 0 2 1 D.2 0 2 21 1.已 知 非 钝 角 A B C 中，60 B A C，2 A B，Q 是 边 B C 上 的 动 点.

6、若 P A 平 面A B C，2 P A，且 P A Q 周 长 的 最 小 值 为 1 2 3，则 三 棱 锥 P A B C 外 接 球 的体 积 为（）A.6 B.6 C.2 2 D.8 1 2.已 知 函 数 33 f x bx b x 在 1,1 上 的 最 小 值 为 3，则 实 数 b 的 取 值 范 围 是（）A.,4 B.9,C.4,9 D.9,92 二、填空 题：本题 共 4 小题，每小 题 5 分，共 20 分.1 3.若 数 列 na 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列，7 63 a a，写 出 一 个 满 足 题 意 的 通 项 公 式na _ _ _ _ _ _

7、.1 4.已 知 点 P 为 圆 22:4 4 C x y 上 的 动 点，则 点 P 到 直 线:3 4 5 0 l x y 的 距 离 的最 大 值 为 _ _ _ _ _ _.1 5.已 知 f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，且 满 足 2 2 0 f x f x，又 当 2,0 x 时，2 2xf x，则121l o g84f _ _ _ _ _ _.1 6.将 函 数 s i n 2 f x x 的 图 象 先 向 右 平 移8个 单 位 长 度，再 把 所 得 函 数 图 象 的 横 坐 标 变 为原 来 的 20 倍，纵 坐 标 不 变，得 到 函 数 g x 的

8、图 象，若 函 数 g x 在,4 上 没 有零 点，则 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _.三、解 答 题：共 70 分.解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 17 21题 为必 考 题，每 个试 题 考 生都 必 须 作答.第 22、23 题 为选 考 题，考 生根 据 要 求作答.（一）必考 题：共 60 分.1 7.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 a，b，c 分 别 为 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边，2 2 2 23 c o s s i n2 2B Ba c ac.（1）求 证：a，b，c 成 等 比 数

9、 列；（2）若22 2s i n 3s i n s i n 4BA C，求 c o s B 的 值.1 8.（本 小 题 满 分 1 2 分）随 着 人 们 生 活 水 平 的 提 高，健 康 越 来 越 成 为 当 下 人 们 关 心 的 话 题，因 此，健 身 也 成 了 广 大 市民 的 一 项 必 修 课.某 健 身 机 构 统 计 了 2 0 2 2 年 1 5 月 份 某 初 级 私 人 健 身 教 练 课 程 的 月 报 名 人 数y（单 位：人）与 该 初 级 私 人 健 身 教 练 价 格 x（单 位：元/小 时）的 情 况，如 下 表 所 示.月 份 1 2 3 4 5初

10、级 私 人 健 身 教 练 价 格 x（元/小 时）2 1 0 2 0 0 1 9 0 1 7 0 1 5 0初 级 私 人 健 身 教 练 课 程 的 月 报 名 人 数 y（人）5 8 7 9 1 1（1）求,i ix y（1 i，2，3，4，5）的 相 关 系 数 r，并 判 断 月 报 名 人 数 y 与 价 格 x 是 否 有很 强 的 线 性 相 关 性?（当 0.75,1 r 时，可 以 认 为 两 个 变 量 有 很 强 的 线 性 相 关 性；否 则，没 有 很 强 的 线 性 相 关 性）（精 确 到 0.0 0 1）（2）请 建 立 y 关 于 x 的 线 性 回 归 方

11、 程；（精 确 到 0.0 0 1）（3）当 价 格 为 每 小 时 2 3 0 元 时，估 计 该 课 程 的 月 报 名 人 数 为 多 少 人?（结 果 保 留 整 数）参 考 公 式：对 于 一 组 数 据,i ix y（1 i，2，3，n），相 关 系 数 12 21 1ni iin ni ii ix x y yrx x y y，其 回 归 直 线 y bx a 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分别 为 121ni iiniix x y ybx x，a y b x.参 考 数 据：29 5.385.1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，直 三 棱 柱1

12、 1 1A B C A B C 中，2 A C，3 B C，13 A B，D 为1C C 上 一 点，且1:4:9 C D C D.（1）证 明：平 面1A B D 平 面1 1A B B A；（2）若 直 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 的 表 面 积 为77 13 132，求 五 面 体1A B C D B 的 体 积.2 0.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 椭 圆 2 22 2:1 0y xC a ba b 的 上、下 焦 点 分 别 为1F，2F，离 心 率 为23，过 点1F 作直 线 l（与 y 轴 不 重 合）交 椭 圆 C 于 M，N 两 点，2M N F

13、 的 周 长 为 1 2.（1）求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；（2）若 点 A 是 椭 圆 C 的 上 顶 点，设 直 线 l，A M，A N 的 斜 率 分 别 为 k，1k，2k，当 0 k 时，求 证：1 21 1 1k k k 为 定 值.2 1.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数 e 1 c o sxf x a x a R.（1）当 0 a 时，求 曲 线 y f x 在 点,f 处 的 切 线 方 程；（2）若 0,x，0 f x 恒 成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.（二）选 考 题：共 10 分.请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一

14、题 作 答，如 果 多 做，则按所 做的 第一题 计分.2 2.（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为33,2132x ty t（t 为 参 数）.以 坐 标 原点 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 s i n6.（1）求 直 线 l 的 普 通 方 程 和 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程；（2）若 点 P 的 极 坐 标 为 2 3,6，直 线 l 与 曲 线 C 相

15、交 于 A，B 两 点，求1 1P A P B 的值.2 3.（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-5：不 等 式 选 讲已 知 函 数 4 2 f x x x a.（1）当 2 a 时，求 不 等 式 13 f x 的 解 集；（2）当 0 a 时，若 25 f x a a 恒 成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.湘 豫 名 校 联 考2 0 2 3 年 5 月 高 三 第 三 次 模 拟 考 试数 学（文 科）参 考 答 案题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2答 案 B C A C D C B C D D A D一、选 择 题：本 题 共 12

16、 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项中，只有 一项 是符合 题目 要求的.1.B【命 题 意 图】本 题 考 查 集 合 的 交 集 运 算，考 查 数 学 运 算、逻 辑 推 理 的 核 心 素 养.【解 析】因 为 集 合 2 16 4xB x x x，2 A x x，所 以 2 4 2,4 A B x x.故 选 B.2.C【命 题 意 图】本 题 考 查 复 数 的 几 何 意 义，考 查 数 学 运 算、直 观 想 象 的 核 心 素 养.【解 析】因 为 复 数 322 i 1 i 2 i 2 i 1 3 i 1 3ii i 1 i

17、 1 i 1 i 2 2 2z，所 以 z 在 复平 面 内 对 应 的 点 的 坐 标 为1 3,2 2，位 于 第 三 象 限.故 选 C.3.A【命 题 意 图】本 题 考 查 向 量 的 数 量 积，考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】因 为 向 量 6,10 a b，所 以 2 2 12,20 a b.又 2 3 8,15 a b，两 式 相 减 得 5 20,35 b，所 以 4,7 b，6,10 4,7 6,10 2,3 a b.所 以 2,3 4,7 29 a b.故 选 A.4.C【命 题 意 图】本 题 考 查 线 性 规 划，考 查 数 学 运 算、直

18、观 想 象 的 核 心 素 养.【解 析】作 出 可 行 域，如 图 中 阴 影 部 分 所 示，由 3 4 z x y 可 得34 4zy x，平 移 直 线34y x，当 直 线 经 过 点 A 时，z 取 最 大 值.由3 0,1 0,x yx y 解 得1,2,xy 所 以 1,2 A.故m a x3 1 4 2 11 z.故 选 C.5.D【命 题 意 图】本 题 考 查 数 字 特 征 的 应 用，考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】经 计 算，这 1 0 位 同 学 一 周 课 外 体 育 运 动 总 时 长 的 平 均 数 为 8，而 众 数 为 8.3，中

19、位数 为 8.2，方 差 小 于21.7 102.8910，故 最 大 值 为 8.3，为 众 数.故 选 D.6.C【命 题 意 图】本 题 考 查 双 曲 线 的 标 准 方 程，考 查 数 学 运 算、逻 辑 推 理 的 核 心 素 养.【解 析】设 双 曲 线1C 的 方 程 为 2 22 21 0,0 x ya ba b 或 2 22 21 0,0y xa ba b，因为1C 和2C 有 相 同 的 焦 距，双 曲 线222:17xC y 的 焦 距 为 4 2，所 以 双 曲 线1C 的 焦 距2 4 2 c.若1C 的 焦 点 在 x 轴 上，将 点 3,1 代 入 2 22 2

20、1 0,0 x ya ba b，得2 22 23 11a b.又2 2 28 a b c，联 立 两 式 得26 a，22 b.所 以 双 曲 线1C 的 标 准 方 程 为2 216 2x y.若1C 的 焦 点 在 y 轴 上，将 点 3,1 代 入 2 22 21 0,0y xa ba b，得2 22 21 31a b.又2 2 28 a b c，联 立 两 式 得29 73 a，273 1 b，所 以双 曲 线1C 的 标 准 方 程 为2 219 73 73 1y x.综 上 所 述，双 曲 线1C 的 标 准 方 程 为2 216 2x y 或2 219 73 73 1y x.故

21、选 C.7.B【命 题 意 图】本 题 考 查 函 数 的 图 象 识 别，考 查 逻 辑 推 理、数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】3 3 3 32 2 22 21 1 1x x x x x xf x xx x x，易 知 f x 的 定 义 域 为 R.因 为 33 32 2 21 11x x x x x xf x f xx xx，所 以 f x 为 奇 函 数，图 象 关 的原 点 对 称.排 除 A，D 选 项；又321 11 2 202112f，322 22 01 2f，所 以 排 除 C选 项.故 选 B.8.C【命 题 意 图】本 题 考 查 算 法 程 序 框 图，

22、考 查 数 学 运 算、逻 辑 推 理 的 核 心 素 养.【解 析】执 行 程 序 框 图，第 一 次 循 环：1 4，2 21 1 2 M，2 b，0 a，2 n；第 二 次 循 环：2 4，2 20 2 4 M，1 b，2 a，3 n；第 三 次 循 环：3 4，2 22 1 5 M，3 b，3 a，4 n；第 四 次 循 环：4 4，2 23 3 18 M，4 b，16 a，5 n，此 时 5 4，退 出 循 环，输 出 18 M.故 选 C.9.D【命 题 意 图】本 题 考 查 四 个 平 均 数 的 大 小 关 系，基 本 不 等 式 的 性 质，考 查 数 学 运 算 的核 心

23、 素 养.【解 析】方 法 一：212 4a bab（当 且 仅 当 a b 时 取 等 号），A 正 确；易 知2 22 2a b a b，则2 212 2a b，即2 212a b（当 且 仅 当 a b 时 取 等 号），B 正确；由 题 得21 1 1 1 21 1 1 1 a b b b b，21 0,1 b，故1 121 a b，C 正 确；易 知12 2 2a b a b，即 2 a b（当 且 仅 当 a b 时 取 等 号），D 错 误.故 选 D.方 法 二（特 殊 情 况）：取12a b，则1 122 2a b，D 错 误.故 选 D.1 0.D【命 题 意 图】本 题

24、考 查 等 差 数 列 的 基 本 运 算，数 列 的 前 n 项 和，考 查 数 学 抽 象、逻 辑推 理 和 数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】设 等 差 数 列 的 首 项 为1a，公 差 为 d，则 由1 8 53 112 2,26,a a aa a 得 1 1 11 17 2 4 2,2 10 26,a a d a da d a d 化 简 得17 8 2,2 12 26,d da d 解 得11,2.ad 所 以 1 1 2 2 1na n n.设 数 列 c o sna n 的 前 n 项 和 为nS，则 2022 1 2 3 1 2021 2022 2 1 1 3

25、2022 20211011 2022 S a a a a a a a a a a a a d.故 选 D.1 1.A【命 题 意 图】本 题 考 查 三 棱 锥 的 外 接 球 的 体 积，考 查 直 观 想 象、逻 辑 推 理 和 数 学 运 算的 核 心 素 养.【解 析】在 P A Q 中，设 A Q x，则 22 22 2 P Q x x.所 以 P A Q 的 周长 为22 2 1 2 3 x x.所 以22 1 3 x x，不 等 式 两 边 平 方，得 2 22 4 2 3 2 1 3 x x x，解 得 1 x，即 A Q 的 最 小 值 是 1.所 以 点 A 到 边 B C

26、的 距 离 为 1.当 A Q 取 最 小 值 时，因 为 在 R t A B Q 中，2 A B，所 以 60 B A Q.又60 B A C，所 以 C，Q 两 点 重 合，所 以 90 A C B，即 A C B C.又 P A 平 面 A B C，B C 平 面 A B C，所 以 P A B C.因 为 P A A C A，所 以 B C 平 面 P A C.因 为 P C 平 面 P A C，所 以 B C P C.因 为 P B 是 R t P A B 和 R t P C B 的 公 共 斜 边，所 以 P B 为 三棱 锥 P A B C 的 外 接 球 的 直 径，设 外 接

27、 球 的 半 径 为 R，则 22 2 21 1 1 62 22 2 2 2R P B P A A B，所 以 三 棱 锥 P A B C 的 外 接 球 的 体积334 4 663 3 2V R.故 选 A.1 2.D【命 题 意 图】本 题 考 查 通 过 导 数 判 断 函 数 的 最 值，求 参 数 的 取 值 范 围，考 查 逻 辑 推 理、数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】方 法 一：由 题 可 得 23 3 f x b b x.（1）当 3 0 b，即 3 b 时，3 f x x 在 1,1 上 单 调 递 减，函 数 的 最 小 值 为 1 3 f，符 合 题 意，

28、所 以 3 b 符 合 题 意.（2）当 3 0 b，即 3 b 时，当 0 3 3 b，即 3 0 b 时，23 3 f x b b x 为 开 口 向 下 的 拋 物 线，且 12 3 0 b b，0 f x 恒 成 立，所 以 f x 在 1,1 上 单 调 递 减，函 数 的 最 小 值 为 1 3 f，符 合 题 意.当 3 0 b，即3 b 时，23 3 f x b b x 为 开 口 向 上 的 抛 物 线，且 12 3 0 b b.令 0 f x，则 23 3 b x b.解 得 3 3bxb 或 3 3bxb.当 13 3bb，即92b 时，函 数 f x 在 1,3 3bb

29、 上 单 调 递 增，在,3 3 3 3b bb b 上 单 调 递 减，在,13 3bb 上 单 调 递 增.又 1 3 f，所 以 f x 在 1,1 上 的 最 小 值 为 23 3 3 3 3b b bfb b.令 33 3bfb，得 233 3 3b bb，化 简 得 22 9 9 0 b b，解 得92b（舍 去）或 9 b（舍 去）.当 13 3bb，即 13 3bb，即932b 时，函 数 f x 在 1,1 上 单 调递 减，所 以 函 数 f x 在 1,1 上 的 最 小 值 为 1 3 f，符 合 题 意.当 3 3 b，即 0 b 时，23 3 f x b b x 为

30、 开 口 向 下 的 拋 物 线，且 12 3 0 b b.令 0 f x，则 23 3 b x b.解 得 3 3bxb 或 3 3bxb.当 0 b 时，13 3bb，即 13 3bb，即 0 b 时，函 数 f x 在 1,3 3bb 上 单 调 递 减，在,3 3 3 3b bb b 上 单 调 递 增，在,13 3bb 上 单 调 递 减，所 以 此 时 f x 在 1,1 上 的 最 小 值 为 1 3 f 或 23 33 3 3b bfbb.令 33 3bfb，得 233 3 3b bb，化 简 得 22 9 9 0 b b，解 得 9 b，故 0 9 b，综 上 所 述，实 数

31、 b 的 取 值 范 围 是9,92.故 选 D.方 法 二：由 题 可 得，1 3 f，即 3 1,1 f x x，所 以 33 3 bx b x，即 2 31 3 1 bx x x，即 21 3 1 bx x x x.当 0 x 或 1 x 时，不 等 式 显然 成 立；当 0 1 x 时，223 113 11x xbx x x x，因 为 20,2 x x，所以21 1,2 x x，21 31,2 x x，21 93 1,2 x x，所 以92b；当 1 0 x 时，213 1 bx x，因 为21,04x x，所 以 21,4x x，211,3x x，213 1 9,x x，所 以 9

32、 b.综 上 可 得，实 数 b 的 取 值 范围 是9,92.故 选 D.方 法 三（间 接 法）：当 3 b 时，3 f x x 在 1,1 单 调 递 减，且 最 小 值 为 1 3 f，满 足 条 件，可 排 除 A，B 选 项；当92b 时，33 92 2f x x x，2 29 9 912 2 2f x x x，因 为 当 1,1 x 时，0 f x，f x 在 1,1 上 单 调递 減，所 以 f x 的 最 小 值 为 1 3 f，满 足 条 件，可 排 除 C 选 项.故 选 D.二、填空 题：本题 共 4 小题，每小 题 5 分，共 20 分.1 3.12n（答 案 不 唯

33、 一）【命 题 意 图】本 题 考 查 等 比 数 列 的 通 项 公 式，考 查 逻 辑 推 理、数 学运 算 的 核 心 素 养.【解 析】设 等 比 数 列 的 首 项 为1a，且 公 比 2 q，则 由7 63 a a，得6 62 3 a a，即60 a，即10 a，所 以112nna a.令1k a，所 以 12 0nna k k，所 以 可 取12nna.（答案 不 唯 一）1 4.215【命 题 意 图】本 题 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，考 查 直 观 想 象 和 数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】由 题 可 得，圆 心 0,4 C，半 径 2 r，

34、圆 心 0,4 C 到 直 线:3 4 5 0 l x y 的距 离 等 于2 23 0 4 4 5 1153 4r，所 以 点 P 到 直 线 l 的 距 离 的 最 大 值 为11 2125 5.1 5.14964【命 题 意 图】本 题 考 查 函 数 的 奇 偶 性、周 期 性、对 数 运 算 求 值，考 查 数 学 抽 象、数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】因 为 f x 为 奇 函 数，所 以 f x f x.因 为 2 2 0 f x f x，所 以 2 2 2 2 f x f x f x f x，所 以 4 f x f x，所 以 8 4 f x f x f x.所

35、 以 f x 的 一 个 周 期 为 8.1 11 2 221l o g l o g 84 l o g 8484.因 为6 82 84 2，所 以26 l o g 84 8，所 以22 l o g 84 8 0.因 为 当 2,0 x 时，2 2xf x，f x 是 周 期 为 8 的 奇 函 数，所 以 22l o g 84l o g 81 81 2 2 821 2 84 149l o g l o g 84 l o g 84 8 2 2 2 284 2 256 64f f f.1 6.1 50,1,4 4【命 题 意 图】本 题 考 查 三 角 函 数 的 图 象 平 移、函 数 的 零 点

36、，考 查 直 观 想象 和 逻 辑 推 理 的 核 心 素 养.【解 析】将 函 数 s i n 2 f x x 的 图 象 先 向 右 平 移8个 单 位 长 度，得 到 函 数s i n 2 s i n 28 4y x x 的 图 象，再 把 所 得 函 数 图 象 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 20 倍，纵 坐 标 不 变，得 到 函 数 s i n 2 s i n2 4 4g x x x 的 图 象.当,4x 时，,4 4 4 4x.由 g x 在,4 上 没 有 零 点，得,4 414kk k Z，即54 1,454 14k kk k k Z，解 得104 或514.故 的 取

37、 值 范 围 是1 50,1,4 4.三、解 答 题：共 70 分.解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 17 21题 为必 考 题，每 个试 题 考 生都 必 须 作答.第 22、23 题 为选 考 题，考 生根 据 要 求作答.（一）必考 题：共 60 分.1 7.【命 题 意 图】本 题 考 查 解 三 角 形，等 比 数 列 的 判 定，考 查 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 的 核 心 素养.【解 析】（1）因 为2 2 2 23 c o s s i n2 2B Ba c ac，所 以2 21 c o s 1 c o s32 2B Ba

38、c ac.1 分所 以 2 21 2 c o s a c ac B.2 分根 据 余 弦 定 理，得2 2 22 21 22a c ba c acac，3 分所 以2 2 2 2 2a c ac a c b.4 分所 以2b ac.5 分所 以 a，b，c 成 等 比 数 列.6 分（2）由 余 弦 定 理，得2 2 2 2 2 2 21c o s2 2 2 2a c b a c ac a cBac ac ac.8 分因 为22 2s i n 3s i n s i n 4BA C，所 以 由 正 弦 定 理，得22 234ba c.9 分所 以2 234aca c.1 0 分所 以1 4 1

39、1c o s2 3 2 6B.1 2 分1 8.【命 题 意 图】本 题 考 查 线 性 回 归 关 系 的 判 断，线 性 回 归 方 程 及 其 应 用，考 查 数 据 分 析 和数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】（1）由 已 知 数 据 可 得210 200 190 170 1501845x，5 8 7 9 1185y，1 分 522 22 2 2126 16 6 14 34 4 145iix x，2 分 522 22 2 213 0 1 1 3 2 5iiy y，3 分 5126 3 16 0 6 1 14 1 34 3 200i iix x y y，4分所 以 相 关 系

40、 数 515 52 21 12000.9294 145 2 5i iii ii ix x y yrx x y y.5 分因 为 0.75 r，所 以 y 与 x 有 很 强 的 线 性 相 关 性.6 分（2）因 为 515212000.0862320i iiiix x y ybx x，7 分 8 0.086 184 23.824 a b x y，8 分所 以 y 关 于 x 的 线 性 回 归 方 程 为 0.086 23.824 y x.9 分（3）当 230 x 时，0.086 230 23.824 4.044 4 y，故 当 价 格 为 每 小 时 2 3 0 元 时，估 计 该 课

41、程 的 月 报 名 人 数 为 4 人.1 2 分1 9.【命 题 意 图】本 题 考 查 面 面 垂 直 的 证 明、三 棱 柱 的 表 面 积、五 面 体 的 体 积，考 查 直 观 想象、逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】（1）如 图，作 C E A B 于 点 E，1E F B B 交1A B 于 点 F，连 接 D F.因 为 2 A C，3 B C，13 A B，所 以 22 2 2 2 22 3 13 A C B C A B.所 以 A C B C.1 分所 以2 3 6 1313 13A C B CC EA B.由 勾 股 定 理 得22 2 2

42、6 13 4 13213 13A E A C C E.所 以1 14 1341313 13E F A E C DB B A B C C，所 以 E F C D.3 分又1E F B B，1C D B B，所 以 E F C D.所 以 四 边 形 E F D C 是 平 行 四 边 形，所 以 D F C E.4 分因 为 平 面 A B C 平 面1 1A B B A，平 面 A B C 平 面1 1A B B A A B，C E A B，所 以 C E 平 面1 1A B B A.5 分所 以 D F 平 面1 1A B B A.又 D F 平 面1A B D，所 以 平 面1A B D

43、平 面1 1A B B A.6 分（2）由 题 易 得 五 面 体1A B C D B 即 四 棱 锥1A B C D B 由（1）知 A C B C，又1A C C C，1B C C C C，所 以 A C 平 面1B C D B.8 分所 以 四 棱 锥1A B C D B 的 高 为 2 A C.因 为 直 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 的 表 面 积 为77 13 132，所 以 11 77 13 132 3 2 2 3 132 2C C，解 得1132C C，即1132B B.所 以 2 C D，192C D.又11 13 172 3 32 2 4B C D BS 梯

44、形 1 0 分所 以1 11 1 17 173 23 3 4 2B C D B A B C D BV S A C 梯 形 四 棱 锥.故 五 面 体1A B C D B 的 体 积 为172.1 2 分2 0.【命 题 意 图】本 题 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程、直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系、三 角 形 的 周 长 等，考查 直 观 想 象 和 数 学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】（1）依 题 意，2M N F 的 周 长 为2 2 1 2 1 24 12 M F M N N F M F M F N F N F a，解 得 3 a.1 分设 椭 圆 C 的 半 焦

45、距 为 c，因 为 椭 圆 C 的 离 心 率 为23，所 以23cea，即23 3c，解 得 2 c.2 分因 为2 2 2a b c，所 以2 2 2 23 2 5 b a c.3 分所 以 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为2 219 5y x.4 分（2）由（1）知，10,2 F，0,3 A.易 知 直 线 l 的 方 程 为 2 0 y k x k.5 分由2 22,1,9 5y k xy x 消 去 y 得 2 25 9 20 25 0 k x k x，0.设 1 1,M x y，2 2,N x y，则1 2 2205 9kx xk，1 2 2255 9x xk.7 分所 以1 1

46、 111 1 13 2 3 1 y k x k xkx x x，2 2 222 2 23 2 3 1 y k x k xkx x x.8 分所 以1 21 21 2 1 21 1 625x xk k k k k kx x x x.2 1 21 21 2 1 2 1 21 1 1 925x xk k k k k kx x x x x x.所 以1 21 2 1 21 1 103k kkk k k k.1 1 分所 以1 21 1 1 103 k k k，为 定 值.1 2 分2 1.【命 题 意 图】本 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义、不 等 式 恒 成 立 求 参 数 问 题，考 查

47、逻 辑 推 理、数学 运 算 的 核 心 素 养.【解 析】（1）当 0 a 时，exf x a R.1 分因 为 exf x，所 以 e f.2 分又 exf，3 分所 以 曲 线 y f x 在 点,f 处 的 切 线 方 程 为 e e y x，即 e e 1 0 x y.（2）当 0 a 时，易 得 e 0 x，1 c o s 0 a x，所 以 0,x，e 1 c o s 0 xf x a x 恒 成 立.6 分当 0 a 时，e 1 c o s 0 xa x，即 1 c o s exa x.不 等 式 两 边 同 时 除 以 exa，且 e 0 xa，得1 c o s 1exxa.

48、7 分令 1 c o sexxg x，0 x，则 22 s i n 1e s i n e 1 c o s s i n c o s 1 4e e ex xx x xxx x x xg x.8 分今 0 g x，则2x.当 0,2x 时，0 g x；当,2x 时，0 g x，所 以 g x 在 0,2 上 单 调 递 增；g x 在,2 上 单 调 递 减.1 0 分所 以 m a x212eg x g.因 为1 c o s 1exxa 在 0,上 恒 成 立，所 以21 1ea，即2e 0 a.综 上 所 述，实 数 a 的 取 值 范 围 为2e,.1 2 分（二）选 考 题：共 10 分.请

49、 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答，如 果 多 做，则按所 做的 第一题 计分.2 2.【命 题 意 图】本 题 考 查 极 坐 标 与 参 数 方 程，考 查 直 观 想 象、逻 辑 推 理、数 学 运 算 的 核 心素 养.【解 析】（1）因 为 直 线 l 的 参 数 方 程 为33,2132x ty t（t 为 参 数），所 以 消 去 参 数 t 可 得 直 线 l 的 普 通 方 程 为 3 0 x y.2 分因 为 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 s i n6，即 3 s i n c o s，所 以23 s i n c o s.由c o s,

50、s i n,xy 得2 23 0 x y x y.所 以 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为2 23 0 x y x y.4 分（2）因 为 点 P 的 极 坐 标 为 2 3,6，所 以 点 P 的 直 角 坐 标 为 3,3.易 得，点 P 在 直 线 l 上，将 直 线 l 的 参 数 方 程33,2132x ty t（t 为 参 数）代 入2 23 0 x y x y，6 分化 简 得23 3 6 0 t t，0.设 A，B 两 点 所 对 应 的 参 数 分 别 为1t，2t，则1 23 3 t t，1 26 t t，所 以10 t，20 t.所 以1 21 2 1 2 1