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1、山东省泰安市肥城市2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题山东省泰安市肥城市2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题 高一下学期期中考试数学参考答案 第1页（共 6 页）高一数学参考答案及评分意见 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 C B A B D C A B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号题号 9 10 11
2、 12 答案答案 BCD ABC BD ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.65 14.1 15.3（只需写出满足=+,3kkZ的一个值）16.2316 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）解：（1）因为当=时，z表示实数，所以sin2cos0+=，所以tan2=.2 分 又因为当=时z表示纯虚数，所以2sincos0+=，且sin2cos0+所以1tan2=.4 分 从而()12tantan32tan11tantan41 22+=+.6 分（2）因为()()2222sincossin2co
3、sz=+高一下学期期中考试数学参考答案 第2页（共 6 页）()225 sincos8sincos=5+4sin2=+.8分 当=4时，sin2=1，则2z取得最大值9，此时z的最大值为3.10 分 18.（12 分）解：（1）设顶点(),D x y，已知三个顶点()()()4,2,2,4,1,2ABC,所以()()2,2,1,2ABDCxy=.2 分 因为/ABCD且2ABCD=,所以=2ABDC,即()()2,22 1,2xy=.4 分 所以()()2 122 22xy=，解得 2,1xy=.即顶点D的坐标为顶点()2,1.6 分（2）可求得()()2,2,2,1ABAD=.7 分 设AB
4、AD与的夹角为，则10cos10AB ADAB AD=9 分 设()52,15ADAD=e,10 分 所以AB在AD上的投影向量为()10542cos2 22,1,10555AB=e或25AD.12分19.（12 分）解：（1）在ABC中，由正弦定理得3sincossinsin3sinACACB+=，2 分 因为()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，3 分 所以化简为sinsin3sincosACCA=.4 分 高一下学期期中考试数学参考答案 第3页（共 6 页）又sin0C，所以tan3A=.5 分 因为()0A，所以3A=.6 分（2）因为ABDABCACDSSS
5、=+，7 分 所以111sinsinsin222AB ADBADAB ACBACAC ADCAD=+，9 分 所以sinsinsinBADBACCADACADAB=+.10 分 由（1）可知：3BAC=，所以23sinsin32BAD=，3sinsin2BACCAD=，所以111ACABAD=+.12 分 20.（12 分）解：（1）证明：设()cos,sinOA=a，()cos,sinOB=b，a与b的夹角为，则|coscos=a bab.2 分 因为coscossinsin=+a b，所以coscoscossinsin=+.4 分 又2,kk=+Z，5 分 所以()()coscos 2co
6、sk=，所以()coscoscossinsin=+.6 分（2）因为,为锐角，1cos7=，()11cos14+=，高一下学期期中考试数学参考答案 第4页（共 6 页）所以4 3sin7=，()5 3sin14+=.8 分 又()=+，9 分 所以()()()1coscoscoscossinsin2=+=+=.12分 21.（12 分）解：（1）由题意可知4A=,由于2=120T=,所以得=60.2 分 因为0t=时,4sin2 3y=,所以3sin2=.由2，可求得=3，从而()4sin603tf t=.4 分 所以()24sin2603hf tt=+=+，其中0t.6 分（2）当盛水筒M位
7、于水面以下时，应满足0h，即1sin6032t.7 分可列不等式71122,66036ktkk+Z，解得90+120130 120,ktk k+Z.9 分 因为0,240t，所以当0k=时，()90,130t；当1k=时，(210,240t.11 分 由()()1309024021070+=，可得盛水筒M位于水面以下的时间有 70 秒钟.12 分 22.（12 分）解：（1）解法一：高一下学期期中考试数学参考答案 第5页（共 6 页）由题意可得AB与BC的夹角是3，BC与CD的夹角是3，AB与CD的夹角是23，又知39,1010ABBCCD=，可求得92727,200200200AB BCBC
8、 CDAB CD=.3 分 因为ADABBCCD=+，所以有()22222=+2+2+2ADABBCCDABBCCDAB BCBC CDAB CD=+99819272727=+2+10010010020020020025=，所以3 35AD=.6 分 解法二：连接AC，在ABC中，222272cos100ACABBCAB BCABC=+=，所以3 310AC=.2 分 因为ABBC=，所以6BACACB=，4 分 因为23BCD=，所以2ACD=,即ACCD.在Rt ACD中，22223 393 310105ADACCD=+=+=.6 分（2）在ADE中，因为,3DAEAED=，所以23ADE=.由正弦定理得6sinsinsin5ADAEDEAEDADEDAE=，所以626sin,sin535AEDE=，8 分 高一下学期期中考试数学参考答案 第6页（共 6 页）所以19 329 3 11sinsinsinsin 22325325264SAE DE=+，10 分 因为203，所以72666，所以当262=，即3=时，9 3 1127 32524100S+=所以S最大值是27 3100.12 分