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1、高一期中考试 数学 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司南科大附中 2023 年春季学期高一年级期中考试 南科大附中 2023 年春季学期高一年级期中考试 数学 数学（本试卷共 6 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”。2作答时，务必将答案正确填写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。一、选择题（本大题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题
2、列出的四个选项中，只有一个选项是正确的。）一、选择题（本大题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的。）1下面空间图形的截面一定是圆面的是（）A圆台 B球 C圆柱 D圆锥 2如图所示，一个水平放置的四边形 OABC的斜二测画法的直观图是边长为 2 的正方形O A B C ，则原四边形OABC的面积是（）A16 2 B8 2 C16 D8 3已知两个单位向量,a b的夹角是120，则ab=（）A1 B2 C2 D3 4如图，在三棱锥PABC中，,E F G H I J分别为线段,PA PB PC AB BC CA的中点，则下列说法正确的是（）A
3、/PHBG B/IECPC/FHGJ D/GIJH高一期中考试 数学 第 2 页 共 6 页 5 在如图所示的半圆中，AB 为直径，点 O为圆心，C为半圆上一点，且30OCB=，2AB=，则AC等于（）A1 B2 C5 D2 6设复数 z 在复平面内对应的点为()0,a，若2z=，则 a=（）A2i B2i C2 D2 7如图所示，在三棱台A B CABC 中，沿平面A BC截去三棱锥AABC，则剩余的部分是（）A三棱锥 B四棱锥 C三棱柱 D三棱台 8甲烷分子式为4CH，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用C表
4、示碳原子的位置，用1234,H HHH表示四个氢原子的位置，设14,CH CH=，则cos2=（）A13 B79 C79 D13 高一期中考试 数学 第 3 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 二、二、选择选择题题（本大题包括（本大题包括 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题列分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 5分，部分选对的分，部分选对的得得2 2分，有选错的得分，有选错的得0 0分分。）9已知复数2i1 i
5、z=+，则下列结论正确的有（）Az 在复平面对应的点位于第二象限 Bz的虚部是 i C2z=Dz1 i=10已知12,e e 是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）A若实数 m，n 使120mene+=，则0mn=B平面内任意一个向量a都可以表示成12amene=+，其中 m，n为实数 C对于 m，nR，12mene+不一定在该平面内 D对平面内的某一个向量a，存在两对以上实数 m，n，使12amene=+11 在ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 a，b 是方程212350 xx+=的两个根，120A=，则（）A5a=B2ab=C3c=D1bca+=12在棱长为
6、2 的正方体1111ABCDABC D中，P 是侧面11BBC C上的一个动点（不包含四个顶点），则下列说法中正确的是（）A三角形1AD P的面积无最大值、无最小值 B存在点 P，满足 DP/平面11AB D C存在点 P，满足DPBP D1BD与 BP所成角的正切值范围为22,2 高一期中考试 数学 第 4 页 共 6 页 三、填空题三、填空题（本大题包括（本大题包括 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 20 20 分。）分。）13已知点()1,1M，()3,2N，则与向量MN 同方向的单位向量为_。14已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且120B
7、=，4b=，则三角形外接圆半径为_。15如图，在复平面内，复数1z，2z对应的向量分别是OA，OB，试写出一个与复数12zz的虚部相等，且模为 1 的复数 z 的代数形式_。16“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美。某天小明在广场上发现了如图 1 所示的一个石凳，其形状是将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（如图 2 所示）。小明用卷尺测量出这个石凳的高度为 50cm，他给出了如下判断，请你指出小明的哪些判断是正确的，请写出正确判断的序号_。这个石凳共有
8、 24 条棱，12 个顶点，14 个面 一个体积为 1 立方米的正方体石料最多可以切割出 9 个这样的石凳（不计损耗）这个石凳也可以由一个直径为 70cm 的球形石料切割而成（不计损耗）如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度会增加 高一期中考试 数学 第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 四、四、解答题解答题（本大题包括（本大题包括6 6小题，小题，第第1 17 7小题小题1010分，分，其余每题其余每题1 12 2分，分，共共70 70 分。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程
9、或演算步骤。）17已知()0,0O，向量()2,1OA=，()3,2OB=。(1)如图，若四边形 OACB为平行四边形，求点 C 的坐标；(2)若点 P为线段 AB的靠近点 B的三等分点，求点 P 的坐标。18如图，在四棱锥PABCD中，PD底面 ABCD，ABCD，AB2，CD3，M 为 PC 上一点，且 PM2MC。（1）求证：BM平面 PAD；（2）若 AD2，PD3，BAD60，求三棱锥PADM的体积。19如图，正三棱锥SABC中，底面边长是 3，棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍，M 是 BC 的中点。求：(1)AMSM的值；(2)二面角SBCA的大小。高一期中考试 数学 第 6 页
10、共 6 页 20 在ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知sinsinbBcCa=。(1)证明：2BC=；(2)若3A=，2 3a=，求ABC 的面积。21如图，在正三棱柱111ABCABC中，16,ACCCM=是棱1CC的中点。(1)求证：平面1AB M 平面11ABB A；(2)求1AM与平面1AB M所成角的正弦值。22如图，某巡逻艇在 A处发现正东方向 30 海里的 B 处有一艘走私船正沿东偏北（02）的方向直线行驶，巡逻艇立即以走私船 2 倍的速度沿东偏北（02）的方向直线追去，并在 F 处拦截.若点 F在警戒水域ACDE内（包含边界），则为安全拦截，否则为警戒拦截。
11、已知 B 为AC的中点。(1)若6=，求sin；(2)若对任意的0,2都可以通过调整的大小来实现安全拦截，求AE的最小值。答案第 1 页，共 1 页 答案第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 南科大附中南科大附中 20232023 年春季学期高一年级期中考试年春季学期高一年级期中考试 数学数学参考答案参考答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C A C B B 二、多选题 9 10 11 12 CD AB BCD BCD 三、填空题 134 3(,)5 5 144 33 1543i55+（答一个即可）16 四、解答题 17【解】（1）设点 C的坐标为(),
12、x y，因为()0,0O，()2,1OA=，()3,2OB=，可得()()2,1,3,2AB，则()3,2BCxy=+，.2 分 若四边形 OACB为平行四边形，可得BCOA=，则3221xy=+=，解得51xy=，故点 C的坐标为()5,1.5 分（2）设点 P的坐标为(),x y，由（1）可知：()()2,1,3,2AB，则()()2,1,1,3APxyAB=，.6 分 若点 P为线段 AB的靠近点 B 的三等分点，则23APAB=，则()22132133xy=，解得831xy=，.9 分 故点 P的坐标为8,13.10 分 答案第 2 页，共 4 页 18【解】（1）证明：如图，过 M
13、作 MNCD交 PD于点 N，连接 AN.1 分 PM2MC，MN23CD.又 AB23CD，且 ABCD，ABMN.3 分 四边形 ABMN为平行四边形，BMAN.4 分 又 BM平面 PAD，AN平面 PAD，BM平面 PAD.5 分（2）如图，过 B作 AD的垂线，垂足为 E.PD平面 ABCD，BE平面 ABCDPDBE.又 AD平面 PAD，PD平面 PAD，ADPDD BE平面 PAD.7 分 由（1）知，BM平面 PAD 点 M 到平面 PAD 的距离等于点 B 到平面 PAD 的距离，即 BE.9 分 连接 BD，在ABD中，ABAD2，BAD60，BE3.11 分 则三棱锥
14、P-ADM的体积 VP-ADMVM-PAD13SPADBE13333.12 分 19【解】（1）因为SABC是正三棱锥，所以ABC是等边三角形，即ABAC=，而 M是 BC的中点所以AMBC，.2 分 因为SABC是正三棱锥，所以SBSC=，而 M是 BC的中点所以SMBC，.4 分 因为棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍，所以有11332222AMSM BCAM BCSM=；.6 分（2）因为SABC是正三棱锥，所以S在底面ABC的射影为底面ABC的中心，设为O，由（1）可知AM是三角形ABC的中线，所以O在AM上，且13OMAM=，.8 分 由（1）可知AMBC，SMBC，所以SMO是二面角
15、SBCA的平面角，.10 分 在直角三角形SOM中，11313cos3223AMOMSMOSMOSMSM=；.12 分 答案第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 20【解】（1）证明：因为sinsinbBcCa=，所以22sinsinsinBCA=，.1 分 所以()()sin sinsin sinsinBACCABA+=所以()()sinsin coscossinsinsin coscossinsinBACACCABABA+=，即sinsin cossinsin cossinBACCABA=因为在ABC中0,ABC、，所以sin0A，即sincossincos1BCCB=，故(
16、)sin1BC=即2BC=.6 分（2）解：由（1）可知2BC=因为3A=，所以23BC+=则712B=12C=.8 分 由正弦定理可知4sinsinsinabcABC=则4sinbB=4sincC=.10 分 故ABC的面积1sin4 3sinsin4 3cossin2 3sin232SbcABCCCC=.12 分 21【解】（1）连接1BA交1B A于点O，连接,MO MB，如图所示,在正三棱柱111ABCABC中，1CC 平面,ABC AC 平面1,ABCCCAC,.1 分 16,ACCCM=是棱1CC的中点，则223 5AMACMC=+=,同理13 5MB=.3 分 在正方形11ABB
17、 A中，O是1B A的中点，则1MOB A,同理可得13 5,3 5,MBMAO=是1BA的中点，则1MOAB,.4 分 又1111,ABB AO AB B A=平面11ABB A，则MO 平面11ABB A,.5 分 又MO 平面1AB M，则平面1AB M 平面11ABB A.6 分（2）由（1）得平面1AB M 平面1111,ABB A ABB A，平面1AB M 平面111ABB AAB=，1AB 平面11ABB A,.8 分 1AB平面1AB M，则即1AMO为1AM与平面1AB M所成的角，.9 分 又11113 2,3 52AOABMA=，在1RtAMO中，1113 210sin
18、53 5AOAMOAM=，.11 分 故1AM与平面1AB M所成角的正弦值为105.12 分 答案第 4 页，共 4 页 22【解】（1）在ABF中，由于巡逻艇速度是走私船速度的 2 倍，则2AFBF=，.1 分 由正弦定理可得()sin sinAFBF=，所以()sin 111sinsinsin2264BFAF=.3 分（2）设BFx=，则22AFBFx=，则230230 xxxx，即()10,30 x，.4 分 由余弦定理可得()22230(2)15cos 2 3020 xxxxx+=，所以15cos20 xx=，.6 分 如图所示，过 F作FQAC交AC于 Q，则()222215150040020400 xFQxxxx=+，.8 分 由题意得()221500400400AEx+对任意()10,30 x恒成立，则()22max150040020400AEx+=，当且仅当10 5x=时，等号成立.10 分 当警戒水域ACDE的宽AE的最小值为 20 海里时，才能满足对任意的0,2都可以通过调整的大小来实现安全拦截.12 分