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1、高三数学试题 第 1 页（共 6 页）参照秘密级管理启用前 试卷类型：A 2020 级高三校际联合考试 数学试题2023.04 考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合2|280Ax xx，|0Bx x，则AB A0,4)
2、B(2,4)C4,)D 2,)2设复数z满足(1 i)2z（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知0a，0b，则“11()()22ab”是“lnlnab”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4某市教育部门为了解高中学生参加体育活动情况，对学生每天参加体育活动时间进行调查，随机抽取1000名学生统计其每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组30 40)，第二组40 50)，第三组50 60)，第四组60 70)，第五组70 80)，第六组8090，对统计数据整理得到如图所示
3、的频率分布直方图，则该市高中学生每天体育活动时间的25%分位数约为A43.5B45.5C47.5D49.5山东省日照市2023届高三下学期4月校际联合考试数学试题高三数学试题 第 2 页（共 6 页）5已知3423401234(21)(2)xxaa xa xa xa x，则024aaa A54 B52 C50 D48 6古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元 3 世纪末）在其代表作数学汇编中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线1l，2l，3l，且2l，3l均与1l垂直.若动点
4、M到23ll，的距离的乘积是M到1l的距离的平方的4倍，则动点M在直线23ll，之间（含边界）的轨迹是 A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 7已知12023a，12023etan2023b，12024esin2024c，则 Acab Bbac Cbac Dabc 8 对于给定的正整数(2)n n，定义在区间0,n上的函数()yf x满足：当01x时，2()2f xxx，且对任意的1,xn，都有()(1)1f xf x若与n有关的实数nk使得方程()nf xk x在区间1,nn上有且仅有一个实数解，则关于x的方程()nf xk x的实数解的个数为 An B21n C+1n D21n 二、多项选择题
5、：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。9下列说法正确的是 A若22abcc，则ab B若(0)x，则4sinsinxx的最小值为4 C命题:px R使得2230 xx，则:p2230,xxxR D从12 3 4 5，中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为110 高三数学试题 第 3 页（共 6 页）10已知函数()sin2coscos2sin(0 0)2f xxx，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 A()f x的图象关于点(0)3，对称 B
6、()f x在区间02，的最小值为12 C(6)f x为偶函数 D()f x的图象向右平移6个单位后得到sin2yx的图象 11已知AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，5SA，圆锥SO的侧面积为15，则下列说法正确的是 A圆O上存在点M使/MN平面SBC B圆O上存在点M使AM 平面SBC C圆锥SO的外接球表面积为62516 D棱长为5的正四面体在圆锥SO内可以任意转动 12如图，在平面直角坐标系中的一系列格点()iiiA xy，其中1 2 3in，且iix y Z，记nnnaxy，如1(0 0)A，即10a,2(1 0)A，即21a,3(11)A，即3
7、0a，以此类推.设数列 na的前n项和为nS，则 A202343a B202387S C2(21)22nan D24513(1)2nnn nS 高三数学试题 第 4 页（共 6 页）三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若向量a与b的夹角为3，且4|a|，(12)b，则a b_ 14 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34()55，将角的终边绕原点逆时针方向旋转2后与角的终边重合，则cos_ 15双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为1l，2l，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交1l，2l于A，B两点.若OA，AB，OB成
8、等差数列，且BF 与FA方向相反，则双曲线的离心率为_ 16已知曲线emxy 与1lnyxm的两条公切线的夹角余弦值为45，则32lnm_.四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，已知22 coscbaB （1）求角A的值；（2）若ABC的面积332S,3c，试判断ABC的形状.18（12 分）如图，矩形BCDE所在平面与ABC所在平面垂直，90ACB，2BE.（1）证明：DE 平面ACD；（2）若平面ADE与平面ABC所成角的余弦值是55，且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是14，求异面直线D
9、E与AB所成角的余弦值.高三数学试题 第 5 页（共 6 页）19（12 分）已知数列 na，23a，其前n项和nS满足：*2()nnnanS nN（1）求证：数列 na为等差数列；（2）若22 cos()nanbn，求数列 nb的前20项和20S 20（12 分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信 息通信研究院发布的云计算白皮书（2022年）可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模/y亿元 692 962 1334 2
10、091 3229 经计算得：51ln36.33iiy，51(ln)112.85iiixy（1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程ebx ay（e为自然对数的底数）；（2）云计算为企业降低生产成本提升产品质量提供了强大助推力.某企业引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4(0)Nm，其中m为单件产品的成本（单位：元），且(11)0.6827P；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差1(0)Nm，.若保持单件产品的成本不变，则(11)P 将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据1122()()()nnxyxyxy，其回归
11、直线 yx的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221niiiniix ynxyxnx，yx.若2()XN，则(|)0.6827P X，(|2)0.9545P X，(|3)0.9973PX 高三数学试题 第 6 页（共 6 页）21（12 分）如图，已知抛物线21:Cxy在点A处的切线l与椭圆222:12xCy相交，过A作l的垂线交抛物线1C于另一点B，直线OB（O为平面直角坐标系原点）与l相交于点D，记11()A xy，22()B xy，且10 x.（1）求12xx的最小值；（2）求DODB的取值范围.22（12 分）已知函数()lnf xxax（1）若()1f x 恒成立，求实数a的值；（2）
12、若1200 xx，1212elnxxxx，证明：12e2xx 高三数学试题答案第 1 页共 8 页参照秘密级管理启用前试卷类型：A2020 级高三校际联合考试数学试题参考答案202304一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-4 ADCC5-8 ABAB二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。9AD10BC11ACD12BCD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
13、20 分。132 51445155163四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）（1）因为22 coscbaB，由正弦定理得2sinsin2sincosCBAB，1 分sinB2sin(AB)2sinAcosB2sin(AB)2sinAcosB2(sinAcosBcosAsinB)2sincos2cossinABAB，3 分又B是三角形内角，sin0B，所以1cos,02AA，3A；5 分（2）113sin3 sin32232ABCSbcAb，2 3b，7 分2222212cos(2 3)(3)2 2 3392abcbcA，3a，9 分又22223(3
14、)12ac，22(2 3)12c，所以222acb所以ABC为直角三角形10 分18（12 分）证明：（1）由题意可知DEDC，又90ACB，则BCAC又/DEBC，所以DEAC，3 分又DCACCI,DCACACD，平面,所以DEACD 平面5 分；（2）方法一：因为平面BCDEABC 平面，平面=BCDEABC BCI平面，BCAC，所以ACBCDE 平面,连接 CE,故AEC即为直线AE与平面BCDE所成的角6 分则有1sin4ACAECAE,设平面ADE=ABC l平面I，则/lBC，则，由（1）可得，lACD 平面，所以ADlACl，故平面ADEABC与平面的角度为DAC，8 分所以
15、5cos5ACDACAD,又2DCBE,所以1,4ACAE则,高三数学试题答案第 2 页共 8 页故15CE,所以11BC，2 3AB 10 分又异面直线 DE 与 AB 所成的角为ABC，11 分所以33cos6BCABCAB，故异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值为336 12 分方法二：由（1）可得，CACB，CACD，CDCB以点C为坐标原点，CACBCDuur uur uuu r，正方向为,x y z轴，建系如图所示：设ACa，BCb，则(,0,0)A a，(0,0,2)D,(0,b,2)E，B(0,b,0),6 分(,0,2)ADa uuu r，(0,0)DEbuuu r，(,
16、2)AEa b uuu r，因为CDABC 平面，所以平面 ABC 的法向量(0,0,2)CD uuu r,7 分设平面 AED 的法向量(,)x y zn，因为ADnuuu r，DEnuuu r,所以200axzby，不妨令2x，0y，za所以(2,0,)an8 分由题得：2|1|cos|=5|4CDaCDCDa，nnnuuu ruuu ruuu r，解得：1a 9 分AC 平面BCDE，平面BCDE的一个法向量1,0,0CA；10 分22211cos,445CA AEaCA AECAAEabb ，解得：11b，11 分0,11,0DE，1,11,0AB ，1133cos,611 2 3DE
17、 ABDE ABDEAB ，即异面直线DE与AB所成角的余弦值为33612 分19（12 分）【解析】（1）因为*2NnnSnan n，所以11211NnnSnann，两式相减可得*1121N1nnnananna，即*111Nnnnanan2 分由*111Nnnnanan可得12N11nnnnana，两式相减可得*12111Nnnnnnanannana化简可得*122Nnnnnan ana，所以*122Nnnnnaaa，5 分所以数列 na为等差数列；6 分（2）由*2NnnnanSn可得1112aS，可得11a，因为23a，所以21nan，7 分2122cosnnbn数列 nb的前 20 项
18、和：2012341920135737392 cos2cos42cos92cos162cos3612cos400Sbbbbbb1357933373922222222 10 分高三数学试题答案第 3 页共 8 页20402 14221145 12 分20（12 分）【解析】（1）因为ebx ay，所以ln ybxa，1 分所以551152221lnln112.853 36.333.860.386149 16255 310iiiiiiixyxybxnx ，3 分所以5111ln36.330.386 36.10855iiaybx，5 分所以0.3866.108eebx axy6 分（2）引入云计算前，
19、40,Nm，所以40,m，又(11)0.6827()PP，所以41m，所以4m 8 分引入云计算后，10,Nm，所以10,m，若保持产品成本不变，则1114,0,442mN，所以(11)(2)0.9545PP 10 分若产品质量不变，则11m，所以1m，所以单件产品成本可以下降4 13 元12 分21（12 分）【解析】（1）点 A 处的切线方程为2112yx xx，1 分联立21122212yx xxxy，得2234111(1 8)8220 xxx xx，所以624111644(1 8)(22)0 xxx，解得210417x,3 分所以直线 AB 的方程为2111122yxxx,联立2112
20、1122yxxxxy，得23111220 x xxxx,所以21112xxx，5 分所以12111222xxxx，当且仅当 x1时取等号，所以 x1x2的最小值为 26 分（2）记点 O，B 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，所以 d1212114xx，7 分d2221112211114111214()424xxxxxx，9高三数学试题答案第 4 页共 8 页分所以DODB12dd412214(14)xx22241(4)x，因为210417x，所以211417x，所以DODB22241(4)x4(0,)17，所以DODB的取值范围为4(0,)1712分22（12 分）【解析】（1）()f
21、x的定义域为(0,)，且()1axafxxx，当0a 时，fxx，fx在0,上单调递增，所以 1fx 不恒成立，不合题意；当0a 时，()0fx，fx在0,上单调递增，2分 11f，当01x时，11f不合题意；当0a 时，由 0fx得xa，所以xa时，()0fx；0 xa时，()0fx，所以()f x在0,a上单调递减，在(,)a 上单调递增，所以()f x在xa处取到极小值，也是最小值()lnf aaaa，3 分由题意得()ln1f aaaa恒成立，令 lnm xxxx，lnmxx，m x在0,1上单调递增，在(1,)上单调递减，所以 ln11m xxxxm，所以 ln1faaaa，即1a
22、5 分（2）令11ext，则11t，且11lnxt，只需要证明122tx因为1212elnxxxx，所以1212lnlntxtx，即1122lnlnttxx，7 分令()lng xxx，定义域为(0,)，11()1xg xxx，()0g x 得1x，()0g x 得01x，所以()lng xxx在(01)，上为减函数，(1+)，为增函数若21x，因为11t，则122tx，得证；9 分若201x，设201t，且使得21()()g tg t，故212()()()g tg tg x，因为()lng xxx在(01)，上为减函数，所以22tx，下面证明122tt，令()()(2)h xg xgx，(0
23、1x，则()()(2)ln(2)ln(2)h xg xgxxxxx()22lnln(2)h xxxx2112(1)()202(2)xh xxxxx，所以()()(2)h xg xgx在(01，上为减函数，而(1)(1)(1)=0hgg，所以当(01)x，时，()()(2)0h xg xgx，故222()()(2)0h tg tgt，所以22()(2)g tgt，又因为21()()g tg t，所以12()(2)g tgt，高三数学试题答案第 5 页共 8 页11t，22(1,2)t，()lng xxx在(1+)，为增函数，所以122tt，从而122tt，而22tx，所以122tx，得证由 可知，122tx，即12e2xx，得证12 分