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1、 高二数学期中测试卷参考答案 2023.042023.04 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1C 2D 3C 4B 5.C 6.B 7.C 8A 二、多二、多选题：本题共选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9A
2、B 10.CD 11ABD 12.ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13715 14(52 6)，15450 162 7(,27 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10 分）解：解(1)因为 ab，所以x24y11，解得 x2，y4，则 a(2,4,1)，b(2，4，1)4 分 又 bc，所以 bc0，即68z0，解得 z2，于是 c(3，2,2)6 分(2)由(1)得 ac(5,2,3)，bc(1，6
3、,1)，设 ac 与 bc 的夹角为，因为 cos 512338 38219.所以 ac 与 bc 夹角的余弦值为219.10 分 18.（12 分）解：(1)57A=2520 3 分(2)2555A A=2400 6 分(3)342342A A A=288 9 分(4)4345A A=1440 12 分 19.（12 分）解：（1）依题意，先选 1 本有16C种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有25C种选法；最后余下 3 本全选有33C种方法，故共有123653C C C60=种4 分（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配，共有12336533C C C A3
4、60=种 8 分（3）先分三步，则应是222642C C C种方法，但是这里出现了重复 不妨记 6 本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，)EF，则222642C C C种分法中还有(AB，EF，)CD、(CD，AB，)EF、(CD，EF，)AB、(EF，CD，)AB、(EF，AB，)CD，共33A种情况，而这33A种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有22264233C C C15A=种 12 分 20.（12 分）解：（1）因为PA平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PACD，又,ADC
5、D ADAPA AD AP=平面PAD，所以CD 平面PAD，又AM 平面PAD，所以AMCD，因为点M为PD中点，1PAAD=，所以AMPD，3 分 又,PDCDD PD CD=平面PCD，所以AM平面PCD，因为AM 平面MAC，所以平面MAC 平面PCD；6 分（2）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2011,ABPM，因为AM 平面PCD，所以()0,1,1AM=即为平面PCD的一条法向量，()2,0,2PB=，9 分 设直线PB与平面PCD所成角为，则1sincos,2AM PBAM PBAM PB=，又0,2，所以6=
6、，即直线PB与平面PCD所成角的大小为6.12 分 21.（12 分）（1）设AEBFx=以C为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：(0,0,0)C，(1,1,0)A，(0,1,0)B，1(0,0,1)C，(1,0,0)D，1(1,0,1)D，1(1,1,1)A，1(0,1,1)B，(0,1,0)Fx，(1,1,0)Ex，则()11,1AFx=，()11,1,1C Ex=，因为()()111,11,1,1110AF C Exxxx=+=所以11AFC E 4 分（2）设AEBFx=以C为原点建立空间直角坐标系，因为1-111=33B BEFBEFBEFVSBBS=，所以当SBEF取得最大值时，
7、三棱锥B1BEF的体积取得最大值 因为211111(1)()+22248BEFSx xx=，所以当12x=时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，6 分 三棱锥1BBEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为1(,1,0)2E，1(0,0)2F，由（1）可得：11(,0,1)2B E=，11(,0)22EF=，设平面1B EF的法向量为(),ma b c=，则102022am B Ecabm EF=，令1c=，则2,2ab=，得()2,2,1m=-9 分 显然底面ABCD的一个法向量为()0,0,1n=设二面角1BEFB的平面角为，由题意知为锐角 因为31cos,m nm nm n=，所以1c
8、os3=，11 分 于是2 2sin3=即二面角1BEFB的正弦值为2 23 12 分 22.解：（1）连接，PBC为正三角形，又为中点，PD BC，平面 平面，平面 平面ABCBC=，平面，平面，又,平面，,，因为=90，分别为，的中点，所以/，3 分 如图，以为原点，,分别为,轴建立空间直角坐标系，=2，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,0,3),(0,1,0)，设平面的法向量为 =(,)，=(1,0,3),=(2,2,0)，则 =0 =0 3=02 2=0 =3=，令=1，则 =(3,3,1)又=(1,0,3)，则点到平面的距离为|=|3+03|7=2217；6 分（2）由（1）可知 =(3,3,1)是平面的一个法向量，由题可设=，且 (0,1)，则=(1,0 3)=(,0,3)，=+=(0,0,3)+(,0,3)=(,0,3 3)，设平面的法向量为 =(,)，由于=(0,1,0)，则 =0 =0 +(3 3)=0=0 =33=0，令=，则 =(3 3,0,)，9 分 23307cos,77463n mn mnm+=+，整理得22 3+1=0，解得=12或=1（舍），故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为77，此时为中点 12 分