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1、上饶市上饶市 2023 届第二次高考模拟考试数学（理科）试题卷届第二次高考模拟考试数学（理科）试题卷第卷（选择题）第卷（选择题）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合01A xx，1,12xBy yx，则AB（）AB0,1C0,2D0,12复数32i14iz在复平面内对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知等差数列 na的前 n 项和为nS，6934aaa，则23S（）A92B94C96D984
2、 九章算术涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为 3 丈，上底周长为 2 丈，高为 1 丈，那么该圆台的体积是多少？”已知 1 丈等于 10 尺，圆周率约为 3，估算出这个圆台体积约有（）A344立方尺B7529立方尺C34274立方尺D75279立方尺5中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手。下表是 2022 年我国某新能源汽车厂前 5 个月的销量 y 和月份 x 的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为.161 ybx，则下列四个命题正确的个数为
3、（）月份 x12345销量 y（万辆）1.51.622.42.5变量 x 与 y 正相关；0.24b；y 与 x 的样本相关系数0r；2022 年 7 月该新能源汽车厂的销量一定是 3.12 万辆A1B2C3D46已知平面向量a，b满足1a，2b，2,2ab，记向量a，b的夹角为，则cos（）A14B13C14D137在ABC中，C的角平分线交 AB 于点 D，6B，3 3BC，3AB，则CD（）A3 62B32C3 22D528已知3log 9a，0.2be，65c 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A1110B0.2eC65D3log 99已知函数 3278f xxxax有 3 个不同
4、的零点分别为1x，2x，3x，且1x，2x，3x成等比数列，则实数 a 的值为（）A11B12C13D1410已知函数 sin3cos0fxxx在（0,1）内恰有 4 个极值点和 3 个零点，则实数的取值范围是（）A8 11,3 3B8 11,3 3C19 11,63D19 11,6311平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系 xoy 中，M（2,0），N（2,0），动点 P 满足4PMPN，则下列结论正确的是（）APMPN的取值范围是4,5BOP的取值范围是0,2 2CP 点横坐标的取值范围是3,3D
5、PMN面积的最大值为5212若曲线ln1yx与曲线23yxxa有公切线，则实数 a 的取值范围（）A2ln23 3ln2,62B1 4ln2 3ln2,122C2ln23,6D1 4ln2,12第卷（非选择题 共第卷（非选择题 共 90 分）分）二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13已知6mxx的展开式中常数项为 20，则实数 m 的值为_14过三点 A（1,5），B（1,1），C（4,2）的圆交 x 轴于 M，N 两点，则MN _15已知132xy上任取点 P 作圆221xy的两条切线，切点分别为 A，B，过 A，B 的直线与
6、 x 轴，y轴分别交于 M，N 两点，则MON面积的最小值为_16在四棱锥 PABCD 中，PA 平面 ABCD，PA=1，AB=2 2，AD=4，点 M 是矩形 ABCD 内（含边界）的动点，满足 MA 等于 M 到边 CD 的距离当三棱锥 PABM 的体积最小时，三棱锥 PABM 的外接球的表面积为_三、解答题。共三、解答题。共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。17已知
7、数列 na为非零数列，且满足12121111112n nnaaa（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列nna的前 n 项和nS18阳春三月，春暖花开，婺源县岭景区迎来了旅游高峰，某特产超市为了解游客购买特产的情况，对 2023年 3 月期间的 100 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：购买金额（元）0,200200,400400,600600,800800,10001000,1200人数152025201010（1）根据以上数据完成 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为购买金额是否少于 600 元与性别有关，不少于 600 元少于 600 元合计男25女40合计（2）为吸
8、引游客，该超市推出两种优惠方案：方案一：每满 200 元减 40 元方案二：购买金额不少于 600 元可抽奖 3 次，每次中奖概率为13，中奖 1 次减 100 元，中奖 2 次减 150 元，中奖 3 次减 200 元若某游客计划购买 600 元的特产，依据优惠金额的期望的大小，此游客应选择方案一还是方案二？请说明理由。附：参考公式和数据：22n adbcKabcdacbd，nabcd附表：0k2.0722.7063.8416.63520P Kk0.1500.1000.0500.01019如图，等腰梯形 ABCD 中，ABDC，122ABDC，60D，E 为 DC 中点，以 AE 为折痕把A
9、DE折起，使得点 D 到达点 P 的位置，且二面角 PAEC 的余弦值为13（1）证明：BEPA；（2）求直线 PE 与平面 PBC 所成的角20 已知椭圆 C：222210 xyabab的离心率12e，点1F，2F为椭圆 C 的左、右焦点且经过点1,0Fc的最短弦长为 3（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点1F分别作两条互相垂直的直线1l，2l，且1l与椭圆交于不同两点 A，B，2l与直线 x=c 交于点 P，若11AFFB，且点 Q 满足QAQB ，求PQ的最小值21已知函数 31xxfxa xe，xR（1）若 f x是 R 上的减函数，求实数 a 的取值范围；（2）若 f x有两个极值点
10、1x，2x，其中12xx，求证：2122axxe选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为1 cos21 cos22tanxy（为参数），将曲线 C 向上平移 1 个单位长度得到曲线1C以
11、O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设2,4P（1）求曲线1C的普通方程和点 P 的直角坐标；（2）已知直线 l 经过点 P 与曲线1C交于 A，B 两点（点 A 在点 P 上方），且1112PBPA，求直线 l 的普通方程选修选修 45；不等式选讲；不等式选讲23已知函数 21f xxxm xR，不等式 7f x 的解集为2,43（1）求 m 的值；（2）若三个实数 a，b，c，满足abcm证明：222224acabcabcm上饶市上饶市 2023 届第二次高考模拟考试数学（理）参考答案和评分标准届第二次高考模拟考试数学（理）参考答案和评分标准一、选择题（本题共一、选择题（本题共
12、12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）题号123456789101112答案BDADBCACDCBD二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）131142 515131610答案详解：答案详解：1【答案】B【详解】集合01Axx，,10221xBy yxyy，0,1AB故选：B2【答案】D【详解】32i1 4i2i2i67i14i14i14i1 4i1717，32i14iZ对应的点67,1717，位于第四象限故选：D3【答案】A【详解】由题意知：69312aaaa，则124a，则12323122323922
13、aaSa故选：A4【答案】D【详解】由已知得下底半径为 5 尺，下底半径为103尺所以圆台的体积为：211 10010047507252510527339999SSS Sh下下上上故选：D5【答案】B【详解】由1234535x，1.5 1.622.42.525y，因为回归直线过样本中心,x y，3.121 6b，0.28b，错误；可知y随着x变大而变大，所以变量x与y正相关，正确；由回归直线可知，2022 年 7 月该新能源汽车厂的销量的估计值是0.28 7 1.1.63 12y 万辆，错误故选：B6【答案】C【详解】因为1a，2b，2,2ab，6ab，22226abaa bb，1142cos
14、6cos4a b故选：C7【答案】A【详解】在ABC中，根据余弦定理得2222cos9ACBCABBC ABB，3AC，ABC为等腰三角形，6ACB，23A，CD为角平分线12ACD，4CDA在ACD中，由正弦定理得sinsinACCDADCA得：3 62CD 故选：A8【答案】C【详解】根据程序框图可知，执行程序输出的结果是a，b，c三个数中的最小值因为ln20.22ee1.2abc，所以abc，所以输出的值为65故选：C9【答案】D【详解】方法一：设 123fxxxxxxx，则常数项为：1238x x x，因为1x，2x，3x成等比数列，所以2132x xx，所以22x，把22x 代入 0
15、f x 得14a 方法二：若关于x的一元三次方程320axbxcxd（0a，xR）有三个根，由一元三次方程的韦达定理可知：123bxxxa，123dx x xa，121323cx xx xx xa，可求得：14a 故选：D10【答案】C【详解】sin3cos2sin 3f xxxx因为0,1x，所以,333x，又因为函数 sin3cosf xxx（0）在0,1内恰有 4 个极值点和 3 个零点，由图像得：7423，解得：191163，所以实数的取值范围是191163故选：C11【答案】B【详解】方法一：（双纽线直角坐标方程和极坐标方程）2222224xyxy，化简得：4224222880 xx
16、 yyyxP点轨迹的直角坐标方程为：222228xyxy极坐标方程为：28cos 2cos 21，28，02 2OP的取值范围是0,2 2B 正确方法二：（以x或y为主元的方程思想）2222224xyxy，化简得：24222284160yxyxP点的轨迹方程为：22224161yxx对于 A：当0y 时，2280 xx，此时2 2x ，4 2PMPNA 错误学科网（北京）股份有限公司对于 B：22224161yxx，即222OP4161x，2 2,2 2x，0,2 2OPB 正确对于 C：22222241614yxxx，2 2,2 2x，C 错误对于 D：11sin222PMNSPMPNMPN
17、PMPN，D 错误故选：B12【答案】D【详解】设11,x y是曲线ln1yx的切点，设22,xy是曲线23yxxa的切点，则切线方程分别为：1111ln1yxxxx，22222321yxxaxxx对照斜率和纵截距可得：21212121ln3xxxxa，所以22212222213lnlnln 2121axxxxxx（212x ），令 2hln 21xxx（12x ）22121242220212121xxxxh xxxxx，得：12x h x在1 1,2 2是减函数，1,2是增函数 min11ln224hxh且12x ，h x ；x ，h x 13ln24a 14ln212a故选：D13【答案】
18、1【详解】展开式的通项为66 266rrrrrrmC xC m xx，令620r解得3r，33620C m 1m 14【答案】2 5【详解】AB的垂直平分线为2y，AC的垂直平分线为1yx，联立解圆心坐标为1,2，半径为 3，所以圆的标准方程为22129xy，与x轴交于15,0M，15,0N，所以2 5MN 15【答案】13【详解】设00,P xy，切点弦AB所在的直线方程为：001x xy y，则与x轴，y轴分别交于01,0Mx，010,Ny，所以00112MONSxy00,P xy是132xy上的点000012326xyxy（当且仅当001322xy，即032x，01y 时等号成立）001
19、64xy，0032xy，121233MONS（当且仅当032x，01y 时等号成立）16【答案】10【详解】因为PA 平面ABCD，如图，易知M位于底面矩形ABCD内以点A为焦点，CD为准线的抛物线上，记点M的轨迹为曲线EF在矩形ABCD内以点E为坐标原点，AD为x轴，过点E作AD垂线为y轴建立如图示平面直角坐标系，得抛物线的标准方程为：28yx，1,2 2F，1BF 当点M位于F时，三棱锥PABM的体积最小，由长方体外接球模型可知，三棱锥PABM外接球球心为PF的中点，此外接球的半径为：222222111012 21222RPAABBF，2410SR球17【解析】（1）当1n 时，1112a
20、，解得11a，当2n 时，由12121111112n nnaaa，得121211111112nnnaaa，两式相除得：112nna，即121nna，当1n 时，11a 也满足，所以121nna 学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可知，121nna，所以2nnnnna，所以 1231 212 223 232nnSnn1231 22 23 22123nnn 令1231 22 23 22nnAn ，123nBn 11232nn nBn 1231 22 23 22nnAn 234121 22 23 21 22nnnAnn 123122222nnnAn 12 1 221 2nnnAn 11 22n
21、nAn，111 222nnnnn nSABn18【解析】（1）2 2列联表如下：不少于 600 元少于 600 元合计男252045女154055合计40601002210025 40 15 2024508.2496.63545 55 40 60297因此有 99%的把握认为购买金额是否少于 600 元与性别有关（2）按方案一：某游客可优惠 120 元按方案二：设优惠金额为X元，X可能取值为 0，100，150，200303280327P XC，213124100339P XC223122150339P XC ，33311200327P XC所以X的分布列为X0100150200P827492
22、912784212300010015020012027992727E X 所以选择方案一19【解析】（1）在图 1 中，连接BE，BD，其中BD交AE于点O因为ABDE，2ABDE，故四边形ABED为平行四边形，因为60D，所以2AD，故四边形ABED为菱形，所以ODAE，OBAE，故折叠后OPAE，OBAE，3OPOB，所以POB为二面角PAEC的平面角，由余弦定理可知：2222cos4PBPOOBPO OBPOB，所以2PB，三棱锥PABE为正四面体，所以点P在底面的投影H为ABE的中心，所以BE 平面PAH，因为PA平面PAH，所以BEPA（2）在图 2 中，以H为坐标原点，过H与BE平
23、行线为x轴，AC为y轴，HP为z轴建立如图示空间直角坐标系则31,03E，2 60,0,3P，31,03B，4 30,03C，所以32 61,33PE，1,3,0BC ，3 2 61,33BP，设平面PBC的一个法向量为,nx y z，则00n BCn BP 即3032 6033xyxyz，所以3,1,2n 设直线PE与平面PBC所成角为，则2 32sincos,226PE nPE nPE n 直线PE与平面PBC所成的角为420【解析】解：（1）由题意，得2222312bacaabc，解得：24a，23b，所以椭圆的方程为22143xy（2）由（1）可得11,0F，若直线1l的斜率为 0，则
24、2l的方程为：1x 与直线1x 无交点，不满足条件设直线1l：1xmy，若0m，则1则不满足QAQB ，所以0m 设11,A x y，22,B xy，00,Q xy，由2234121xyxmy，得：2234690mymy，122634myym，122934y ym 因为11AFFBQAQB 即1122101020201,1,xyxyxxyyxxyy 则12yy，1020yyyy所以101220yyyyyy，解得1201223y yyyym，04x 即点Q坐标为34,m9 分直线2l的方程为：11xym 联立111xymx，解得1,2Pm223525PQmm，当且仅当62m 或62m 时等号成立
25、PQ的最小值为 521【解析】（1）由题意知 20 xxfxae在R上恒成立2xxae 恒成立，令 2xxg xe，xR，则 maxag x 10 xxgxe，1x ，当,1x ，0gx；1,x ，0gx所以 max1g xge即ae，,ae （2）方法一：（割线夹证零点差）由 f x有两个极值点1x，2x，所以 0fx有两个不等的实数根1x，2x，由（1）可知0ea 且1221xx 又过点2,0和1,e的直线方程为2ye x构造函数 2h xg xe x，2,1x 21220 xxxe xxeee所以 2g xe x设方程2e xa 的根为3x，则32axe 过点1,e和0,0直线方程为ye
26、x 设 m xg xex，1,x 因为 110 xxexm xe，所以 m x在1,单调递增所以 10m xm则 g xex 又设方程exa 的根为4x，则4axe2143222aaaxxxxeee 方法二：（借助极值点偏移进行放缩参数替换）由 f x有两个极值点1x，2x，所以 0fx有两个不等的实数根1x，2x，由（1）可知0ea 且1221xx 构造 21G xg xgxx ，则 221121xxxxxxGxgxgxxeeee 1x ，2220 xxx，10 x 2xxee，0Gx G x是1,上的增函数，10G xG，2g xgx，21x ，222g xgx 12g xg x，122g
27、 xgx，11x ，221x ，g x是,1 上的增函数，122xx ，122xx 要证：2122axxe（利用212xx 放缩）只需证：12222axe 只需证：12axe （参数112xxae 替换）只需证：111122xxxe 只需证：1111210 xxe12,1x ，120 x，111,0 x ，111,1xee，11110 xe1111210 xxe，2122axxe得证22【解析】（1）2222211 2sin1 cos22sintan1 cos22cos12cos1x，2tany，24yx则曲线1C的普通方程为：214yx1,1P（2）设直线l的参数方程为：1cos1sinxt
28、yt （t为参数）联立直线l的参数方程与曲线1C的普通方程得：22sin4 cos40tt设A，B两点对应的参数分别为1t，2t，1221 21224cossin40,0sinttt ttt1212211 21 211111cos2ttttPBPAttt tt t，3k，直线l的直角坐标方程为：3310 xy 23【解析】（1）47273ff，3m，经检验得：3m 符合题意（2）3abcm，22222222222333333acabcabcbcabca由柯西不等式可知：222222233311133336bcabca22233312bca，即22222124macabcabc当且仅当1a ，5b，1c 时成立