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1、数学参考答案第 1 页（共 9 页）2023 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二）数学参考答案 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A A B C B【解析】1由2log3x，解得08x，即(0 8)A，由(4)0 xx，得04x，则02y ，即0 2B，则(0 2AB，故选D 2法一：由复数乘法运算得3iz，则3|1z，故选C 法二：由|1z ，则3|1z，故选C 3由题意知，n只能为1或2，由三角形两边之和大于第三边知2n，故三角形为直角三角形，故选B 4因为40533144a，lnlne1b，30
2、444155c，所以b最大，故排除选项C，D；取对数得43lnln54a，34lnln45c，构造函数ln()xf xx，则21ln()xfxx，()f x在(0 e，上单调递增，故4354ff，即43lnln544354，所以3443lnln4554，即lnlnca，所以ca，故选A 5cosyx为偶函数，则ln(cos)yx为偶函数，又cos1x，则ln(cos)0yx，故选A 6总的涂色方案有543 354322420 ，只用3种颜色来涂色的方案有35C32 160 ，6014207p，故选B 71122AOADAB，211322AB AOAD ABAB ，得2AD AB ，由数量积的几
3、何意义得D在AB上的射影为AB中点，故BCAB，即2ABC，故选C 数学参考答案第 2 页（共 9 页）8定义域为(0)，要想()()f xg x恒成立，即2232lnaaxxbxx恒成立，只需232 lnaaxbxx恒成立，只需232 lnaxaxbx恒成立，设23()2 lnah xxaxx(0)x，2(3)()()xa xah xx，所以当1a 时，则min()(3)42ln3h xh，使()()f xg x恒成立的b可取1；所以当1a，则min()(1)4h xh，使()()f xg x恒成立的b可取1，2，3，()a b，一共有(1 1)，(1 1)，(1 2)，(1 3)，共4种，
4、故选B 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 ACD AD ABC ABD【解析】9城镇49283474121871，农村20133 189311202，故A正确；从图甲中2022年名义增速与实际增速可知，B错；从图乙可知食品支出总额占个人消费支出总额的30.5%，可以认为我国在2022年达到富裕，故C正确；由乙图知食品烟酒和居住占比为54.5%，故D正确，故选ACD 10(2 1)P，1|1PF，21|2|3PFaPF，1211cos32FPF，所
5、以1260FPF，故B错；1PFQ的周长为 48a，A 正确；设2|F Qm，1|4FQm，在1PFQ中，2221111|2|3FPPQFPPQFQ 得2211(3)2 1(3)(4)3mmm 35m，所以117|5FQ，D 正确；221|5QFPF，所以1 21 21112 21552QF FPF FSS 25，故 C 不正确，故选 AD 11()sin 2(0)6f xx，当6x 时，得206x，故 A 正确；当1时，由512x 得521262，故B正 确；当01时，012x，得数学参考答案第 3 页（共 9 页）023622x，故 C 成立；由566x，得022 6x，当22 3，即31
6、2，故D错误，故选ABC 12A，B选项中，PABC为正四面体，A，B对；C，D选项中，PABC为PA PB PC，两 两 垂 直 的 正 三 棱 锥，所 以 体 积 为114222323 ，C错，其 外 接 球 半 径222122232R，故4312S球，D对，故选ABD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案(0)，(0)或，32 0 3【解析】13定义域为(1)，1()e()1xfxg xx，21()e0(1)xg xx，所以()g x在(1)，上单调递增，又(0)0g，所以当0 x时，()0fx，故()f x的单调递增区间为(0)(0)，或
7、，14由616C(2)(1)rrrrTx得，4x的系数为33315166C 2(1)C 2(1)32 15因为()f x是奇函数，故其最大值和最小值的和为0 16记c为双曲线半焦距，由角平分线定理得1122|3|FQPFF QPF，即3QQxccx，解得12Qxc，由双曲线的焦点三角形知(0)A a，故9()24ccca，解得3cea 四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）（1）证明：由221nnna Sa可得，221121SS，又因为nS为正项数列na的前n项和，所以111Sa，（1分）21112()()1nnnnnnnnaSSSSSSS，221
8、1(2)nnSSn，数列2nS为等差数列，（3分）数学参考答案第 4 页（共 9 页）2nnSn Sn，1(1)1(2)nnannn，1nann（6分）（2）解：(1)(1)(1)nnnnbnna，（7分）2023T1213243202320222023 （10分）18（本小题满分12分）（1）证明：如图1，取BC的中点F，连接AF交DE的中点O，连接OP，由ADAE，所以OPDE，（1分）由ABC是边长为6的等边三角形，且2ADAE，所以ADE是边长为2的等边三角形，所以133AOAF，22 33OFAF，在直角OFB中，22221BOOFBF，在POB中，22224POOBPB，（3分）所
9、以POOB，又OPDE，所以PO 平面BCED，故而平面PDE 平面BCED（5分）（2）解：由（1）知：OFDE OP，两两垂直，建立如图2所示坐标系，如图3，在底面ABC中，由题意可知13DEBC，且DEBC，所以(1 0 0)D，(1 0 0)E，(3 2 3 0)B，(3 2 3 0)C，(0 03)P，所以(1 03)PD ，(3 2 33)PB ，(1 03)PE ，(3 2 33)PC ，（6分）图 1 图 2 数学参考答案第 5 页（共 9 页）设1111()nxyz，为平面PBD的一个法向量，所以1100nPBnPD ，即1111132 33030 xyzxz，令11z ，所
10、以1131xy，即1(31 1)n ，（8 分）设2222()nxyz，为平面 PCE 的一个法向量，所以2200nPCnPE ，即2222232 33030 xyzxz，令21z ，所以2231xy，即2(3 11)n ，（10 分）设平面 PDB 与平面 PEC 所成锐二面角的平面角为，则1212|1cos5|nnnn ，所以2 6sin5，所以平面 PDB 与平面 PEC 所成锐二面角的平面角的正弦值为2 65（12 分）19（本小题满分 12 分）解：（1）sinsintantansincossincossin()sin()coscossinsintantansincossincoss
11、in()sincoscosBCBCBCCBBCBCBCBCBCBCCBBCABC，则sin()sinsinsinsinBCacACAaA，sin()sinsinsin()sinBCACBCC，即sincossincossincossincossinBCCBBCCBC，则2sincossinCBC，又(0)C，sin0C，1cos2B，3B（5 分）图 3 数学参考答案第 6 页（共 9 页）（2）2ADDC，1233BDBABC ，则221233BDBABC ，即224124999acac，（7 分）222222233642(2)2(2)(2)24acacacacacacac，24 3ac 2
12、2 3ac取等，（10 分）2222cos9bacacB，3b，322 3sin32bRB，3R（12 分）20（本小题满分 12 分）解：（1）平均数350.03450.10550.27650.42750.1861.260 x，标准差97.510s，故 A 主题逃脱成功难度大（2 分）（2）60 70)m，由(60)0.0420.030.100.270.8m得，70m.（4 分）（3）方案：由频率分布直方图得，某人在 70 分钟内完成逃脱的概率为 0.030.100.27+0.420.82，则人均可获得奖励为0.82 10.82（元）（6 分）方案：记随机变量 X 为三人进行一次组团活动的盈
13、利，某人在 60 分钟内完成逃脱的概率为20.030.100.270.45，由题意可得，101 11 20X ，03032327(10)C55125P X ，12132354(1)C55125P X ，21232336(11)C55125P X ，3033238(20)C55125P X 数学参考答案第 7 页（共 9 页）X 的分布列为 X 10 1 11 20 P 27125 54125 36125 8125（10 分）2754368232()(10)(1)11201.856125125125125125E X ，则人均收益为1.85630.620.82，故该选择方案（12 分）21（本小
14、题满分 12 分）解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题得2c，且222abc 令xc，代入椭圆得2bya，故OAB的面积为2221222 623bb cbScaaa 所以236ba结合224ab，解得2262ab，所以椭圆的方程为22162xy（4 分）（2）存在，点C的坐标为(3 2)，(32)，对应直线l的方程分别为11yxyx ，显然，直线l的斜率不为零，设直线l的方程为2xmy，1122()()A xyB xy，AB的中点为00()M xy，联立222162xmyxy，得22(3)420mymy，则2212122242168(3)033myyy ymmmm，（6分）所以120002226
15、2233yymyxmymm，直线CM的方程为222633mym xmm，即243mymxm 数学参考答案第 8 页（共 9 页）222212222422 6(1)|1|14333mmABmyymmmm，222202263(1)1|1|3|1333mmCMmxmmm 由ABC为正三角形得3|2CMAB，故222223(1)132 6(1)323mmmmm，解得1m （10分）当1m时，直线CM的方程为1yx ，点C的坐标为(3 2)，；当1m 时，直线CM的方程为1yx，点C的坐标为(32)，综上，点C的坐标为(3 2)，(32)，对应直线l的方程分别为11yxyx ，（12分）22（本小题满分
16、12分）解：（1）当1x 时，1()2ln2xfx，故1ln2(0)2ln22f 又11(0)212f ，所以()yf x在(0(0)f，处的切线方程为1ln2(0)22yx，即ln2122yx （4分）（2）令()()()h xaf xg x，则 当1x时，3()(1)logh xa xx，1ln3 1()ln3ln3axh xaxx 由(2)0h 得3log 20a，故()h x在10ln3a，上单调递减，在1ln3a，上单调递增 若11ln3a，即1ln3a，则()h x在(1)，上单调递增，故()(1)0h xh，符合题意；若11ln3a，即1ln3a，则()h x在11ln3a，上单
17、调递减，故当11ln3xa，时，()(1)0h xh，不符合题意 数学参考答案第 9 页（共 9 页）所以当1x 时，实数a需满足1ln3a（8分）当1x时，1()(21)(1)xh xax，1()2ln21xh xa ，12()2ln 2xh xa 由知，()0h x，故()h x在(1，上单调递增 若(1)ln21 0ha，即1ln2a，则()(1)0h xh，()h x在(1)，上单调递减，故()(1)0h xh，符合题意；若(1)ln210ha，即1ln2a，由于x 时，()1h x，故存在唯一0(1)x ，使得0()0h x，则()h x在0(1)x，上单调递增，故当0(1)xx，时，()(1)0h xh，不符合题意 所以当1x 时，实数a需满足1ln2a 综上，实数a的取值范围为11ln3ln2，（12分）