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1、高三数学第 1 页绝密使用前绝密使用前东北育才学校 2022-2023 学年度高考适应性测试（三）高 三 数 学高 三 数 学考生注意：1.本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。分四大题，22 小题，共 5 页2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容高考全部内容一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题 5 分，共分，共 40 分）分）1已知集合2|120Ax xx，22|3210Bx xmxmm，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A3,2-B1,3C51,2D52,22 易经中的“太
2、极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程.现将平面向量的运算推广到3n n 维向量，用有序数组12,nx xx表示3n n 维向量，已知n维向量1,1,1,1a ，1,1,1,1b，则（）A1abnB1a bnC2cos,na bnD存在R使得ba3将函数 2sin6f xx（0）的图像向左平移3个单位，得到函数 yg x的图像，若函数(yg x）的一个极值点是6，且在,3 6上单调递增，则的值为（）A23B43C8
3、3D1634法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:10 xyabab的蒙日圆为2224:3C xya，过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则椭圆的离心率为（）A22B32C33D635数列nF满足121FF，*21nnnFFFnN，现求得nF的通项公式为151522nnnFAB，,A BR，若 x表示不超过x的最大整数，则8152的值为（）学科网（北京）股份有限公司高三数学第 2 页A43B44C45D466若集合|
4、2 cos arcsincos arccos,1Nz ztittR t，1|,1,01ttMz zi tR tttt，则MN中元素的个数为（）A0B1C2D47在三棱锥 ABCD 中，2 2ABBCCDDA，ADCABC90，平面 ABC平面 ACD，三棱锥 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，E，F 分别在线段 OB，CD 上运动（端点除外），2BECF当三棱锥 EACF 的体积最大时，过点 F 作球 O 的截面，则截面面积的最小值为（）AB3C32D28已知ln3a，223b，1sin0.04123c，则 a，b，c 的大小关系是（）AcbaBabcCbacDacb二二、多多选选题题
5、（每每题题至至少少有有一一个个选选项项为为正正确确答答案案，少少选选且且正正确确得得 3 分分，每每题题 5 分分，共共 20 分分）9如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为012 310，用X表示小球落入格子的号码，则（）A519512P XP XB1191024P XP XC10E X D52D X 10“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是
6、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等如图，已知圆 O 的半径为 2，点 P 是圆 O 内的定点，且2OP，弦 AC，BD 均过点 P，则下列说法正确的是（）APA PC 为定值BOA OC 的取值范围是 2,0C当ACBD时，AB CD 为定值DACBD时，ACBD 的最大值为 1211如图 1，在ABC中，90ACB，2 3AC，2CB，DE 是ABC的中位线，沿 DE 将ADEV进行翻折，连接 AB，AC 得到四棱锥ABCED（如图 2），点 F 为 AB 的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司高三数学第 3 页A当点 A 与点 C 重合
7、时，三角形 ADE 翻折旋转所得的几何体的表面积为333 2B四棱锥ABCED的体积的最大值为32C若三角形 ACE 为正三角形，则点 F 到平面 ACD 的距离为32D若异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为34，则 A、C 两点间的距离为312直线1l、2l为曲线yex与ylnx的两条公切线.1l从左往右依次交ex与ln x于 A 点、B 点；2l从左往右依次交ex与ln x于 C 点、D 点，且 A 点位于 C 点左侧，D 点位于 B 点左侧.设坐标原点为 O，1l与2l交于点 P.则下列说法中正确的有（）.AADBCB22OP Ce1tan22eBOCD2AOC三三、填填空空题题（
8、每每题题 5 分分，共共 20 分分）13已知数列 na，令kb为1a，2a，ka中的最大值1,2,knL，则称数列 nb为 na的“控制数列”，nb中不同数的个数称为“控制数列”nb的“阶数”.例如：na为 1，3，5，4，2，则“控制数列”nb为 1，3，5，5，5，其“阶数”为 3，若 na由 1，2，3，4，5 任意顺序构成，则使“控制数列”nb的“阶数”为 2 的所有 na的个数为_.14如图，函数 2sin(0 0)f xx，的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交 fx的图象于点D，(O坐标原点)为ABD的重心(三条边中线的交点)，其中 0A ，则tanB _15已知双曲线22
9、142xy的左，右焦点分别为1F，2F，过右焦点2F且倾斜角为4直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点（点 M 位于第一象限），12MFF的内切圆半径为1R，12NFF的内切圆半径为2R，则12RR为_.16函数 f（x），g（x）的定义域都是 D，直线 x=x0（x0D），与 y=f（x），y=g（x）的图象分别交于 A，B 两点，高三数学第 4 页若|AB|的值是不等于 0 的常数，则称曲线 y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设 f（x）=ex-alnx+c（a0，c0），且 y=f（x），y=g（x）为区间（0，+）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯
10、一，则 a 的取值范围是_.四、解答题（四、解答题（17 题题 10 分，其余每题分，其余每题 12 分，共分，共 70 分）分）17已知数列 na的前n项和为nS，2*nSnnN，数列 nb为等比数列，且21a，41a 分别为数列 nb第二项和第三项(1)求数列 na与数列 nb的通项公式；(2)若数列13 22(1)11 nnnnnnnca bbb，求数列 nc的前2n项和2nT；(3)求证：2131niiibb18在ABC中，3 sincosaCcA，2c.(1)求A；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长.条件：2sinCa；
11、条件：13b ；条件：2a.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求。某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从 600 名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试 A，B，C 三项工作，3 项测试中至少 2 项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试 A，B 两项，如果这两项中有 1 项以上（含1 项）测试“不合格”，将也被
12、认定为“暂定”，每位员工测试 A，B，C 三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为01pp(1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为 fp，求 fp；(2)每位员工不需要重新测试的费用为 90 元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为 150 元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为 1 万元，若该机构的预算为 8 万元，且 600 名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由高三数学第 5 页20已知顶点为 S 的圆锥面（以下简称圆锥 S）与不经过顶点 S 的平面相交，记交线为 C，圆锥 S 的轴线 l 与平面所成角是圆锥 S 顶角（圆 S 轴截面上两条母线所成角的一半
13、，为探究曲线 C 的形状，我们构建球 T，使球 T 与圆锥 S 和平面都相切，记球 T 与平面的切点为 F，直线 l 与平面交点为 A，直线 AF 与圆锥 S 交点为 O，圆锥 S的母线 OS 与球 T 的切点为 M，OMa，MSb(1)求证：平面 SOA平面，并指出 a，b，关系式；(2)求证：曲线 C 是抛物线21已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F作一条渐近线的垂线交 C 于点 P，垂足为 Q，21QF，124PFPF，M、N 为双曲线左右顶点(1)求双曲线 C 的方程；(2)设过点4,0G的动直线 l 交双曲线 C 右支于 A，B 两点（A
14、 在第一象限），若直线 AM，BN 的斜率分别为AMk，BNk（i）试探究AMk与BNk的比值AMBNkk是否为定值若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由；（ii）求213AMBNkk的取值范围22已知函数1()e(1)lnxf xxax，()lng xxax(1)当1a 时，求()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；(2)当2a 时，对于在(0,1)中的任意一个常数b，是否存在正数0 x，使得0013220e12g xxbx，请说明理由；设()()()h xf xg x，1x是()h x的极小值点，且 10h x，证明：231112h xxx答案第 1页，共 6页东北育才学校 2
15、022-2023 学年度高考适应性测试（三）数学参考答案数学参考答案一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题 5 分，共分，共 40 分）分）12345678CCADDACC二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得 3 分，每题分，每题 5 分，共分，共 20 分）分）9101112ADACDABDCD三、填空题（每题三、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分）13501423 361532 216（2ln2e，3ln3e）四、解答题（四、解答题（17 题题 10 分，其余
16、每题分，其余每题 12 分，共分，共 70 分）分）17【详解】（1）因为数列 na的前n项和为nS，且2*nSnnN，当1n 时，111aS；当2n时，221121nnnaSSnnn，当1n 时也满足；所以21nan；又因为数列 nb为等比数列，且21a，41a 分别为数列 nb第二项和第三项，所以223414,18baba ，则32824bqb，则2nnb.（2）由（1）可得，113 223 22(1)212(1)112121nnnnnnnnnnnnca bnbb ，令12321 23 25 2412nAn 所以2342121 23 25 2412nAn 可得，12322122 22 22
17、 2412nnAn 2221212222241234261 2nnnnn 所以214326nAn令1123 2,21,21213 22,2,2121nnnnnnnnkkvnk k ZZ，答案第 2页，共 6页即1111,21,212111,2,2121nnnnnnkkvnk kZZ，令1232nBvvvv，则22334221111111112 121212121212121nnB 211121n 则212121212114326143252121nnnnnTABnn（3）设2221nnnu，则21211,222 21222nnnnnnun，则123122111112221iinnnibuuuu
18、ub12111111112222331222212nnn18【详解】（1）因为3 sincosaCcA，所以由正弦定理可得3sinsinsincosACCA，又sin0C，所以3sincosAA，即3tan3A，因为(0,)A，所以6A.（2）若选条件：2sinCa，由正弦定理知22sinsin6aaC,可得1sinCa，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；若选条件：13b ，由余弦定理可得，22222cos(13)abcbcA2322(13)222，即2a，所以满足条件的三角形唯一.设BC边上的高为h，由等面积法可知11csin22ABCSbAah,即12(13)22h，解得262h，
19、故BC边上高线的长为262.若选条件：2a，由正弦定理可得sinsinacAC，即221sin2C，答案第 3页，共 6页所以2sin2C，可得4C 或34，有两解，不符合题意.综上，应该选，BC边上高线的长为262.19【详解】（1）由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为223333C(1)Cppp，每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为1223C(1)1(1)ppp，综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为22331225432333()C(1)CC(1)1(1)312179f ppppppppppp（2）设每位员工测试的费用为 X 元，则 X 的可能取值为 90，150，
20、由题意知，123(150)C(1)P Xpp，123(90)1C(1)P Xpp，所以随机变量 X 的数学期望为1212233()901C(1)150 C(1)90180(1)E Xpppppp（元），0,1p，令2()90 180(1)g xxx，0,1x，则2()180(1)2(1)180(31)(1)g xxxxxx，所以当103x时，()0g x；当1,13x时，()0g x；所以函数 g x在10,3上单调递增，在1,13上单调递减，所以2111350()90 18013333g xg，即350()3E X（元）.所以此方案的最高费用为435016001083（万元），综上可知，若以
21、此方案实施估计不会超过预算20【详解】（1）平面 AOS 截球 T 的截面圆与直线 AO 相切于 F，TFOA，记 P 是平面内不在直线 OA 上的点，平面 TFP 截球 T 的截面圆与直线 FP 相切于点 F，TFFP，平面内直线 AO，FP 相交于点 F，TF平面，直线 TF平面 AOS，平面 AOS平面，SADASO 连 TO，TM，OTSA，TASO，答案第 4页，共 6页球 T 的半径TMab且tanabb，2tanab.（2）在平面 AOS 内圆锥的另一条母线与球 T 的切点记为 N 点NSASAO，NSAO以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，过 O 与 TF 平行的直线
22、为 z 轴建立空间直角坐标系，如图.OM，OF 与球 T 相切，OFOMa，,0,0F a，,0,2S abab，设交线 C 上任意点,0P x y，记圆锥 S 的母线 SP 与球 T 相切于 EPF 与球 T 相切于点 F，PEPF，SESMb，PSPFb，即22224xabyabxayb（1），两边平方整理得：22xaxay（2），两边平方整理得：24yax（3），易知：（3）（2）（1），交线 C 在坐标平面 xOy 中方程为24yax，交线 C 是以 F 为焦点，O 为顶点的抛物线.21【详解】（1）因为1224PFPFa，所以2a，由题意可得2QFb，所以1b，所以双曲线 C 的方程
23、为2214xy.答案第 5页，共 6页（2）（i）设1122,A x yB xy，直线 AB 的方程为4xty，由22414xtyxy，消元得2248120tyty则222240(8)4 12(4)01204tttt，且12212284124tyyty yt，（法一）11211212121221122222222662AMBNyy tykxyxty yyykxyytyty yyx2222212122122222212164222214441212636644tttyyty yyyytttttty yyyytt；（法二）由韦达定理可得121223yyty y，即121232ty yyy，1121
24、1211212121221122122232222223266622AMBNyyyyy tykxyxty yyykxyytyty yyyyyx121231393yyyy，即AMk与BNk的比为定值13（ii）设直线AM：(2)yk x，代入双曲线方程并整理得2222214161640 140kxk xkk，由于点 M 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为2，由韦达定理得：2216421 4Akxk，解得222 4114Akxk因为点 A 在双曲线的右支上，所以222 41014Akxk，又点 A 在第一象限，所以10,2AMk，同理可得1,2BNk ，由（i）中结论可知13,2BNAMkk ，
25、得1,6AMk，所以1 1,6 2AMk，故222111324AMBNAMAMAMkkkkk，故213AMBNkk的取值范围为15,436.答案第 6页，共 6页22【详解】（1）当1a 时，1()exf xx，求导得：1()(1)exfxx，(1)2f，而(1)1f，则12(1)yx，所以()yf x在点(1,(1)f处的切线方程是21yx.（2）当2a 时，()ln2g xxx，对于在(0,1)中的任意一个常数b，假定存在正数0 x，使得0013220e12g xxbx成立，显然有00000132ln(1)2220000e1e1(1)e10222g xxxxxbbbxxxx ，令2()(1
26、)e1,02xbH xxxx，求导得：()e(e)xxH xxbxx b，当0lnxb 时，()0H x，当lnxb 时，()0H x，即()H x在(0,ln)b上递减，在(ln,)b上递增，则当lnxb 时，ln22min()(ln)(ln1)e(ln)1(ln)ln122bbbH xHbbbbbbb ，令2()(ln)ln1,012xG xxxxxx，求导得：21()(ln)02G xx，即()G x在(0,1)上单调递增，(0,1),()(1)0 xG xG，即(ln)0Hb，所以存在正数0lnxb，使得0013220e12g xxbx.（3）依题意，1()e(ln)xh xxa xx
27、，求导得：1111()(1)e(1)(e)xxxh xxaxaxx，令1()e,0 xF xxa x，1()(1)e0 xF xx，即()F x在(0,)上单调递增，因1e0 xx，当0a时，()0F x，即()0h x，函数()h x在(0,)上单调递增，不存在极值，当0a 时，(0)0Fa ，(1)(1)e0aF aaa，从而存在1 0 x，使得1()0F x，即1()0h x，当10 xx时，0F x，1()0h x，当1xx时，0F x，1()0h x，因此，1x是函数()h x的极小值点，满足111exax，11111111111()e(ln)e(1ln)0 xxh xxa xxxxx，则111ln0 xx，因函数1lnyxx 在(0,)上单调递减，而当1x 时，0y，则由111ln0 xx得101x，令()ln1,01xxxx，求导得1()10 xx，当()x在(0,1上单调递减，(0,1x，()(1)0 x，当且仅当1x 时取“=”,即(0,1x，1lnxx，于是得111lnxx，111e0 xx，1111ln2 10 xxx，因此，112311111111e(1ln)2(1)2()xxxxxxxxx，所以23111()2()h xxx.