《2023届高考数学专项练习数列解答题题型综合训练含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习数列解答题题型综合训练含答案.pdf（51页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数列解答题题型综合训练数列解答题题型综合训练一、梳理必备知识一、梳理必备知识1.1.数列中an与a+bi=c+dia=b,且c=d之间的关系：an=S1,(n=1)Sn-Sn-1,(n2).注意通项能否合并。2.2.等差数列的判定与证明方法定义法an-an-1=d(n2，nN*)an是等差数列等差中项法2an=an-1+an+1(n2，nN*)an是等差数列通项公式法an=pn+q(p，q为常数)an是等差数列前n项和公式法Sn=An2+Bn(A，B为常数)an是等差数列3.3.等比数列的判定与证明方法定义法若an+1an=q(nN*)或anan-1=q(n2，nN*)，q为非零常数，则an是
2、等比数列中项公式法若数列an中，an0且a2n+1=anan+2(nN*)，则an是等比数列通项公式法若数列 an的通项公式 an=cqn-1(c，q均为非零常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列 an 的前 n 项和 Sn=kqn-k(k 为非零常数，q 0,1)，则an是等比数列4.4.数列通项公式an的求法之累加法形如an+1=an+f(n)型的递推数列(其中 f(n)是关于n的函数)可构造：an-an-1=f(n-1)an-1-an-2=f(n-2).a2-a1=f(1)将上述m2个式子两边分别相加，可得：an=f(n-1)+f(n-2)+.f(2)+f(1)+a1,(n
3、2)5.5.数列通项公式an的求法之累乘法：2023届高考数学专项练习形如an+1=an f(n)an+1an=f(n)型的递推数列(其中 f(n)是关于n的函数)可构造：anan-1=f(n-1)an-1an-2=f(n-2).a2a1=f(1)将上述m2个式子两边分别相乘，可得：an=f(n-1)f(n-2).f(2)f(1)a1,(n2)6.6.数列通项公式an的求法之构造数列法：形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数且p0)型；形如an+1=pan+f(n)(p1)型.7.7.裂项相消常见类型1n(n+k)=1k1n1n+k例：1n(n+1)=1n1n+1;1n(n1)=1n11
4、n1(kn-1)(kn+1)=121kn-1-1kn+1例：14n21=1212n112n+11n+k+n=1k(n+k n)例：1n+1+n=n+1-n(a-1)an(an+1+k)(an+k)=1an+k-1an+1+k例：2n(2n+1+k)(2n+k)=12n+k-12n+1+k8.8.错位相减的技巧(1)一般步骤展开展开Sn=a1b1+a2b2+an-1bn-1+anbn1乘公比乘公比 qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+12错位相减错位相减1-2：得 1-qSn=a1b1+a2b2+an-1bn-1+anbn-a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1=a1b1
5、+d b2+b3+bn-anbn+13求和求和 Sn=a1b1+d b2+b3+bn-anbn+11-q9.9.倒序相加法即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.10.10.分组求和法(1)如果一个数列可写成cn=anbn的形式，而数列 an，bn是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.(2)如果一个数列可写成cn=ann为奇数bnn为偶数 的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、二、数列解答题题型综合训练数列解答题题型综合训练1.1.(20232023 全国全国 校联考模拟预测校联考模拟预测)已知数列 an
6、是公差为2的等差数列，且请在a4+a9=26；a1,a3,a9成等比数列；S10=110，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答下面问题(1)求 an的通项公式；(2)若bn=a2n，记数列1bn 的前n项和为Tn，证明：Tn122.2.(20232023 春春 河北保定河北保定 高二河北省唐县第二中学校考阶段练习高二河北省唐县第二中学校考阶段练习)问题：设公差不为零的等差数列 an的前n项和为Sn，且S3=6，.下列三个条件：a2,a4,a8成等比数列；S4=5a2；(n+1)an=nan+1.从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答.(1)求数列an的通项公式；(2)若
7、bn=1anan+2，数列bn的前n项和为Kn，求证：Kn0,an1，且满足an+1=2anan+1.(1)求数列 an的通项公式；(2)令bn=2n-12n+1an，求数列 bn的前n项和Sn；(3)在(2)的条件下，证明：4nSn.8.8.(20232023春春 湖北襄阳湖北襄阳 高二校联考阶段练习高二校联考阶段练习)设等差数列 an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列 bn的公比为q.已知b1=a1，b2=9，q=d，S10=165.(1)求 an，bn的通项公式(2)当d1时，记cn=anbn，求数列 cn的前n项和Tn.9.9.(20232023 四川宜宾四川宜宾 统考模拟预测统考模
8、拟预测)已知数列 an，bn，a1=2，记Sn为数列 an的前n项和，an=b1b2b3bn条件：2Snn+n 是公差为2的等差数列；条件：1bn+1an=1从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知(1)求数列 an的通项公式；(2)若cn=2nan，求数列 cn的前n项和Tn10.10.(20232023春春 吉林白城吉林白城 高二校考阶段练习高二校考阶段练习)已知数列an满足a1=3,a2=5,an+2=43an+1-13an(1)求数列an的通项公式an(2)设bn=13n(6-an),Sn为数列bn的前n项和，若Sn+32n13n0，a1=2，其前n项和为Sn，且在a1，a3，a11成
9、等比数列；S55-S33=3；a2n+1-3an+1=a2n+3an这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足bn=1+-1nan，求数列 bn的前2n项和T2n注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分19.19.(20222022秋秋 黑龙江大庆黑龙江大庆 高二大庆实验中学校考期末高二大庆实验中学校考期末)设Sn为数列 an的前n项和，已知an0,a2n+4an=8Sn-4 nN N*.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列(-1)n8nanan+1+an 的前n项和Tn.20.20.(20232023 山东枣庄山东枣
10、庄 统考二模统考二模)已知数列 an的首项a1=3，且满足an+1+2an=2n+2(1)证明：an-2n为等比数列；(2)已知bn=an,n为奇数log2an,n为偶数，Tn为 bn的前n项和，求T1021.21.(20162016 辽宁沈阳辽宁沈阳 东北育才学校校考三模东北育才学校校考三模)已知函数 f x=12+lnxx-1.(1)求证：f x图象关于点12,12中心对称；(2)定义Sn=n-1i=1fin=f1n+f2n+n-1n，其中nN*且n2，求Sn；(3)对于(2)中的Sn，求证：对于任意nN*都有lnSn+2-lnSn+11n2-1n3.22.22.(20222022 全国全
11、国 高三专题练习高三专题练习)设A x1,y1,B x2,y2是函数 f x=12+log2x1-x的图象上任意两点，且OM=12(OA+OB)，已知点M的横坐标为12(1)求证：M点的纵坐标为定值；(2)若Sn=f1n+f2n+.+fn-1n,nN*,且n2求Sn；23.23.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=log33x1-x(1)证明函数 f(x)的图像关于点12,1对称;(2)若Sn=f1n+f2n+.+fn-1n(nN+,n2)，求Sn；24.24.(20222022 春春 上海奉贤上海奉贤 高二上海市奉贤中学校考期中高二上海市奉贤中学校考期
12、中)已知各项为正数的数列 an的首项是 1，满足：an+1+an=1an+1-1an，数列 an的前n项项和是Sn(1)判断数列 an单调性，并说明理由；(2)求数列 an的通项公式；(3)(n)表示正整数n的各个数位上的数字之和，如(18)=1+8=9，求 S21+S22+S2199的值25.25.(20232023秋秋 山东枣庄山东枣庄 高二统考期末高二统考期末)已知公比大于1的等比数列 an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求 an的通项公式；(2)记bm为 an在区间 0,mmN N*中的项的个数，求数列 bm的前50项和S50.26.26.(20232023春春 安徽淮北安徽淮北
13、 高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)如果一个数列的各项都是实数，且从第 2 项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差(1)设数列 anan0是公方差为p p0的等方差数列，且a1=1，求数列 an的通项公式；(2)若数列 an既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列 an为常数列27.27.(20222022春春 上海黄浦上海黄浦 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)对于给定数列cn，如果存在实常数 p、q使得cn+1=pcn+q对于任意nN N*都成立，我们称数列cn是“M类数列”(1)若a
14、n=2n，bn=32n，nN N*，数列an、bn是否为“M类数列”？(2)若数列an是“M类数列”，求证：数列an+an+1也是“M类数列”；(3)若数列an满足a1=2，an+an+1=3t2nnN*，t为常数求数列an前2022项的和28.28.(北京市东城区北京市东城区20232023届高三下学期综合练习届高三下学期综合练习(一一)数学试题数学试题)已知数表A2n=a11a12a1na21a22a2n中的项aij(i=1,2;j=1,2,n)互不相同，且满足下列条件：aij 1,2,2n；(-1)m+1a1m-a2m0(m=1,2,n).则称这样的数表A2n具有性质P.(1)若数表A2
15、2具有性质P，且a12=4，写出所有满足条件的数表A22，并求出a11+a12的值；(2)对于具有性质P的数表A2n，当a11+a12+a1n取最大值时，求证：存在正整数k 1kn，使得a1k=2n；(3)对于具有性质P的数表A2n，当n为偶数时，求a11+a12+a1n的最大值.29.29.(20232023秋秋 浙江宁波浙江宁波 高二统考期末高二统考期末)我国南宋时期的数学家杨辉，在他 1261年所著的 详解九章算法一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和(1)把“杨辉三角”中第三斜列
16、各数取出按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15，写出an与an-1nN N*,n2的递推关系，并求出数列 an的通项公式；(2)设bn=ann+12n-1,nN，证明：b1+b2+b3+bn2.30.30.(20222022 河北河北 校联考模拟预测校联考模拟预测)近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投入市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲 乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，
17、求X的分布列与数学期望；(2)对所有车主选择的结果进行调查,记总得分恰好为n分的概率为an,求数列 an的通项公式；(3)在(2)的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.31.31.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)汪先生家要购买一套商品房，计划使用公积金贷款10万元.(1)贷款按月等额本息还款，分十二年还清，已知12年期公积金贷款月利率4.455()，问：汪先生家每月应还款多少元?(小数点后保留两位有效数字)(2)贷款若按月等额本金还款，月利率为r，问：汪先生家最后一期应还
18、款多少元?(不需计算结果，只列出计算公式即可)(参考数据：1.0044551441.9，1.0050251442.1，1.0050251802.5)32.32.(20222022 秋秋 福建福州福建福州 高三校联考期中高三校联考期中)在国家一系列利好政策的支持下，我国新能源汽车产业发展迅速.某汽车企业计划大力发展新能源汽车，2021年全年生产新能源汽车 1万辆，之后每年新能源汽车的产量都在前一年的基础上增加 50%.记 2021 年为第一年，其产量为 a1=1 万辆，该汽车企业第 n 年生产的新能源汽车为an万辆.(1)求a5的值；(2)若从第k年开始计算，连续3年该汽车企业生产的新能源汽车的
19、总产量不低于19万辆，求k的最小值.(参考数据：lg20.30,lg30.48)数列解答题题型综合训练数列解答题题型综合训练一、一、梳理必备知识梳理必备知识1.1.数列中an与a+bi=c+dia=b,且c=d之间的关系：an=S1,(n=1)Sn-Sn-1,(n2).注意通项能否合并。2.2.等差数列的判定与证明方法定义法an-an-1=d(n2，nN*)an是等差数列等差中项法2an=an-1+an+1(n2，nN*)an是等差数列通项公式法an=pn+q(p，q为常数)an是等差数列前n项和公式法Sn=An2+Bn(A，B为常数)an是等差数列3.3.等比数列的判定与证明方法定义法若an
20、+1an=q(nN*)或anan-1=q(n2，nN*)，q为非零常数，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且a2n+1=anan+2(nN*)，则an是等比数列通项公式法若数列 an的通项公式 an=cqn-1(c，q均为非零常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列 an 的前 n 项和 Sn=kqn-k(k 为非零常数，q 0,1)，则an是等比数列4.4.数列通项公式an的求法之累加法形如an+1=an+f(n)型的递推数列(其中 f(n)是关于n的函数)可构造：an-an-1=f(n-1)an-1-an-2=f(n-2).a2-a1=f(1)将上述m2个式子两边分
21、别相加，可得：an=f(n-1)+f(n-2)+.f(2)+f(1)+a1,(n2)5.5.数列通项公式an的求法之累乘法：形如an+1=an f(n)an+1an=f(n)型的递推数列(其中 f(n)是关于n的函数)可构造：anan-1=f(n-1)an-1an-2=f(n-2).a2a1=f(1)将上述m2个式子两边分别相乘，可得：an=f(n-1)f(n-2).f(2)f(1)a1,(n2)6.6.数列通项公式an的求法之构造数列法：形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数且p0)型；形如an+1=pan+f(n)(p1)型.7.7.裂项相消常见类型1n(n+k)=1k1n1n+k例
22、：1n(n+1)=1n1n+1;1n(n1)=1n11n1(kn-1)(kn+1)=121kn-1-1kn+1例：14n21=1212n112n+11n+k+n=1k(n+k n)例：1n+1+n=n+1-n(a-1)an(an+1+k)(an+k)=1an+k-1an+1+k例：2n(2n+1+k)(2n+k)=12n+k-12n+1+k8.8.错位相减的技巧(1)一般步骤展开展开Sn=a1b1+a2b2+an-1bn-1+anbn1乘公比乘公比 qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+12错位相减错位相减1-2：得 1-qSn=a1b1+a2b2+an-1bn-1+anbn-a
23、1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1=a1b1+d b2+b3+bn-anbn+13求和求和 Sn=a1b1+d b2+b3+bn-anbn+11-q9.9.倒序相加法即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.10.10.分组求和法(1)如果一个数列可写成cn=anbn的形式，而数列 an，bn是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.(2)如果一个数列可写成cn=ann为奇数bnn为偶数 的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、二、数列解答题题型综合训练数列解答题题型综合训练1.1.(20232023
24、全国全国 校联考模拟预测校联考模拟预测)已知数列 an是公差为2的等差数列，且请在a4+a9=26；a1,a3,a9成等比数列；S10=110，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答下面问题(1)求 an的通项公式；(2)若bn=a2n，记数列1bn 的前n项和为Tn，证明：Tn12【答案】(1)an=2n(2)证明见解析【分析】(1)选，利用等差通项公式求出首项，即可得出数列的通项；选，利用等比中项求出首项，即可得出数列的通项；选，根据等差数列前n项和公式求出首项，即可得出数列的通项；(2)易得1bn=14n2，放缩可得当n2时，1bn=14n2141n n-1，再利用列项相消法即可
25、得证.【详解】(1)因为 an是等差数列，公差d=2，若选，又因为a4+a9=26，所以2a1+11d=26，解得a1=2，所以an=a1+n-1d=2n；若选，又因为a1,a3,a9成等比数列，所以a23=a1a9，所以 a1+42=a1a1+16，解得a1=2，所以an=a1+n-1d=2n；若选，因为S10=110，所以10a1+452=110，解得a1=2，所以an=a1+n-1d=2n；(2)因为bn=a2n，由(1)知，an=2n，所以bn=4n2，所以1bn=14n2，当n=1时，T1=b1=1412当n2时，1bn=14n2141n n-1=141n-1-1n，则当n2时，Tn
26、=141+14+19+1n2141+1-12+12-13+1n-1-1n=142-1n，所以Tn12-14n，所以Tn12，综上所述，Tn122.2.(20232023 春春 河北保定河北保定 高二河北省唐县第二中学校考阶段练习高二河北省唐县第二中学校考阶段练习)问题：设公差不为零的等差数列 an的前n项和为Sn，且S3=6，.下列三个条件：a2,a4,a8成等比数列；S4=5a2；(n+1)an=nan+1.从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=1anan+2，数列bn的前n项和为Kn，求证：Kn34.【答案】(1)an=n(2)证明
27、见解析【分析】(1)选分别与S3=6组成方程组，解出首项与公差即可得解；(2)利用裂项相消法求出数列的前n项和为Kn，即可得证.【详解】(1)设等差数列an的公差为d(d0).选条件：S3=6，a2，a4，a8成等比数列，3a1+3d=6a1+3d2=a1+da1+7d，解得a1=1d=1，故数列an的通项公式为an=1+n-1=n.选条件：S3=6，S4=5a2，3a1+3d=64a1+6d=5 a1+d，解得a1=1d=1，故数列an的通项公式为an=1+n-1=n.选条件：S3=6，(n+1)an=nan+1，3a1+3d=6n+1a1+n-1d=n a1+nd，解得a1=1d=1，故数
28、列an的通项公式为an=1+n-1=n.(2)证明：bn=1anan+2=121n-1n+2，Kn=1211-13+12-14+1n-1-1n+1+1n-1n+2=1211+12-1n+1-1n+2=1232-2n+3n+1n+20，所以anan-1=4，即数列 an为等比数列，首项为4，公比为4，故等比数列 an的通项公式为an=44n-1=4n；(2)由(1)知bn=2n2n-12n+1-1=2n+1-2n2n-12n+1-1=12n-1-12n+1-1则Tn=1-13+13-17+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1.数列 bn的前n项和Tn=1-12n+1-1.5.5.(20
29、232023 山西山西 校联考模拟预测校联考模拟预测)在 bn=1an+an+1；bn=1anan+1；bn=2nan，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题已知数列 an的前n项和Sn=nan-32n2+32n(1)证明：数列 an是等差数列；(2)若a1=2，设，求数列 bn的前n项和Tn【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)利用数列通项an与前n项和Sn的关系证明.(2)利用裂项相消法、错位相减法计算求解.【详解】(1)因为Sn=nan-32n2+32n，所以Sn+1=n+1an+1-32n+12+32n+1，-得an+1=n+1an+1-nan-3n，整理得a
30、n+1-an=3，由等差数列的定义可知 an是等差数列(2)由(1)得 an的公差d=3，又因为a1=2，所以an=a1+(n-1)d=3n-1若选：bn=1an+an+1=13n-1+3n+2=3n+2-3n-13n-1+3n+23n+2-3n-1=133n+2-3n-1,所以Tn=b1+b2+b3+bn=135-2+8-5+11-8+3n+2-3n-1=3n+2-23若选：bn=1anan+1=1(3n-1)(3n+2)=1313n-1-13n+2，所以Tn=1312-15+15-18+18-111+13n-1-13n+2=1312-13n+2=n2(3n+2)若选：bn=2nan=3n-
31、12nTn=b1+b2+bn=221+522+823+(3n-1)2n，则2Tn=222+523+824+(3n-1)2n+1，两式作差得-Tn=221+322+323+32n-(3n-1)2n+1=4+12 1-2n-11-2-3n-12n+1=-8+4-3n2n+1.所以Tn=8+3n-42n+16.6.(山东省潍坊市山东省潍坊市20232023届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题)将正奇数数列1，3，5，7，9的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列 an，求数列 an的通项公式；(2)设
32、bn=2n1-nan+1，求数列 bn的前n项和Tn【答案】(1)an=n2+n-2(2)2-2n+1n+1【分析】(1)题意三角形数表可知an-an-1=2n，利用累加法和等差数列前n项求和公式计算可得an=n2+n-1，检验即可；(2)由(1)可得bn=2nn-2n+1n+1，结合裂项相消求和法计算即可求解.【详解】(1)由题意知，a2-a1=4，a3-a2=6，an-an-1=2n，所以，a2-a1+a3-a2+an-an-1=4+6+8+2n=2 2+3+4+n=2 2+nn-12=n2+n-2，得an-a1=n2+n-2，因为a1=1，所以an=n2+n-1，经检验满足题意，所以an
33、=n2+n-1；(2)由题意得，bn=2n1-nn n+1=2nn-2n+1n+1，所以，Tn=211-222+222-233+2nn-2n+1n+1=2-2n+1n+17.7.(河南省新未来河南省新未来20222022-20232023学年高二下学期学年高二下学期3 3月联考数学试题月联考数学试题)已知数列 an中，a1=23,an0,an1，且满足an+1=2anan+1.(1)求数列 an的通项公式；(2)令bn=2n-12n+1an，求数列 bn的前n项和Sn；(3)在(2)的条件下，证明：4nSn.【答案】(1)an=2n2n+1(2)Sn=2n-32n+1+6(3)证明见解析【分析
34、】(1)由递推关系证明数列1an-1 是为公比的等比数列，结合等比数列通项公式求数列 an的通项公式；(2)利用错位相减法求数列 bn的前n项和Sn；(3)先验证当n=1和n=2时，4nSn，再结合二项式定理证明n3，nN时，4nSn.【详解】(1)由an+1=2anan+1，有1an+1=an+12an，可得1an+1=12an+12，可化为1an+1-1=12an-12，有1an+1-1=121an-1，又由1a1-1=32-1=12，所以数列1an-1 是以12为首项，12为公比的等比数列，有1an-1=1212n-1，可得an=2n2n+1；(2)由(1)可得bn=2n-12n+12n
35、2n+1=2n-12n，.有Sn=12+322+2n-32n-1+2n-12n，等式两边同乘2，有2Sn=122+323+2n-32n+2n-12n+1，两式作差，有-Sn=2+222+223+22n-2n-12n+1，有-Sn=-2+2 2+22+23+2n-2n-12n+1，有-Sn=-2+22 1-2n1-2-2n-12n+1，可得Sn=2n-32n+1+6；(3)由(2)4n-Sn=4n-2n-32n+1-6=2n-4n+62n-6，当n=1时，41-S1=42-6=20，可得4nSn；当n=2时，42-S2=24-60，可得4nSn；当n3时，2n=(1+1)n=1+C1n+C2n+
36、Cnn1+C1n+C2n=12n2+12n+1，所以2n-4n+612n2+12n+1-4n+6=12n2-72n+7=12n-722+78，所以2n-4n+61，所以4n-Sn2n-68-6=20，可得4nSn，所以对于任意的nN，4nSn.8.8.(20232023春春 湖北襄阳湖北襄阳 高二校联考阶段练习高二校联考阶段练习)设等差数列 an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列 bn的公比为q.已知b1=a1，b2=9，q=d，S10=165.(1)求 an，bn的通项公式(2)当d1时，记cn=anbn，求数列 cn的前n项和Tn.【答案】(1)an=3n,bn=3n 或an=4n+77
37、6,bn=27223n-1.(2)Tn=94-2n+3413n-1【分析】(1)由已知应用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，进而写出通项公式；(2)由题设有cn=n13n-1，应用错位相减法求Tn【详解】(1)由题意知a1d=9,10a1+45d=165，解得a1=3,d=3 或a1=272,d=23,所以an=3n,bn=3n 或an=4n+776,bn=27223n-1.(2)因为d1，所以cn=anbn=3n3n=n13n-1.因为Tn=1130+2131+3132+n13n-1，所以13Tn=1131+2132+3133+n13n，两式相减得23Tn=130+131+132+13
38、n-1-n13n=1-13n1-13-n13n=32-n+3213n，故Tn=94-2n+3413n-19.9.(20232023 四川宜宾四川宜宾 统考模拟预测统考模拟预测)已知数列 an，bn，a1=2，记Sn为数列 an的前n项和，an=b1b2b3bn条件：2Snn+n 是公差为2的等差数列；条件：1bn+1an=1从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知(1)求数列 an的通项公式；(2)若cn=2nan，求数列 cn的前n项和Tn【答案】(1)an=n+1(2)Tn=n2n+1【分析】(1)选：由Sn与an的关系即可求解；选：由等差数列的定义即可求；(2)利用错位相减法即可求解.【
39、详解】(1)因为Sn为数列 an的前n项和，所以S1=a1=2.选择条件：因为2Snn+n 是公差为2的等差数列，首项为2S11+1=2a11+1=5，所以2Snn+n=5+n-12=2n+3，整理，得2Sn=n2+3n，所以2Sn-1=n-12+3 n-1,n2，所以2an=2 Sn-Sn-1=n2+3n-n-12-3 n-1=2n+2，所以an=n+1，当n=1时也符合a1=2，所以an=n+1；选择条件：因为an=b1b2b3bn，所以an-1=b1b2b3bn-1，所以anan-1=b1b2b3bnb1b2b3bn-1=bn，所以1bn+1an=an-1an+1an=1，整理，得an-
40、an-1=1，所以 an是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，所以an=2+n-11=n+1，即an=n+1.(2)由(1)知an=n+1，所以cn=2nan=n+12n，所以Tn=c1+c2+.+cn，所以Tn=221+322+.+n+12n，所以2Tn=222+323+.+n+12n+1，所以-Tn=4+22+23+.+2n-n+12n+1，所以-Tn=4+221-2n-11-2-n+12n+1，整理，得Tn=n2n+1.10.10.(20232023春春 吉林白城吉林白城 高二校考阶段练习高二校考阶段练习)已知数列an满足a1=3,a2=5,an+2=43an+1-13an(1)求数列
41、an的通项公式an(2)设bn=13n(6-an),Sn为数列bn的前n项和，若Sn+32n13nmm+2恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)an=6-13n-2(2)-185m-2【分析】(1)构造新数列，利用累和法、等比数列前n项和公式进行求解即可；(2)利用错位相减法，结合函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】(1)an+2=43an+1-13anan+2-an+1=13an+1-13anan+2-an+1=13an+1-an，设cn=an+1-an，所以数列cn是以a2-a1=2为首项，13为公比的等比数列，所以cn=an+1-an=213n-1，当n2,nN时，
42、an=an-an-1+an-1-an-2+a2-a1+a1=213n-2+13n-3+130+3=21-13n-11-13+3=6-13n-2，显然n=1也适合，故an=6-13n-2；(2)由(1)可知an=6-13n-2，bn=13n(6-an)=13n 6-6+13n-2=n13n-1，Sn=1130+2131+3132+n13n-1，所以有13Sn=1131+2132+3133+n13n，两式相减得23Sn=130+131+132+13n-1-n13n=1-13n1-13-n13nSn=94-94+3n213n，由Sn+32n13nmm+294-94+3n213n+32n13nmm+2
43、941-13nmm+2，显然函数y=941-13n是正整数集上的增函数，当n=1时，该函数有最小值，最小值为941-13=32，所以有32941-13n94，因此mm+29418+5m4 m+20-185m0，所以an=n；(2)由(1)知bn=an2an=n2n.所以Sn=b1+b2+bn=12+222+323+n2n,12Sn=122+223+324+n-12n+n2n+1，.两式作差得12Sn=12+122+123+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-n+22n+1,所以Sn=2-n+22n.12.12.(20232023 江苏江苏 二模二模)已知数列 an满足a
44、1=-12，n+1an+2nan+1=0.数列 bn满足b1=1，bn+1=kbn+an(1)求 an的通项公式；(2)证明：当 k1时，bn3-n+12n-1【答案】(1)an=(-1)nn2n，nN*；(2)证明见解析.【分析】(1)利用累乘法即可得解；(2)利用不等式的基本性质进行放缩，再由累加法和错位相减求和法即可得证【详解】(1)根据题意，由 n+1an+2nan+1=0可知，an0，则an+1an=-n+12n，当n2且nN*时，由累乘法得ana1=-1+121-2+122-3+123-n2 n-1=-1n-1n2n-1，又a1=-12，则an=(-1)n-1n2n-1-12=(-
45、1)nn2n，当n=1时，a1=-12也符合上式，综上可知，an=(-1)nn2n，nN*；(2)因为bn+1=kbn+an=kbn+(-1)nn2n，k1，所以 bn+1 kbn+(-1)nn2n bn+n2n，即 bn+1-bnn2n，当n2且nN*时，由累加法得 bn-b112+222+n-12n-1，设Sn=12+222+n-12n-1，则2Sn=1+22+322+n-12n-2，所以Sn=1+12+122+12n-2-n-12n-1=1-12n-11-12-n-12n-1=2-n+12n-1，又b1=1，则 bn-b1Sn=2-n+12n-1 bn3-n+12n-1，当n=1时，b1
46、=1上述不等式也成立，因此，当 k1时，bn3-n+12n-1对nN*恒成立13.13.(20232023 天津天津 统考一模统考一模)在公差不为零的等差数列 an和等比数列 bn中，Sn为 an的前 n 项和.已知a2=b1=3,S9=b4，且a2是a1与a5的等比中项.(1)求 an和 bn的通项公式；(2)记数列 anbn的前n项和为Tn，求Tn；(3)求nk=1(-1)k-14kakak+1.【答案】(1)an=2n-1，bn=3n(2)Tn=3+(n-1)3n+1(3)nk=1(-1)k-14kakak+1=2n2n+1,n为偶数，2n+22n+1,n为奇数.【分析】(1)设an的公
47、差为d，bn的公比为q，由题意可得9=(3-d)(3+3d)，求得d=2，a1=1，即可求得an的通项公式，接着可得b4=S9=3q3=81，算出q=3即可；(2)利用错位相减法求解即可；(3)化简(-1)k-14kakak+1=(-1)k-112k-1+12k+1，然后分n为偶数和n为奇数进行求和即可【详解】(1)设an的公差为d，bn的公比为q，由题意a22=a1a5，即9=(3-d)(3+3d)，d0，解得d=2，a1=1，an=1+2 n-1=2n-1.S9=9+9822=81，b4=3q3=81，q=3，bn=3n.(2)anbn=(2n-1)3nTn=13+332+533+(2n-
48、3)3n-1+(2n-1)3n3Tn=132+333+534+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1-得-2Tn=13+232+233+234+23n-(2n-1)3n+1=3+232(1-3n-1)1-3-(2n-1)3n+1=-6-(2n-2)3n+1Tn=3+(n-1)3n+1.(3)(-1)k-14kakak+1=(-1)k-14k(2k-1)(2k+1)=(-1)k-112k-1+12k+1当n为偶数时，nk=1(-1)k-14kakak+1=1+13-13+15+12n-3+12n-1-12n-1+12n+1=1-12n+1=2n2n+1当n为奇数时，nk=1(-1)k-14kak
49、ak+1=1+13-13+15+-12n-3+12n-1+12n-1+12n+1=1+12n+1=2n+22n+1nk=1(-1)k-14kakak+1=2n2n+1,n为偶数，2n+22n+1,n为奇数.14.14.(20232023 辽宁大连辽宁大连 校联考模拟预测校联考模拟预测)已知数列 an的前n项之积为Sn=2n(n-1)2nN(1)求数列 an的通项公式；(2)设公差不为0的等差数列 bn中，b1=1，求数列 log2an+2bn 的前n项和Tn请从b22=b4；b3+b5=8这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分【答案
50、】(1)an=2n-1(2)Tn=2n+1-2+12n(n-1)【分析】(1)运用an与其前n项之积Sn的关系an=S1,n=1SnSn-1,n2 代入计算即可.(2)运用等差数列基本量计算求得bn的通项公式，再运用分组求和法求得Tn.【详解】(1)当n=1时，a1=S1=1，当n2时，an=SnSn-1=2n(n-1)-(n-1)(n-2)2=2n-1，将n=1代入an=2n-1得a1=1，符合综上，an=2n-1.(2)若选b22=b4，设等差数列 bn的公差为d(d0)，因为b1=1，b22=b4，所以(1+d)2=1+3d(d0)，解得d=1，所以bn=b1+(n-1)d=n，若选b3