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1、第6章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念东北位移、速度、力等既有大小又有方向：向量的概念1向量的物理背景民航每天都有北京飞往上海、广州、重庆等地的航班.每次飞行都是飞机的一次 位移，由于飞机每次飞行的方向和距离都不相同，所以它们是不同的位移；汽车向东北方向行驶了60km，行驶的速度大小为120km/h，方向是东北方向；起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力的作用，同时也受到竖直向 上的起重机的拉力作用.在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量.向量的概念1向量定义【1】我们所学的向量是自由向量，即只有大小和方向，而没有特定的位置，这样的向量可 以任意进行平移.【2】向量和向量之间
2、不能比较大小数量定义只有大小没有方向的量是数量，如年龄、身高、长度等等重点笔记向量和数量的区别：向量有方向，数量没有方向；数量可 以比较大小，向量无法比较大小.向量具有大小和方向两个要素，这也是判断一个量是否为向量的重要方法.向量和矢量：向量是从物理中的矢量抽象出来的，但是在数 学上我们只考虑大小和方向，而物理中的矢量有时还要考虑 其他属性，如力除了大小方向之外，还要考虑作用点.向量的概念1有人说：由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量.例【解】海拔不是向量，它只有大小没有方向.海拔的正负不表示方向，只表示在海平面的上方还是下方.同理，温度和角度也
3、不是向量，因为它们没有方向.你同意吗？温度、角度是向量吗？为什么？向量的几何表示2 具有方向的线段叫做有向线段.有向线段【1】如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它 的方向.以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB，线段AB的长度叫做也叫做有向线段 AB 的长度，记作|AB|.【2】有向线段包含三个要素：起点、方向和长度，.知道了起点、方向和长度，那么终点的位置就确定了.(起点)(终点)向量的模向量AB的大小称为向量AB的长度，也叫做向量AB的模，记作|AB|向量和有向线段是一回事吗？概念辨析【1】从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长 度三个要素，因此这是两
4、个不同的量；【2】在平面内，向量可以自由平移，而有向线段是固定的线段；【3】向量可以用有向线段来表示，但是向量不是有向线段，也不能说有向线段 是向量.有向线段向量 咱俩差不多，我还可以表示你 但是你不是我，我是不一样的烟火向量的几何表示2【1】零向量长度为0的向量叫做零向量，记作两种特殊的向量【2】单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量向量的几何表示2若用有向线段表示零向量，则其终点和起点重合.要注意0和 的区别及联系：0是一个实数，是一个向量，并 且|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.印刷体单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.在平面内，将表示所有
5、单位向量的有向线段的起点平移到 同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.相等向量与共线向量3 方向相同或者相反的向量叫做平行向量，向量 与 平行，记作 /.平行向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 /.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量 与 相等,记作 ，两个相等向量必须具备 的条件是长度和方向都相同.向量完全由它的方向和模确 定,任意两个相等的非零向量都能用同一个有向线段表示.=任何一组平行向量都能平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量，同一直线上的向量平行.共线向量 向量 就意味着 并且它们的方向相同，但是 只能说明它们的模相等，方向未
6、必相同.=|=|=|相等向量与共线向量3平行向量和共线向量概念辨析 共线向量就是平行向量，有了“相等向量”的概念(任意两个相等的非零向量，都可以用 同一个有向线段表示，并且与有向线段的起点无关)之后，可知任意一组平行向量都可以 移到同一直线上，因此平行向量就是共线向量.共线向量中“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义，共线向量中的“共线”对应平面几何中的两种情况表示两个向量的有向线段在同一直线上；表示两个向量的有向线段所在的直线互相平行.相等向量和共线向量 相等的向量方向相同且长度相等，所以相等向量一定是共线向量；但是共线向量的模不一定相等，所以共线向量不一定是相等向量.相等向量相等向量
7、共共线向量向量 涉及平行向量(共线向量)时，一定要注意这个定义体现的是分类讨论的思想，即分为非零向量和零向量两个方向讨论.相等向量与共线向量3关于向量，以下说法正确的是哪个？例A.如果向量AB与CD是共线向量，则点A、B、C、D在同一条直线上B.如果向量 和向量 平行，则 与 的方向相同或相反C.向量AB与向量BA是两个平行向量D.单位向量都相等【A】也可以在互相平行的直线上【B】或 中有零向量时，方向不确定【D】单位向量的模相等，方向未必相同 忽视零向量坑已知向量 ，满足 /，/，则 与 平行吗？【错解】一定平行.【正解】分两种情况讨论：当向量 时，向量 与向量 均为非零向量，不能保证 /；
8、=当向量 时，若向量 ，中有一个为 或两者都为 ，则一定 有 /；若向量 ，均不为 ，因为 /，所以向量 和向量 具有相同或相反方向；又因为 /，所以向量 与向量 具有 相同或相反方向，故 /.综上所述，当 时，与 平行；当 时，与 不一定平行.=混淆向量相等、平行、模相等坑给出下列几个说法：若 ，则 0；若 ，则 ；若 /，则 .其中说法正确的有()个.A.0 B.1 C.2 D.3【错解】对，错，选C【正解】错误，正确的写法应该是 ；|=|=|=|=|=错误，向量的模相等，大小未必相同，不一定是相等向量；错误，平行与模大小没有必然关系；综上，正确答案选A.下列几个结论：温度有零上和零下之分
9、，所以温度是向量；向量 ，则 和 的方向不同；若 ，则 ；若向量 是单位向量，向量 也是单位向量，则它们共线；方向为北偏西40的向量与方向为南偏东40的向量是平行向量.其中正确的是哪些？题 如图，某人从点A出发，向西走了200米后到达点B，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向走了 米到达点C，最后又改变方向，向东走了200米到达点D，发现点D在点B的正北方.题东北(1)作出向量AB,BC,CD(图中一个单位长度表示100米)(2)求向量DA的模【解】(1)如图所示：(2)由题意可知四边形ABCD是平行四边形，所以|DA|=|CB|=米.如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心，则下列判断错误的是哪个？题A.AB=OCB.AB/DEC.|AD|=|BE|D.AD=FC