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1、近物实验-1：非线性电路混沌及其同步控制（2021.9.24）1非线性电路混沌及其同步控制实验报告非线性电路混沌及其同步控制实验报告代汶均 201911140132指导老师：张金星摘摘要：要：迄今为止，最丰富的混沌现象是在非线性振荡电路中观察到的。本实验利用非线性负阻等电学元件搭建蔡氏电路，测量其 I-U 特性曲线，并使用相图法，通过改变可变电阻以及电容的值来观察非线性线路的各种状态，最后用驱动响应方法实现混沌同步和混沌通信。关键词：关键词：非线性负阻；蔡氏电路；混沌同步；混沌通信1 1 引言引言混沌是非线性动力学系统所特有的运动形式。科学地讲,混沌是由确定性系统产生的随机现象，表现为系统相空
2、间轨道呈现出高度不稳定性。通过蔡氏电路参数的改变可以其从倍周期分岔到混沌，再到周期窗口的全过程。本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律，了解混沌同步和控制的基本概念，并且进一步了解混沌通信原理。2 原理原理2.1 倍周期分岔与费根鲍姆常数倍周期分岔是指周期不断加倍，即系统的振荡周期由 P 变为 2P、继而为22?，2?（n=0,1,2）直至出现混沌1，如图 1 所示。图图 1 1 倍周期分岔图倍周期分岔图费根鲍姆发现，动力学系统中分岔点处参量?的取值?的收敛服从普适规律，即存在非线性参数：?=?1?+1?(1)它收敛于一个常数?=?=4.
3、6992016091029，这个常数被称为费根鲍姆常数。2.2 有源非线性负阻当电阻的端电压增加时，流过电阻的电流反而减小，表现为 I-U 特性曲线斜率的倒数?为负，这样的电阻称为负阻。本实验使用如图 2（左）所示的负阻抗变换器电路。用图 2（右）所示的简单电路可以测试图 2（左）的有源非线性负阻的 I-U 特性曲线。图图 2 2(左左)有源非线性负阻有源非线性负阻?内部结构内部结构；(右右)非线性负阻伏安特性测试电路图非线性负阻伏安特性测试电路图2.3 非线性电路图 3（左）所示为一个典型的蔡氏电路，它由一个非线性电阻?、电感L、可调电阻R以及电容器?1和?2组成。其中，?是非线性电路的核心
4、器件，?和正反近物实验-1：非线性电路混沌及其同步控制（2021.9.24）2馈都是电路系统产生非线性运动的必要条件。图图 3 3(左左）蔡氏振荡电路蔡氏振荡电路；（右）混沌运动的一些实验结果（右）混沌运动的一些实验结果非线性系统的运动状态可以用相图法进行分析。假设描述系统状态的量为?，其对时间的微分为?，那么，?与?构成的二维图形叫相图。在相图中的每一条闭合曲线代表系统运动的一个轨迹。系统的运动状态对系统参量的初值极其敏感，因此我们可以通过改变参量 R、L、?1和?2的值得到电路的不同运动形式，会得到如图 3（右）所示的结果。2.4 非线性动力学由基尔霍夫结点电流定律可以得到图 3（左）蔡氏
5、电路的非线性动力学方程，可对其进行数值求解。可表明负阻的存在是导致方程的解千变万化的根本原因。2.5 混沌同步混沌同步是指一个系统的混沌动力学轨道收敛于另一个系统的混沌动力学轨道，以致在以后的时间里两个系统始终保持步调一致。驱动响应方法是混沌同步的重要方法，它将系统分成驱动子系统和响应子系统，然后对响应子系统进行复制，并用驱动子系统产生的信号驱动该复制的系统。电路搭建如图 4 所示。图图 4 4 混沌同步实验电路混沌同步实验电路2.6 混沌通信实现混沌同步是混沌通信的基础。混沌通信的基本思想是将要传输的信号混入混沌信号中进行传输，然后在接收端通过减去混沌信号得到所需信号。由于传输的是用混沌信号
6、掩盖过的混合信号，所以混沌通信的最大特点就是保密性强。在图 4 混沌同步电路的基础上再加上加法器、减法器、滤波器，就实现了混沌通信电路，如图 5 所示。图图 5 5 混沌通信电路混沌通信电路3 3 实验实验3.1 实验器材直流电源、信号源、数字存储示波器、模拟示波器、台式万用表、电阻箱、电容箱、计算机等。3.2 实验内容及具体步骤3.2.1 测量非线性电阻的 I-U 特性曲线按照图 2（右）搭建测试电路，且在负阻两端接入15V 的电源。不断改变电阻箱?0的阻值，从 500?开始调起（注意在调节过程中电阻箱阻值不能低于 500?），通过台式万用表测量并且记录电路中电流和电压的示数。后续用软件处理
7、数据得到其伏安特性曲线图。3.2.2 观察并记录当电阻变化时非线性电路的运动状态首先按照图 3（左）搭建非线性电路（见图 6），然后单向改变电阻箱电阻 R 的值，利用相图法观察并记录非线性电路的各种运动状态（单周期双周期近物实验-1：非线性电路混沌及其同步控制（2021.9.24）3四周期八周期阵发混沌3 周期单吸引子双吸引子），同时观察并记录非线性负阻两端电压，总结其变化情况。图图 6 6（改变（改变 R R 值）值）非线性负阻伏安特性测试电路非线性负阻伏安特性测试电路实物连线实物连线图图3.2.3 以电容?2为参数研究非线性电路的运动状态，计算非线性参数?在上一步的非线性电路基础上，将原定
8、值电容?2换成电容箱，其他部分不变（见图 7）。保持电阻箱接入阻值不变，调节电容箱接入电容的大小，观察示波器上相图图形的变化，记录下 3 个倍周期分岔节点（单周期双周期，双周期四周期，四周期八周期）对应的电容箱电容值?1、?2、?3。调节电阻箱 R 的阻值，重复上述步骤，再测两组倍周期分岔节点的值。再通过?2=(?2?1)/(?3?2)来计算?2的值。图图 7 7（改变（改变?2值）非线性值）非线性测试电路测试电路实物连线实物连线图图3.2.4 混沌同步实验按照图 3 搭建混沌同步电路（见图 8）。先搭建两个完全一样的蔡氏电路，一个用作驱动系统，另一个用作响应系统。分别调节可变电阻，使两个蔡氏
9、电路都处于形状相似的双吸引子状态。然后用单向耦合电阻电路（隔离器+单向耦合电阻）将两个蔡氏电路连接起来，并且将?1和?1两端的电压接入新示波器的 CH1和 CH2。通过改变耦合电阻?和两个可变电阻?，观察混沌通同步、准同步和去同步状态。图图 8 8 混沌同步电路实物连接图混沌同步电路实物连接图3.2.5 混沌加密通信按照图 4 搭建混沌同步电路（见图 9）。加密时，通过信号发生器将频率为 200Hz 的正弦波输入加法器作为加密信号，电容?2上的信号加到加法器输入混沌信号的一端。通过加法器和单项耦合系统使加密信号和混合信号混合之后开始传输。解密时，将传输信号输入减法器的混合信号输入端，电容?2上
10、的信号加到减法器输入混沌信号的一端，输出的就是解密后的信号。再将其接入滤波器，减掉更多额外的噪声，得到更加完美的解密信号。最后，通过示波器观察并记录原始的消息信号、原始的混沌信号、混沌掩盖后传输的信号和解密后的恢复的信号的波形（滤波前、滤波后）。图图 9 9 混沌通信电路实物连线混沌通信电路实物连线图图近物实验-1：非线性电路混沌及其同步控制（2021.9.24）44 4 数据处理与分析数据处理与分析4.1 非线性负阻的伏安特性曲线在测量电路中改变电阻箱?0的阻值，得到一系列?和?的值（具体实验数据见附录），将其导入数据处理软件中。表格如下：表表1 1 改变改变R R0 0值，测量电路的值，测
11、量电路的R R0 0、U U、I I的原始数据的原始数据对以上原始数据进行处理，得到分布在二、四象限，且沿中心对称分布的完整的非线性负阻 I-U 特性曲线，如图10所示。图图1010 非线性负阻的伏安特性曲线非线性负阻的伏安特性曲线近物实验-1：非线性电路混沌及其同步控制（2021.9.24）5以转折点为节点，将曲线划分为、共五个区域，用?(?)=?(?)+?模型分别对以上五个区域进行线性拟合，其中?的单位为mA，?的单位为V，拟合结果如下：区域区域：直线方程?1=2.3363?+28.9310，斜率?1=2.3363，电阻?1=428?，截距?1=12.3833；区域区域：直线方程?2=0.
12、4066?+0.6442，斜率?2=0.4066，电阻?2=2459?，截距为?2=1.5844；区域区域：直线方程?3=0.7696?，斜率?3=0.7696，电阻?3=1299?，截距为?3=0；区域区域：直线方程?4=0.4066?0.6442，斜率?4=0.4066，电阻?4=2459?，截距为?4=1.5844；区域区域：直线方程?5=2.3363?28.9310，斜率?5=2.3363，电阻?5=428?，截距为?5=12.3833。从后续实验中发现，本实验非线性负阻的电压总处于区域（?的范围大概是2.126V10.371V），说明区域正是非线性负阻的工作区域。非线性负阻在电路中的
13、作用：（1）电路的损耗电阻?被抵消，使得输出电流维持LC振荡器等幅振荡；（2）使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。4.2 电阻箱阻值变化时非线性电路的运动状态改变可变电阻?，拍摄下非线性电路处于不同运动状态下的相图，如组图 11 所示。另外，我还记录下了以上每个状态下非线性负阻两端电压的数值，见下表：电路状态电路状态1P2P4P8P阵发混沌3P单吸引子双吸引子负阻电压负阻电压(V)V)5.676125.291525.229395.213985.175445.110144.87563电压极不稳定表表 2 2 电路不同运动状态对应的负阻电压值电路不同运动状态对应的负阻电压值(a)(b)(c
14、)(d)(e)(f)(g)(h)组图组图 1111 按标注的字母按标注的字母(a(a)(h)h)分别是分别是 1 1P P、2 2P P、4 4P P、8 8P P、阵发混沌、阵发混沌、3 3P P、单吸引子、双吸引子状态对应的相图、单吸引子、双吸引子状态对应的相图近物实验-1：非线性电路混沌及其同步控制（2021.9.24）6从表 2 很容易看出，在同一个周期里，电路运动状态在 1P2P4P8P阵发混沌3P单吸引子双吸引子的变化过程中，非线性负阻两端的电压逐渐降低。4.3 改变电容?2，计算非线性参数?先保持电阻箱阻值不变，通过改变?2的值，记录下从 1P2P、2P4P、4P8P 这 3 个
15、倍周期分岔节点对应的电容值?1、?2、?3，通过公式?2=(?2?1)/(?3?2)计算非线性参数?2。且调整电阻箱阻值，重复实验两次。电阻?1(?)?2(?)?3(?)?2?10.087710.090300.090963.92424?20.089290.092000.092763.56579?30.071900.074540.075293.52000表表 3 3 倍分岔周期节点处对应的电容值及倍分岔周期节点处对应的电容值及?2的计算值的计算值因此，通过计算得到 n=2 时的非线性参数?2的值。同实验对照发现，非线性参数越大，越容易达到混沌状态。将?2分别换成电感?或电容?1，也会观察到类似的
16、结果。因为整个非线性电路都是处于混沌状态的。混沌的特征：（1）对初始条件的敏感性；（2）从局域角度看，系统每一次运动轨迹都不重复，表现出随机性和不稳定性。但是，从全局角度看，所有的轨迹最终都被捕捉到一个不变的集合，这就是所谓的奇怪吸引子。4.4 混沌同步实验连接好电路之后，调节耦合电阻，电容?1和电容?1两端的电压?1和?1形成的李萨如图如下所示：组图组图 1 12 2 从左至右分别是同步、准同步和两种去同步状态从左至右分别是同步、准同步和两种去同步状态分别调节驱动系统和响应系统中的可变电阻，也会对同步产生影响。实验发现：两个蔡氏电路的相图图形越相似，越同步；反之，两个电路的相图图形差距越大，
17、去同步状态越混乱。4.5 混沌加密通信近物实验-1：非线性电路混沌及其同步控制（2021.9.24）7连接好电路后，用示波器测得的加密、解密各个阶段的信号波形图如下所示：5 5 实验总结实验总结本次实验测量了非线性负阻的伏安特性曲线，它共有五个折段，我求出了每一段的直线方程、斜率和截距，发现只有中间三段可以产生负阻效应。接着搭建了蔡氏电路，通过改变?和?2的值，利用相图法观察非线性电路不同的运动状态。然后在蔡氏电路的基础上实现了混沌同步和混沌加密通信。通过本次实验，让我对非线性负阻的工作原理有了更深刻的认识，也了解了混沌现象的基本应用，拓宽了我的视野，增长了我的见识。参考文献参考文献1近代物理实验讲义(a)(b)(c)(d)(e)组图组图 1 13 3(a)a)原始的消息信号原始的消息信号；(b)(b)原始的混沌信号原始的混沌信号；(c)c)混沌掩盖后传输的信号混沌掩盖后传输的信号；(d)(d)滤波前的滤波前的解密后恢复信号解密后恢复信号；(e)(e)滤波后的滤波后的解密后恢复信号解密后恢复信号近物实验-1：非线性电路混沌及其同步控制（2021.9.24）8附录附录