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1、第 八 章 成 对 数 据 的 统 计 分 析8.2.1 一元线性回归模型李思目录C O N T E N T03 04 01 02典型例题 课堂总结 知识回顾 一元线性回归模型知识回顾P A R T.0 1知识回顾1.样本相关系数：2.相关系数的性质：当r0时，称成对样本数据正相关；当r0时，称成对样本数据负相关.|r|1；当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|1时，成对数据都落在一条直线上.问题引入通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两
2、个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等.进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测.下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题.生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示(身高单位cm).问题引入编号 1 2 3
3、 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14父亲身高 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180儿子身高 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为r 0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高.问题引入思考：根据表中数据,儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗?在上表的数据中,存在父亲身高相同
4、而儿子身高不同的情况.第6个和第8个观测父亲的身高均为172cm，而对应的儿子的身高为176cm和174cm；第3，4个观测中,儿子的身高都是170cm,而父亲的身高分别为173cm,169cm.见儿子的身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画.编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14父亲身高 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180儿子身高 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182问题引入散点图中的散点大致分布
5、在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型.其中，随机误差是一个随机变量.用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差，假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值2，则它们之间的关系可以表示为我们称为Y关于x的一元线性回归模型.一元线性回归模型P A R T.0 2一元线性回归模型一元线性回归模型思考:为什么要假设E(e)=0，而不假设其为某个不为0的常数?误差是随机的，即取各种正负误
6、差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为0.如果随机误差是一个不为0的常数，则可以将合并到截距项a中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解.另外，如果不为0，则表示存在系统误差，在实际建模中也不希望模型有系统误差，即模型不存在非随机误差.在一元线性回归模型ybxae中，随机误差e产生的原因有：1.所用的确定性函数不恰当引起的误差；2.忽略了某些因素的影响；3.存在观测误差典型例题P A R T.0 3一元线性回归模型 例1:若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型ybxae(单元：亿元)，其中b0.7，a3，|e|0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过多少？解：因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型ybxae，其中b0.7，a3，所以得到 y0.7 x3e，当x10时，得y0.7103e10e，而|e|0.5，即0.5e0.5，所以9.5y10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元课堂总结P A R T.0 4课堂总结1.一元线性回归模型;2.随机误差；3.一元线性回归模型的应用。