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1、因式分解的因式分解的 14 种方法种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：1332xxxx）分解因式技巧分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。2.分解因式技巧掌握：等式左边必须是多项式；分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；分解因式必须分
2、解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法基本方法 提公因式法提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号
3、。提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。把家守；提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y
4、)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把 22a+21变成 2(2a+41)不叫提公因式 公式法 公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：2a2b=(a+b)(a-b)；完全平方公式：2a2ab2b2ba 名师出品第 1 页，共 6 页 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍。立方和公式：33ba=(a+b)(2a-ab+2b)；立方差公式：33ba=(a-b)(2a+ab+2b)；完全立方公式：3a32ab3a2b3b=(ab)2 公式：
5、3a+3b+3c-3abc=(a+b+c)(2a+2b+2c-ab-bc-ca)例如：2a+4ab+42b=(a+2b)2。分组分解法分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把 ax 和 ay 分一组，bx 和 by 分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1.5ax+5bx+3ay+3by
6、解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把 5ax 和 5bx 看成整体，把 3ay和 3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2.x3-2x+x-1 解法：=(x3-2x)+(x-1)=2x(x-1)+(x-1)=(x-1)(2x+1)利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。3.2x-x-y2-y 解法：=(2x-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。十字相乘法十字相乘法 这种方法有两种
7、情况。2x+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解：名师出品第 2 页，共 6 页2x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)k2x+mx+n 型的式子的因式分解 如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)图示如下：a d 例如：因为 1-3 c d 7 2-37=-21，12=2，且 2-21=-19，所以 72x-19x-6=(7x+2)(x-3)十字相乘法口诀：首尾分解
8、，交叉相乘，求和凑中十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 裂项法裂项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)配方法配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式
9、，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：2x+3x-40=2x+3x+2.25-42.25 =225.65.1x =(x+8)(x-5)应用因式定理应用因式定理 对于多项式 f(x)=0，如果 f(a)=0，那么 f(x)必含有因式 x-a 例如：f(x)=2x+5x+6，f(-2)=0，则可确定 x+2 是2x+5x+6 的一个因式。(事实上，2x+5x+6=(x+2)(x+3)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若 X=q/p（p,q 为互质整数时）该多项式值为零，则 q 为常数项约数
10、，p 最高次项系数约数；2、对于多项式 f(a)=0,b 为最高次项系数，c 为常数项，则有 a 为 c/b 约数 换元法换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.例如在分解(2x+x+1)(2x+x+2)-12 时，可以令 y=2x+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)名师出品第 3 页，共 6 页=(2x+x+5)(2x+x-2)=(2x+x+5)(x+2)(x-1)求根法求根法令多项式 f(x)=0,求出其根为 x1，
11、x，x3，xn，则该多项式可分解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)例如在分解 2x4+7x3-2x2-13x+6 时，令 2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为 0.5，-3，-2，1 所以 2x4+7x3-22x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)图象法图象法 令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图像与 X 轴的交点 x1,x2,x3,xn，则多项式可因式分解为 f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。例如在分解 x3
12、+22x-5x-6 时，可以令 y=x3;+22x-5x-6.作出其图像，与 x 轴交点为-3，-1，2 则 x3+22x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)主元法主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法特殊值法 将 2 或 10 代入 x，求出数 p，将数 p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。例如在分解 x3+92x+23x+15 时，令 x=2，则 x3+92x+23x+15=8+36+46+15=105，将 105 分解成 3
13、个质因数的积，即 105=357 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值，则 x3+92x+23x+15 可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如在分解 x4-x3-52x-6x-4 时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。于是设 x4-x3-52x-6x-4=(2x+ax+b)(2x+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)2x+(ad+bc)x+bd 名师出品第
14、 4 页，共 6 页 由此可得 a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4 解得 a=1，b=1，c=-2，d=-4 则 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)双十字相乘法双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f x、y 为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：原式=(x+2y+2)(x+3y+6)双十字相乘法
15、其步骤为：先用十字相乘法分解 2 次项，如十字相乘图中 x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；先 依 一 个 字母（如 y）的 一 次 系 数 分 数 常 数 项。如 十 字 相 乘 图 中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；再按另一个字母（如 x）的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出错。多项式因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：
16、“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”几道例题 1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)名师出品第 5 页，共 6 页 =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)
17、2-y(x2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2求证：对于任何实数 x,y，下式的值都不会为 33：543223451241553yxyyxyxyxx 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当 y=0 时，原式=x5 不等于 33；当 y 不等于 0 时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互不相同，而
18、33 不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。3.ABC 的三边 a、b、c 有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：-c2+a2+2ab-2bc=0，(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0 a、b、c 是ABC 的三条边，a2bc0 ac0，即 ac，ABC 为等腰三角形。4把-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)分解因式。解：-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)=-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1)名师出品第 6 页，共 6 页