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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题九 导数及其应用1.（15北京理科）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值【答案】（），（）证明见解析，（）的最大值为2.试题解析：（），曲线在点处的切线方程为；（）当时，即不等式，对成立，设，则，当时，故在（0，1）上为增函数，则，因此对，成立；（）使成立，等价于，；，当时，函数在（0，1）上位增函数，符合题意；当时，令，-0+极小值，显然不成立，综上所述可知：的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.2.（15北京文科）设函数，（）求的单调区间和极值；（
2、）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（2）证明详见解析.所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（）由（）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点. 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.3（15年安徽理科）设函数.（1）讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记上的最大值D；（3）在（2）中，
3、取 4.（15年安徽文科）已知函数（1） 求的定义域，并讨论的单调性；（2） 若，求在内的极值。【答案】（1）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-，-r）和（r，+）；（2）极大值为100；无极小值.（）由（）可知 内的极大值为内无极小值；所以内极大值为100，无极小值.考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.5.（15年福建理科）若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C考点：函数与导数6.（15年福建理科）已知函数，()证明：当；()证明：当时，存在,使得对()确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有【答案】()详
4、见解析；()详见解析；() 【解析】试题分析：()构造函数只需求值域的右端点并和0比较即可；()构造函数即，求导得，利用导数研究函数的形状和最值，证明当时，存在，使得即可；()由()知，当时，对于故，则不等式变形为，构造函数，只需说明，易发现函数在递增，而，故不存在；当时，由()知，存在,使得对任意的任意的恒有，此时不等式变形为，构造，易发现函数在递增，而，不满足题意；当时，代入证明即可试题解析：解法一：(1)令则有当 ,所以在上单调递减；故当时，即当时，(2)令则有当 ,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意.当时，令得取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即.综上，当时，总存在,使得对
5、任意的恒有(3)当时，由（1）知，对于故，令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有此时,令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（1）知，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.综上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）当时，由（1）知，对于，故，令，从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.当时，取由（2）知存在,使得.此时,令，此时 ,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（1）知，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,
6、故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意综上，.考点：导数的综合应用7.（15年福建文科）“对任意，”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B考点：导数的应用8.（15年福建文科）已知函数()求函数的单调递增区间；（）证明：当时，；（）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有【答案】() ；（）详见解析；（）【解析】试题分析：()求导函数，解不等式并与定义域求交集，得函数的单调递增区间；（）构造函数，欲证明，只需证明的最大值小于0即可；（）由（II）知，当时，不存在满足题意；当时，对于，有，则，从而不存在满足题意；当时，构造函数
7、，利用导数研究函数的形状，只要存在，当时即可试题解析：（I），由得解得故的单调递增区间是（II）令，则有当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，（III）由（II）知，当时，不存在满足题意当时，对于，有，则，从而不存在满足题意当时，令，则有由得，解得，当时，故在内单调递增从而当时，即，综上，的取值范围是考点：导数的综合应用9.（15年新课标1理科）设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（ ）A.-，1） B. -，） C. ，） D. ，1）【答案】D10.（15年新课标2理科）设函数f(x)是奇函数的导函数，f（-1）=0，当时，则使得成立的x的取值范围是（A） （
8、B）（C） （D）【答案】A【解析】记函数，则，因为当时，故当时，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且当时，则；当时，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A11.（15年新课标2理科）设函数。（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。12.（15年新课标2文科）已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= 【答案】8【解析】试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 .考点：导数的几何意义.13.（15年新课标2文科）已知.（I）讨论的单调性；（II）当有最大值,且最大值大于时,求a的
9、取值范围.【答案】（I）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（II）.【解析】考点：导数的应用.14.（15年陕西理科）对二次函数（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A-1是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值15.（15年陕西理科）设是等比数列，的各项和，其中，（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明【答案】（I）证明见解析；（II）当时，
10、，当时，证明见解析【解析】试题分析：（I）先利用零点定理可证在内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证在内有且仅有一个零点，进而利用是的零点可证；（II）先设，再对的取值范围进行讨论来判断与的大小，进而可得和的大小试题解析：（I）则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.(II)解法一：由题设，设当时, 当时, 若,若,所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时, ；当时解法二 由题设，当时, 当时, 用数学归纳法可以证明.当时, 所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，.又令，则所以当,在上递减；当,在上递增.所以，从
11、而故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，所以,令当时, ,所以.当时, 而，所以，.若, ,当,从而在上递减,在上递增.所以，所以当又,，故综上所述，当时, ；当时考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.16.（15年陕西文科）函数在其极值点处的切线方程为_.【答案】考点：导数的几何意义.17.（15年天津理科）已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证： 【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在
12、内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.试题解析：(I)由，可得，其中且，下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时：令，解得或，当变化时，的变化情况如下表：所以，在，上单调递减，在内单调递增.(2)当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减. (II)证明：设点的坐标为，则，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时， ，当时，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有. (III)证明：不妨设，由(II)知，设方程的
13、根为，可得，当时，在上单调递减，又由(II)知可得.类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，即对任意，设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.18.（15年天津文科）已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 【答案】3【解析】试题分析：因为 ,所以.考点：导数的运算法则.19.（15年山东理科）设函数，其中.（）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（）若，成立，求的取值范围.解：（），定义域为，设，当时，函数在为增函数，无极值点.当时，若时，函数在为增函数，无极值点.若时，设的两个不相等的实数根，
14、且，且，而，则，所以当单调递增；当单调递减；当单调递增.因此此时函数有两个极值点；当时，但，所以当单调递増；当单调递减.所以函数只有一个极值点。 综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.（）由（）可知当时在单调递增，而，则当时，符合题意；当时，在单调递增，而，则当时，符合题意；当时，所以函数在单调递减，而，则当时，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，于是，当时，此时，不符合题意.综上所述，的取值范围是.另解：（），定义域为，当时，函数在为增函数，无极值点.设，当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数.若，即时，函数在为增函数，无极值
15、点.若，即或，而当时此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，的极值点个数为2.（）设函数，都有成立.即当时，恒成立；当时，；当时，；由均有成立。故当时，则只需；当时，则需，即.综上可知对于，都有成立，只需即可，故所求的取值范围是.另解：设函数，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，于是只需，成立，当时，令，则；当时；当，令，关于单调递增，则，则,于是.又当时，所以函数在单调递减，而，则当时，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，于是，当时，此时，不符合
16、题意.综上所述，的取值范围是. 评析：求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求.20.（15年江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别
17、为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）（2）定义域为，千米（2）由（1）知，（），则点的坐标为，设在点处的切线交，轴分别于，点，考点：利用导数求函数最值，导数几何意义21.（15年江苏）已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c的值.【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减；当时， 在，上单调递增，在上单调递减（2）考点：利用导数求函数单调性、极值、函数零点专心-专注-专业