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1、课时素养评价十二正 弦 定 理 (15分钟30分)1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=105,B=45,b=2,则c= ()A.B.1C.D.2【解析】选D.由三角形内角和定理得:C=180-(A+B)=180-(105+45)=30.由正弦定理得c=2.【补偿训练】在ABC中,a=4,A=45,B=60,则边b的值为 ()A.+1 B.2+1C.2 D.2+2【解析】选C.由已知及正弦定理,得=,所以b=2.2.在ABC中,AB=2,AC=3,B=60,则cos C= ()A.B.C.D.【解析】选B.由正弦定理,得=,即=,解得sin C=.因为ABAC,所以CB,
2、所以cos C=.3.在ABC中,若a=2bsin A,则B为 ()A.B.C.或D.或【解析】选C.由正弦定理得sin A=2sin Bsin A,所以sin A(2sin B-)=0.因为0A,0B1,故三角形无解.5.在ABC中,AB=,AC=1,B=30,则ABC的面积等于.【解析】由正弦定理得sin C=,又因为0C180,所以C=60或120,所以A=90或30,所以SABC=ABACsin A=或.答案:或6.在ABC中,A=30,C=45,c=,求a,b及cos B.【解析】因为A=30,C=45,c=,所以由正弦定理,得a=1.又B=180-(30+45)=105,所以cos
3、 B=cos 105=cos(45+60)=,b=2sin 105=2sin(45+60)=.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若三角形三个内角之比为123,则这个三角形三边之比是 ()A.123B.12C.21D.12【解析】选B.设三角形内角A、B、C分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180,所以x=30.由正弦定理=,可知abc=sin Asin Bsin C,所以abc=sin 30sin 60sin 90=1=12.2.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,b=3,C=60,则ABC的面积为 () A.3B.3C.6D.6【解析】选B
4、.S=absin C=43=3.3.在ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理知b=2Rsin B,a=2Rsin A,则3b=2asin B可化为:3sin B=2sin Asin B.因为0B180,所以sin B0,所以sin A=,所以A=60或120,又cos A=cos C,所以A=C,所以A=60,所以ABC为等边三角形.4.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A),若mn,且acos B+bcos A
5、=csin C,则角A,B的大小为 ()A.,B.,C.,D.,【解析】选C.因为mn,所以cos A-sin A=0,所以tan A=,则A=.由正弦定理得:sin Acos B+sin Bcos A=sin 2C,所以sin(A+B)=sin 2C,所以sin C=sin 2C.因为0Cc,所以BC.又因为0B0,解得a=4t,b=5t,c=6t,可得sin Asin Bsin C=abc=456,故A正确;由c为最大边,可得cos C=0,即C为锐角,故B错误;由cos A=,由cos 2A=2cos2A-1=2-1=cos C,由2A,C(0,),可得2A=C,故C正确;若c=6,可得
6、2R=,ABC外接圆半径为,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=.【解析】因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得sin C(sin A+cos A)=0.因为sin C0,所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,因为A(0,),所以A=,由正弦定理得sin
7、C=,又0C,所以C=.答案:【补偿训练】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.【解题指南】利用正弦定理求出sin B的值,根据三角形大边对大角求出角B的值,再求角C即可.【解析】由正弦定理:=,得sin B=,因为bc可得B=45,则A=180-B-C=75.答案:758.在ABC中,若b=5,B=,tan A=2,则sin A=,a=.【解析】由tan A=2,得sin A=2cos A,由sin 2A+cos 2A=1,得sin A=,因为b=5,B=,由正弦定理=,得a=2.答案:2四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知ABC中角A,B
8、,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+c=b.(1)求角A的大小;(2)若a=1,b=,求c的值.【解析】(1)由acos C+c=b,得sin Acos C+sin C=sin B.因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin C=cos Asin C.因为sin C0,所以cos A=.因为0A,所以A=.(2)由正弦定理,得sin B=.因为0B,所以B=或.当B=时,由A=,得C=,所以c=2;当B=时,由A=,得C=,所以c=a=1.综上可得c=1或2.10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,m=(sin A,sin
9、 B),n=(cos B,cos A),mn=-sin 2C.(1)求C的大小;(2)若c=2,A=,求ABC的面积.【解析】(1)由题意,mn=sin Acos B+sin Bcos A=-sin 2C,即sin(A+B)=-sin 2C,sin C=-2sin Ccos C.由0C0,所以cos C=-.C=.(2)由C=,A=,得B=-A-C=.由正弦定理=得=,解得b=2.所以ABC的面积S=bcsin A=22sin =.1.在ABC中,已知B=60,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角为 ()A.60B.75C.90D.115【解析】选B.不妨设a为最大边,c为最小边,由题意有=
10、,即=,整理,得(3-)sin A=(3+)cos A.所以tan A=2+,所以A=75.【补偿训练】已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,若ABC的周长为4(+1),且sin B+sin C=sin A,则a= ()A. B.2 C.4 D.2【解析】选C.根据正弦定理,sin B+sin C=sin A可化为b+c=a.因为ABC的周长为4(+1),所以解得a=4.2.在ABC中,已知=,且cos(A-B)+cos C=1-cos 2C.(1)试确定ABC的形状;(2)求的取值范围.【解析】(1)在ABC中,设其外接圆半径为R,根据正弦定理得sin A=,sin B=,sin C=,代入=,得=,所以b2-a2=ab.因为cos(A-B)+cos C=1-cos 2C,所以cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,所以sin Asin B=sin2C.由正弦定理,得=,所以ab=c2.把代入得,b2-a2=c2,即a2+c2=b2.所以ABC是直角三角形.(2)由(1)知B=,所以A+C=,所以C=-A.所以sin C=sin=cos A.根据正弦定理,得=sin A+cos A=sin.因为acab=c2,所以ac,所以0A,所以A+,所以sin1,所以1sin,即的取值范围是(1,). - 8 -