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1、精选优质文档-倾情为你奉上2011届高二数学期末备考专题排列组合、二项式定理【备考提示】 （1），特殊元素优先安排的策略： （2），合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略。【知识梳理】1分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有种有不同的方法，在第2类中有种不同的方法在第n类型有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有m
2、n种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。3排列：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5排列数公式： 特别提醒：（1）规定0! = 1 （2）含有可重元
3、素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,.an其中限重复数为n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 则S的排列个数等于. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 6组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 7组合数公式： 8两个公式：_ 特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1,六人按下列要求站
4、一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例2, 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.考点三:综合问题例3, 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放
5、法？【精选练习】1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ）A,48 B, 12 C，180 D，162.
6、4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A，150种 B，180种 C，300种 D，345种5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ）A，6 B，12 C 30 D36 6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A324 B，328 C，360 D，6487，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为 （ ）A，85 B，56 C，49 D，288
7、，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 （ ）A，18 B，24 C，30 D，309，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）A，360 B，288 C，216 D，96解排列组合的应用题要注意以下几点：（1） 仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。（2） 深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。（3） 对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，
8、设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。（4） 由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解。看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复。参考答案例1,解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：AA=480（种）.方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后中间4人有A种站
9、法，根据分步乘法计数原理，共有站法：AA=480（种）.方法三 若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A-2A=480（种）.（2）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有AA=240（种）站法.方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A种方法，最后让甲、乙全排列，有A种方法，共有AAA=240（种）.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队
10、，有A种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A种站法，故共有站法为AA=480（种）.也可用“间接法”，6个人全排列有A种站法，由（2）知甲、乙相邻有AA=240种站法，所以不相邻的站法有A-AA=720-240=480（种）.（4）方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A种，故共有A（3A）=144（种）站法.方法二 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A种方法，最后对甲、乙进行排列，有A种方法，故共有AAA=144（种）站法.（5）方
11、法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有AA=48（种）站法.方法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A种站法，由分步乘法计数原理共有AA=48（种）站法.（6）方法一 甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有A-2A+A=504（种）站法.方法二 以元素甲分类可分为两类：甲站右端有A种站法，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有AAA 种，故共有A+AAA=504（种）站法.例2, 解 （1）第一步：选3名男运动员，有C种
12、选法.第二步：选2名女运动员，有C种选法.共有CC=120种选法. 3分（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为CC+CC+CC+CC=246种.6分方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C-C=246种.6分（3）方法一 可分类求解：“只有男队长”的选法为C；“只有女队长”的选法为C；“男、女队长都入选”的选法为C；所以共有2C+C=196种选法.9分方法二 间接法：从10人中任选5人有C种
13、选法.其中不选队长的方法有C种.所以“至少1名队长”的选法为C-C=196种.9分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C种选法.其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C-C种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C+C-C=191种.例3,解 （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCCA=144种.（2）“恰有1个盒内有
14、2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法.故共有C( CCA+A）=84种.当堂检测答案1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有=70种，解题策略：合
15、理分类与准确分步的策略。2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选法。（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有种方法。共有24+12=36种选法。解题策略：1，特殊元素优先安排的策略。 2，合理分类与准
16、确分步的策略。 3，排列、组合混合问题先选后排的策略。3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ）A,48 B, 12 C，180 D，162解析：分为两大类：（1）含有0，分步1，从另外两个偶数中选一个，种方法，2，从3个奇数中选两个，有种方法；3，给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有种方法；4，其他的3个数字进行全排列，有种排法，根据乘法原理共种方法。（2）不含0，分步，偶数必然是2，4 ；奇数有种不同的选法，然后把4个元素全排列，共种排法，不含0 的排法有种。根据加法原理把两部分加一块得+=180.解题策略：1，特殊元素
17、优先安排的策略。 2，合理分类与准确分步的策略。 3，排列、组合混合问题先选后排的策略。4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A，150种 B，180种 C，300种 D，345种解析：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有 种选法。解题策略：合理分类与准确分步的策略。5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ）A，6 B，12 C 30 D36 解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有种选
18、择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有 种选法，然后乙从剩余的两门选，有种不同的选法，全不相同的选法是种方法，所以至少有一门不相同的选法为=30种不同的选法。解题策略：正难则反，等价转化的策略。6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A324 B，328 C，360 D，648981解析：第一类个位是零，共种不同的排法。884第二类个位不是零，共种不同的解法。解题策略：合理分类与准确分步的策略.7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为 （ ）A，85 B，5
19、6 C，49 D，28解析：合理分类，甲乙全被选中，有 种 选 法，甲乙有一个被选中，有种不同的选法，共+=49种不同的选法。解题策略：（1）特殊元素优先安排的策略，（2）合理分类与准确分步的策略.8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 （ ）A，18 B，24 C，30 D，30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有种不同的分法，然后三组进行全排列共种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共种不同的排法。所以总的排法为=30种不同的排法。注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的
20、分法的问题。这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。解题策略：1正难则反、等价转化的策略2相邻问题捆绑处理的策略3排列、组合混合问题先选后排的策略；9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）A，360 B，288 C，216 D，96解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女
21、生看成两个元素插入4个位置中。有种不同的排法，共有种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有种不同的方法，然后其他两个男生排列有种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有种不同的排法。共种不同的排法， 故总的排法为-=288种不同的方法。 本题难度大，体现的排列组合的解题策略多： （1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略。【备考提示】1， 能用计数原理证明二项式定理2， 会用二项式定理解决与二项式有关
22、的简单问题。3， 掌握二项式定理和二项展开式的性质。4， 会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似解、最大值等相关问题。【知识梳理】二项式定理：特别提醒： 展开式具有以下特点：（1） 项数：共有项；（2） 二项式系数：依次为组合数（3） 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.1 二项展开式的通项：展开式中的第项为：特别提醒： 二项式系数的性质.在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n是偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大；II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第项，它们的二项式系
23、数最大.3二项式系数和：（1）（2）【典型例题】重要区分“二项式系数、项的系数”问题1: 求的展开式中的系数及二项式系数 点拨：展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念题型1. 二项展开式的应用例1 计算:题型2。二项展开式的通项的应用例2 已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值解题思路： 展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解考点二: 二项式系数与系数题型1: 用赋值法是解决二项式系数问题例3 在的展开式中,求:二项式系数的和;各项系数的和;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;奇数项系数
24、和与偶数项系数和;的奇次项系数和与的偶次项系数和.解题思路： 因为二项式系数特指组合数,故在,中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关. 题型2: 求其中项的系数的最值例4 已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.解题思路：根据条件列方程及不等式考点三: 整除题型1: 整除例5 求除以100的余数解题思路： 把写成或，再运用二项展开式。【典型练习】1，在二项式的展开式中，含的项系数是( )A,-10 B, 10 C,-5 D, 52 , 若,则的值为 ( )A, 2 B, 0 C,-1 D,-23,若( a, b 为有理数),则
25、a + b= ( )A, 45 B, 55 C, 70 D, 804,的展开式中的系数是 （ ）A，16 B，70 C，560 D，11205，展开式中不含x 的项地绝对值的和为243，不含y 的项地绝对值得和为32，则 a，b，n 的值可能为 （ ） A，a=2,b=-1,n=5 B，a=-2,b=-1,n=6 C，a=-1,b=2,n=6 D，a=1,b=2,n=56, (的展开式中,的系数与的系数和等于_. 7,的展开式中的系数为 _. 8，在 的展开式中，x 的系数为_.9，的展开式的常数项是_. 参考答案1,解：的展开式的通项是，的系数，的二项式系数例1解析： 例2,解析：展开式中含
26、的项为，即，展开式中含的项的系数为， ，当时，取最小值，但， 时，即项的系数最小，最小值为，此时 例3解析：设(*),各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为.令,各项系数和为.奇数项的二项式系数和为,偶数项的二项式系数和为.设,令,得到(1),令,(或,)得(2)(1)+(2)得,奇数项的系数和为;(1)-(2)得,偶数项的系数和为.的奇次项系数和为;的偶次项系数和为. 例4,解析：由题意,解得.的展开式中第6项的二项式系数最大,即.设第项的系数的绝对值最大,则,得,即 ,故系数的绝
27、对值最大的是第4项 【名师指引】求系数最大的项或最小的项，当时，一般采用解不等式组的系数或系数的绝对值）的办法来求解.例5 ,求除以100的余数解题思路： 把写成或，再运用二项展开式。解析：解法一：观察各项，只有最后两项不能被100 又故知除以100的余数为81。解法二：显然仅最后一项不能被100整除，以下转化为求被100除的余数。此式中仅最后两项不能被100整除，而， 所求余数为81。【名师指引】利用二项式定理证明整除性问题，要灵活处理幂的底数，使之符合需要.当堂检测答案:1，在二项式的展开式中，含的项系数是( )A,-10 B, 10 C,-5 D, 5答案：B解析:二项式的通项为,注意.
28、2 , 若,则的值为 ( )A, 2 B, 0 C,-1 D,-2答案：C解析:令x=0,则=1,令.则=0,3,若( a, b 为有理数),则a + b= ( )A, 45 B, 55 C, 70 D, 80答案: C解析：4,的展开式中的系数是 （ ）A，16 B，70 C，560 D，1120答案：D解析：5，展开式中不含x 的项地绝对值的和为243，不含y 的项地绝对值得和为32，则 a，b，n 的值可能为 （ ） A，a=2,b=-1,n=5 B，a=-2,b=-1,n=6 C，a=-1,b=2,n=6 D，a=1,b=2,n=5答案：D解析：不含x 的项的系数的绝对值为 , 不含y 的项的系数的绝对值为， 所以 n=5; 6, (的展开式中,的系数与的系数和等于_. 答案：-240 解析:,7,的展开式中的系数为 _. 答案：6 解析：8，在 的展开式中，x 的系数为_.答案：7解析：9，的展开式的常数项是_.答案：-20 解析：展开式的通项公式专心-专注-专业