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1、1专题专题 23填空题解题方法与技巧填空题解题方法与技巧数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题.这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现.因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点(1)根据填空时所填写的内容形式，可以将填
2、空题分成两种类型：定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系；定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质(2)根据填空题出题设问的多少，又可以将填空题分成两类形式：单空题：与全国卷出题方式相同，一题一空，根据一般填空题的特点，四招速解；多空题：是浙江高考填空题的一大特色，一题多空，出题的目的是提高知识覆盖面的考查，降低难度，让学生能分步得分；本质上来说和单空题区别无非就是多填一空，其解题方法和单空题相同，但多空题有它自身的特色，搞清多空之间设问的关系能使我们的解题事半功倍一、单空题一、单空题解题方法一、直接法解题方法一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出
3、发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果例 1、若等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48，则a2b2_.【变式探究】设 a(m1)i3j，bi(m1)j，其中 i，j 为互相垂直的单位向量，又(ab)(ab)，则实数 m_【变式探究】已知函数 f(x)ax1x2在区间(2，)上为增函数，则实数 a 的取值范围是_解题方法二、特殊值法解题方法二、特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题2中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特
4、殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例例 2、若函数 f(x)满足：f(1)14，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，则 f(2 018)_.【变式探究】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a，b，c 成等差数列，则cosAcos C1cosAcos C_【变式探究】过抛物线 yax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p，q，则1p1q_解题方法三、数形结合法解题方法三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问
5、题，得出正确的结果例3、如果不等式4xx2(a1)x的解集为A，且Ax|0 x2，那么实数a的取值范围是_【变式探究】已知实数 x，y 满足(x3)2y23，则yx1的最大值是_解题方法四、等价转化法解题方法四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果例 4、不等式 xax32的解集为(4，b)，则 a_，b_【变式探究】不论 k 为何实数，直线 ykx1 与曲线 x2y22axa22a40 恒有交点，则实数 a的取值范围是_解题方法五、图象分析法解题方法五、图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图
6、形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形例 5、已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_【感悟提升】图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果3【变式探究】不等式|x|2 sin x0
7、，x，2的解集为_解题方法六、构造法解题方法六、构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程 构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的例 6、如图，已知球 O 的球面上有四点 A，B，C，D，DA平面 ABC，ABBC，DAABBC 2，则球 O 的体积等于_【感悟提升】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根
8、据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.【变式探究】在数列an中，若 a11，an12an3(n1)，则该数列的通项 an_.解题方法七、并列式解题方法七、并列式此种类型多空题的特点是：根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目例 7、已知 2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，则 A_，b_.【变式探究
9、】双曲线x22y21 的焦距是_，渐近线方程是_解题方法八、分列式解题方法八、分列式此种类型多空题的特点是：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问例 8、(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.4(2)已知函数 f(x)x2x3，x1，lgx21，x0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p，q，则1p1q_【解析】设 k 0，因抛物线焦点坐标为0，14a 把直线
10、方程 y14a代入抛物线方程得 x12a，|PF|PQ|12a，从而1p1q4a.【答案】4a解题方法三、数形结合法解题方法三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果例3、如果不等式4xx2(a1)x的解集为A，且Ax|0 x2，那么实数a的取值范围是_【解析】根据不等式解集的几何意义，作函数 y 4xx2和 y(a1)x 的图象(如图)，从图上容易得出实数 a 的取值范围是2，)【答案】2，)【变式探究】已知实数 x，y 满足(x3)2y23，则yx1的最大值是_【解析】yx1可看作是过点 P(x，y)与 M(1，0)的直线的
11、斜率，其中点 P 在圆(x3)2y23 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率yx1最大，最大值为 tan 3.【答案】3解题方法四、等价转化法解题方法四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果8例 4、不等式 xax32的解集为(4，b)，则 a_，b_【解析】设 xt，则原不等式可转化为：at2t320，a0，且 2 与 b(b4)是方程的两根，由此可得 a18，b36.【答案】1836【变式探究】不论 k 为何实数，直线 ykx1 与曲线 x2y22axa22a40 恒有交点，则实数 a的取值范围是_【解析】题设条件等价于点(
12、0，1)在圆内或圆上，a212a4.1a3.【答案】1，3解题方法五、图象分析法解题方法五、图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形例 5、已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_【解析】如图，OAa，OBb，OCc，(ac)(bc)0，点 C 在以 AB 为直径，AB 的中点为圆心的圆上，故|OC|的
13、最大值为圆的直径，即|AB|的长为 2.【答案】2【感悟提升】图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果【变式探究】不等式|x|2 sin x0，x，2的解集为_【解析】在同一坐标系中分别作出 y|x|2与 ysin x 的图象：9根据图象可得不等式的解集为，2 0，2(，2)【答案】，2 0，2(，2)解题方法六、构造法解题方法六、构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，
14、从而简化推导与运算过程 构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的例 6、如图，已知球 O 的球面上有四点 A，B，C，D，DA平面 ABC，ABBC，DAABBC 2，则球 O 的体积等于_【解析】如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以|CD|(2)2(2)2(2)22R，所
15、以 R62，故球 O 的体积 V4R336.【答案】6【感悟提升】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.【变式探究】在数列an中，若 a11，an12an3(n1)，则该数列的通项 an_.【解析】由 an12an3，10则有 an132(an3)，即an13an32.所以数列an3是以 a134 为首项，公比为 2 的等比数列，即 an342n12n1，所以 an2n13.【答案】2n13解题方法
16、七、并列式解题方法七、并列式此种类型多空题的特点是：根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目例 7、已知 2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，则 A_，b_.【解析】2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x1 2sin2x4，1 2sin2x4 Asin(x)b，A 2，b1.【答案】21【变式探究】双曲线x22y21 的焦距是_，渐近线方程是_【解析】由双曲线标准方程，知双曲线焦点在 x 轴上，且 a22，b21，c2a2b23，即
17、 c 3，焦距 2c2 3，渐近线方程为 ybax，即 y22x.【答案】2 3y22x解题方法八、分列式解题方法八、分列式此种类型多空题的特点是：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问例 8、(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.11(2)已知函数 f(x)x2x3，x1，lgx21，x1，则 f(f(3)_，f(x)的最小值是_【解析】(1)由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三
18、条棱的长分别为2 cm,4cm,2 cm，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为 2 cm,2 cm，4 cm.几何体的表面积为(222424)2222272(cm2)，体积为 224232(cm3)(2)f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)1230.当 x1 时，x2x32x2x32 23，当且仅当 x2x，即 x 2时等号成立，此时 f(x)min2 230；当 x1 时，lg(x21)lg(021)0，此时 f(x)min0.所以 f(x)的最小值为 2 23.【答案】(1)7232(2)02 23【变式探究】函数 f(x)sin2xsin xcos x1 的
19、最小正周期是_，单调递减区间是_【解析】f(x)sin2xsin xcos x11cos 2x212sin 2x112sin 2x12cos 2x3222sin2x4 32，函数 f(x)的最小正周期 T.令22k2x4322k，kZ，解之可得函数 f(x)的单调递减区间为12k38，k78(kZ)【答案】k38，k78(kZ)解题方法九、递进式解题方法九、递进式此种类型多空题的特点是：两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势解答例 9、设数列an的前 n 项和为 Sn.若 S24，an12Sn1，nN*，
20、则 a1_，S5_.【解析】an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn1123Sn12，数列Sn12 是公比为 3 的等比数列，S212S1123.又 S24，S11，a11，S512S112 3432342432，S5121.【答案】1121【变式探究】以坐标原点 O 为圆心，且与直线 xy20 相切的圆方程是_，圆 O 与圆 x2y22y30 的位置关系是_【解析】由题意所求圆的半径等于原点 O 到直线 xy20 的距离，即 r211 2，则所求圆的方程为 x2y22；因为圆 O 与圆 x2y22y30 的圆心和半径分别为 O(0,0)，r1 2，C2(0,1)，r22，且 r2r1|OC2|1r1r22 2，所以两圆相交【答案】x2y22相交