《数学（理）知识清单-专题10 数列求和及其应用（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）知识清单-专题10 数列求和及其应用（原卷+解析版）.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1专练专练1在等差数列 na中，3a，9a是方程224120 xx的两根，则数列 na的前 11 项和等于A66B132C66D322已知 Sn是数列an的前 n 项和，且 Sn1Snan3，a4a523，则 S8()A72B88C92D983数列?中，?，且112(2)nnnnnaanaa，则数列?前 2019 项和为A?媨?媨?B?媨?媨?媨C?媨?媨?D?媨?媨?媨4数列an满足 a11，且 an1a1ann(nN*)，则1a11a21a2 016等于()A.4 0322 017B.4 0282 015C.2 0152 016D.2 0142 0155已知等差数列an的前 n 项和为 S
2、n，且 a11，S3a5.令 bn(1)n1an，则数列bn的前 2n 项和 T2n为()AnB2nCnD2n6已知数列an的通项公式为 an(1)n(2n1)cosn21(nN*)，其前 n 项和为 Sn，则 S60()A30B60C90D1207对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若 a12，数列an的“差数列”的通项为an2n，则数列an的前 n 项和 Sn()A2B2nC2n12D2n128各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，且 3Snanan1，则错误!2k()A.nn52B.n5n122C.3nn12D.n3n529在各项都为正数的数列an中，首项 a
3、12，且点(a2n，a2n1)在直线 x9y0 上，则数列an的前 n项和 Sn等于()A3n1B.13n2C.13n2D.3n2n210已知数列 112，314，518，7116，则其前 n 项和 Sn为()An2112nBn2212nCn2112n1Dn2212n111若数列an的通项公式为 an2n（n2），则其前 n 项和 Sn为()A11n2B.321n1n1C.321n1n2D.321n11n212 已知等比数列an中，a2a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前 9 项和 S9等于()A9B18C36D7213等比数列an中，a42，a75，则数列lg an的前
4、10 项和等于()A2Blg 50C5D1014中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了()A192 里B96 里C48 里D24 里15在数列an中，an1an2，Sn为an的前 n 项和若 S1050，则数列anan1的前 10 项和为_16已知数列 5，6，1，5，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16 项之和 S16等于
5、_17已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，且满足 f(x)f(x3)，f(2)3.若数列an中，a11，且前 n 项和 Sn满足Snn2ann1，则 f(a5)f(a6)_18已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b23，b39，a1b1，a14b4.3(1)求an的通项公式；(2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和19已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S36，S515.(1)求an的通项公式；(2)设 bnan2an，求数列bn的前 n 项和 Tn.20已知函数 f(x)x2bx 为偶函数，数列an满足 an12f(an1)1，且 a13，an1.21设等差数列an
6、的前 n 项和为 Sn，且 S32S24，a536.(1)求 an，Sn；(2)设 bnSn1(nN*)，Tn1b11b21b31bn，求 Tn.22已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a112，an2SnSn1(n2 且 nN*)(1)求证：数列1Sn是等差数列；(2)求 Sn和 an.23已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公比为 q 的等比数列bn的首项为12，且 a12q3，a24b26，S540.(1)求数列an，bn的通项公式 an，bn；(2)求数列1anan11bnbn1的前 n 项和 Tn.24已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，对nN*，有 2Sna2nan
7、.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn1anan1an1an，设bn的前 n 项和为 Tn，求 T1，T2，T3，T100中有理数的个数25已知等差数列an的公差 d0，它的前 n 项和为 Sn，若 S570，且 a2，a7，a22成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列1Sn的前 n 项和为 Tn，求证：16Tn38.26已知数列an是公差为正数的等差数列，数列bn为等比数列，且 a11，a2b2，a5b3，a14b4.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)对任意给定的 kN*，是否存在 p，rN*(kpr)使1ak，1ap，1ar成等差数列？若存在，用 k 分别表示 p4
8、和 r(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由27设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a19，a2为整数，且 SnS5.(1)求an的通项公式；(2)设数列1anan1的前 n 项和为 Tn，求证：Tn49.28设数列an的前 n 项和 Sn2n1，数列bn满足 bn1n1log2ann.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前 n 项和 Tn.29已知数列an满足 an1an2f(n1)f(n)(nN*)(1)若 a11，f(x)3x5，求数列an的通项公式；(2)若 a16，f(x)2x且an2nn2对一切 nN*恒成立，求实数的取值范围30已知等差数列 na的前n项和为
9、nS，等比数列 nb的前n项和为nT若113ab，42ab，4212ST（I）求数列 na与 nb的通项公式；（II）求数列nnab的前n项和5高考押题专练高考押题专练1在等差数列 na中，3a，9a是方程224120 xx的两根，则数列 na的前 11 项和等于A66B132C66D32【答案】D【解析】因为3a，9a是方程224120 xx的两根，所以3924aa，又396242aaa，所以612a ，61111111 211()13222aaaS，故选 D.2已知 Sn是数列an的前 n 项和，且 Sn1Snan3，a4a523，则 S8()A72B88C92D98【解析】法一由 Sn1
10、Snan3，得 an1an3，数列an是公差为 3 的等差数列，又 a4a5232a17d2a121，a11，S88a1872d92.法二由 Sn1Snan3，得 an1an3，数列an是公差为 3 的等差数列，S88a1a828a4a5292.【答案】C3数列?中，?，且112(2)nnnnnaanaa，则数列?前 2019 项和为A?媨?媨?B?媨?媨?媨C?媨?媨?D?媨?媨?媨【答案】B【解析】?（?），22112nnnnaaaan，整理得：?，?，又?，6?，可得：?则数列?前 2019 项和为：?媨?媨?媨?媨?媨?媨?媨?媨故选 B4数列an满足 a11，且 an1a1ann(n
11、N*)，则1a11a21a2 016等于()A.4 0322 017B.4 0282 015C.2 0152 016D.2 0142 015【解析】由 a11，an1a1ann 可得 an1ann1，利用累加法可得 ana1n1n22，所以 ann2n2，所以1an2n2n21n1n1，故1a11a21a2 01621112121312 01612 017 2112 017 4 0322 017，选 A.【答案】A5已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，S3a5.令 bn(1)n1an，则数列bn的前 2n 项和 T2n为()AnB2nCnD2n【解析】设等差数列an的公差为 d
12、，由 S3a5，得 3a2a5，3(1d)14d，解得 d2，an2n1，bn(1)n1(2n1)，T2n1357(4n3)(4n1)2n，选 B.【答案】B6已知数列an的通项公式为 an(1)n(2n1)cosn21(nN*)，其前 n 项和为 Sn，则 S60()A30B60C90D120【解析】由题意可得，当 n4k3(kN*)时，ana4k31；当 n4k2(kN*)时，ana4k268k；当 n4k1(kN*)时，ana4k11；当 n4k(kN*)时，ana4k8k.所以 a4k3a4k2a4k1a4k8，所以 S60815120.7【答案】D7对于数列an，定义数列an1an为
13、数列an的“差数列”，若 a12，数列an的“差数列”的通项为an2n，则数列an的前 n 项和 Sn()A2B2nC2n12D2n12【解析】因为 an1an2n，所以 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n1222n222n，所以 Sn22n1122n12.【答案】C8各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，且 3Snanan1，则错误!2k()A.nn52B.n5n12C.3nn12D.n3n52【解析】当 n1 时，3S1a1a2,3a1a1a2，所以 a23，当 n2 时，由 3Snanan1，可得 3Sn1an1an，两式相减得：3ana
14、n(an1an1)，又因为 an0，所以 an1an13，所以a2n是一个以 3 为首项，3 为公差的等差数列所以错误!2ka2a4a6a2n3nnn1233nn12.【答案】C9在各项都为正数的数列an中，首项 a12，且点(a2n，a2n1)在直线 x9y0 上，则数列an的前 n项和 Sn等于()A3n1B.13n2C.13n2D.3n2n2【解析】由点(a2n，a2n1)在直线 x9y0 上，得 a2n9a2n10，即(an3an1)(an3an1)0，又数列an各项均为正数，且 a12，an3an10，an3an10，即anan13，数列an是首项 a12，公比 q3的等比数列，其前
15、 n 项和 Sna11qn1q23n1313n1，故选 A.【答案】A10已知数列 112，314，518，7116，则其前 n 项和 Sn为()8An2112nBn2212nCn2112n1Dn2212n1【解析】an2n112n，Snn（12n1）2112n12112n2112n.【答案】A11若数列an的通项公式为 an2n（n2），则其前 n 项和 Sn为()A11n2B.321n1n1C.321n1n2D.321n11n2【解析】an2n（n2）1n1n2，Sna1a2an113121413151n11n11n1n21121n11n2321n11n2.【答案】D12 已知等比数列an
16、中，a2a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前 9 项和 S9等于()A9B18C36D72【解析】在等比数列an中，a2a84a5，即 a254a5，a54.由题意可知 a5b4b62b54，b52.S99b518.【答案】B13等比数列an中，a42，a75，则数列lg an的前 10 项和等于()A2Blg 50C5D10【解析】由题意可知 a4a7a5a6a3a8a2a9a1a10，即 a1a2a9a10105，所以数列lg an的前 10 项和等于 lg a1lg a2lg a9lg a10lg a1a2a10lg 1055.【答案】C914中国古代数学著作算法统宗
17、中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了()A192 里B96 里C48 里D24 里【解析】由题意，知每天所走路程形成以 a1为首项，公比为12的等比数列，则a11126112378，解得 a1192，则 a296，即第二天走了 96 里【答案】B15在数列an中，an1an2，Sn为an的前 n 项和若 S1050，则数列anan1的前 10 项和为_【解析】anan1的前 10 项和
18、为 a1a2a2a3a10a112(a1a2a10)a11a12S10102120.【答案】12016已知数列 5，6，1，5，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16 项之和 S16等于_【解析】根据题意这个数列的前 7 项分别为 5，6，1，5，6，1，5，6，发现从第 7 项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为 6，前 6 项和为 561(5)(6)(1)0.又因为 16264，所以这个数列的前 6 项之和 S162077.【答案】717已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，且满足 f(x)f(x3)，f(2)3.若数列an中，a11
19、，且前 n 项和 Sn满足Snn2ann1，则 f(a5)f(a6)_【解析】函数 f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(0)0.f(x)f(x3)，f(x)是以 3 为周期的周期函数Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2)，两式相减并整理得 an2an11，即 an12(an11)(n2)，10数列an1是以 2 为公比的等比数列，首项为 a112，an122n12n，an2n1，a531，a663，f(a5)f(a6)f(31)f(63)f(2)f(0)f(2)f(2)3.来源:学科网 ZXXK【答案】318已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b23，b39，a1b1，a14b4
20、.(1)求an的通项公式；(2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和【解析】(1)设等比数列bn的公比为 q，则 qb3b2933，b1b2q1，b4b3q27，bn3n1(n1，2，3，)设等差数列an的公差为 d.a1b11，a14b427，113d27，即 d2.an2n1(n1，2，3，)(2)由(1)知 an2n1，bn3n1，因此 cnanbn2n13n1.从而数列cn的前 n 项和Sn13(2n1)133n1n（12n1）213n13n23n12.19已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S36，S515.(1)求an的通项公式；(2)设 bnan2an，求数列bn的前
21、 n 项和 Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，首项为 a1，S36，S515，来源:Zxxk.Com113a1123（31）d6，5a1125（51）d15.即a1d2，a12d3，解得a11，d1.an的通项公式为 ana1(n1)d1(n1)1n.(2)由(1)得 bnan2ann2n，Tn12222323n12n1n2n，式两边同乘12，得12Tn122223223324n12nn2n1，得12Tn1212212312nn2n112112n112n2n1112nn2n1，Tn212n1n2n.20已知函数 f(x)x2bx 为偶函数，数列an满足 an12f(an1)1，且
22、 a13，an1.(1)设bnlog2(an1)，证明：数列bn1为等比数列；(2)设 cnnbn，求数列cn的前 n 项和 Sn.(1)证明：函数 f(x)x2bx 为偶函数，b0，f(x)x2，an12(an1)21，an112(an1)2，bn11bn1log2（an11）1log2（an1）122log2（an1）log2（an1）12.a13，b1log221，bn12n.即 bn2n1，数列bn1是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列12(2)解：由题意得 cnn2nn.设 An12222323n2n，设 Bn1234nn（n1）2，2An122223324n2n1.An222
23、232nn2n12（12n）12n2n12n1n2n12，An(n1)2n12.SnAnBn(n1)2n12n（n1）2.21设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S32S24，a536.(1)求 an，Sn；(2)设 bnSn1(nN*)，Tn1b11b21b31bn，求 Tn.【解析】(1)因为 S32S24，所以 a1d4，又因为 a536，所以 a14d36，解得 d8，a14，所以 an48(n1)8n4，Snn（48n4）24n2.(2)bnSn14n21(2n1)(2n1)，1bn1（2n1）（2n1）1212n112n1，Tn1b11b21b31bn12113131512n
24、112n112112n1 n2n1.22已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a112，an2SnSn1(n2 且 nN*)13(1)求证：数列1Sn是等差数列；(2)求 Sn和 an.【解析】(1)证明：当 n2 时，anSnSn12SnSn1，Sn(12Sn1)Sn1，由上式知，若 Sn10，则 Sn0.S1a10，由递推关系知 Sn0(nN*)，由式可得，当 n2 时，1Sn1Sn12.1Sn是等差数列，其中首项为1S11a12，公差为 2.(2)1Sn1S12(n1)1a12(n1)22(n1)2n，Sn12n.当 n2 时，anSnSn112n（n1）；当 n1 时，a1S11
25、2不适合上式an12（n1，nN*），12n（n1）（n2，nN*）.23已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公比为 q 的等比数列bn的首项为12，且 a12q3，a24b26，S540.(1)求数列an，bn的通项公式 an，bn；(2)求数列1anan11bnbn1的前 n 项和 Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，则a12q3，a1d2q6，5a1542d40，解得a12，d3，q12.所以 an23(n1)3n1，bn1212n112n.(2)1anan11bnbn114131an1an11bnbn11313n113n2 22n1，即有 Tn131215 151813
26、n113n28（14n）14131213n2 13(22n38)1322n313n2 52.24已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，对nN*，有 2Sna2nan.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn1anan1an1an，设bn的前 n 项和为 Tn，求 T1，T2，T3，T100中有理数的个数【解析】(1)2Sna2nan，当 n1 时，2a1a21a1，解得 a11；当 n2 时，2Sn1a2n1an1，由得(anan1)(anan11)0，nN*有 an0，anan11.数列an是等差数列，首项为 1，公差为 1.an1(n1)n.(2)bn1anan1an1an1n n1（
27、n1）nnnn1n1，bn的前 n 项和为 Tn122 2233 nnn1n1 1n1n1，T1，T2，T3，T100中只有取 n3，8，15，24，35，48，63，80，99 时，Tn才有理数15T1，T2，T3，T100中有理数的个数为 9.25已知等差数列an的公差 d0，它的前 n 项和为 Sn，若 S570，且 a2，a7，a22成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列1Sn的前 n 项和为 Tn，求证：16Tn38.【解析】(1)由题意得5a110d70，（a16d）2（a1d）（a121d），解得 a16，d4，an6(n1)44n2.(2)a16，d4，Sn6nn（
28、n1）242n24n，即1Sn12n（n2）141n1n2，Tn1411312141n1n2141121n11n2382n34（n1）（n2）38，Tn1Tn141n11n3 0，数列Tn是递增数列，即(Tn)minT1382n34（n1）（n2）16.故16Tn38.26已知数列an是公差为正数的等差数列，数列bn为等比数列，且 a11，a2b2，a5b3，a14b4.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)对任意给定的 kN*，是否存在 p，rN*(kpr)使1ak，1ap，1ar成等差数列？若存在，用 k 分别表示 p和 r(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由16【解析】(1)设数
29、列an的公差为 d，则 a21d，a514d，a14113d，即 b21d，b314d，b4113d，所以(14d)2(1d)(113d)，解得 d2 或 d0(舍去)，所以 d2，所以 an12(n1)，即 an2n1，又 b2a23，b3a59，所以bn的公比 qb3b2933，所以 bnb2qn233n2，即 bn3n1.(2)当 k1 时，若存在 p，r，使1ak，1ap，1ar成等差数列，则1ar2ap1ak22p11a132p2p1，因为 p2，所以 ar0，与数列an为正项数列相矛盾，因此，当 k1 时不存在；当 k2 时，设 akx，apy，arz，则1x1z2y，所以 zxy
30、2xy，令 y2x1，得 zxyx(2x1)，此时 akx2k1，apy2x12(2k1)1，所以 p2k1，arz(2k1)(4k3)2(4k25k2)1，所以 r4k25k2.综上所述，当 k1 时，不存在 p，r；当 k2 时，存在 p2k1，r4k25k2 满足要求27设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a19，a2为整数，且 SnS5.(1)求an的通项公式；(2)设数列1anan1的前 n 项和为 Tn，求证：Tn49.【解析】(1)由 a19，a2为整数可知，等差数列an的公差 d 为整数又 SnS5，a50，a60，于是 94d0,95d0，解得94d95.17d 为整
31、数，d2.故an的通项公式为 an112n.(2)由(1)，得1anan11112n92n12192n1112n，Tn121719 1517 192n1112n12192n19.令 bn192n，由函数 f(x)192x的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知 0b1b2b3b4，b5b6b72nn2对一切 nN*恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)因为 an1an2f(n1)f(n)(nN*)，f(n)3n5，所以 an1an2(3n83n5)6，所以an是等差数列，首项为 a11，公差为 6，即 an6n5.(2)因为 f(x)2x，所以 f(n1)f(n)2n12n2n，所以 an
32、1an22n2n1.当 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n12，当 n1 时，a16，符合上式，所以 an2n12.由an2nn2，得2nn2n112n2n1，而n12n2n2n11n2n20，所以当 n1 或 n2 时，2nn2n1取得最大值34，故的取值范围为34，.30已知等差数列 na的前n项和为nS，等比数列 nb的前n项和为nT若113ab，42ab，4212ST（I）求数列 na与 nb的通项公式；（II）求数列nnab的前n项和【答案】（I）21,3nnnanb；（II）3 31(2)2nn n.【解析】（I）由11ab，42ab，则4212341223()()12STaaaabbaa，设等差数列 na的公差为d，则231236312aaadd，所以2d.所以32(1)21nann.设等比数列 nb的公比为q，由题249ba，即2139bb qq，所以3q.所以3nnb；（II）(21)3nnnabn，19所以nnab的前n项和为1212()()nnaaabbb2(3521)(333)nn(321)3(13)213nnn3(31)(2)2nn n.