《数学（理）知识清单-专题12 空间的平行与垂直（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）知识清单-专题12 空间的平行与垂直（原卷+解析版）.pdf（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1专练专练1已知 E，F，G，H 是空间四点，命题甲：E，F，G，H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和 GH 不相交，则甲是乙成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件2设 m，n 是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：若，则若，m，则 m若 m，m，则若 mn，n，则 m其中正确命题的序号是()ABCD3如图，在三棱锥 PABC 中，不能证明 APBC 的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面 BPC平面 APC，BCPCDAP平面 PBC4设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若 mn，m，则 n；若 m
2、，m，则；若 mn，m，则 n；若 m，m，则.其中真命题的个数为()2A1B2C3D46.如图所示，直线 PA 垂直于O 所在的平面，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径，点 M 为线段PB 的中点现有结论：BCPC；OM平面 APC；点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长其中正确的是()ABCD7已知平面及直线 a，b，则下列说法正确的是()A若直线 a，b 与平面所成角都是 30，则这两条直线平行B若直线 a，b 与平面所成角都是 30，则这两条直线不可能垂直C若直线 a，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行D若直线 a，b 垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直8
3、三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为等边三角形，AA1平面 ABC，AA1AB，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()A.110B.35C.710D.459在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 ABCD 中，AB平面BCD，且 BDCD，ABBDCD，点 P 在棱 AC 上运动，设 CP 的长度为 x，若PBD 的面积为 f(x)，则 f(x)的图象大致是()310如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD.则在三棱锥
4、ABCD 中，下列命题正确的是()A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC11已知，是两个不同的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，nm，则 nC若 m，n，则 mnD若，n，mn，则 m12.如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列命 题中正确的是()A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BCDC平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDED平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE13设 m，n 是两条不同
5、的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m，n，则 mn；若，m，则 m；若n，mn，m，则 m；4若，则.其中真命题的个数是()A0B1C3D314.如图，在空间四边形 ABCD 中，点 MAB，点 NAD，若AMMBANND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是_15正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为线段 B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面 ABCD；三棱锥 EABC 的体积为定值；直线 B1E直线 BC1.16如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面
6、 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的命题序号是_平面 ABD平面 ABC平面 ADC平面 BDC平面 ABC平面 BDC平面 ADC平面 ABC17如图，在空间四边形 ABCD 中，MAB，NAD，若AMMBANND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是_18设，是三个平面，a，b 是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则 ab”为真命题，5则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的序号填上)19已知 P 为ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABB
7、C.其中正确命题的个数是_20 在矩形 ABCD 中，AB0.(1)求证：平面 SAB平面 MAC；(2)试确定 m 的值，使三棱锥 S ABC 的体积为三棱锥 SMAC 体积的 3 倍31如图，在三棱柱 ABCDEF 中，侧面 ABED 是边长为 2 的菱形，且ABE3，BC212.点 F 在平8面 ABED 内的正投影为 G，且点 G 在 AE 上，FG 3，点 M 在线段 CF 上，且 CM14CF.(1)证明：直线 GM平面 DEF；(2)求三棱锥 MDEF 的体积32.如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E、F(E 与 A、D 不重合)分别
8、在棱 AD、BD 上，且 EFAD.求证：(1)EF平面 ABC；(2)ADAC.33.如图所示，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F 为 CD的中点求证：(1)AF平面 BCE；(2)平面 BCE平面 CDE.34如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如图 2 所示的几何体(1)求证：AB平面 ADC；(2)若 AD1，AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角的正切值为 6，求点 B 到平面 ADE 的距离91
9、0高考押题专练高考押题专练1已知 E，F，G，H 是空间四点，命题甲：E，F，G，H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和 GH 不相交，则甲是乙成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】若 E，F，G，H 四点不共面，则直线 EF 和 GH 肯定不相交，但直线 EF 和 GH 不相交，E，F，G，H 四点可以共面，例如 EFGH.故选 B.【答案】B2设 m，n 是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：若，则若，m，则 m若 m，m，则若 mn，n，则 m其中正确命题的序号是()ABCD【解析】对于，因为平行于同一个平面的两个平面相互平行，所以正确；
10、对于，当直线 m 位于平面内，且平行于平面，的交线时，满足条件，但显然此时 m 与平面不垂直，因此不正确；对于，在平面内取直线 n 平行于 m，则由 m，mn，得 n，又 n，因此有，正确；对于，直线m 可能位于平面内，显然此时 m 与平面不平行，因此不正确综上所述，正确命题的序号是，选A.【答案】A3如图，在三棱锥 PABC 中，不能证明 APBC 的条件是()AAPPB，APPC11BAPPB，BCPBC平面 BPC平面 APC，BCPCDAP平面 PBC【解析】A 中，因为 APPB，APPC，PBPCP，所以 AP平面 PBC，又 BC平面 PBC，所以APBC，故 A 正确；C 中，
11、因为平面 BPC平面 APC，BCPC，所以 BC平面 APC，AP平面 APC，所以 APBC，故 C 正确；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件不能判断出 APBC，故选 B.【答案】B4设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若 mn，m，则 n；若 m，m，则；若 mn，m，则 n；若 m，m，则.其中真命题的个数为()A1B2C3D4【解析】对于，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于，平面与可能平行或相交，故错误；对于，直线 n 可能平行于平面，也可能在平面内，故错误；对于，由两平面平行的判定定理易得平面与平行，故错误综上所述，正确命题的个数为 1
12、，故选 A.【答案】A6.如图所示，直线 PA 垂直于O 所在的平面，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径，点 M 为线段PB 的中点现有结论：BCPC；OM平面 APC；点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长其中正确的是()ABCD【解析】对于，PA平面 ABC，12PABC.AB 为O 的直径，BCAC，又PAACA，BC平面 PAC，又 PC平面 PAC，BCPC.对于，点 M 为线段 PB 的中点，OMPA，PA平面 PAC，OM平面 PAC，OM平面 PAC.对于，由知 BC平面 PAC，线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离，故都正确【答案】B7已知平面
13、及直线 a，b，则下列说法正确的是()A若直线 a，b 与平面所成角都是 30，则这两条直线平行B若直线 a，b 与平面所成角都是 30，则这两条直线不可能垂直C若直线 a，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行D若直线 a，b 垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直【解析】对于 A，若直线 a，b 与平面所成角都是 30，则这两条直线平行、相交、异面，故 A 错；对于 B，若直线 a，b 与平面所成角都是 30，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形 ACB 的直角顶点 C在平面内，边 AC、BC 可以与平面都成 30角，故 B 错；C 显然错误；对于 D，假设直线 a，b 与平面都垂直
14、，则直线 a，b 平行，与已知矛盾，则假设不成立，故 D 正确，故选 D.【答案】D8三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为等边三角形，AA1平面 ABC，AA1AB，M，N 分别是 A1B1，13A1C1的中点，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()A.110B.35C.710D.45【解析】取 BC 的中点 O，连接 NO，AO，MN，因为 B1C1綊 BC，OB12BC，所以 OBB1C1，OB12B1C1，因为 M，N 分别为 A1B1，A1C1的中点，所以 MNB1C1，MN12B1C1，所以 MN 綊 OB，所以四边形 MNOB是平行四边形，所以 NOMB，所以ANO 或其补角
15、即为 BM 与 AN 所成角，不妨设 AB2，则有 AO 3，ONBM 5，AN 5，在ANO 中，由余弦定理可得 cosANOAN2ON2AO22ANON5532 5 5710.故选C.【答案】C9在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 ABCD 中，AB平面BCD，且 BDCD，ABBDCD，点 P 在棱 AC 上运动，设 CP 的长度为 x，若PBD 的面积为 f(x)，则 f(x)的图象大致是()【解析】如图，作 PQBC 于 Q，作 QRBD 于 R，连接 PR，则 PQAB，QRCD.14设 ABBDCD1，则 AC 3，x3PQ1，即 PQx3，又QR1BQ
16、BC3x3，所以 QR3x3，所以 PRx323x32332x22 3x3，所以 f(x)362x22 3x3，其图象是关于直线 x32对称的曲线，排除 B、C、D，故选 A.【答案】A10如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD.则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的是()A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC【解析】在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面 BCD，
17、且平面 ABD平面 BCDBD，CD平面 ABD，则 CDAB.又 ADAB，ADCDD，AB平面 ADC，又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 ADC，故选 D.【答案】D11已知，是两个不同的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，nm，则 nC若 m，n，则 mnD若，n，mn，则 m【解析】对于 A，m，n，则 mn 或 m、n 异面，故 A 错误；对于 B，若 m，nm，则 n15或 n，故 B 错误；对于 C，若 n，则 n或 n，又 m，所以 mn，故 C 正确；对于D，若，n，mn，则 m 可能与相交，也可能与平行，也可能在内
18、，故 D 错误【答案】C12.如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列命 题中正确的是()A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BCDC平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDED平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE【解析】因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理有 DEAC，于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.【答案】C13设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m，n，则
19、 mn；若，m，则 m；若n，mn，m，则 m；若，则.其中真命题的个数是()A0B1C3D3【解析】mn 或 m，n 异面，故错误；易知正确；m或 m，故错误；或与相交，故错误【答案】B14.如图，在空间四边形 ABCD 中，点 MAB，点 NAD，若AMMBANND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是_16【解析】由AMMBANND，得 MNBD.而 BD平面 BDC，MN平面 BDC，所以 MN平面 BDC.【答案】平行15正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为线段 B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面 ABCD；三棱锥 EABC 的体积
20、为定值；直线 B1E直线 BC1.【解析】因 AC平面 BDD1B1，故正确；因为 B1D1平面 ABCD，故正确；记正方体的体积为 V，则 VEABC16V，为定值，故正确；B1E 与 BC1不垂直，故错误【答案】16如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的命题序号是_平面 ABD平面 ABC平面 ADC平面 BDC平面 ABC平面 BDC平面 ADC平面 ABC【解析】因为在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所
21、以 BDCD，又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，CD平面 BCD，所以 CD平面 ABD，又 AB平面 ABD，则 CDAB，又 ADAB，ADCDD，所以 AB平面 ADC，又 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 ADC.17【答案】17如图，在空间四边形 ABCD 中，MAB，NAD，若AMMBANND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是_【解析】由AMMBANND，得 MNBD.而 BD平面 BDC，MN平面 BDC，所以 MN平面 BDC.【答案】平行18设，是三个平面，a，b 是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，
22、b，且_，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的序号填上)【解析】由面面平行的性质定理可知，正确；当 b，a时，a 和 b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或.【答案】或19已知 P 为ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确命题的个数是_【解析】如图所示，PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面 PBC.又BC平面 PBC，PABC.同理 PBAC，PCAB，但 AB 不一定垂直于 BC.【答案】31820 在矩形 ABCD 中，ABBC，这与已知矛盾，所以不正确【答
23、案】21如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，PA2，ABC90，AB 3，BC1，AD2 3，ACD60，E 为 CD 的中点(1)求证：BC平面 PAE；(2)求点 A 到平面 PCD 的距离【解析】(1)证明：AB 3，BC1，ABC90，AC2，BCA60.在ACD 中，AD2 3，AC2，ACD60，AD2AC2CD22ACCDcosACD，CD4，AC2AD2CD2，ACD 是直角三角形，又 E 为 CD 中点，AE12CDCE，19ACD60，ACE 为等边三角形，CAE60BCA，BCAE，又 AE平面 PAE，BC平面 PAE，BC平面 PAE.(2)设点
24、A 到平面 PCD 的距离为 d，根据题意可得，PC2 2，PDCD4，SPCD2 7，VPACDVAPCD，13SACDPA13SPCDd，131222 32132 7d，d2 217，点 A 到平面 PCD 的距离为2 217.22 如图所示的几何体 QPABCD 为一简单组合体，在底面 ABCD 中，DAB60，ADDC，ABBC，QD平面 ABCD，PAQD，PA1，ADABQD2.(1)求证：平面 PAB平面 QBC；(2)求该组合体 QPABCD 的体积【解析】(1)证明：因为 QD平面 ABCD，PAQD，所以 PA平面 ABCD.又 BC平面 ABCD，所以 PABC，因为 A
25、BBC，且 ABPAA，所以 BC平面 PAB，又 BC平面 QBC，所以平面 PAB平面 QBC.(2)平面 QDB 将几何体分成四棱锥 BPADQ 和三棱锥 QBDC 两部分，过 B 作 BOAD，因为 PA平面 ABCD，BO平面 ABCD，所以 PABO，又 ADOB，PAADA，所以 BO平面 PADQ，即 BO 为四棱锥 BAPQD 的高，20因为 BO 3，S四边形PADQ3，所以 VBPADQ13BOS四边形PADQ 3，因为 QD平面 ABCD，且 QD2，又BCD 为顶角等于 120的等腰三角形，BD2，SBDC33，所以 VQBDC13SBDCQD2 39，所以组合体 Q
26、PABCD 的体积为 32 3911 39.23已知等腰梯形 ABCD(如图 1 所示)，其中 ABCD，E，F 分别为 AB 和 CD 的中点，且 ABEF2，CD6，M 为 BC 中点现将梯形 ABCD 沿着 EF 所在直线折起，使平面 EFCB平面 EFDA(如图 2 所示)，N 是线段 CD 上一动点，且 CN12ND.(1)求证：MN平面 EFDA；(2)求三棱锥 AMNF 的体积【解析】(1)证明：过点 M 作 MPEF 于点 P，过点 N 作 NQFD 于点 Q，连接 PQ.由题知，平面 EFCB平面 EFDA，又 MPEF，平面 EFCB平面 EFDAEF，MP平面 EFDA.
27、又 EFCF，EFDF，CFDFF，EF平面 CFD.又 NQ平面 CFD，NQEF.又 NQFD，EFFDF，NQ平面 EFDA，MPNQ.又 CN12ND，NQ23CF2332，21且 MP12(BECF)12(13)2，MP 綊 NQ，四边形 MNQP 为平行四边形MNPQ.又MN平面 EFDA，PQ平面 EFDA，MN平面 EFDA.(2)法一：延长 DA，CB 相交于一点 H，则 HCB，HDA.又CB平面 FEBC，DA平面 FEAD.H平面 FEBC，H平面 FEAD，即 H平面 FEBC平面 FEADEF，DA，FE，CB 交于一点 H，且 HE12EF1.V三棱锥FCDHV三
28、棱锥CHFD13SHFDCF92，又由平面几何知识得SAMNSCDH29，则V三棱锥FAMNV三棱锥FCDH29，V三棱锥AMNFV三棱锥FAMN29V三棱锥FCDH29921.法二：V三棱台BEACDF13EF(SBEA SBEASCDFSCDF)13212129292 133，V四棱锥ABEFM13AES四边形BEFM56，V三棱锥NADF132SADF2，V三棱锥NCFM131SCFM12，22V三棱锥AMNFV三棱台BEACDFV三棱锥NCFMV四棱锥ABEFMV三棱锥NADF133125621.24如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且
29、PA2，E 是侧棱 PA上的中点(1)求证：PC平面 BDE；(2)求四棱锥 PABCD 的体积(1)证明：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE，如图：因为四边形 ABCD是正方形，所以 O 是 AC 的中点又 E 是 PA 的中点，所以 PCOE.因为 PC平面 BDE，OE平面 BDE，所以 PC平面 BDE.(2)【解析】因为 PA平面 ABCD，所以 VP ABCD13S正方形ABCDPA1312223，所以四棱锥 PABCD 的体积为23.25如图 1，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，ADAE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交
30、于点 G.将ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 ABCF，其中 BC22.(1)证明：DE平面 BCF；23(2)证明：CF平面 ABF；(3)当 AD23时，求三棱锥 FDEG 的体积 VFDEG.(1)证明：在等边ABC 中，ADAE，在折叠后的图形中，仍有 ADAE，ABAC，因此ADABAEAC，从而 DEBC.因为 DE平面 BCF，BC平面 BCF，所以 DE平面 BCF.(2)证明：在折叠前的图形中，因为ABC 为等边三角形，BFCF，所以 AFBC，则在折叠后的图形中，AFBF，AFCF，又 BFCF12，BC22.所以 BC2BF2CF2，所以 BFCF.又
31、BFAFF，BF平面 ABF，AF平面 ABF，所以 CF平面 ABF.(3)【解析】由(1)知，平面 DEG平面 BCF，由(2)知 AFBF，AFCF，又 BFCFF，所以 AF平面 BCF，所以 AF平面 DEG，即 GF平面 DEG.在折叠前的图形中，AB1，BFCF12，AF32.由 AD23知ADAB23，又 DGBF，所以DGBFAGAFADAB23，所以 DGEG231213，AG233233，所以 FGAFAG36，故 V三棱锥FDEGV三棱锥EDFG1312DGFGGE16132363324.26如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，BAC30，AC BM，且
32、 BM 交 AC 于点 M，EA平面 ABC，CFAE，AE3，AC4，CF1.24(1)证明：BFEM；(2)求三棱锥 BEFM 的体积【解析】(1)证明：EA平面 ABC，EABM，又 BMAC，ACEAA，BM平面 ACFE，BMEM.CFAE，CF平面 ABC，CFAC，FM MC2FC2 2，又 EM AE2AM23 2，EF 42222 5，FM2EM2EF2，EMFM.由并结合 FMBMM，得 EM平面 BMF，EMBF.(2)由(1)知 EM平面 BMF，VBEFMVEBMF13SBMFEM1312 2 33 2 3.27如图，四边形 PCBM 是直角梯形，PCB90，PMBC
33、，PM1，BC2，又 AC1，ACB120，ABPC，AM2.(1)求证：平面 PAC平面 ABC；(2)求三棱锥 PMAC 的体积【解析】(1)证明：由PCB90 得 PCCB.又 ABPC，ABCBB，所以 PC平面 ABC.又 PC平面 PAC，所以平面 PAC平面 ABC.(2)在平面 PCBM 内，过点 M 作 MNBC 交 BC 于点 N，连接 AN，则 CNPM1，25又 PMBC，所以四边形 PMNC 为平行四边形，所以 PCMN 且 PCMN，由(1)得 PC平面 ABC，所以 MN平面 ABC，在ACN 中，AN2AC2CN22ACCNcos 1203，即 AN 3.又 A
34、M2，所以在 RtAMN 中，MN1，所以 PCMN1.在平面 ABC 内，过点 A 作 AHBC 交 BC 的延长线于点 H，则 AH平面 PMC，因为 ACCN1，ACB120，所以ANC30.所以在 RtAHN 中，AH12AN32，而 SPMC121112，所以 VPMACVAPMC13SPMCAH131232312.29 如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，ABBC2a，AC2 3a，E 是 PA 的中点(1)求证：平面 BED平面 PAC；(2)求点 E 到平面 PBC 的距离【解析】(1)证明：在平行四边形 ABCD 中，ABBC，四
35、边形 ABCD 是菱形，BDAC.PC平面 ABCD，BD平面 ABCD，PCBD.又 PCACC，BD平面 PAC，BD平面 BED，平面 BED平面 PAC.(2)设 AC 交 BD 于点 O，连接 OE，如图26在PCA 中，易知 O 为 AC 的中点，又 E 为 PA 的中点，EOPC.PC平面 PBC，EO平面 PBC，EO平面 PBC.点 O 到平面 PBC 的距离就是点 E 到平面 PBC 的距离PC平面 ABCD，PC平面 PBC，平面 PBC平面 ABCD，且两平面的交线为 BC.在平面 ABCD 内过点 O 作 OHBC 于点 H，则 OH平面 PBC.在 RtBOC 中，
36、BC2a，OC12AC 3a，OB a.由 SBOC12OCOB12BCOH，得 OHOBOCBCa 3a2a32a.点 E 到平面 PBC 的距离为32a.30如图，已知四棱锥 S ABCD，底面梯形 ABCD 中，ADBC，平面 SAB平面 ABCD，SAB 是等边三角形，已知 AC2AB4，BC2AD2CD2 5，M 是 SD 上任意一点，m，且 m0.(1)求证：平面 SAB平面 MAC；(2)试确定 m 的值，使三棱锥 S ABC 的体积为三棱锥 SMAC 体积的 3 倍【解析】(1)证明：在ABC 中，由于 AB2，AC4，BC2 5，AB2AC2BC2，故 ABAC.又平面 SA
37、B平面 ABCD，平面 SAB平面 ABCDAB，AC平面 ABCD，AC平面 SAB，又 AC平面 MAC，故平面 SAB平面 MAC.(2)VS MACVM SACmm1VD SACmm1VS ACD，27VS _x001F_ABCVS _x001F_MACm1mVS _x001F_ABCVS _x001F_ACDm1mSABCSACDm1m23，m2，即当 m2 时，三棱锥 S ABC 的体积为三棱锥 S MAC 体积的 3 倍31如图，在三棱柱 ABCDEF 中，侧面 ABED 是边长为 2 的菱形，且ABE3，BC212.点 F 在平面 ABED 内的正投影为 G，且点 G 在 AE
38、 上，FG 3，点 M 在线段 CF 上，且 CM14CF.(1)证明：直线 GM平面 DEF；(2)求三棱锥 MDEF 的体积【解析】(1)证明：点 F 在平面 ABED 内的正投影为 G，FG平面 ABED，FGGE，又 BC212EF，FG 3，GE32.四边形 ABED 是边长为 2 的菱形，且ABE3，AE 2，AG12.如图，过点 G 作 GHAD 交 DE 于点 H，连接 FH.则GHADGEAE，GH32，由 CM14CF 得 MF32GH.GHADMF，四边形 GHFM 为平行四边形，GMFH.又 GM平面 DEF，FH平面 DEF，GM平面 DEF.(2)由(1)知 GM平
39、面 DEF，连接 GD，则有 VM DEFVG DEF.又 VG DEFVF DEG13FGSDEG13FG34SDAE34，VM DEF34.32.如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E、F(E 与 A、D 不重合)分别在棱 AD、BD 上，且 EFAD.28求证：(1)EF平面 ABC；(2)ADAC.证明：(1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，BC平面 BCD 且 BCBD，所以 B
40、C平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BCAD.又因为 ABAD，BCABB，AB平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC.33.如图所示，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F 为 CD的中点求证：(1)AF平面 BCE；(2)平面 BCE平面 CDE.证明：(1)如图，取 CE 的中点 G，连接 FG，BG.因为 F 为 CD 的中点，29所以 GFDE 且 GF12DE.因为 AB平面 ACD，DE平面 ACD，所以 ABDE，所以 GFAB.又因为 AB12DE，所以 GFAB.
41、所以四边形 GFAB 为平行四边形，则 AFBG.因为 AF平面 BCE，BG平面 BCE，所以 AF平面 BCE.(2)因为ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点，所以 AFCD.因为 DE平面 ACD，AF平面 ACD，所以 DEAF.又 CDDED，所以 AF平面 CDE.因为 BGAF，所以 BG平面 CDE.又因为 BG平面 BCE，所以平面 BCE平面 CDE.34如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如图 2 所示的几何体(1)求证：AB平面
42、 ADC；(2)若 AD1，AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角的正切值为 6，求点 B 到平面 ADE 的距离【解析】(1)证明：因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，又 DCBD，DC平面 BCD，所以 DC平面 ABD.因为 AB平面 ABD，所以 DCAB.30又因为折叠前后均有 ADAB，且 DCADD，所以 AB平面 ADC.(2)由(1)知 DC平面 ABD，所以 AC 在平面 ABD 内的正投影为 AD，即CAD 为 AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成的角依题意知 tan CADDCAD 6，因为 AD1，所以 DC 6.设 ABx(x0)，则 BD x21，易知ABDDCB，所以ABADDCBD，即x16x21，解得 x 2，故 AB 2，BD 3，BC3.由于 AB平面 ADC，所以 ABAC，又 E 为 BC 的中点，所以由平面几何知识得 AEBC232，同理 DEBC232，所以 SADE12132212222.因为 DC平面 ABD，所以 VABCD13CDSABD33.设点 B 到平面 ADE 的距离为 d，则13dSADEVBADEVABDE12VABCD36，所以 d62，即点 B 到平面 ADE 的距离为62.