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1、初中数学九大几何模型一、手拉手模型-旋转型全等D D（1）等边三角形A A图 1图 1B BA AC C图 2图 2B BO OC CE EO OD DE E【条件】：OAB 和OCD 均为等边三角形；【结论】：OACOBD；AEB=60；OE 平分AED（2）等腰直角三角形【条件】：OAB 和OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：OACOBD；AEB=90；OE 平分AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形O OD DD DD DO OE EE EC CC CO OA A图 1图 1B BA A图 2图 2B BO OC CE ED DE EC C【条件】：OAB 和OCD 均为等腰三角形；且
2、COD=AOB【结论】：OACOBD；AEB=AOB；OE 平分AEDA A图 1图 1B BA A图 2图 2B B二、模型二：手拉手模型-旋转型相似（1）一般情况O OO OD D【条件】：CDAB，将OCD 旋转至右图的位置A AC CD DC CB BA AB BD DE E【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延长 AC 交 BD 于点 E，必有BEC=BOA（2）特殊情况C CO OO OC CE E【条件】：CDAB，AOB=90将OCD 旋转至右图的位置A AD DB BA AB B【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延长 AC 交 BD 于点 E，必有BEC=BOA
3、；BDODOBtanOCD；BDAC；ACOCOA2连接 AD、BC，必有AD2 BC2 AB三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90 CD2；SBCD1AC BD2A AC CD D【条件】：AOB=DCE=90；OC 平分AOB【结论】：CD=CE；OD+OE=2OC；SDCE SOCD SOCE证明提示：作垂直，如图 2，证明CDMCEN过点 C 作 CFOC，如图 3，证明ODCFEC当DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）：以上三个结论：CD=CE；OE-OD=2OC；SOCE SOCDD DO OE E图 1图 1B B1OC22C CA AM MD DO ON
4、N图 2图 2E EB BA AM MC C1OC2A A2C CO OD DO O图 3图 3E EF FB BN N图 4图 4E EB B（2）全等型-120【条件】：AOB=2DCE=120；OC 平分AOB【结论】：CD=CE；OD+OE=OC；SDCE SOCD SOCE证明提示：可参考“全等型-90”证法一；如右下图：在 OB 上取一点 F，使 OF=OC，证明OCF 为等边三角形。F FO OE EB BA A3OC24C CA AC CF FO OE EF FB B（3）全等型-任意角【条件】：AOB=2，DCE=180-2；CD=CE；【结论】：OC 平分AOB；OD+OE
5、=2OCcos；SDCE SOCD SOCE OC2 sin cos当DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如右下图）：原结论变成：；。可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。D DA AC CA AO OD DE EB BC CO OE EB B对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意 OC 平分AOB 时，CDE=CED=COA=COB 如何引导？四、模型四：角含半角模型90（1）角含半角模型 90-1【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF+BE
6、；CEF 的周长为正方形 ABCD 周长的一半；也可以这样：【条件】：正方形 ABCD；EF=DF+BE；【结论】：EAF=45；A AA AC CD DO OE EB BD DA AD DF FF FB B（2）角含半角模型 90-2E EC CG GB BE EC C【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF-BE；F FF FF FE EB BC CE EB BC CE EB BC CA AD DA AD DA AD D（3）角含半角模型 90-3【条件】：RtABC；DAE=45；【结论】：BD2 CE2 DE2（如图 1）若DAE 旋转到ABC 外部时，结论BD2
7、 CE2 DE2仍然成立（如图 2）D DB BE EC CD DB BE EC CB BD DE EC CB BD DF FE EC CA AA AF FA AA A（4）角含半角模型 90变形A AH HD DF FG GA AH HD DF FG G【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：AHE 为等腰直角三角形；证明：连接 AC（方法不唯一）DAC=EAF=45，B BDAH=CAE，又ACB=ADB=45；DAHCAE，E EC CB BE EC CDAACAHAEAHEADC，AHE 为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型-1【条件】：矩形 ABCD
8、；BD=BE；DF=EF；【结论】：AFCFB BC CE EH H B BE EH HF FF FA AD DA AD D模型提取：有平行线 ADBE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等ADFHEF。（2）倍长中线类模型-2【条件】：平行四边形 ABCD；BC=2AB；AM=DM；CEAB；【结论】：EMD=3MEA辅助线：有平行 ABCD，有中点 AM=DM，延长 EM，构造AMEDMF，连接 CM 构造等腰EMC，等腰MCF。（通过构造 8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）B BC CB BC CE EA AM MD DE EA AM MD DF F模型六：相似三
9、角形 360旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-倍长中线法【条件】：ADE、ABC 均为等腰直角三角形；EF=CF；【结论】：DF=BF；DFBF辅助线：延长 DF 到点 G，使 FG=DF，连接 CG、BG、BD，证明BDG 为等腰直角三角形；突破点：ABDCBG；难点：证明BAO=BCGE EA AD DD DB BA AB BF FF FC CC CG G（2）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-补全法【条件】：ADE、ABC 均为等腰直角三角形；EF=CF；C C【结论】：DF=BF；DFBF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC；辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到
10、CG 与 EF。A AD DB BE EF FA AD DG GF FC CB BE EH H（3）任意相似直角三角形360旋转模型-补全法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长 BA 到 G，使 AG=AB，延长 CD 到点 H 使 DH=CD，补全OGB、OCH 构造旋转模型。转化 AE 与 DE 到 CG 与 BH，难点在转化AED。A AD DA AD DO OG GO OH HB BE EB BC CE EC C（4）任意相似直角三角形360旋转模型-倍长法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；
11、【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长 DE 至 M，使 ME=DE，将结论的两个条件转化为证明AMDABO，此为难点，将AMDABC 继续转化为证明ABMAOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在O O证明ABM=AODB BA AO OA AD DD DB BE EE EC C模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）C CM MA AB BPA+PBPA+PBP Pl l总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：动点在直线上；起点，终点固定BBAAl l1 1A AAAB BB BQ Ql l2 2BBP PPA+
12、PQ+BQPA+PQ+BQl lA AP PA AAAP Pl l1 1l l2 2PA+PQ+BQPA+PQ+BQQ QBBPA+PQ+BQPA+PQ+BQQ QB B（2）最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：OC 平分AOB；M 为 OB 上一定点；P 为 OC 上一动点；Q 为 OB 上一动点；【问题】：求 MP+PQ 最小时，P、Q 的位置？辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q，转化 PQ=PQ，过点 M 作 MHOA，A A则 MP+PQ=MP+PQMH(垂线段最短）（3）最短路程模型二（点到直线类2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【问题】：n 为何值时
13、，PB P PO OQ QM MB BA AQQH HP P5PA最小？55；过 B 作 BDAC，交 y 轴于点 E，即为5求解方法：x 轴上取 C(2,0),使 sinOAC=所求；tanEBO=tanOAC=1，即 E（0，1）2y yA Ay yA AP PP PE ED DB BO Ox xB BO OC Cx x（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：线段 OA=4，OB=2；OB 绕点 O 在平面内 360旋转；【问题】：AB 的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点 O 为圆心，OB 为半径作圆，如图所示，将问题转化为B B“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三
14、边”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OB【条件】：线段 OA=4，OB=2；以点 O 为圆心，OB，OC 为半径作圆；点 P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若 PA 的最大值为 10，则 OC=6；若 PA 的最小值为 1，则 OC=3；若 PA 的最小值为 2，则 PC 的取值范围是 0PC2【条件】：RtOBC，OBC=30；OC=2；OA=1；点 P 为 BC 上动点（可与端点重合）；OBC 绕点 O 旋转【结论】：PA 最大值为 OA+OB=1 2 3；PA 的最小值为如下图，圆的最小半径为O 到 BC 垂线段长。A A最小值位置最小值位置O O最大值位置最大值位置
15、C CA AP PB BO O1OB OA 23 1C CC CP PA AA AO OB BO OB BP P模型八：二倍角模型【条件】：在ABC 中，B=2C；辅助线：以 BC 的垂直平分线为对称轴，作点A 的对称点 A，连接 AA、BA、CA、则 BA=AA=CA(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。B B模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型-基本型平行类：DEBC；B BC CB BC CB BC CD DE EA AE EA AD DE ED DA AA AA AAAC CB BC C A字型 8 字型 A 字型结论：（2）相似三角形模
16、型-斜交型【条件】：如右图，AED=ACB=90；【结论】：AEAB=ACAD【条件】：如右图，ACE=ABC；【结论】：AC=AEABB B斜交型斜交型C CB B2 2ADAEDE(注意对应边要对应）ABACBCA AA AE EE EC CB B斜交型斜交型D DB BD D斜交型斜交型C CA AA AE EE E第四个图还存在射影定理：AEEC=BCAC；BC=BEBA；CE=AEBE；2 22 2双垂型双垂型C C（3）相似三角形模型-一线三等角型【条件】：（1）图：ABC=ACE=CDE=90；（2）图：ABC=ACE=CDE=60；（3）图：ABC=ACE=CDE=45；【结论】：ABCCDE；ABDE=BCCD；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。E EE EA AA AE EA AB BC C图（1）图（1）D D（4）相似三角形模型-圆幂定理型【条件】：（2）图：PA 为圆的切线；【结论】：（1）图：PAPB=PCPD；（2）图：PA=PCPB;（3）图：PAPB=PCPD；以上结论均可以通过相似三角形进行证明。2 2B BC C图（2）图（2）D DB BC C图（3）图（3）D DD DP PB BA AC C图（1）图（1）P PA AP PA AC CB BB BD D图（3）图（3）C C图（2）图（2）