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1、理科数学参考答案 第 1 页 共 7 页绵阳市高中绵阳市高中 2020 级第级第三三次诊断性考试次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分CBDACAADCBBA二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分1331421511621三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17解：（1）抽取的 3 个销售终端中至少有 2 个销售终端的年销售额超过 40 万元的概率2134164320557C CCPC5 分（2）由样本估计总体，从全国随机抽取 1 个销售终端，春季新款的年销售额超过 40万元的概率是15，随机变量B1(
2、3)5，6 分00331464(0)()()55125PC，7 分1231448(1)55125（）PC，8 分2231412(2)()55125PC，9 分3303141(3)()()55125PC10 分的分布列为：11 分的期望为：3()5Enp 12 分18解：（1）证明：取AC的中点为 O，连接 BO，POPA=PC，POAC 1 分0123P1256412548125121125理科数学参考答案 第 2 页 共 7 页2 24，PAPCAC，90APC，2 分122POAC，同理2BO 3 分又2 2PB，可得222POOBPB，即POOB 4 分ACOBO，AC，OB 平面ABC
3、，PO 平面ABC5 分又PO 平面PAC，平面PAC 平面ABC6 分（2）PO 平面ABC，OBAC，则POOB又POOC，建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz，则(2 0 0)，A，(0 2 0)B，(2 0 0)，C，(0 0 2)，P，2 4(0)3 3，M，7 分(2 0 2)，AP uuu r，2 2 0，AB uuu r设平面PAB的法向量为 n()，xyz，由0=0，n APn AB 得220220，xzxy令1x，得 n(1 1 1)，9 分同理，平面APM的法向量为 m(1 2 1)，10 分2 2coscos3，m nmnm n ，11 分二面角余弦值为2 2312
4、分19解：（1）由3log()nnST，令 n=1，得11113331log()log()log23=aSTb，即12=a，2 分理科数学参考答案 第 3 页 共 7 页又4134aad，等差数列na的公差2d，42 nan，4 分21()32nnn aaSnn，5 分nnnT32)3(6 分（2）当2n时，22(1)3(1)54-1(3)(3)nnnnnT，7 分当2n时，2421(3)3nnnnnTbT，8 分当1n 时，311b也满足上式，所以23nnb(nN)9 分2243=nnnnancb，要使11nnnccc成立，即321262422333nnnnnn，10 分解得 n=4，11
5、分323c，449c，529c，满足：4c为3c，5c的等差中项，存在 n=4 符合题意12 分20解：（1）221()xaxfxx，1 分()f x在1(2)2，上即有极大值又有极小值，所以方程2210 xax 在1(2)2，上有两不等实根，2 分令2()21g xxax，则280122413()0222(2)920aaagga，3 分解得：2 23a，所以实数 a 的取值范围为：2 23a5 分理科数学参考答案 第 4 页 共 7 页（2）设切点为00()，xy，其中220 x，则由题意可得：200020000211ln，xaxxxaxxax 6 分整理得：00121axx，7 分2000
6、01ln220 xxxx，（）令21()ln22h xxxxx2)2（x，则22211(1)(21)()22xxh xxxxx，8 分由2210 x ，易知：()h x在212（，）上单调递增，在1)（，上单调递减 9 分()(1)0h xh，所以方程（）只有唯一解：01x，10 分所以：2a 12 分21解：（1）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 l：y=x2，1 分联立方程222xyypx，整理得：2240ypyp，2 分由韦达定理：121224yypy yp，3 分22212121211()4MNtyytyyy y221 14163 2pp，4 分解得：12p，故抛物线的方程
7、为：y2=x5 分（2）方法一：方法一：设 y1=a，则2()，M aa，联立直线 MN 与抛物线 C 方程可得：22xtyyx，整理得：220yty；理科数学参考答案 第 5 页 共 7 页由韦达定理：y1y2=2，则 y2=2a；7 分联立直线 MP 与抛物线 C 方程可得：23xnyyx，整理得：230yny，由韦达定理：y1y3=3，则 y3=3a8 分121=+=PMNPANPAMPAMyySSSSy121313111()()156()22yyyyyyyy3165=()2aaa10 分令365()h aaaa，224244597975()()51822()aaaah aaa24975
8、597597()()()222aaaa由()0h a解得：5972a，由()0h a解得：59702a，()h a在区间597(0,)2单调递减，在597(,)2单调递增，11 分当25972a时，h(a)取得最小值.故 M 的横坐标为5972 12 分（2）方法二：方法二：延长 PN 交 x 轴于点 Q，设 P(x3，y3)，Q(x4，0)，y1=a，则2()，M aa，联立直线 MN 与抛物线 C 方程可得：22xtyyx，整理得：220yty，由韦达定理：y1y2=2，则 y2=2a，故 N(242，aa)，7 分理科数学参考答案 第 6 页 共 7 页联立直线 MP 与抛物线 C 方程
9、可得：23xnyyx，整理得:230yny，由韦达定理：y1y3=3，则 y3=3a，故 P(293，aa)，9 分Q，N，P 三点共线，故QNNPkk，代入得：4222145aaxaa，解得：426xa，2102()，QNaa，2153()，QPaa，即23QNQP，故13NPQP ，则132311 1163165=(3)()=()33 262MNPMQPSSQByyaaaaaa，10 分令365()h aaaa，则424518()aah aa，当25972a时，h(a)取得最小值，11 分故 M 的横坐标为597212 分22解：（1）可得圆 C 的标准方程为：22(2)4xy，圆 C 是
10、以 C（2，0）为圆心，2 为半径的圆，2 分 圆 C 的参数方程为：22cos2sinxy（为参数）5 分（2）2 2|AB，可得2ACB，6 分不妨设点 A 所对应的参数为，则点 B 所对应的参数为2，(22cos2sin)，A，则(22cos()2sin()22，B，即 B22sin2cos，7 分1122cos2sinxy，222 2sin2cos-xy，1212x xy y=22cos)(22sin)2sin2cos（8 分理科数学参考答案 第 7 页 共 7 页=44(cossin)=4+42cos()4，9 分0 2，则9444，当cos()4=1，即=74时，1122x yx y的最大值为44 210 分23解：（1）由 a=1，则 2b+3c=3，由柯西不等式，得222(11()()2323)()+bbcc，2 分2115()3()232bc，3 分102bc，当且仅当92105，bc时等号成立5 分（2）a+2b+3c=4，即 2b+3c=4a，又2abc，则2bca，6 分又由（1）可知：22211(23)()()()23bcbc，7 分25(4)(2)6aa，即112440aa，8 分令a=t，所以2112440tt，解得：2211 t，即44121 a，9 分又 2b+3c=4a，且 b0，c0，4a0，即 a4，综上可得，44121a 10 分