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1、2021年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题数 学（解析版）注意事项：1 .本试卷共6页，三个大题，满 分 1 2 0 分，考试时间1 0 0 分钟。2 .本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。一、选择题（每小题3 分，共 24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。1 .下列各数中最大的数是（）A.5 B.V3 C.Tt D.-8A【解析】本题考查实数的比较大小石土L 7 3 2 ,g3.14,；.5 万方 8,.最大的数为 5.第 2题B【解析】本题考查实物体的俯视图的判断，俯视图是从上往下看得到的图形，从上面看可以看
2、到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线，故 8 选项符合题意.3 .据统计，2 0 2 1 年我国高新技术产品出口总额达4 0 5 7 0 亿元，将数据4 0 5 7 0 亿用科学记数法表示为（）A.4.0 5 7 0 x 1 09 B.O.4 O 5 7 O X1 O1 0 C.4 0.5 7 0 x 1 0 D.4.0 5 7 0 x 1 01 2D【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.二 I 亿=108,40570=4.057x10340570 亿=4.057x1（）4x108=4.0570 x1012.4 .如图，直线a,b 被直线e,d所截，若N 1=N 2,N 3=1 2 5
3、。，则/4的度数为（）A.5 50 B.6 0 d C.7 0 D.7 5 17a2第 4题bA【解 析】本 题 考 查 了 平 行 线 的 判 定 和 相 交 线 与 平 行 线 性 质 求 角 度N 1 =N 2,：.a/b.N 5 =N 3=1 2 5,.Z4=1 8 0-Z5=1 8 0o-1 2 5o=5 5 .x +5 0,一5.不 等 式 组 的解集在数轴上表示为（）-5 0 2A1.二 ，.-5 0 2 -5 0 2CDC【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式x+5 K）,解得:后一5 ；由 不 等 式3-x l,解得:x A=2,B E=3,则 EC=.a
4、RD Rp-【解析】本题考查平行线分线段成比例定理。七AC,空=空2DA EC21 1.如图，直线产自与双曲线y =(x 0)交于点xA(l,Q),则七.2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合.2 2把点A坐标(1,a)代 入 尸 一，得=2x 1 点4的坐标为(1,2),再把点A(1,2)代入尸丘中，得仁2.12.已知点A(4,y i),仇 行，y2),C(-2,对 都在二次函数尸(长2)2-1的图象上，则y”y2,3的大小关系是.%,%【解析】本题考查二次函数图象及其性质.方法一:解:4(4,力)、B(C,j2)C(-2,g)在抛物线 y=(x-2)2-l 上，yi=3,J2=5-4
5、V2,j3=15.V5-4 V2 3 15，/.J2J10,.-.y2 ji 0,.力2刈 ,若 0 4=2,则阴影部分的面积为一第 14题【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形，相到利用转化的思想，并作出必要的辅助线，即连接0 E,得到S阴影=Sm o B E+S&OCE-Sm c o D,再分别计算出各图形的面积即可求解.+【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图，连 接。瓦.点C 是。4 的中1 2 2点，：.O C=-O A=1,：OE=OA=2,：.OC=-OE.2 2：CEX.0A,；.N0EC=3(),：.ZCOEI=60。.在 Rt/XOCE 中，CE=V3,:.S&OCE
6、=一 OC CE=.：ZAOB=9 0,2 2二 Z.BOE,心力 30n-2 n 0 9 0 n l 员=N4O8-NCOE=30,；.S 扇形 OBE=-=-,Sm c o D=-=-360 3 360 4二 来 S阴影=S扇 形 O8E+S AOCE_ JI A/3 71 _ 7 t_ 6扇 形 。0-+彳一了一五+W第 14题解图1 5.如图，正方形ABCO的边长是1 6,点 E 在边AB上，AE=3,点 F 是边8 c 上不与点8、C 重合的一个动点，把EBF沿E尸折叠，点8落在夕处，若CQB饴为等腰三角形，则的长为.【分析】若a）8 恰为等腰三角形，判断以。为腰或为底边分为三种情况
7、:O*=D C；C8，=C。；CB，=DB，,针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.1 6或4布【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.根据题意，若C 0 5 恰为等腰三角形需分三种情况讨论:若。z r=o c时，则。方=16（易知点尸在5 c上且不与点C、8重合）；（2）当CB，=C时，：EB=EB,CB=CB：点E、C在5次的垂直平分线上，.E C垂直平分方，由折叠可知点尸与点C重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当C8，=ZW时，作8G_LAB与 点G,交C于点”.1 8。，：.BHLCD,:CB=DB,：.DH=-CD=8,：.AG=DH=S
8、,：.GE=AG-AE=5,在 Rf/EG2中，由勾股定理得夕G=12,夕G=4.在及中，由勾股定理得，综上所述。夕=16或4石.第15题解图三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8 分）先化简，再求值:一+（，），其中。=6+1,b=4 5-.2。一 2 b a【分析】解答本题应从运算顺序入手，先将括号里通分，能因式分解的进行因式分解，然后将除法变乘法，最后约分化简成最简分式后，将乃的值代入求解.解:原式=(a-b)22(a-b)a-b.（4 分）_ a-b ab2 ab_ ab-T.(6分)当。=石+1 1=石 一1时，原式=（石+1；1）=”=2.（8分）17.（9分）如图，
9、AB是半圆。的直径，点P是半圆上不与点A、8重合的一个动点，延长BP到点C,使PC=PB,。是AC的中点，连接PC,P0.（1）求证:CDPsZiPOg；填空：若A 8=4,则四边形AOP。的最大面积为；连 接O D,当NPBA的度数为 时，四边形8尸 。是菱形.（1）【分析】要证C O PgA PO B,已知有一组对应边相等，结合已知条件易得。尸是AC8的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相等，根 据SAS即可得证.解:二点。是A C的中点，PC=PB,.（3分）：.DP/DB,DP=-A B,:.NCPD=NPBO.2V OB=-A B,：.DP=OB,：.CDP APOB（SAS）
10、.（5 分）2第17题解图（2）【分析】易得四边形AOPZ）是平行四边形，由于A O是定值，要使四边形AOPD的面积最大，就得使四边形AOPD底边A 0上的高最大，即当。P L Q 4时面积最大；易得四边形BPDO是平行四边形，再根据菱形的判定得到aPB O是等边三角形即可求解.解:4；.（7分）60。.（注:若填为6 0,不扣分）.（9分）【解法提示】当O P V O A时四边形AOPD的面积最大，V 由(1)得DP=AO,D P/D B,：.四边形AOPD是平行四边形，；A 3=4,，A0=P0=2,.四边形AOPD的面积最大为,2x2=4；连接0。,丁由(1)得DP=AO=OB,D P/
11、D B,：.四边形B P D O是平行四边形，,当OB=BP时四边形8 尸。0 是菱形，,:PO=BO,.,.P 8 0 是等边三角形，.,./PA 4=60。.18.(9分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。(1)这 次 接 受 调 查 的 市 民 总 人 数 是:(2)扇形统计图中，“电视”所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 是；(3)请补全条形统计图；(4)若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.(1)【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数，从扇形统计图得到
12、“手机上网”所占的百分比，相除即可得到本次调查的市名总人数.解：1000.(2 分)【解法提示】本次调查的市名总人数为：40(片40%=10()().(2)【分析】根据扇形统计图可得:1 一电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比，再乘以360。即可求解.解：54。.(注:若填为5 4,不扣分).(4分)【解法提示】(1-9%-10%-26%-40%)x360=54.(3)【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比，再乘以总人数即可求解.解:用“报纸”获取新闻的途径的人数为：10%xl000=100,补全条形统计图如解图
13、：调查结果条形统计图第 1 8 题解图.(4 分)(4)【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比，再乘以该市的人数即可求解.解:8 xl0 0 0 0 x(2 6%+4 0%)=5 2 8 0 0(人)1 9.(9 分)已知关于x 的一元二次方程(x-3)(x-2)=依|.(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不想等的实数根；(2)若方程的一个根是1,求相的值及方程的另一个根.(1)【分析】先化简一元二次方程，列出根的判别式，再根据绝对值为非负数，得到根的判别式与0的大小关系即可得证.解:.原 方 程 可 化 为 对F任意突敷加 用育两个不相等的知根9分I分
14、3分4分(2)【分析】当*=1 时，代入原方程得到何的值，根据绝对值的非负性，得到,有两个值,再分别代入原方程进行求解.解：把E代入原方程.得、:小相弟的实数根.1 1.吁2 代 入 炭 方 区 初.分m的值为土方程的另一个柳,的 .于 点 G,过点.分20.（9 分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树B C的高度，他们在斜坡上。出测得大树顶端8 的仰角是48。.若坡角NfAE=30。,求大树的高度.（结果保留整数，参考数据:si48=0.74,cw48=0.67,tan48l.ll,V3-1.73)第2 0题【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起
15、来.结合题目中的信息，即要延长B D交A E于点G,并过点D作D H 1A E于点H,分别在Rt/XGBC和R t A A B C中表示出C G和A C的长即可求解.解：小点G,过点。作：3点；由愿意知.N的皿小孙/，G-Gf 6*6哈班.,设3 C 的氏为x 米.在R QG8 c 中.g 8c“9 分2 分X在 RtZu/rc 中，BCZBGC um3O(x4 分UnBAC un 480*T G C-A C nG A.工-lan48。二 AT-13即 大 树 的 高 度 约 为 13米.8 分9 分B第 2 0 题解图2 1.(1 0 分)某游泳馆普通票价2 0 元/张，暑假为了促销，新推出
16、两种优惠卡：金 卡 售 价 6 0 0 元/张，每次凭卡不再收费；银卡售价1 5 0 元/张，每次凭卡另收1 0 元.暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数.设游泳x次时，所需总费用为y元.(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与 x之间的函数关系式；(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、8、C的坐标；(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.第 21题(1)【分析】观察图象，结合题目中的信息，得到普通卡是正比例函数，分析次数x 与 2 0 的关系，银卡为一次函数，分析出次数x 与 1 0 的关系，从而即可求解解:慢卡 1 尸=1
17、 0 x +1 5 0：.普通票：y =2 0 x .(2)【分析】由(1)中银卡的函数关系式可得点A的坐标，观察图形，联立普卡和银卡的函数关系式可求得点B的坐标，再将y=6 0 0 代入银卡的函数关系式即可求解.把x=0 代入 =IOx+15O,得y=150.,.4(0,150).由 题 意 叱 UK.W：*:.8(15,300).35-4把 =600代入y=10 x+1 5 0.得 x=45./.C(45,600).5第 2 1 题解图(3)【分析】观察图象，应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论，依次得到消费方案即可求解.J V I5”.叼 关 更 会，*善 算.、曾尸15对
18、.痣开西买.下玲.甘鸵1,再.冠.-x jH -ISjr(；绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.(1)问题发现A F 当 a=0 H 寸，=；B DA F 当 c =1 8 0 时，B D(2)拓展探究A F试判断:当0。a =2,石，8 c=8,AE _ AC+CE _ 4有+2石 _ 旦A BD-BC+CD-8+4-2-(2)【分析】在由解图中，由 平 行 线 分 线 段 成 比 例 得 到 臣=乌，再观察图中EOCCA CB绕 点 C 的旋转过程，结 合 旋 转 的 性 质 得 到=空 任 然 成 立，从而求得ACEsCA CBB C D,利用其性质，结合题干求得AC的长即可得到结论.
19、X v Z4ct-zaaa.A E鼻B C 第 22题解图【分析】解:4 6 或竽.（10分）【解法提示】当E O C 在 B C 上方，且 A,D,E 三点共线时，四边形ABC。为矩形，：.BD=AC=4yf5；当E 0 C 在 5 c 下方，且 A,E,。三点共线时，A O C 为直角三角形,图图第 22题解图23.(11分)如图，边长为8 的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点 A,点尸是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点)，过点P作P F L B C于点F.点D、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接尸。，PE,DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(
20、2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A 或点C重合时，P D与P F的差为定值.进而猜想:对于任意一点P,P D与P F的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论:若将“使PZ5E的面积为整数”的点P 记作“好点”,则存在多个 好点”，且 使 的 周 长 最 小 的 点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE的周长最小时“好点”的坐标.(1)【分析】由题意设抛物线解析式为y=0 f 2+c,将 A、C 两点坐标代入即可.解:抛物线的解析式为:y=：/+8.(3分)8【解法提示】由题意设抛物线解析式为y=G：2+c,的正方形QA5C的边长
21、为8,.点AG8,0)、C(0,8),；.=一,/+8.8=c o 8(2)【分析】设尸点坐标为 I x,x+8I 8,表示出尸尸的长度，构造尸。所在的直角三角形,表示尸的长度，通过求差法得到PO-P尸的值.解：第 23题解图(3)【分析】通 过 将 的 面 积 进 行 转 化，得到其面积的表达式，根据点尸横坐标,的取值范围，确定面积为整数时“好点”的个数，再 把 周 长 的 最 小 值 转 化 成 尸 E+PF的和最小，进而知道当P、E、尸三点共线时APDE周长的最小，确定点尸的坐标.解:好点共H 个；在点尸运动时，D E的大小不变，.P E 与 PD 的和最小时，P 0E 的周长最小，：PD-PF=2,：.PD=PF+2,：.PE+PD=PE+PF+2,当 P,E,尸三点共线时，PE+PF最小，此时，点尸，E 的横坐标为-4,将-4 代入 =1 尤 2+8,得尸6,.P(-4,6),此时POE周长最小，且的面积为1 2,点尸恰为“好点”.周长最小时点P 的坐标为(-4,6).1 ,1【解 法 提 示】A P D E 的 面 积 S=?-3 x+4 =一一(x+6 y+13.由于-8士 父，可得4 44S13,所以S 的整数值为10个.由图象可知，当 S=12时，对应的“好点”有 2 个，所以“好点”共 有 11个.