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1、2023高考数学难点突破专题训练（5）立体几何热身训练1.（广东省深圳市高级中学（集团）2022-2023学年高三上学期期末测试数学试题）如图，棱长为4 的正方体A 8C O-A B C R，点A 在平面a 内，平面ABCD与平面a 所成的二面角为30。，则 顶 点 到 平 面 a 的距离的最大值是（）2.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1 月月考数学试题）（多选题）如图，点。是正四面体P4BC底面ABC的中心，过点。且平行于平面A48的直线分别交AC,BC于点、M,N,S 是棱PC上的点，平面SMN与棱心的延长线相交于点Q,与棱尸8 的延长线相交于点R,则（）A.若平面则
2、 4B RQB.存在点S 与直线M N,使 万（aC+QRjnOC.存在点S 与直线M N,使PC_L平面SR01 1 1 3D-网+网+网-网3.（江苏省苏北四市（徐州、淮安、宿迁、连云港）2022-2023学年度高三年级第一次调研测试数学试题）如图，在四棱锥S-A 8C D 中，侧 面 S4O_L底 面 ABC。，SA AD,且四边形ABC。为平行四边形，AB=,BC=2,NABC=?SA=3.（1）求二面角S-C D-A的大小；（2）点 P 在线段SO上且满足寸=力而，试确定4 的值，使 得 直 线 与 面 PCZ）所成角最大.4.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1
3、月月考数学试题）如图，空间几何体4 万-B C F 中,四边形ABCD是梯形，A B/C D,四边形CDEF是矩形,且平面 A B C D1 平面 CDEF,A D J.OC,A3=AE=2,EE=4,M 是线段 AE 上的动点.（1）试确定点M 的位置，使 AC 平 面 并 说 明 理 由；（7 分）（2）在（1）的条件下，平面M3F 将几何体ADE-8CF分成两部分，求 空 间 几 何 体 防与空间几何体A D M-8 b 的体积的比值.（7 分）高考引领【试 题 出 处】2 0 2 2年高考数学全国甲卷文科第1 9题【试 题】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所
4、示：底 面4 8 c o是 边 长 为8(单 位：c m)的 正 方 形，4EAB,F B C,A G C O,L H D A均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABC D垂直(1)证明：E F平面4 B C D；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).【试 题 分 析】考查目标试题的情境源于生活中的求喜糖包装盒容积的问题，依据课程标准要求，将其设计为求“不规则”几何体的体积计算问题.试题考查棱锥、直四棱柱等空间几何体的基本概念，考查不规则几何体的割补方法，考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识和基本方法.试题重点考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解
5、能力，以及应用所学知识分析问题和解决问题的能力.解 题 思 路求解不规则几何体的体积时，如果几何体是组合体,一般将其分解为若干个“球、柱、锥、台”的体积的和或差,从而将不规则几何体转化为常见的简单几何体的形式，再运用常见几何体的体积公式就能求出结果.(1)设4 8,8 c的中点分别为 7,F,可得 1平面4 8 C 0,F F U平面A B C。且从而尸为矩形，所 以 EF EF,因此F 平面4 8 s(2)思路1点、E,F,G,，到平面ABC。的距离都为4 4，且平面EFC/平面4 B C D故该包装盒可由底面边长为8,高为4&的正四棱柱4B C D-4.B.C.D,截 去 四 个 体 积
6、相 等 的 三 棱 锥4B-B.EF,C-C.FG,O-Q C H得到，且E,F,G,分别为正四棱柱上底面各棱的中点.思路2设48,BC,CD,%的 中 点 分 别 为 尸，G,H二效E,F,G,，到平面4 8 c o的距离都为4&,且平面 尸6,平面48GX故该包装盒可由底面边长为4&,高为4厅的正四棱柱和四个体积相等的四棱锥4-B-EFF E,C-FGG F,D-GH/TC组合得到.试题亮点试题落实立德树人根本任务，从引导学生德智体美劳全面发展的角度，以劳动实践中的实际问题出发，以考生熟悉的正四棱柱和棱锥的组合体为载体，设计了空间直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的证明问题及计算问
7、题.考生对试题中的空间图形会有似曾相识的感觉，贴近广大考生的学习实际.试题给出的信息量是多样的，给不同基础的考生提供了想象的空间和多维度的思维平台，同时为考生分析问题和解决问题提供了发挥能力水平的空间.试题在全面考杳考生对立体几何基础知识理解与掌握的同时，着重考查了考生的化归与转化思想.试题重基础、重应用、重能力，体现出较好的区分度和选拔功能，对中学数学教学有积极的引导作用和很好的指导意义.【试题出处】2 0 2 2 年高考数学全国甲卷理科第18 题【试题】在四棱锥中。F8C。，H底面 4 8 C。，CD/AB,AD=l）（：=CB=4 8 =2,DP=6（1）证明：B D 1 P A；（2）
8、求P D与平面P48所成的角的正弦值【试题分析】考查目标试题以底面为等腰梯形的四棱锥为载体，通过确定两直线的位置关系和计算立线与平面所成角的正弦值，号代号生的空间想象能力、逻辑推理能力,运算求解能力，以及综合应用知识分析问题解决问题的能力.试题第（I）问难度不大，考生具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力即可得证.证明的关悔是发现4 8 是在向三角形 试题第（2）问设计为求直线与平面所成角的正弦值该问题的求解方法基础且多样，既可以通过向量法求解，也可以通过综合法求解，为不同思维水平的考生提供了充分展示的空间解 题 思 路（1）根据已知条件可得BDPD注意到四边形4 8 c o是等腰梯形，容易得到
9、乙。A B =6 0。.利用余弦定理和勾股定理，发现 是直角三角形，从 而 得 到 由 此 可 得 8 0 _ L 平面以0,于是 B O J.PA.（2）思路 用向量法求解.由题设及第（1）问得直线以，0 兄 0 尸两两垂直，因此自然以。为坐标原点，以凉的方向为,轴正方向，建立空间直角坐标系。-8/，于是。P=（o,o,8）,运用向量法求PO与平面PAB所成角的正弦值，只需要求出平面PAB的一个法向量即可思路2 用综合法求解.求与平面P 4 B 所成角的正弦值，关键是求出O到平面PAB的距离.由题设及第（1）问 可 得 三 棱 锥 4 8 的体积为g,利用等体积法，问题转化为求A P A B
10、 的面积思路3用综合法求解.求PD与平面P 48所成的角的正弦值，只需找出过。点且与平面P4B垂直的直线即可 作0 E _ L 4 8,垂足为E,连接PE,f D F lA E,垂足为凡 得到。尸_L平面尸4从 贝 吐0尸产即为尸。与平面PAB所成的角.试题亮点试题以底面为等腰梯形的四棱锥为载体，通过四棱锥的各顶点设计空间两条直线之间位置关系的证明问题和直线与平面所成角的计算问题.试题简洁清晰，解题思路多样，给不同基础的考生提供了广阔的想象空间和分析问题解决问题的多维度平台.试题在全面考查立体几何基础知识的同时，着重考查了考生对化归与转化思想方法的理解与掌握 试题准确把握教材要求，将向量运算以
11、及直线与平面所成角的构建等知识进行了很好的融合，使考生的空间想象能力、逻辑推理能力得到了有效考查.试题重基础、重能力，符合广大考生的学习实际.【试 题 出 处】2022年高考数学全国乙卷文科第12题【试 题】已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为【试 题 分 析】考 查 目 标 球与四棱锥是学生比较熟悉的几何体，试题巧妙地将两者结合在一起，考查球和四棱锥的基本概念、四棱锥体积的计算等基础知识.试题的解决，首先要求考生具有较强的空间想象能力，在此基础上,将四棱锥的体积表示为高的函数.解题的关键在于，考生能想到四棱锥的体积最大时的棱锥
12、一定是正四棱锥，这就对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的要求.试题有效地考查考生的理性思维、数学探索等数学学科素养，考查考生的空间想象、运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.考生在得到了正四棱锥体积的表达式后，可利用导数得到结果.解题思路思路1 四棱锥底面与球面所截得的小圆的圆心记为其半径记为 r,球心0到四棱锥底面的距离记为归 则由于四棱锥底面是圆0 1 内接四边形，因此若给定。1 的半径为r,则底面为正方形时其面积最大，最大值为2 尸，此时四棱锥的体积为1 .2V(4)=2/h=1(l-h2)h.由于 当时，r(/i)o；当时，r(/)盾(1-1),2 叼I f士 2=仔)，
13、当且仅当好=；时，等号成立，故人=勺时，V 5)取得最大值.思路2 在给定小圆。I 的半径r 时，当四棱锥的底面为正方形时,其面积达到最大，最大值为2,此时四棱锥的体积为V(/i )=-y -2r2 h=-j-r2 J-r2=-j /r4-r6.令则/(r)=2/(2-3 J),易 得 当 时，/(r)取得最大值，此时&=g,故当此四棱锥的体积达到最大时，其高为g,即正确JJ选项为C.试 题 灵 点 试题考杳的是球和四棱锥方面的基础知识，题目设计简洁,可以有效考查考生诸多方面的学科素养和关键能力，具有一定的创新性.(1)试题设计的情境是考生熟悉的，问题设计自然、合理，是在实际应用中考生常遇到的
14、问题.这一方面体现数学之美:具有较好的关育价值；另一方向体现r数学之用，有效地号看了考生的数学学科素.养和关键能力.试题对高号在加强教号衔接、体现德智体美劳全面发雇W方面进行了有益的之试.T(2)试题探究的问题是四棱锥的体枳何时达到最大求几何体的体积及讨论体积的最大值是数学教学中常见的问题.但试题要求考生先要将求四棱锥体积的最大值问题转化为求正四棱锥体积的最大值问题，这就要求考生能分析、提炼及转化问题，并善于寻找合理的解题思路,上述解题过程对考生的逻辑推理能力提出了较高要求.试题具有一定的创新性和开放性，达到了通过增加思维强度来选拔拔尖创新人才的目的(3)试题的解决需要用到导数或不等式等多方面
15、的知识，但问题解决过程中所用知识和方法又很基础，充分体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求.试题是严谨的，解决方法是灵活的，既体现了高考的选拔功能，又能够很好地引导高中数学的教学改革，真正实现了高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能【试 题 出 处】2 02 2 年高考数学全国乙卷文科第18题【试 题】如图，四 面 体 4 8 c o 中，40 1CD.AD=CD,LADB=乙BDC,E 为 AC 的中点.(1)证明：平面平面(2)设.48=80=2,4 4c 8=60。，点/在B D 上，当 A F C 的面积最小时，求三棱锥尸-4 6 C 的体积.【试题分析】考 查 目 标
16、 试题以考生熟悉的四面体为载体，考查空间平面与平面的位置关系、三棱锥的体积等立体几何的基本知识和基本思想方法.试题重点考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力.解 题 思 路（1）证明两个平面垂直的关键是证明一个平面中的一条直线垂直于另一个平面.观察试题所给的图形发现，可以尝试证明4CJ.平面B E D 或证明8EJ.平面4 C D 由AD=C D 和E 为A C的中点可得OE J.4C,从而可以尝试证明4 c l 平 面 由 此 发 现，仅需继续证明8_LA C,其等价于8c=助.此时利用已知条件容易得到结论.（2）第（2）问的解题难点在于
17、确定动点尸的位置，使得 4FC的面积最小.在 4/C中，只有边4。是固定的，所以可以考虑A C 边上高的最 小 值.由 两 个 途 径 可 以 得 到 4。边上的高为广 一 是 由 乙 408=乙BDC,AD=CD,D F=D F,得尸因此夕4=F C,于是尸 M C；二是由（1）知 4C_L平面用；。，故尸 _ 1 4 c,即为,泣 尸 C 的高.当E广，B D 时,的 面 积 最 小.此 时 产 的 位 置 确 定,接 下 来 只 需 在静态的图形中计算 4/C的 面 积.要 求 三 棱 锥 4 8 C 的体积，需要找到一个底面以及相应的高，有以下两种思路.思路I由（1）知:_L平面所以4
18、 C 1 R。，乂 EF LB D,故8 0 1平面A F C,从而出 平面外。故可以把求三棱镶尸-4 8 C 的体积转 化 为 求 的 面 积 和BF.由题设及（1）得 心 8c=45=2,DE=jAC=l,DE2+BE2=DB2,所以。_LBE,从而可得E/=日 又BF=jBE?-E户=彳,故二棱锥尸一A B C的体积1 1 73 3 73X y =思路 2 由题设及（1）得 4 C=8 C=4 8 =2,DE=AC=,DE2+BE2=DB2,所以。E _ L 8 E,从而发现。El平面4 8 c.于是，平面0 仍 1 平面A B C.过 点/作 8E的垂线，垂足为K,则 必 是 三 棱
19、锥 的 高 故可以把求三棱锥F-A B C的 体 积 转 化 为 求 的 面 积 和 高F K.由 F=,BF=BE2-EF2=p 可得 F K=n Z _ 3 0 =?.故三棱锥尸一A B C的体积1 1 c /V 3 万-4 r =jxyx2x/3 x-=.试题亮点 空间点、直线、平面之间的位置关系，直线与平面所成的角、平面与平面所成的二面角等内容是立体几何的重要内容，也是高中数学的必备知识.试题以四面体为载体，利用棱的中点构造新的平面，这些都是考生熟悉的情境，很容易上手，也有利于考生正常发挥 试题的第（1）问“平易近人”，没有设置过多的思维障碍，基本功较好的考生都能轻松解答.试题的第（2
20、）问设计精巧又不落俗套，通过设置动点尸，让 图 形 产 生 变 化.条 件/C的面积最小”设置新颖，让考生感觉既熟悉又陌生，该问和理科卷要求不同，体现了文理科的差异性 解题时考生可通过建立空间直角坐标系，运用空间向量的基本方法求得0 尸与平面4 8。所成角的正弦值.合理建立空间直角坐标系，以及正确运用空间向量求二面角正弦值的思想方法是对第（2）问考查的基本要求 第（2）问还给思维能力强的学生预留了快捷的解题通道，即完全可以不建立空间直角坐标系，通过直接作垂线轻松解决.试题让不同水平的考生都能在学有所得的同时，通过不同解法对其思维层次进行有效的区分.试题贴近广大考生的学习实际，给不同基础的考生提
21、供了想象的空间和多维度的解题思路，同时考查了考生分析问题和解决问题的能力.试题在全面考查考生立体几何基础知识的同时，着重考查了考生对化归与转化思想方法的理解与掌握，考查了思维的创新性.试题准确把握课程标准，把直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科素养较好地融入试题的第（1）问和第（2）问中.试题具有较好的选拔功能，突出对考生综合、灵活运用知识来解决问题的能力的考查，对中学数学教学有积极的引导作用.【试 题 出 处】2 02 2 年高考数学全国乙卷理科第18题【试 题】如 图.四 面 体.4B C。中，Al)1 CD,AD=CD,乙ADB=L BDC,E为A C 的中点.(1)证明：平面8E O
22、 _ L平面力C O；(2)设.48=80=2,乙ACB=60。，前 F 在 BD上，当 的 面 积 最 小 时，求 C/与平面4 8 0 所成的角的正弦值.【试 题 分 析】考 查 目 标 试题以考生熟悉的四面体为载体，考查与空间直线与平面、平面与平面的位置关系有关的基础知识和基本方法-试题重点考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力解题思路(1)证明两个平面垂直的关键是证明一个平面中的一条直线垂直于另一个平面.观察试题所给图形发现，可以尝试证明4 c,平面或证明B E _ L平面4 CD由4=CD和 为4 c的中点，I D E 1 A
23、C,从而可以尝试证明4c _ L平 面 由 此 发 现 仅 需 继 续 证 明 8 E 1 4 C,其等价于BC=BA.此时利用已知条件可以得到结论.(2)解答第(2)问的难点在于确定动点/的位置，使得 49C 的面积最小 4F C 中只有边4 c 是固定的，所以可以考虑边4。上高的最小值 有两个途径可以得到边4 C上的高为QK 一是由乙4。8=AD=CD,D F=D F,得 月%二 因 此 尸 4=.于是有 PE J./I C.二是由(1)知4c d.平面B E。，故 FE_L AC,即 F E 为 尸 C的高，从而当E 尸，8 0 时，4F C 的面积最小.此时产的位置确定，接下来只需在静
24、态的图形中进行计算 要求C 尸与平面4 6 0 所成的角的正弦值，有以下两种思路.I I.J.*(*1尸 C的面积最小”设置新颖，让考生产生既熟悉又陌生的感觉.该问可通过建立空间直角坐标系，运用空间向量的方法求得C F 与平面48。所成的角的正弦值.合理建立空间直角坐标系，以及正确运用空间向量求二面角正弦值的思想方法是对第（2）问考查的基本要求.第（2）问还为思维能力强的考生预留了快捷的解题通道.考生完全可以不建立空间直角坐标系，直接通过作垂线即可轻松求解.试题在让不同水平的考生都能学有所得的同时，通过建立空间直角坐标和不建立空间直角坐标系的解法对考生的思维层次进行了有效的区分.试题贴近广大考
25、生的学习实际，和中学教学有很好的衔接，给不同基础的考生提供了想象的空间和多维度的思维平台.试题在全面考查立体几何基础知识的同时，着重考查了考生对化归与转化思想的掌握，考查了考生思维的创新性，以及综合、灵活运用知识来解决问题能力.试题具有较好的选拔功能，对中学数学教学有积极的引导作用和很好的指导意义.【试 题 出 处】2022年 高 考 数 学 全 国 I 卷 第 8 题【试 题】已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上枳 为 36,，且 3 W/W 3 Q,则该正四校锥体积的取值范围是耳B.修耳停与D.若该球的体18,27【试题分析】考 查 目 标 试题以考生熟悉的四棱锥和球为背景，固
26、定球的体积,让球的内接正四棱锥的侧棱长在一定范围内变动，要求计算该正四棱锥体积的取值范围.试题考查四棱锥的基础知识，考查考生的空间想象、逻辑推理、运算求解等关键能力，考查考生理性思维、数学探索等数学学科素养，符合基础性、综合性、创新性的考查要求解题思路 设正四棱锥P-4 8 co的顶点在球。的球面上 由题意可得球。的半径为3,顶点P在底面4 8 c o上的投影是该正方形的中心，设为在 P,A,。所在的大圆中，有 PAE 2PO=6 P E,故 PE=二 从 而6AE=PR-陪.6因 此AB=氏 AE J烫T,四棱锥的3俸体积1 z 厂(36-尸)V=-XAB2XPE=.3182令/U)=/(3
27、6-x),x e 9,2 7 ,贝 4 丫=1,f(x)=3x(24-x).当 9x 0,工)单调递增；当 2 4 工 2 7 时.f(x)0,/(X)单 调 递 减.故/(x)m“=/(2 4)=2 4%12,/(*).；.=m in 1/(9),/(2 7)|=/(9)=92 X 2 7.于 是 乙 小 二 不，嗫-=了 所以2彳7，6y41j.故正确选项为C.试 题 亮 点 棱锥和球是中学课程的必修内容 试题的正确运算必须基于空间想象，同时还必须依靠严密的逻辑推理，才能发现空间几何体中相关量之间的关系，进而完成对问题的求解 试题在考查立体几何基础知识、基本方法的同时，侧重考查考生的构图能
28、力、空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力.考生必须通过观察、分析、想象、判断、计算等思维过程才能求解，这充分体现了考生的数学学科素养.试题设计面向全体考生，突出对考生综合、灵活运用知识来解决问题能力的考杳，具有较好的选拔功能，实现了“服务选才、引导教学”这一高考核心功能.本题题源是教材习题，改编自2 0 1 6 年江苏高考第1 7 题。教 材 习 题 求函数y =s i n2 O c o s。马的最大值。2试 题 修 改 对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理方向：处理成侧棱长为1,高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1,高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况
29、具有一般性，将“侧棱长为1”、“母线长为1”均改为“长为a”.（1）按处理方向处理，形 成1稿.1 稿 已知一正四棱锥P-A4G0的高为P 0 1,侧棱长为4 （。0）,记乙产a=。（0 6 今，求其体积V的最大值及此时段的长。提示：V =ga，s i n2 6 c o s。，POt=acos02稿 现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥P A B C R,其侧棱长为。（a 0）,其底面正方形的中心为0 厂下部分形状为正四棱柱A B C。-A 冉GR,其底面正方形的中心为0,要求正四棱柱的高00是正四棱锥的高P O 1 的 我 （攵0）倍，求仓库容积V最大时P O 1 的长
30、.2稿分析：记 幺 股=。（0。|0,则 短=弓+2 6 八 由 2%0 5。；注意到3,当且仅当s i n?。=2 c o s 2。，即c o s。=班 时，等号成立；3V POt=acos0=-a-2 0 1 6 年江苏商考第 1 7题 为 2稿 的 特 例（高考题为a =6,%=4的情况，P0t=2-/3 ,V 0）,下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为0,要求圆柱的高。0是圆锥的高P0、的k（左 0）倍，求仓库容积丫最大时尸0 1 的长.注：该例为笔者文章“2 例谈高中数学教材试题的衍生以江苏高考数学试题命制为例 J.文理导航（中旬）,2 0 1
31、7,（0 2）”节选。也是 江苏高考数学复习指南（刘蒋巍著）、中学学科学法指导（刘蒋巍著）一书内容。以此为背景命制的题有很多，譬如：拓展阅读1:2019江 苏 19题 第 3 问及其新解法拓展阅读1:2019江 苏 19题 第 3 问及其新解法设函数/(x)=(x-a)(x-。)(x-c),a,Z?,c e R、/(x)为f(x)的导函数.4若a =0,0&,且/(x)的极大值为M,求证:M W 班.(3)因为a =0,c =l,所以/(x)=x(x-0)(x-l)=x 3-S +l)x 2+x,fx)=3 x2-2(b+l)x+b.因为0 0,则/(x)有2 个不同的零点，设为王,马(石 )
32、、A 口 b+l-yjb2-b+l b+b2-b+由 fx)=0,得 玉=-,尤 2 =-列表如下：X王（%,式2）X2(x2,+oo)fM+0-0+/(x)/极大值s极小值/所以/(x)的极大值M=解法三：T T注意到：当。(0,耳)时，c o s2 si n4 0=-2 c o s2 0 si n2 si n2 021 2 c o s2 O +si n?O +si n?6 3 4()=，2 3 2 7当且仅当si n2 6 =2 c o s2。，即c o s8 =迫 时，等号成立;3,c 4令 x =c o s-e e (0,1),则 x(l -x)-一 ；2 7因为0bWl,所以王e(0
33、,l).,4M=/(xl)=x1(/?-xl)(l-xl)xl(l-xl)-中，已知 平面 BCD,B C C D,若 A3=2,B C=C D=4,则 AC与 8。所成角的余弦值为（）A半2A/25 34.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）四棱锥尸一ABC。中，底面A8CZ）是边长为2正 的正方形，侧面以。为正三角形，则其外接球体枳最小值为A.2 8,兀 B.寺兀 C.8#兀 D.4小兀5.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）（多选题）棱长为1的正方体A
34、B C o-d g G R内部有一圆柱g o 2，此圆柱恰好以直线AC,为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以A,G为公共点的3个面都有一个公共点，以下命题正确的是（）A.在正方体ABC。-A 4 G A内 作 与 圆 柱 底 面 平 行 的截面，则截面的最大面积为巨2B.无论点。1在线段A G上如何移动，都有4 cC.圆柱0 0 2的母线与正方体ABC。-所有的棱所成的角都相等7TD.圆 柱 外 接 球 体 积 的 最 小 值 为266.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）（多选题）在棱长为1的正方体ABC C-A山ICQI，E为A
35、 Q的中点，则TTA.B,EA|C B.BE与 所 成 的 角 为 与C.四面体AiEBG的体积为t D.A C与平面ABC Q i所成的角为看7.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G 4联考数学试卷）（多选题）在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为正方形，B4_L底面ABCD,PA=AB=.G为P C的中点，M为平面P B D上一点下列说法正确的是A.M G的最小值为半B.若M 4+M G=1,则点M的轨迹是椭圆C.若加4=华，则点M的轨迹围成图形的面积为强O12D.存在点M,使得直线B M与C D所成角为308.（江苏省南通市如皋市2022
36、-2023学年高三上学期教学质量调研（三）数学试题）（多选题）在正方体4 6。一4 耳 。中，BP=ABC+/ABB,则下列说法正确的是A.若 2+=1,则 A P J.8 2B.若;1 =，。为线段4 g 上的动点，则四面体A。的体积为定值C.若丸=；,=1,R 为 线 段 的 中 点，则D.若;12+2=1,则线段AP的长度为定值9.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在棱长为2 的正方体ABC。-A 4 G。中，N 为 BC的中点.当点M 在平面O C G R 内运动时，有 MN平面A 8 D,则线段MN的 最 小 值 为.10.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2
37、022-2023学年高三上学期12月 G4联考数学试卷）在轴截面为正方形ABCO的圆柱中，M,N 分别为弧4 9,弧 8 c 的中点，且在平面ABCO的两侧.（1）求证：四边形4NCM是矩形；（2）求二面角B-M N-C的余弦值.1 1.(江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2 02 2-2 02 3 学年高三上学期1 2 月联考数学试卷)如 图 1,梯形4 8 C D 中，AD/BC,AB=B C=2,A O=4,将 沿对角线A C 翻折,使点B 至点P,且使平面B4CJ_平面ACZ),如图2.(1)求证：P A L C D；(2)连接P Q,当四面体雨C Q 体积最大时，求二面角C
38、 一出一。的大小.1 2.(湖北省二十一所重点中学2 02 3 届高三上学期第三次联考数学试题)如图，在几何体A B C D E中，底面A B C为以A C 为斜边的等腰直角三角形.已知平面A B C 1平面 A C D,平面 A B C 平面 BCE,D E /平面 ABC,A D I D E.(1)证明：D E I 平面A C D；(2)若 A C =2 C D=2,设M 为棱B E 的中点，求当几何体A B C D E的体积取最大值时A M与 C O 所成角的正切值.13.（江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题）如图，在四棱锥P-A B C D中，平 面 南
39、。，平面ABC。，AB/DC,P A D是等边三角形,已知AB=2AO=2C=4,B D=2 小,例是线段PC上的一点（不与端点P,C 重合）.（1）求证：平面平面布。；（2）若点M 是线段PC上靠近C 的三等分点，求锐二面角M-B D-C的大小.1 4.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）如图，在三棱锥A-BCD中，ABC是正三角形，平面A8CL平面BCD,B D L C D,点、E,尸分别是8C,0 c 的中点.（1）证明：8,平面AEF.（2）若NBCD=60。，点 G 是线段8。上的动点，问：点 G 运动到何处时，平面AEG与平面A C D所成锐二面角的余弦值最大.难点突破：
40、立体几何（2）1.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）在正四棱台ABC。一 A A C R 中，A8=2 4 4,胡=唐.当该正四棱台的体积最大时,其外接球的表面积为（）331 574 A.-B.337r C.-D.577r2 22.（2023届 12月高三年级苏州八校联盟第二次适应性检测）（多选题）如图，在正方体18。-/4 G A 中，,尸是底面正方形四边上的两个不同的动点，过点D、E、尸的平面记为a,贝 U （）。A.a 截正方体的截面可能是正五边形/一/B.当E,尸分别是4 5 的中点时，a 分正方体两部分 的体积匕，匕（匕 匕）之比是25:47/D K ZcC.当E,尸
41、分 别 是 的 中 点 时，4 片上存在点P 使得/尸|a J BD.当尸是BC中点时，满足|=2年用的点芯有且只有2 个（第 12题图）3.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）在棱长均相等的四面体A8CO中，P 为棱A D（不含端点）上的动点，过点A 的平面a 与平面 PBC平行.若平面a 与平面A BD,平面ACZ）的交线分别为机，n,则机，所成角的正弦值的最大值为.4.（2023届 12月高三年级苏州八校联盟第二次适应性检测）已知圆锥的顶点为P,圆锥底面圆心为O,A B是底面的一条直径.且与2 =石,胡为底面圆周上一动点（不与4 8 重合）.（1）设尸8 的中点为N,求证：ON 平面（2）二面角4-尸用-8 的大小是否可能为9（T?若是，求M的位置；若不是，请说明理由.（第20题图）祝你2023金榜题名!