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1、决胜2022年中考数学压轴题全揭秘（浙江专用）专题17阅读理解创新型问题【例 1】（2020扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y 满足3 x-y=5，2r+3y=7，求 x-4y和 7x+5y的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得x、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得x-4 y=-2,由 +X 2 可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题：（1）已
2、 知 二 元 一 次 方 程 组 7 则 x-y=-1 ,x+y=5；U +2y=8,(2)某班级组织活动购买小奖品，买2 0支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需3 2元，买3 9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需5 8元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？(3)对于实数x、y,定义新运算：x*y=o r+力+c,其 中 八b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 3*5 =1 5,4*7=2 8,那么 1*1=-1 1 .【分析】(1)利 用 -可 得 出x-y的值，利用(+)可 得 出x+j的值；(2)设铅笔的单价为机元，橡皮的单价为元，日记本的单价为p元，根据“买2 0
3、支铅笔、3块橡皮、2本I I记本共需3 2元，买3 9支铅笔、5块橡皮、3本口记本共需5 8元”，即 可 得 出 关 于n,的三元一次方程组，由2 X -可得/”+”+p的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a,b,c的三元一次方程组，由3 X -2 X可得出a+6+c的值，即1*1的值.【解析】由 -可得：x-y=-I,1由耳(+)可 得：x+y=5.故答案为：-1:5.(2)设铅笔的单价为用元，橡皮的单价为元，日记本的单价为p元,依题意，得:20m 4-3 n 4-2 p =323 9 m +5九 +3 p =5 8 由2义 -可 得m+n+p=6,/.5/n+5 n+
4、5p=5 X 6=3 0.答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需3 0元.依 题 意，得：3 a +5 b +c =1 5(，1 4 a +7 b +c =2 8(2)由 3 X -2 X可得：a+b+c -1 1,即 1*1=-I I.故答案为：-1 1.【例2】(2 0 2 0宿迁)【感知】如图，在四边形A B C。中，/C=N O=9 0 ,点E在 边C D上，Z AEB,AE DE=9 0 ,求证：一=.EB CB【探究】如图，在四边形A 8 C。中，N C=/A C=9 0 ,点E在边C。上，点 尸 在 边 的 延 长 线E F AE上，N F EG=N AEB=90，且一=一,
5、连接 B G 交 CD 于点 H.EG EB求证：B H=GH.【拓展】如 图 点 E在四边形 8 内，Z A E B+ZD E C=,且 而=就，过 E作 稗 交 皿 于点凡 若NE 以=NA EB,延长尸E交 8c 于点G.求证：B G=CG.【分析】【感知】证得/8EC=/EA D,证明Rt z M EDs REB C,由相似三角形的性质得出一=,EB CB则可得出结论；EF DE【探究】过点G作 GM_LC3于点M,由(1河 知 一=.证得8 c=G/W，证明 8 C“四 GMH(AAS),EG GM可得出结论；【拓展】在 E G上取点M,使N B?WE=Z A F E,过 点 C作C
6、 N/B M,交 E G的延长线于点N,则/N=AE EF DE EF/B M G,证 明 由 相 似 三 角 形 的 性 质 得 出 一=，证明DEFSECN,则 一=，B E B M EC CNEF EF得 出 一=,则 BM=CM 证明 BGMg aCGN(A 4 5),由全等三角形的性质可得出结论.B M CN【解析】【感知】证明：N C=N O=N AE 3=90 ,N B E C+N A E D=Z AED-Z EAD=90 ,：/B E C=/E A D,/.Rt AA DRt AE BC,AE DEEB CBE F DE【探究】证明：如 图】，过点G作于点M由 可 知 茄=加.
7、DE DE*9 GM CB：.BC=GM,又NC=NG M H=90,/C H B=N M H G,:A B C晔4G M H (A4S),BH=GH,【拓展】证明：如图2,在EG上取点M,使过点。作CNB M,交E G的延长线于点M 则NN=NBM G,V ZEAF+ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZAEB-ZBEM=0,ZEFA=ZAEB,:/E A F=/B E M,A E F sE B M,.AE EFBE 一V ZAEB+ZDEC=180,Z E M+Z D FE=180,而/硼=/4 ,:/C E D=N E F D,N8MG+N8W E=180,/N=N E F D,：N EFD+
8、/EDF+/FED=N FED+/DEC+N CEN=180,；NEDF=NCEN,:D E F sR E C N、DE EF 1=,EC CN AE DE又,:-=-，EB ECeEF EFa，BM-CN；,BM=CN,又,：N N=N B M G,N B G M=N C G N,，丛B G M g A C G N(A 4 S),：.BG=CG.【例 3】(2 02 0南通)【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.(1)如图，对余四边形488中，AB=5,BC=6,C D=4,连 接 4c.若 A C=4 B,求 si n/C A。的值；(2)
9、如图，凸四边形4 B C C 中，A D=B D,A D A.B D,当 2c=。2 时，判断四边形ABC。是否为对余四边形.证明你的结论；【拓展提升】(3)在平面直角坐标系中，点 A (-1,0),B(3,0),C(1,2),四边形A B C O 是对余四边形，点 E在 对 余 线 上，且位于AABC内部，Z A E C=90 +Z A B C.设一=“，点。的纵坐标为/,请直接写BE出关于f 的函数解析式.【分析】(1)先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出si n N C A D 的值.(2)通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾
10、股定理来证明四边形 A 8 C。为对余四边形.(3)过点。作 OH _ Lx 轴于点，先证明得出“与 AO 的关系，设。(x,f),再利用(2)中结论，求 出 与/的 关 系 即 可 解 决 问 题.【解析】(1)过点A作 A E _ L8 C 于E,过点C作C F L A D T F.图：AC=AB,:.BE=CE=3,在 RtAAEB 中，AE=/AB2-BE2=V52-32=4,:CFLAD,A ZD+ZFCD=90,V ZB+ZD=90,：/B=/D C F,V ZAEB=ZCFD=90，：.AAEBsADFC,EB ABCF CD三_ gCF 一 4CF=12号.CF.12s m/C
11、 A O=/=TF(2)如图中，结论：四边形ABC。是对余四边形.理由：过点。作。M_LOC 使得。M=D C,连接CM.四边形 A8CD 中，AD=BD,ADLBDf,.ND4B=NQ8A=45,V ZDCM=ZDMC=45,：.ZCDM=ZADB=90,：.4ADC=/BD M,AD=DB,CD=DM,ADC%/XBDM(SAS),：.AC=BM,：2CD2+CB2=CA29 CM2=DMCD2=2CD2,：.CM2+CB2=BM2f：.ZBCM=90,；NDCB=45,A ZDAB+ZDCB=9O0,/.四边形ABCD是对余四边形.(3)如图中，过点。作OHLx轴于H.：.OA=f 08
12、=3,A8=4,AC=8C=2VL：.AC2+BC2=AB2,：.ZACB=90Q,：.ZCBA=ZCAB=45,四边形ABCD是对余四边形，/.ZADC+ZABC=90,A ZADC=45,V ZAC=90+NA8c=135,A ZADC+ZAEC=SO,A,D,C,E四点共圆，ZACE=ZADE,V ZCAE-ZACE=ZCAE+ZEAB=45Q,；NEAB=NACE,:/EAB=/ADB,/ZABE=ZDBA,：.XNBEsXDBA,.BE AE ,AB AD.AE AD BE AB.AD=丁，设 D(x,f),由(2)可 知,B D2=2 C D2+AD2,：.(x-3)2+?=2(x
13、-1)2+(r-2)2+(x+1)2+,整 理 得(x+1)2=4/-Z2,在 Rt/ADH 中，A D=JAH2+D H2=y/(x +l)2+t2=2事,=丁=2 (0Z4),即“=苧(0r 0)的图象如图所示.求证：该函数的图象上不存在点C,使 d(O,C)=3.(3)函数y=-5x+7(x O)的图象如图所示，。是图象上一点，求“(0,。)的最小值及对应的点D的坐标.【问题解决】(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以M 为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)【分析】(1
14、)根据定义可求出4(0,4)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；由两点间距离：4(4,B)=加-劫+|)，|-”1 及点B是函数y=-2x+4的图象上的一点，可得出方程组,解方程组即可求出点B的坐标；(2)由条件知x 0,根据题意得x+(=3,整理得/-3 x+4=0,由a v O 可证得该函数的图象上不存在点C,使 4(。，C)=3.(3)根据条件可得仅|+*-5X+7,去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；(4)以M 为原点，MN所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xO y,将函数y=-x 的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E,过点E 作垂足为，修
15、建方案是：先沿MN方向修建到，处，再沿4 E 方向修建到E 处，可由d(。，P)2 d(O,E)证明结论即可.【解析】(1)由题意得：d(。，A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；设 8(x,y),由定义两点间的距离可得：|0-x|+|0-y|=3,，x+y=3,.俨+y=3,(y=-2x+4,解 得:;二,：.B(1,2),故答案为：3,(1,2)；(2)假设函数y=：(x0)的图象上存在点C(x,y)使 d(。，C)=3,根据题意，得|尤-0|+停 一 0|=3,%0,4 4 4.,-0,|x-0|+P-0|=x+pX 人 人.-4_ 2 X+x 3+4=3x,./-3x+4=0,；.
16、=廿-4“c=-70,又x2 0,.d(O,D)=|x|+M -5 x+7|=x+/-5 x+7=7 -4 x+7=(x-2)2+3,.当x=2时，d CO,Z有最小值3,此时点。的坐标是(2,1).(4)如图，以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xO y,将函数=-x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E,过点E作E H L M N,垂足为，修建方案是：先沿MN方向修建到“处，再沿”E方向修建到E处.V Z E F/=4 5 ,：.EH=HF,d(O,E)=O H+EH=O F,同理d (O,P)=O G,：O GO F,：.d(O,P)N d(O,
17、E),上述方案修建的道路最短.BC AB【例5】(2。2。徐州)我们知道：如图，点8把线段4 c分成两部分，如 果 而=就，那么称点B为线金1段A C的黄金分割点.它们的比值为2(1)在图中，若 A C=2 0 a,则A 8 的长为(104一1 0)c m；(2)如图，用边长为20。的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABC。得折痕E F,连 接 CE,将 C8折叠到CE上，点 8 对应点H,得折痕C G.试说明：G 是4 8 的黄金分割点；(3)如图，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABC。的边AO上任取点E(AE O E),连接BE,作C F L B E,交.A B于点F,延长EF、C
18、 B交于点P.他发现当P B与 BC满足某种关系时，E、尸恰好分别是A。、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.图B【分析】(1)由黄金分割点的概定义可得出答案;(2)延长4,CG交于点M,由折叠的性质可知，NE C M=NBC G,得出/E M C=N E C M,则 EM=E C,根据勾股定理求出CE的长,由锐角三角函数的定义可出tan/8CG=等,即 詈=等则可得出答案;4E AF证明”心8 6 A S A),由全等三角形的性质得出8户=在,证明4止 必 诋,得 出 而=则可得出答案.【解析】:点 8 为线段AC的黄金分割点，AC=20c m,x20=(10V5-10)c m.
19、故答案为：(10近 一 10).(2)延长E4,CG交于点M,.四边形A8C/)为正方形,：.DM/B C,:.N E M C=N B C G,由折叠的性质可知，N E C M=N B C G,；NEMC=NECM,：.EM=EC,)=10,DC=20,：.EC=DE?+DC2=V102 4-202=10倔.,.iW=10V5,/.DM=10V5-F10,/.tanZDA/C=20=2=75-11075+10 75+1 2J5-1A tan Z5CG=:-L,即 吧=在 二，BC 2:AB=BC,.BG V5-1 1=,AB 2.G是A8的黄金分割点;(3)当3P=8C时，满足题意.理由如下：
20、四边形ABC。是正方形,：.AB=BC,NBAE=NCBF=90,:BEtCF,N ABE+N CF3=90,又：NBCF+NBFC=90,:.NBCF=NABE,：./ABE/BCF(ASA),：BF=AE,U：AD/CP,：./AEF/BPF,.AE AF_.1=,BP BF当E、”恰好分别是A。、AB的黄金分割点时,；AEDE,.AF BF ,BF ABV B F=AE,AB=B C,.AF B F AE-B F AB B tAE AE ,B P B C:.B P=B C.【例6】（2 0 2 0常州）如 图1,。/与直线a相离，过圆心/作直线”的垂线，垂足为H,且交0/于尸、Q两 点（
21、。在P、H之间）.我 们 把 点P称为。/关于直线a的“远 点“，把P Q-P H的值称为。/关于直线a的“特征数（1）如图2,在平面直角坐标系X。），中，点E的坐标为（0,4）.半径为1的。与两坐标轴交于点A、B、C、D.过 点E画垂直于），轴的直线修，则G。关于直线，的“远点”是点 D（填 察 、“8”、“。”或“。”）,关于直线机的“特征数”为10 ；若直线n的函数表达式为y=V3A+4.求 关 于 直 线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系x O y中，直线/经过点M（l,4）,点尸是坐标平面内一点，以尸为圆心，企为半径作0 F.若。尸与直线/相离，点N（-1,0）是 关 于 直 线
22、/的“远点”.且。尸关于直线/的“特【分析】（1）根据远点，特征数的定义判断即可.如 图1中，过点O作 直 线 于H,交OO于Q,P.解直角三角形求出P H,P。的长即可解决问题.（2）如图2中，设直线/的解析式为 =丘+从 分两种情形k 0或0时，过 点 尸 作 直 线/于“，交。尸于 N.由题意，EN=22,E NN H=4店,：.N H=7 10,:N(-1,0),M(1,4),：.MN=V22+42=2 V5,H M=y/MN2-N H2=V2 0-10 =Vl O,是等腰直角三角形，M N 的中点 K（0,2）,:.K N=HK=K M=7 5,：.H（-2,3）,把（-2,3）,M
23、（I,4）代入则有 匕弁+；）3，r,ik-彳解得；.直线/的解析式为）=%+，当k 0）且平行于x轴的直线交直线O A于点例，交直线0 8于点M 以线段O M、O N为邻边作矩形0 M p M（1）若点A的横坐标为8.用含m的代数式表示M的坐标；点尸能否落在该二次函数的图象上？若能，求出，的 值；若不能，请说明理由.（2）当机=2时，若 点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式.【分析】（1）求出点A的坐标，直线直线O A的解析式即可解决问题.求出直线0 8的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出，的值即可.1(2)
24、分两种情形：当 点 A 在 y 轴的右侧时，设 A(a,-/),求出点P 的坐标利用待定系数法构建4方程求出a 即可.当点A 在 y 轴的左侧时，即为中点B的位置，利用中结论即可解决问题.【解析】(1)点A 在 的 图 象 上，横坐标为8,(8,16),直线0 A 的解析式为y=2x,点M的纵坐标为m,1.M(-/?,m ).2假设能在抛物线上，连接。尸.V Z AO B=90 ,直线0 B的解析式为产一 Jr,点N 在直线OB上，纵坐标为?，:N (-2m,m),MN的中点的坐标为(一加7,根)，4,：.P(-|m.2 m),把点尸坐标代入抛物线的解析式得到，”不(2)当 点 A 在 y 轴
25、的右侧时，设 4(“，-a2),-4，直线OA的解析式为=8(一，2),a:O B LO A.二直线0 8 的解析式为产一京，可得A U-去 2),8 a8 a：.P(-,4),代入抛物线的解析式得到，一一一=4,a 2a 2解得，=4戊 4,，直 线 0 4 的解析式为y=(V 2 l)x,当点4在y轴的左侧时，即为中点B的位置，直线OA的 解 析 式 为 尸-（V 2 1）x,综上所述，满足条件的直线0 A的解析式为y=（迎l）x或y=-（V 2 +1）x.【例8】（2 02 0泰州）如图，二次函数y i=a（x-加 2+n,y n f）c v?+n（a?0,n 0）的图象分别为Ci、C2
26、,。交），轴于点P,点4在Ci上，且位于y轴右侧，直 线 以 与C2在），轴左侧的交点为B.（1）若P点的坐标为（0,2）,G的顶点坐标为（2,4）,求。的值；（2）设 直 线 山 与y轴所夹的角为a.当a=45 ,且A为Ci的顶点时，求a m的值；DA 若a=9 0,试说明：当“、皿、各自取不同的值时，而的值不变；（3）若 以=2 P8,试判断点A是否为Ci的顶点？请说明理由.【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可.（2）如 图1中，过点A作AN_Lx轴于N,过点于M.证明AM=PM=/n,根据AM+MNA M+O P=A N,构建关系式即可解决问题.如 图2中，由题意AB J _y轴，求
27、出B 4,P 8的长即可解决问题.（3）如图3中，过点A作轴于，过点P作PK _LAH于K,过点8作B E _LK P交K尸的延长,BE PB 1线于 E.设 B（b,6a b2+n）,由 PA=2PB,推出 A-2b,a（-2b -m）2+n ,山 8 AK,推出一=一=AK PA 2推出A K=2 B E,由此构建关系式，证明m=-2即可解决问题.【解析】(1)由题意团=2,=4,.y=a(x -2)2+4,把(0,2)代入得到。=-1.(2)如 图1中，过点A作A M L x轴于M 过点尸作PM_LAV于M.P(0,a n+n),V A(mf n)9：.PM=mf AN=n,V Z AP
28、M=4 5,：.AM=PM=m,m+a m+n=nfV/720,.M=-1 .如 图2中，山题意AB _Ly轴,:P(0,am2+n)当 y=anr-n 时,ai+n=6/+,V 6解得x=-m,6:.B(眸tn，anr-n)，oPB=9 m,o：AP=2m,PA 2m=-7F-=25/6.P B当n6(3)如 图3中，过 点A作轴于，过 点 尸 作P K _LA于K,过 点8作8 ELKP交KP的延长线设 3(/?,6abi+n),:PA=2PB,点A的横坐标为-2b,/.A -2b9 a(-26 -in)2+n,/B E/AK,.B E PB 1 A K PA 2：.AK=2B E,.a（
29、-2b -m）2+n -a m-n 2 Ca m+n -6a b2-r i ）,整理得：-2-2h m-昉2=0,（m -4 b）Cm+2h）=0,：m-4 h 0,.,.m+2b=0,.m-2b,.,.A（m ），.点A是抛物线Ci的顶点.【例9】（20 20连云港）（1）如 图1,点P为矩形A8 C。对角线8 上一点，过 点P作E/B C,分别交AB.C D 于点、E、F.若 B E=2,PF=6,尸的面积为$,CF P 的面积为 S2,则 S i+S z=12；（2）如图2,点尸为团A8 C 内一点（点 P 不在BD 上），点 E、F,G、，分别为各边的中点.设四边形AE P H的面积为
30、Si，四边形P F CG的面积为S 2（其中S2S i）,求 P8。的 面 积（用含Si、S 2的代数式表示）；（3）如图3,点P为I 2ABC。内一点（点P不在8。上），过点P作E尸AO,H G/AB,与各边分别相交于点E、F、G、H.设四边形AEPH的面积为S”四边形P GCF的面积为$2（其中$2Si）,求 PB。的 面 积（用含Si、S 2的代数式表示）；（4）如图4,点A、B、C、。把00四等分.请你在圆内选一点尸（点P不在AC、8。上），设尸8、P C、处围成的封闭图形的面积为S i,PA,P D、松围成的封闭图形的面积为S 2，P8 O的面积为S 3,附C的面积为S4,根据你选的
31、点P的位置，直接写出一个含有&、S 2、S 3、S 4的 等 式（写出一种情况即可）.ADAHDB C图1图3图4【分析】(1)如 图1中，求出PR7的面积，证 明 的 面 积=的面积即可.(2)如图2中，连接BA,P C,在A P3中，因为点E是A 3的中点，可设SAAPE=Sm5E=m同理，S$P H=S PDH=b,SAPDG=SAPGC=C,SF C=SAPB l=d，证明 S 四 边 形A P”+S 四 边 形 户 户C G=S 四 边 形 尸 双 斗5四 边 彩 P0 G=S|+S2,推出 SAABO=2$平 行 四 边 谈 ABC D=S 1+S 2，根据 SAPBD=SAABD
32、-(SI +S&PBE+SAPHD)=5I+52-(S i+a+S i -“)=S 2-S i.可得结论.(3)如图3中，山题意四边形E8 GP,四边形”力切 都是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可.(4)分四种情形：如图4-1中，结论：S2-S1=S3+S4.设 线 段 线 段 以，弧4 8围成的封闭图形的面积为x,线段PC,线段PO,弧CO的封闭图形的面积为y.由题意：Sl+x+S4=Sl+y+S3,推出x-y=Si -S4 由题意 S i+S 2+x+y=2(S+x+S4),可得 S 2-Si=x -.y+2s 4=S 3+S 4.其余情形同法可求.【解析】(1)如 图1中，图1过
33、点P作PA/-LAO于M,交 BC 于 N.,四边形A8 CO是矩形，EF/B C,二四边形AE P M，四边形M PFQ,四边形B NPE,四边形P N C尸都是矩形,:,BE=PN=CF=2,S&PFC=qxPFXCF=6,S&AEP=SM P M，S&PEB=SAPBN，S&PDM=S FD，S丛PCN=S/PCF，SbABD=SBCD，-5 矩形 A P M=S 矩形 PNCF，/.S|=S2 =6,.,.5 1+5 2=12,故 答 案 为12.(2)如 图2中，连 接 布,PC,图2在4P3中，,点E是A 3的 中 点，；可设 S a A P E=S 4 P 8 E=，同 理，SA
34、PH=SPDH b,SAPDG=SAPGC=C，S&PFC=S&PBF=d，S 川边形 AEPH+S 川边形 PFCG=a+b+c+d，S 川边形 PEB/7+S 四边形 PHDG=a+b+c+d,-5四边形AE P”+S四边形PF CG =S四边形PE 8尸+S四边形PHDG=Sl+S2,*SABD=1-S 平行四边形 4B CO=S1+S2，:S4PBD=SzBD-(S+SAPBE+SAPHD)=S1+S2 -(Si 4-6 7+5 1-a)=S 2 S.(3)如 图3中，由 题 意 四 边 形E 8 G P,四 边 形HPF。都 是 平 行 四 边 形，*5 四边形 EBGP=2SAEB
35、P，S 四边形 HPFD=2S/HPD，SAAB=平行四边形AB CO=(SI+S2+2SAEBP+2 s”p。)=：(S1+S2)+SAEBP+SAHPD，.1:S&PBD=S&ABD-(S+SEBK SAHPD)=3(S2 -Si).(4)如 图4-1 中，结 论：5 2 -5 1=5 3+5 4.理 由：设 线 段P以线 段 以，弧A 8围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为x,线 段 尸C,线 段P D,弧。的 封 闭 图形 的 面 积 为y.由 题 意：Si+x+S4=Si+.y+S3,x y=S3 S4,*S 1 +S2+x+y=2(S1+X+S4),S2 S=x-y+2s4=
36、5*3+S4.同法可证：图4-2中，有结论：S-S 2=S3+S4.图4-3中和图4-4中，有结论：|Si-S2|=|S3-54|.图4-1 图4-2 图4-3 图43【例10(2020镇 江)【算一算】如图，点A、8、C在数轴上，8为A C的中点，点A表 示-3,点8表 示1,则点C表 示 的 数 为5,AC长 等 于8；【找一找】如图，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、8分别表示实数苧1、y+1,Q是A B的中点，则 点N是这个数轴的原点:【画一画】如图，点A、B分别表示实数c-、c+，在这个数轴上作出表示实数的点E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；【用一用】学校设置了
37、若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测。个学生.凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有“个学生，每分钟又有b个学生到达校门口.如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校：如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校.在这些条件下，。、S、b会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图，他将4分钟内需要进校的人数加+46记作+5+4 b),用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作-8，用点B表示.用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、-12。的点F、G,并写出+(m+2 b)的实际意义；
38、写出人团的数量关系：加=4。.B01图MAN P Q 3、-F*-F*旦 1-4-1-8a 0 4 b图【分析】（1）根据数轴上点4对应-3,点8对 应1,求得A 8的长，进而根据4 B=8 C可求得A C的长以及点C表示的数；（2）可设原点为0,根据条件可求得A B中点表示的数以及线段A 8的长度，根据4 8=2,可得A Q=B Q=l,结合0。的长度即可确定N为数轴的原点；（3）设A 8的中点为M,先求得A B的长度，得到A M=B M=，根据线段垂直平分线的作法作图即可；（4）根据每分钟进校人数为b,每个通道每分钟进入人数为a,列方程组:：为;胃 根据?+2 6=0F,”+4=1 2“，
39、即可画出尸，G点，其中，”+2 6表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；解中的方程组，即可得到僧=4”.【解析】（1）【算一算】：记原点为0,-3）=4,：.AB=B C=4,：.O C=O B+B C=5,A C=2 A 8=8.所以点C表示的数为5,A C长等于8.故答案为：5,8；（2）【找一找】：记原点为O,J7,V 2苧+1 -（-1）=2,2 2：.AQ=B Q,，0 Q=0 8-8 Q=+l-1=冬为原点.2 2图A B-1-c-n 0 c+”图B A故答案为：N.(3)【画一画】：记原点为0,由 A 8=c+-(c -n)=2”,作4 B的中点M,得 A M=B M=n,
40、以点。为圆心，A M=n氏为半径作弧交数轴的正半轴于点E,则点E即为所求；(4)【用一用】：在数轴上画出点凡G；V 4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，m+4 b=3Xa X 4,即，+4 h=1 2 a (I )；V 2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，：.m+2b=4 X a X 2,即 m+2b=Sa(I I )；以0为圆心，。8长为半径作弧交数轴的正半轴于点F,则点F即为所求.作0 B的中点E,则。E=B E=4 a,在数轴负半轴上用圆规截取0 G=3 0 E=1 2 a,则点G即为所求.QBE,)*-12ao 2 b 皿图+(m+2h)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学
41、生人数;方 程(I I )X 2 -方 程(I )得：m=4 a.故答案为：m=4 a.【例1 1 (2 0 2 0淮 安)初步尝试(1)如图，在三角形纸片A B C 中，N A C 8=9 0 ,将aABC折叠，使点B与点C重合，折痕为M N,则A M与BM的 数 量 关 系 为A M=BM :思考说理(2)如图，在三角形纸片4 B C 中，A C=B C=6,A 8=1 0,将 A B C 折叠，使点8与点C重合，折.AM痕为M N,求;7 7 的值；拓展延伸(3)如图，在三角形纸片A B C 中，A 8=9,B C=6,Z A C B=2 Z A,将 A B C 沿过顶点C的直线折叠，使
42、点8 落在边AC上的点夕 处，折痕为C M.求线段AC的长；若 点。是边AC的中点，点 P为线段0 B，上的一个动点，将 A P M 沿 PM折 叠 得 到P M,点 A的对应点为点A ,A M 与 C P 交于点、F,求冬 的取值范围.M FC图 图 图【分析】(1)利用平行线的方向的定理解决问题即可.(2)利用相似三角形的性质求出B M,AM即可.BC BM CM(3)证明8C MS/8A C,推 出 方=，由此即可解决问题.pp DAf pp DAf 证 明 物 s/X M F C,推出=,因为CM=5,推出=即可解决问题.FM CM FM 5【解析】(1)如图中,图A B C 折叠，使
43、点8 与点C重合，折痕为M N,.M N 垂直平分线段8C,:.CN=B N,:NMNB=NACB=90,：.MN/AC,:CN=BN,故答案为(2)如图中,图。=。8=6,NA =N8,由题意MN垂直平分线段BC,BM=CM,NB=NMCB,.ZBCM=ZA9/B=/B,.BCMsBAC,BC9 BABMBC6BM106BM=1 8i o on3 知=10-m=甘,AMBM325185169(3)如图中,cA M B图由折叠的性质可知，CB=CB=6:ZAC B=2ZAf：.Z B C M=Z Af:.丛 BCM s 丛 BAC,.BC BM CM99AB BC AC.6 BM9 68M=4
44、,.AM=CM=59.6 5 9 -AC：.AC=-.如 图 -1 中,A A/B图1V ZA=Z A =ZM CF,NPFA：./PFA s/M F C,.PF PA FM-CM,ZBCM=ZACM,=NMFC,P A=P A,U：CM=5,PF PAf FM 5点尸在线段0 3上运动，O A =O C=竽，A B=m一6=方3,一 PAf215Tf是等垂弦，E为等垂弦A 3、CO的分割点.【数学理解】（1）如图，4 8是。0的弦，作O C _ L O A、O D A.O B,分别交。于点C、D,连接C D求证：AB,C O是 的 等 垂 弦.BE 1（2）在。中，。的半径为5,E为等垂弦A
45、 8、CQ的分割点，=求A B的长度；AE 3【问题解决】（3）4 8、C D是。的两条弦，C D=A B,且C _ L A B,垂足为凡在图中，利用直尺和圆规作弦8（保留作图痕迹，不写作法）；若00的半径为r，（?为常数），垂足F与。0的位置关系随切的值变化而变化，直接写出点尸与。0的位置关系及对应的m的取值范围.【分析】（1）连接8C,由圆心角相等可得A B=C）,由圆周角定理可得/A B C=*/A O C=4 5 ,Z B C D=1*2 0 0=4 5。，可证A 3 _ L C Z）,可得结论;（2）分两种情况讨论，过点。作作。G LC D,可证矩形OHEG为正方形，利用勾股定理可求
46、解；（3）如图所示;先求出点尸在。上时，m的值，即可求解.【解析】证明：（1）如图，连接8C,VOCLOA,OD1OB,：.ZAOC=ZBOD=90,：.ZAOB=ZCOD,：.AB=CD,V ZABC=|ZAOC=45,NBCD=*BO D=45。,Z./AEC=ZABC+ZBCD=90,即 AB LCD,：AB=CD,AB VCD,.45、CO是。的等垂弦；(2)如图，若点E在。内，过点。作CWLAB,垂足为H,W-0G 1C D,垂足为G,：.AB=CD,AB LCD,，四边形OHEG是矩形，JOHLAB,OG1CD,：.AH=AB,DG=CD,：.AH=DG,又；。4=0。，:.AH
47、gXD G O (HL),：.OH=OG,矩形CWEG为正方形，：.OH=HE.BE 1,:=S.AH=BH,AE 3：.AH=2BE=2OH,在 RtZXAOH 中，AO1=AH2+OH2.即(20H)2+OH2=AO2=25,解得0H=V5,.8=4HE=4V5；若点E在。外，如图，过点。作OHLAB,垂足为“，作OGLCQ,垂足为G,同理，AH=V 5,贝I 4B=24H=2而；(3)如图，作直径4 E,作4E的垂直平分线交A8的延长线于F,过点尸作EFL4尸交。丁-E,作E尸的四等份线交。于C,D,则 弦CD即为所求：如图，当点尸在O O 上时，过点。作。，J_A 8,垂足为“，作 0
48、GLC7）,垂足为G,图同理可证四边形O H B G是矩形,rnr T Y T T.BH=F OH=BG=：OB2=B H2+O H2,?m 2r 2,m2r 216777=.当，时，点尸在。o上;当行时，点 尸 在 外;当，时，点尸在0。内.2.（2020滨湖区一模）阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”.事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”，如 图 1,在A 8C中，如果A 8 A C,那么NA C 2 /A B C.证明如下：将 48沿ABC的角平分线AO翻 折（如图2）,因为4 8 A C,所以点B 落在AC的延长线上的点夕 处.于是，由NA C B /8,Z A B
49、C=Z B,可得NAC8NABC.（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法.由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”，如图3,在ABC中，如果NACBNABC,那么A B A C.小明的思路是：沿B C的垂直平分线翻折请你帮助小明完成后面的证明过程.（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4,已知M 为正方形ABC。的边CQ上 一 点（不含端点），连接AM 并延长，交 BC的延长线于点N.求证：AM+AN 2B D.【分析】（1）将沿8c 的中垂线DE翻 折（如图3）,使点8落在点C处.求得连接。C,根据线段垂直平分线的性质得到。8=OC,根
50、据三角形三边关系即可得到结论：（2）如图4,延长。C到点 使得CE=CM 连接AE交 8c 于点F,连接A C,根据正方形的性质得到/ACO=N4CB=45 ,求得NACE=/ACN=135 ,根据全等三角形的性质得到A E=4 V,过点C作尸Q_LAC,分别交AN、A E 于点、P、Q,求得AP+4QZ 4C,得至U QE C。，同理可得尸C PM,等量代换即可得到结论.【解析】（1）将NB 沿 BC的中垂线QE翻 折（如图3）,使点8落在点C处.Z A C B Z A B C,二8 在 ABC的内部，力落在A 8 上.连接。C,YOE为 BC的中垂线，：.DB=DC,在 AOC 中，A D