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1、2022年全国卷高三第一次模拟考试数学试卷学校:姓名：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _班级：考号：第 I卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人 得分-一、选择题(共8 题，每题5 分，共 40分)1.设下为抛物线C f=2p x(p 0)的焦点，过尸且倾斜角为60的直线交抛物线C 于 4 8两点(6在第一象限,A在第四象限)，。为坐标原点,过/作。的准线的垂线,垂足为M,则|O B 与的比值为A.V3 B.2 C.3 D.42.分别对函数片s i n *的图象进行如下变换:先向左平移已个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的！倍,得到片/(x)的图象;先将其上各点的横坐
2、标缩短到原来的倍,然后向左平移三个单位长度,得到产g(x)的图象.以下结论正确的是A.f(x)与 g(x)的图象重合B.人力的图象向左平移三个单位长度可得g(x)的图象C.f(x)的图象向左平移?个单位长度可得g(x)的图象D.f(x)的图象向左平移巳个单位长度可得g(x)的图象3.函数/(x)=4s i n(。户。)(。0,。|,其部分图象如图所示，则 f(x)的表达式是A.f(x)=-#s i n(2片乡 B.f(x)=誓s i n(2学C.f(x)=-?s i n(2叫)D.f(x)=苧s i n(2叫)4.已 知 尸 是 双 曲 线 的 一 个 焦 点，点 P 在 C 上,。为坐标原点
3、.若加=1的，则的面积为A.-B.-C.-D.-2 2 2 25.给出下列命题：对分类变量才与卜的随机变量*的观测值4 来说,A越小，判 断“X与 r 有关系”的把握越大；(2)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数,则样本的方差不变；(3)在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越窄,其模型拟合的精度越高；设随机变量;服从正态分布M 0,1),若 以 C 1)=0,则 P(-1 f 0,y 0,贝壮+工的最小值为x y x yA.士 B.1 C.2 D.16168.执行如图所示的程序框图,若输入的吟,则输出的后A费 B.|g C请D.四25612345678第 I I 卷 回请点击修改第
4、n卷的文字说明日选择题)评卷人 得分-二、填空题(共6 题，每题5 分，共 30分)(2 x-3y+6 0,9.已知动点P(x,y)满足不等式组|x+y-l 0,贝 i j z=y-2 x 的最小值是.1 0 .已知关于x的不等式谟2 皿-2 a 2 i g o,aw。的解集为(-劣2 a),且函数f(x)=J(N+2n l.叽1 的定义域为R,则 实 数 卬 的 取 值 范 围 为.1 1 .已知点P是直线1:5 2 产 8=0 上的动点，点。在函数/(x)=/+2 1 n x的图象上，则|/喇的最小值为.1 2 .数列 2 满足&H+(T)3,=加1,则 a,前 40 项的和为.1 3 .
5、直 线1过点尸(1,0),且与以力(2,1),8(0,V3)为端点的线段有公共点,则直线1的斜率k的 取 值 范 围 为.1 4.若 用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性都不同的六位数,则这样的六位数共有 个(用数字作答).评卷人 得分三、解答题(共6 题，共 80分)1 5 .已知以坐标原点为圆心的圆截直线广2 厂1=0 所得的弦长等于警,过点0(0,-2)的直线1交圆E于 A,8 两点,交x 轴于点M,点A关于x 轴对称的点为点。(不与点8 重合)，直线优 交“轴于点儿(D 求圆的方程；(2)随着直线/的转动(不与y 轴重合)，网
6、|创 是否为定值?请说明理由.1 6 .(本题满分1 5 分)已知等差数列 8 满足2 a,+a/i=3 k2,数列也 满足仇=1,办厂b,=3a,p G N*.(D 求数列 a ,4 的通项公式;设数列 片-的前项和为S,若不等式(2 b,T)WST对 任 意 恒 成 立,求 实 数k的取值范围.1 7 .在 S,+4 是公比为2的等比数列,点(用心S)在直线片3 厂4=0 上,5=4(1-d)(/#0,q 0),a m 是 与 g 2+1 的等比中项这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中，若问题中的数列存在,求数列 T一 的前项和北；若问题中的数列不存在,说明理由.(n+2)log2an
7、问题:是否存在数列3)满足为=4,其前n项和为S,且?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.1 8.在中，Z4 N B,/C的对边分别为a,b,c,已知向量炉(c o s/氏2 c o s?亨-1),Z F(C,b-2 a),ZFO.(1)求NO的大小；若点为边股上一点，且满足而=而，I而|=夕,C=2V3,求46C的面积.19.选修4 T:不等式选讲已知函数 f(x)/2 xa/+/xa+l/.(1)当天4时,求解不等式f(x)28;n2(2)已知关于x的不等式f(x)在R上恒成立,求参数a的取值范围.2 为参数),以坐标原点。、=2+今2 0.在平面直角坐标系x如 中，直线/的参
8、数方程为为极点,X轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线。的极坐标方程为0cos2 0=sin 9.(1)求直线/的普通方程及曲线C的直角坐标方程；若 直 线/与 曲 线。交于4 8两点求|为 阳|的值.参考答案1.C【解析】抛物线c-y=2 p x(p 0)的 焦 点%0),准 线 下 直 线AB-.片 旧(x-乡，与抛物线方程联立,消去x 得,V 3y-2 py-V 3p-0.设力(旗,防),夙孙秉)，则 Z F-y P,小 魂 故 做-p),则I 阴将归 6P代入直线4 8的方程得J f 2=1 p,故 8(|p,V3 p),则I O B =杵 +3P 2 普p,所以|仍|=3 1 掰
9、.故选C.【备注】无2.D【解析】本题考查三角函数图象的变换,考查考生分析问题、解决问题的能力.将产s i n x的图象向左平移己个单位长度得到产s i n C r)的图象,再将产s i n(户乡的图象上各点的横坐标缩短到原来的;倍,得至U f(x)=s i n(2;r)的图象;将产s i n x的图象上各2 6点的横坐标缩短到原来的;倍,得到产s i n 2 x 的图象,再将其图象向左平移J 个单位长度,得到 gx)=s i n 2 (A+)=s i n(2 )=s i n 2(+7 7)+7 (+7 7)的图象,所以 F(x)的图象向左平o 3 12 6 12移合个单位长度可得g(x)的图
10、象.故选|).【备注】【素养落地】试题以考生熟悉的正弦函数的图象为载体，在此基础上设置问题，能很好地达到考查考生对三角函数图象的平移与变换掌握程度的目的,突出直观想象、逻辑推理的核心素养.【名师指引】(1)将函数片s i n 3 X,。0的图象向左(0 0)或向右(。0)平移切个单位长0)度(左加右减)，得到片s i n(。石 0)的图象.(2)解决此类题需要特别注意:三角函数图象变换的口诀为“左加右减,上加下减”；自变量的系数在非“1”状态下的“提取”技巧;任何平移变换都是针对x 而言的.3.B【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的识图、用图能力.考查的核心素养是直观想象、数学
11、运算.由题图可知,L(3=W 时，片-4(吟,T)为 y 轴左边图象的第一个最低点，即5=冷(-3 甘(7 为 f(x)的最小正周期)，所 以 及 n,所 以。牛2,由“五点作图法”得2X*吟 所 以 0 冶,又 f(0)=T,所 以 左 手,即 )上枭行(2 日)，故选B.【备注】【解题关键】本题的解题关键是求/(X)的最小正周期.需要熟记正弦函数的图象特征.4.B【解析】本题主要考查双曲线的方程、定义和简单几何性质，三角形的面积等知识,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.因为c=a+Z 2=9,所以|网=|明=3.设点2的坐标为(力，则/+/=9,把/=9-f代入双曲线方程得
12、3 号 所 以S 0F I y=|.故选B.【备注】无5.B【解析】(1)中，对分类变量才与r 的随机变量/的观测值才来说越大，判 断”才与r 有关系”的把握越大，故(1)错误；(2)中,若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数,数据的离散程度不变,则样本的方差不变,故(2)正确；(3)中,根据残差的定义可知,在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越窄,预测值与实际值越接近,其模型拟合的精度越高,故(3)正确；(4)中,设随机变量f 服从正态分布M O,1),若尸(f l)=p,则狄则P(-1 0,y 0,所以(9y)(4-)-1 7 (+x y x y x y x3 (二+3,又(x+9
13、y)d +3=1 0+亚2 1 0+2住 区 1 6,当且仅当2=型时取 二”，即y x y x y y x-J y x y x匕 二;或时取=，所以 1 7-C +3 (*3 2 16.令三+,则即(一3(7=三 x y y?-1 7 t+1 6 0,解 得 lW t W 1 6,即 1 W 2+%1 6,当且仅当(:二f 时三+三2 1取“=”，当且仅(x=l当 ：时*%16 取“=，所以2+乙的最小值为1.故选B.V =x y x yJ 12【备注】无8.A【解析】执行程序框图，5 M+2 X(I)1,7=3;5=1+2 X (|)+2X (i)3,7=5;=1+2 X (|)*+2 X
14、 (i)3+2X (|)5,7=7;5=1+2 X(1)+2X (1)3+2X (i)5+2X g)7,；=9,退出循环.则输出的4 1+2X (1)+2 X ($3+2*(A)5+2X 7 嘤.故 选 A.备注无9.-2【解析】本题主要考查简单的线性规划知识,考查数形结合思想的应用.通解 可行域如图中阴影部分所示(包括边界)，作出直线片2x 并平移，由图可知，当平移后的直线经过点8 时,z 取得最小值.由：=3=上得6(1,0),故 z 的最小值为-2.(3%+y-3=U优解易知可行域如图中阴影部分所示(包括边界),易得J(-|,5),取1,0),C(3 ,分别代入灰尸2x,得z的最小值为-
15、2.【备注】无1 0.-1,0【解析】当 a l时，由题意可得x a 2 a G的解集为(-a,2a),且(e。,所以丁+2叫加W0恒成立,这显然是不可能的.当0 水1 时，由题意可得x a 2 a 0),所以/(%)二壶+:0 在(0,+8)上恒成立，所以函数/(x)在(0,+8)上单调递增，且恒在直线/的下 或知当函数F(x)图象的切线与直线/平行时，切点到直线1的距离最短,即I P Q最小.令/(工尸 土+：=*得 产 1，所以切点的坐标为(1 J)，故 I pn.J-2+8 I _ 1 W 2 9【备注】无1 2.4 4 0【解析】本题考查根据数列的递推公式计算通项公式并求和,意在考查
16、考生的推理论证能力、归纳概括能力与运算求解能力.由 什(-1)3 尸加1,可依次列出取不同值时数列项之间的关系，当上1 时，52-51=2,当炉2时，3 3+d 2=3,当上3 时，&-昕 4,当炉4时，兴+团=5,由 -得 由 得 当+日 2=7,当 =5时，a 一 匈 二 6,当上6 时，的+a=7,(6)当/?=7 时，为 一 再=8,当 n=8 时，a g+a s=9,由-得&i+a=l,由+得冬+a=1 5,类似可得 3 1 1+3 9=1,-,3 9+为7=1,&2+包。=2 3,，即a,2+a u 4 (4 C N)构成一个首项为7,公差为8的等差数列，5t o=(a i+a s
17、+a s+a?+a 3 7+a 3 9)+(a 2+a 4+a 6+a s+a 3 8+a i o)=1 X 1 0+7 X 1 Q+1 0X()-1)X 8=4 4 0.【备注】无1 3.(9,际 U 1,Q)【解析】如图，.孔 普 1,服 尸 粤 直 线/与 线 段AB 有交点，：.依(9,-2-1 0-1V 3 U 1,+o o).【备注】无1 4.2 8 8【解析】分两步进行,第一步,先从1,3,5,7中选3 个进行排列,有A%=2 4 种排法;第二步,将2,4,6 这 3 个数插空排列,有2 A A i 2 种排法由分步乘法计数原理得,这样的六位数共有2 4 X 1 2=2 8 8(
18、个).【备注】无1 5.(1)由题意可设圆的方程为7+Ar(r 0),则圆心(0,0)到直线x+2 尸1=0 的 距 离 弓 =，W+(怜 2,即 2=2,.圆的方程为x+y=2.(2)|朗|如是定直理由如下：由题意可知,直线1的斜率存在且不为0,设直线1的方程为广kx-2(V0),则 腌,0).联立直线/与圆的方程,得仔+,：2,整理得(+/)F4M2=0,(y=kx-2,4 =(-4 炉-4 X 2 X (，+1)=8(/-I)0.设 4(孙 M),8(质,y2),则 C(*i,-%),.4k 2设 MR,0),则 k/kg即=,x?-X m-x1将y=kx-2,yrkx2-2,代入并整理
19、得,庐4k 8麻啜尹j由-4二|如=尼 石=2,为定值.k【解析】无2 kx1x2-2(x1+x2)(%1+0)4【备注】【解后反思】用女将I 与I 公1 的长度表示出来是解题的突破口，关键是七二儿的应用,难点在于套用根与系数的关系进行化简.16.解：（i）设等差数列 2 的公差为d因为2&+酗=3 叱2,所 以 图1：/：唧 曾j*=2解得 a i=O,d=l9所以 a=a i+（/?-l）d=n-.因为氏 二1,除A=30n=3,所以当“22时，加=（方尸）+（如1-02）+（匠加）+瓦=3 2+3 3+3 +1 n1 2上2+1卫 也1-3 2 又 bi=l适合上式,所以b=3 2+1,
20、N.由 可 得 恶=三=品嬴不2（七一六），2 2则 S=2 （含 *）+（*含）+（E 一 焉 月=2 0 一 含）=1-募，2 4-l=3 T,因为不等式（2 4-1）WST对任意 CN*恒成立，所以 kW-（3n +今v f（n）-2=_-_ _ _ _ 7=4 （3八+13%_ 3（3 2）2+3a1 ，则 g 装 7?后 1，所 以 当 即 后 1 时,F E）取到最小值W，故 W-*所以实数k 的取值范围为（-8,一 发.【解析】本题考查的知识是“掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式及其应用”.【备注】无17.解:方案一:选条件.由已知可得,S+4=4+4=8,因为 S+4
21、 是公比为2的等比数歹U,所以S,+4=8 义2 户=2 产,故 S,=2/2-4.当 心 2时,4=5 必产（2 产-4）-（2 户-4）=2 溜-2 户=2 叫显然，当上1 时,上式也成立,所以 a=2,1+1,所以 lo g 2 a=lo g22,t l=/?+l,所 以 品 嬴1 _ 1(n+2)(n+l)n+11n+2所以叫号*一+-1-nn+2-2(n+2)12方案二:选条件.由点（a-i,S）在直线片3 厂4=0上可得为H=3S+4,当刀2 2 时，a=3*+4,两式相减，得&H-&=3 S-3 S I=3 4,整理得4+i=4 4.当/尸1 时，由。肝 尸 3 3+4,得 为=
22、3 8+4=3 团+4=3 X4+4=16,所以珑二4 团.所以数列 8 是首项为4、公比为4的等比数列，故 a=4 义4 户=4 .所以 lo g 2 F lo g24-2 z 7,所以(n+2)log2an(n+2)x2n=1(1 _4 n n+2 所以 7；4（l-i）+J（|-；）+；（!5 4 n n+2i(1 44 22(3 _4、23n+ln+l2n+3-圭)1一击18 4(n+l)(n+2)*方案三:选条件.当 n=时，a i=S,即 T4（1-7）=4,得 g#l.由已知S=4（l-。）,得当时，SH=/（1-，），两式相减，得 a=加1-力/，所 以a.=4/；结合的=4
23、可得,数列 是首项为4,公比为q的等比数列,由 a,“是匈与a +i的等比中项，可得成+i=a.i an2+1,所以（4 X/）2=（4X，）x （4 X q M）,整理得q-qn 2+3,由 0且 1W 1,以及指数函数尸在 R上单调可得2 方7+3,即 1-2 加3=0.显然根的判别式/=（-2）4 义1 X3=-8 0,所以该方程无解,即磷+W a i an 2+1,所以不存在这样的数列.【解析】若选条件，首先根据等比数列的定义求出S的表达式，然 后 利 用&与 S之间的关系求出&,进而得数列 的通项公式,最后利用裂项相消法求和;若选条件，首先（n+2）logzan列出a 与 S的关系式
24、,然后作差,得到数列&的递推关系,从而求劣,进而得数列一 的通项公式,最后利用裂项相消法求和;若选条件,首先根据a与S之间的关（n+2）log2an系，得 到&=4/,然后根据等比数列的性质建立等式,再利用指数函数的性质得到关于n的一元二次方程，最后根据方程根的存在性判断数列的存在性.【备注】常见数列的裂项方法数 列（为正整数）裂项方法 心 （4为非零常数）n(n+k)n(n+/c)k n n+k，l4n2-lJ=-M4n2-l 2 2n-l 2n+l-=(A为非零常Vn+Vn+k数)r.f；-.W n +k V n)Vn+Vn+k k利用裂项相消法求和时,既要注意检验裂项前后是否等价,又要注
25、意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.2n 2n 1 1(2n-l)(2n+1-l)(2n-l)(2n+1-l)-2n-l 2n+1-ll o ga(l+i)(a 0,a#l)1 o g,(1+；)=1 o g.(z?+1)T o g“1 8.(1)*.,J!Z F(C O SZ 2?,c o s Z O,n=(c,b-2 a),m n=0,c c o s N 8+(Z?-2 a)c o s N 心0,在4 6 C 中，由正弦定理得s i n/t b o s/班(s i n/比 2 s i n/)c o s/6b0,s i n Z/1=2 s i n Z c
26、o s Z C；又 s i n/4 W 0,c o s Z C=,而/C G (0,n ),；./C=.(2)由 而 砺 知,O D-C AC B-C D,所以 2 C D C A+C B,两边平方得 4 1 C D 12l)+a+2 bacosZ AC B=+a+ba=2 8.X c=a+t-2 abcos Z.AC B,alj-atF1.由得a/8,加i n N/C 庐2 次.【解析】无【备注】无1 9.解：当 a=4 时，f(x)2 8 即/2 x-4/+/x-3 /2 8,当 0 3 时,2 xY+x-3 2 8,解得x2 5,二 在 5;当 2 a-1-3x+2 a-1,%23x-2
27、 a+lzx|-3%+2 a-l,x a-1当 号 时,/t r)取得最小值,即/(加产纥)=呜则只需卜 三-T,所以-2 W a W l.I a 2综上可知,a的取值范围为-2,1 .【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.(1)用零点分段法求解；(2)分 a 2 2 与水2两种情况用分段函数表示F(x),求 A x)的最小2值，由 f(x)就 会春得出实数a的取值范围.【备注】无2 0.(1)消去参数,得直线/的普通方程为户尸1=0.由 0 c os*0=sin 0,得 pcos 0=p sin 0,则 片/，故曲线。的直角坐标方程为y=x.将 1 2 代入片了,得F+企 2=0,设点A,6对应的参数分别为力，t2,则力梦-2,易知直线1过点A-1,2）,故P A|图=阂=2.【解析】无【备注】【归纳总结】（1）将参数方程化为普通方程，主要是消去参数，消去参数常用代入法；（2）把极坐标方程化为直角坐标方程的关键是灵活地运用Psin O=y,pc os“2 2,20=x,P =x+y.