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1、第八章根第八章根第八章根第八章根轨轨迹法迹法迹法迹法第1页，本讲稿共34页闭环系统的动态性能与闭环极点（闭环特征方程的根）在闭环系统的动态性能与闭环极点（闭环特征方程的根）在s平面上的位置密切相关，分析系统时须求解特征方程的根，平面上的位置密切相关，分析系统时须求解特征方程的根，这对于高阶系统是异常困难的。这对于高阶系统是异常困难的。根轨迹法根轨迹法根轨迹法根轨迹法：直接由：直接由 求求 （闭环极点）的方法（闭环极点）的方法开环传递函数开环传递函数闭环特征根闭环特征根第2页，本讲稿共34页v8-1 根轨迹与根轨迹方程根轨迹与根轨迹方程v8-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v8-4
2、系统闭环零极点分布与性能指标系统闭环零极点分布与性能指标v例题分析例题分析v课后习题课后习题第3页，本讲稿共34页8-1 根轨迹与根轨迹方程根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹概念一、根轨迹概念 所谓根轨迹根轨迹，是指当系统某个参数（如开环增益K）由零到无穷大变化时，闭环特征根在复平面上移动的轨迹。由已知的系统开环传递函数绘制根轨迹图，即可直观的表示出某参数变化时闭环特征根发生的变化，从而分析系统的动态性能。根轨迹图全面地描述参数对闭环特征根分布的影响。第4页，本讲稿共34页式中，令K*=2K，称K*为系统的开环根轨迹开环根轨迹增益增益，它不等于开环增益K。闭环特征方程为可求得闭环特征根闭环传递函数为
3、如图所示，系统的开环传递函数为 求根轨迹。例例 8-1第5页，本讲稿共34页K由0变化时，可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在S平面上，即闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为系统的根轨迹，如下图如示下面寻找系统开环增益K和系统闭环特征根的关系。当 K=0 时 K=0.5 时 K=1 时 K=时ImRe-20K=0.5K=1K=1第6页，本讲稿共34页由根轨迹图，可对系统的动态性能进行如下分析：由根轨迹图，可对系统的动态性能进行如下分析：v开环增益开环增益 K 由由 0 变化到无穷大时，根轨迹均在变化到无穷大时，根轨迹均在S平面的左半部，因此，系统对所有的平面的左半部，因此，
4、系统对所有的 K 值都是值都是稳定的。稳定的。v当当 0K0.5 时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态。且由坐标原点做与负实时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态。且由坐标原点做与负实轴夹角为轴夹角为45的直线，与根轨迹交于根的直线，与根轨迹交于根-1+j 和和-1-j。显然，这时有最佳阻尼比。显然，这时有最佳阻尼比0.707，此时，此时 K=1。v因为开环传递函数有一个位于坐标原点的极点，所以系统为因为开环传递函数有一个位于坐标原点的极点，所以系统为型系统，阶跃作用下的型系统，阶跃作用下的稳态误差稳态误差 ess=0，而静态误差系数可从根轨迹对应的，而静态误差系数可从根轨迹对应的K
5、值求得。值求得。第7页，本讲稿共34页二、二、根轨迹方程及幅角、幅值条件根轨迹方程及幅角、幅值条件设系统的闭环传递函数为其特征方程为 1+G(s)H(s)=0，即 G(s)H(s)=-1该式称为根轨迹方程根轨迹方程，满足该式的点必定是根轨迹上的点。由于G(s)H(s)是复数向量，两个向量相等则幅角、幅值分别相等。因此，根轨迹方程可写成两个方程，即幅值条件幅值条件幅值条件幅值条件 ：幅角条件幅角条件幅角条件幅角条件 ：第8页，本讲稿共34页系统开环传递函数可写成z1、z2、zm 为系统的 m 个开环零点；p1、p2、pn 为系统的 n 个开环极点。该传递函数的向量表达式为其中，第9页，本讲稿共3
6、4页因此幅角条件、幅值条件可表示为：因此幅角条件、幅值条件可表示为：由上两式可知，幅角条件与增益K*值无关，而幅值条件中含因子K*，但K*为零至无穷大。因此，复平面复平面S上所有满足幅角条件的点都是特征方程的根，这些点构成上所有满足幅角条件的点都是特征方程的根，这些点构成的曲线即根轨迹曲线。各个点所对应的增益的曲线即根轨迹曲线。各个点所对应的增益K*值则可由幅值条件确定。值则可由幅值条件确定。这就是求取根轨迹的原则。第10页，本讲稿共34页利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图：已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹
7、位于（-2，0）区间，实轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。如对(-1+j)点，有得 K*=2用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K*K*值。值。值。值。第11页，本讲稿共34页8-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则根轨迹法是依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系（幅角条件），直接由开环函数寻找闭环根轨迹。掌握根轨迹的规律性可以极大的方便绘制。本节讨论开环增益 K 变化时绘制根轨迹的法则，这些法则经适当变换后可用于其它参数的变化。第12页，本讲稿共34页一、根轨迹的分支数一、根轨
8、迹的分支数 根轨迹S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，即分支数与闭环分支数与闭环极点的数目相同极点的数目相同。这是因为特征方程阶数为n表明有n个特征根，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。二、根轨迹的对称性二、根轨迹的对称性 因开环极点、零点与闭环极点都是实数或共轭复数，分布对称于实轴，故根根轨迹对称于实轴。轨迹对称于实轴。第13页，本讲稿共34页三、根轨迹的起点与终点三、根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数小于开环极点数n，则有，则有(n m)条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终
9、止于无穷远处。K=0时，根轨迹方程为(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0 得根轨迹起点为p1，p2，pn由根轨迹方程知，时，s zi=0 所以，根轨迹终止于开环零点。又，若 nm，则 时，上式可写成即有(n-m)条根轨迹趋向于无穷远处。第14页，本讲稿共34页四、实轴上的根轨迹四、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数。实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数。即若实轴上某点右侧开环零、极点数和为奇数，则该点在根轨迹上；为偶数则不在根轨迹上。该结论可由幅角条件证明。第15页，本讲稿共34页五、根轨迹的渐近线五、根轨迹的渐近线 如果开环零点数 m 小于开环
10、极点数 n，则 时，趋向无穷远处的根轨迹共有(n-m)条，这些根轨迹趋向于无穷远处的方向角可由渐近线决定。渐近线与实轴交点坐标公式渐近线与实轴交点坐标公式该式的分子是开环极点之和减零点之和，分母是开环极点数减零点数。渐近线与实轴下方向夹角公式渐近线与实轴下方向夹角公式式中 k 依次取0，1，2，一直到获得(n-m)个倾角为止。第16页，本讲稿共34页p3p2p1-2-10j60-60渐近线与实轴正方向的夹角解：开环传递函数有3个极点，没有零点。即故三条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实轴交点的坐标为取三条渐近线如图所示。例例8-2 某单位反馈系统的开环传递函数，求根轨迹渐近线第17页，本讲稿共3
11、4页六、根轨迹的起始角与终止角六、根轨迹的起始角与终止角 根轨迹的起始角起始角是指起于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正方向的夹角。根据幅角条件可得其中：由此得出起始角公式起始角公式同理可得复数零点 zb 处的终止角（入射角）公式终止角（入射角）公式第18页，本讲稿共34页七、分离点的坐标七、分离点的坐标 几条根轨迹在S平面上相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点分离点(会合点会合点)分离点的坐标方程分离点的坐标方程其中，pj 为开环极点，zi 为开环零点，d 为分离点坐标。若开环零极点全部在实轴上交错排列，则根轨迹无分离点。第19页，本讲稿共34页例例8-3 已知系统开环传递函数试求系统
12、闭环根轨迹的分离点坐标。解：解：由分离点坐标公式得：解此方程得d1 在根轨迹上，是所求的分离点。d2 不在根轨迹上，舍去。根轨迹如图所示。-1.5-1dp1K=0p2jj-j02.12第20页，本讲稿共34页八、实轴上分离点的分离角恒为八、实轴上分离点的分离角恒为9090 根轨迹离开分离点时，轨迹切线的倾角称分离角。实轴上分离点的分离角恒为90。实轴上会合点的会合角也恒为90。九、根轨迹与虚轴的交点九、根轨迹与虚轴的交点 若根轨迹与虚轴相交，表明闭环极点中有一部分位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根 j，系统临界稳定。将 代入特征方程中得或，令下两式成立则可解出值及对应的临界开环增益 K*及 K
13、。第21页，本讲稿共34页例例 8-4 已知系统开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。解：解：系统闭环特征方程为令 ，代入上式得即联立得：其中，K为系统开环增益，K*为根轨迹增益。第22页，本讲稿共34页十、系统闭环极点之和为常数十、系统闭环极点之和为常数将系统开环传递函数的分子、分母展开，得若系统满足n-m2，则特征方程为由代数方程根与系数的关系知，系统闭环极点之和结论：当结论：当n-m2时，系统闭环极点之和等于开环极点之和。时，系统闭环极点之和等于开环极点之和。通常把 称作极点的重心重心重心重心。可知当 K*变化时，极点重心保持不变。这个性质可用来确定极点位置及相应的这个性质可用来确定极点位置
14、及相应的这个性质可用来确定极点位置及相应的这个性质可用来确定极点位置及相应的 K K*值值值值第23页，本讲稿共34页十一、系统闭环极点之积十一、系统闭环极点之积闭环极点之积 即闭环极点积等于开环极点积闭环极点积等于开环极点积+K*开环零点积开环零点积易知，若系统有开环零极点，则闭环极点积第24页，本讲稿共34页参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制可绘制以Ks为参数的根轨迹图，称参量根轨迹图。系统的开环传递函数为：以特征方程中不含Ks的各项(s2+2s+10)除特征方程，得可以看作是以Ks为根轨迹增益的等效开环传递函数。由此，绘制G(s)H(s)的根轨迹图，即Ks的参量根轨迹图。第25页，本讲稿共
15、34页求会合点求会合点会合点是特征方程的重根，可利用求重根的方法确定其位置。由该微分方程解出重根 s 的值，舍去不合理的根，则可由获得的 s 反求会合点处的K。第26页，本讲稿共34页8-4 系统闭环零极点分布与性能指标系统闭环零极点分布与性能指标闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系 若要系统稳定，则闭环极点必须全部在复平面的左半平面上。要求快速性好的系统，其阶跃响应衰减较快。为此，应使闭环极点远离虚轴；要求平稳性好的系统，其复数极点最好设置在复平面中与负实轴成45夹角的直线附近。由第三章内容，
16、若二阶系统共轭极点位于45线上，则对应最佳阻尼比0.707，其稳定性、快速性较好。第27页，本讲稿共34页v闭环极点、零点远离虛轴时，其对瞬态响应影响减小。若某一极点比其它极点距虛轴远46倍，则可忽略其对瞬态响应的影响。v若要求动态过程尽快消失，应增大闭环极点间距，并使零点zj靠近极点Pj。因零点总少于极点，应使零点靠近距虛轴较近，影响较大的极点，以削弱其影响，提高快速性。一对靠得很近的零极点称为偶极子偶极子偶极子偶极子。在系统中适当设计偶极子，可以使系统的动态过程获得改善。第28页，本讲稿共34页小小小小 结结结结v根轨迹的概念v根轨迹方程，幅角条件，幅值条件v绘制根轨迹的法则、过程v零极点
17、分布与动态性能，偶极子第29页，本讲稿共34页第八章习题1 系统结构如图所示，画出根轨迹图（写出详细步骤），求出系统稳定的K值范围。，绘制以Ks为参量的根轨迹图（必须列出详细步骤）。2.第30页，本讲稿共34页第第1题答案题答案系统的开环传递函数为：等效开环传递函数：由此可画出系统的根轨迹图。开环极点：1，1j，1j;无零点；（1）实轴上根轨迹（，1（2）趋向无穷远处根轨迹数为：303，渐近线角度：60；-180（3）根轨迹与虚轴的交点为：w=2j,+2j；K=5（4）从根轨迹图可见，使系统稳定的K值范围为：K0。根轨迹图如右图所示。第31页，本讲稿共34页第第2题答案题答案（1）开环零点：0；开环极点：-1 j3（2）趋向无穷远处根轨迹数为：211，渐近线角度 180（3）部分根轨迹是以开环零点为圆心，开环零点到开环极点（-1j3）距离为半径的圆弧。根轨迹与实轴的交点d满足：第32页，本讲稿共34页（4）出射角（5）实轴交点处的 ：故：Ks=0.41综上，得根轨迹草图如右-1+j3-1-j30Ks=0.41-1-3.16第33页，本讲稿共34页v课后习题课后习题v1、3、4、7第34页，本讲稿共34页