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1、复杂电力系统潮流的计算机算法第四章第四章2012年年3月月2为什么要研究机算要研究机算潮流？潮流？如何应用计算机算应用计算机算潮流？潮流？第三章的第三章的手算方法手算方法只能计算简单网络的潮流，对只能计算简单网络的潮流，对于实际的复杂电力系统，必须借助于实际的复杂电力系统，必须借助计算机计算机才能才能快速快速、准确准确地获取潮流分布。地获取潮流分布。3为什么要研究机算要研究机算潮流？潮流？如何如何应用计算机算应用计算机算潮流？潮流？机算潮流的机算潮流的主要步骤主要步骤：建立建立数学模型数学模型设计设计算法算法编写程序编写程序上机调试上机调试目 录4.1 电力网络方程电力网络方程4.2 功率方程
2、及其迭代解法功率方程及其迭代解法4.3 牛顿牛顿-拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算4.4 配电网潮流计算的特点配电网潮流计算的特点4学时：学时：8作业：作业：电力系统稳态计算电力系统稳态计算思考题思考题：3-1习题：习题：3-3、3-11（修改部分已知条件）（修改部分已知条件）4.1电力网络方程电力网络方程电力网络方程将网络的有关参数将网络的有关参数（包括结构参数和运行参包括结构参数和运行参数数）及其相互关系归纳起来所组成的及其相互关系归纳起来所组成的、可反映电可反映电力网络运行状态的一组力网络运行状态的一组数学方程数学方程。电力网络方程电力网络方程包括：包括：节点电压方程节点电压方程、回路电
3、流方程回路电流方程、割集电压割集电压方程等方程等。潮流计算潮流计算本质上是本质上是电路计算电路计算，一切求解电路问题的方法一切求解电路问题的方法原则上均可用于求解电力系统潮流分布原则上均可用于求解电力系统潮流分布。但潮流但潮流计算有其计算有其特点特点：网络等值电路的建立；已知条件：网络等值电路的建立；已知条件的给出；运算变量是功率而不是电流的给出；运算变量是功率而不是电流。54.1 电力网络方程节点电压方程节点电压方程节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改6节点电压方程节点电压方程712y13y23y10y20y30y1U2U3U1I2I31211011212131322021221
4、2323330313312332(0)()()()()()Iy UyUUyUUIy UyUUyUUIy UyUUyUU110121311221332121201223223313123230132330IyyyUy Uy UIy UyyyUy Uy Uy UyyyU 图图(4-1)设图中各量均为标设图中各量均为标么值，以下么值，以下不再区分单不再区分单相相/三相电路三相电路。节点电压方程节点电压方程(续续1)1)8110121312131212201223232132330132330IyyyyyUIyyyyyUyyyyyU111121312212223231323330IYYYUIYYYUY
5、YYU记为：记为：IB=YBUB(4-1)IB 节点节点注入注入电流相量列向量电流相量列向量UB 节点电压相量列向量节点电压相量列向量YB 节点导纳矩阵节点导纳矩阵n节点网络节点网络n网络的网络的独立节点数独立节点数111213111212223222313233333123nnnnnnnnnnYYYYIUYYYYIUYYYYIUYYYYIU节点电压方程节点电压方程(续续2)2)9(4-2)自导纳自导纳互导纳互导纳11122(1)1(1)1iii iiiiiniijjji iiinnY UY UYUY UYUY UIY U(i=1,2,n)功率方程功率方程节点导纳矩阵节点导纳矩阵YB的元素的元
6、素自导纳自导纳Yii：YB的对角元的对角元，与，与i节点直接相连的各节点直接相连的各支路支路导纳导纳之和之和。互导纳互导纳Yij(ij)：YB的非对角元的非对角元，直接直接连接于连接于i、j节点之间的各支路节点之间的各支路导纳导纳之和的之和的相反数。相反数。1012y13y23y10y20y30y1U2U3U1I2I312111012132323YyyyYy 例如：例如：导纳矩阵元素的物理意义导纳矩阵元素的物理意义111122(1)1(1)1iiii iii iiiniiniIY UY UYYUYUUY U(0,)iiijiIYUjiUYii=节点节点 i 施加单位电压，其余节点接地，施加单位
7、电压，其余节点接地，节点节点 i 的注入电流的注入电流1122(1)1(1)1jjjj iij iijnjiniIY UY UYYUYUUY U(0,)jjijiIYUjiUYji=节点节点 i 施加单位电压，其余节点接地，施加单位电压，其余节点接地，节点节点 j 的注入电流的注入电流导纳矩阵元素的物理意义导纳矩阵元素的物理意义(续续)1212y13y23y10y20y30y1U2U3U2I1V3I312图图4 4-2 212y23y20y1U2U3U2I1V3I3121321322(0,1)3(0,122202312322)3 UUUUUUYyyyYyII 节点导纳矩阵节点导纳矩阵YB的特点
8、的特点n阶方阵，阶方阵，n为网络的独立节点数。为网络的独立节点数。复数矩阵。复数矩阵。一般为一般为对称方阵对称方阵(Yij=Yji)。稀疏矩阵稀疏矩阵：当节点：当节点i和节点和节点j之间不直接相连时，之间不直接相连时，互导纳为互导纳为0。对角元所含的元素个数对角元所含的元素个数该元素所在行（列）该元素所在行（列）的其它元素的个数。即，的其它元素的个数。即，互导纳元素都用于互导纳元素都用于形成自导纳形成自导纳。当有接地支路时，“。当有接地支路时，“”成立。”成立。134.1 电力网络方程节点电压方程节点电压方程节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改14节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩
9、阵的形成和修改YB的的形成形成：给定网络，如何建立导纳矩阵给定网络，如何建立导纳矩阵方法：根据自导纳和互导纳的方法：根据自导纳和互导纳的基本定义基本定义直接生成直接生成15自导纳自导纳Yii与节点与节点i直接相连的各支路导纳之和直接相连的各支路导纳之和互导纳互导纳Yij直接连接于直接连接于i、j节点之间的导纳的节点之间的导纳的相反数相反数建议变压器支路采用以建议变压器支路采用以导纳导纳表示的表示的型等值电路型等值电路。节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改YB的的修改修改：当：当网络结构或参数发生变化，如网络结构或参数发生变化，如何何修改原修改原YB以形成新以形成新YB16（1）从原
10、网络节点）从原网络节点 i 引出一条接地支路引出一条接地支路（2）从原网络节点）从原网络节点 i 引出一条支路，同时增加节点引出一条支路，同时增加节点j（3）在原网络节点）在原网络节点i、j之间增加一条支路之间增加一条支路（4）在原网络节点）在原网络节点i、j之间切除一条导纳为之间切除一条导纳为yij的支路的支路（5）原网络节点）原网络节点i、j之间的导纳由之间的导纳由yij变为变为yij（6）原网络）原网络i、j之间变压器的变比由之间变压器的变比由k变为变为k节点导纳矩阵的修改节点导纳矩阵的修改1 1从原网络节点从原网络节点 i 引出一条接地支路引出一条接地支路171iyNi 节点导纳矩阵节
11、点导纳矩阵阶数不变阶数不变。只有只有节点节点i的自导纳的自导纳发生变化发生变化，增量增量Yii=yi。iiiiiiiiiYYYYy 111110000iniininninniiijijijijYYYYYYYYyyyyY节点导纳矩阵的修改节点导纳矩阵的修改2 2从原网络节点从原网络节点 i 引出一条支路，引出一条支路，同时增加节点同时增加节点j18Nijijy节点导纳矩阵节点导纳矩阵增加一阶增加一阶。j节点自导纳节点自导纳Yjj=yij i、j节点互导纳节点互导纳Yij=Yji=-yij i节点自导纳增量为节点自导纳增量为Yii=yijj节点与其它节点节点与其它节点k(ki)的互导纳为的互导纳为
12、0nnninniiiiniYYYYYYYYY1111112节点导纳矩阵的修改节点导纳矩阵的修改3 3在原网络节点在原网络节点i、j之间增加一条支路之间增加一条支路193ijyNij 节点导纳矩阵节点导纳矩阵阶数不变阶数不变。节点节点i的自导纳的自导纳增量增量Yii=yij。节点节点j的自导纳的自导纳增量增量Yjj=yij。i、j互导纳互导纳增量增量Yij=Yji=-yij。节点导纳矩阵的修改节点导纳矩阵的修改4 4在原网络节点在原网络节点i、j之间切除一条导纳为之间切除一条导纳为yij的支路的支路204节点导纳矩阵节点导纳矩阵阶数不变阶数不变。节点节点i的自导纳的自导纳增量增量Yii=-yij
13、。节点节点j的自导纳的自导纳增量增量Yjj=-yij。i、j互导纳互导纳增量增量Yij=Yji=yij。NijyijNijyij相当于增加一条相当于增加一条导纳导纳-yij的支路的支路节点导纳矩阵的修改节点导纳矩阵的修改5 5原网络节点原网络节点i、j之间的导纳由之间的导纳由yij变为变为yij215 Nijijyyij Nijyijijy Nijijyy ij相当于相当于先切除先切除一条导纳为一条导纳为yij的支路，的支路，再增加再增加一条导纳为一条导纳为yij的支路。的支路。节点导纳矩阵节点导纳矩阵阶数不变阶数不变。节点节点i的自导纳的自导纳增量增量Yii=yij-yij 节点节点j的自导
14、纳的自导纳增量增量Yjj=yij-yij。i、j互导纳互导纳增量增量Yij=Yji=-(yij-yij)。节点导纳矩阵的修改节点导纳矩阵的修改6 6原网络原网络i、j之间变压器的变比由之间变压器的变比由k变为变为k226NijkYTTYkk21TYkk1ijk:12222110111111TTTTTTTiiTjjijTTTTYkYkkYkYkkYYkYkkYkYkYYkkkYYYkkkYk 节点导纳矩阵算例节点导纳矩阵算例例例：图示为一简单电力网络，试建立图示为一简单电力网络，试建立节点导纳矩节点导纳矩阵阵。图中串联支路为阻抗参数，接地支路为导纳。图中串联支路为阻抗参数，接地支路为导纳参数。参
15、数。23124530.96:11:1.05j0.015j0.250.08+j0.3j0.250.04+j0.250.1+j0.35j0.25j0.25j0.03理想变压器理想变压器理想变压器理想变压器节点导纳矩阵算例节点导纳矩阵算例(续续)解：以解：以节点节点2自导纳自导纳为例。为例。1-2间变压器支路的等值电路：间变压器支路的等值电路：2412TYk1TkYk21TkYk2220232422210.250.250.040.25110.080.31.050.0150.50.6240253.90015666.6666670.8298763.1120331.051.45390166.980821T
16、YYyyykjjjjjjjjjj目 录4.1 电力网络方程电力网络方程4.2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法4.3 牛顿牛顿-拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算4.4 配电网潮流计算的特点配电网潮流计算的特点254.2 功率方程及其迭代解法功率方程和节点分类功率方程和节点分类节点注入功率节点注入功率-电压方程电压方程功率方程中的变量功率方程中的变量节点的分类节点的分类功率方程迭代求解的原理功率方程迭代求解的原理26功率方程功率方程27BBBIY U*BBBSY UU线性方程线性方程非线性方程：非线性方程：节点注入功率节点注入功率-电压方程电压方程功率方程功率方程(续续1)1)28GG1
17、LS2LS1GS2GS1U2U12y12 210y20y222GLSSS111GLSSS1U2U111211212222YYIUYYIUBBBIY U*1111121*2122222SUYYUYYUSU发电机功率发电机功率负荷功率负荷功率节点注入节点注入功率功率功率方程功率方程(续续2)2)29*1111121*2122222SUYYUYYUSU*1111111122*2222211222SPjQUY UY USPjQUY UY U*11221niGiLiiiiiiinniijjjSSSPjQUY UY UY UUY U推广到推广到n节点网络：节点网络：(i1，2，n)平衡节点平衡节点电流方程
18、电流方程功率方程中的变量功率方程中的变量网络的结构参数：网络的结构参数：Yij每个节点每个节点6个运行变量：个运行变量：Pi=PGi PLi、Qi=QGiQLi、Ui、i 变量分类变量分类30扰动变量（不可控变量）扰动变量（不可控变量）d负荷功率：负荷功率：PL、QL控制变量控制变量u发电机功率：发电机功率：PG、QG状态变量状态变量x节点电压：节点电压：U、*11221niGiLiiiiiiinniijjjSSSPjQUY UY UY UUY U功率方程中的变量功率方程中的变量(续续)变量应该满足的约束条件变量应该满足的约束条件31负荷功率负荷功率PL、QL无约束无约束发电机功率发电机功率P
19、G、QGPGiminPGiPGimaxQGiminQGiQGimax发电机运行限额发电机运行限额节点电压节点电压U、UiminUiUimax电压质量要求电压质量要求|i-j|i-j|max稳定性要求稳定性要求节点分类节点分类根据节点已知变量（给定变量）分类根据节点已知变量（给定变量）分类32类型类型给定变量给定变量待求变量待求变量说明说明PQP（PG、PL）Q（QG、QL）U、给定给定PQ的发电厂母线，负的发电厂母线，负荷节点、无其它电源的变电所荷节点、无其它电源的变电所母线。母线。大多数节点为大多数节点为PQ节点节点。PVP（PG、PL）UQLQG、有无功储备的发电厂母线、有无功储备的发电厂
20、母线、有可调无功电源的变电站母线、有可调无功电源的变电站母线、有无功补偿设备的负荷节点有无功补偿设备的负荷节点。PV节点较少，也可以没有。节点较少，也可以没有。平衡平衡节点节点U、PL、QLPG、QG 容量足够大的发电厂（如容量足够大的发电厂（如调频电厂）的母线，用于平衡调频电厂）的母线，用于平衡系统的功率，提供全网电压的系统的功率，提供全网电压的相位参考点。相位参考点。通常只设一个平通常只设一个平衡节点。衡节点。设置平衡节点的必要性设置平衡节点的必要性系统的功率损耗在潮流计算完成之前是未知的，系统的功率损耗在潮流计算完成之前是未知的，即即功率损耗是状态变量的函数功率损耗是状态变量的函数。必须
21、设置至少一必须设置至少一个节点来平衡全网的功率。个节点来平衡全网的功率。功率方程功率方程中节点电压相位是以相对相位（中节点电压相位是以相对相位（相位差相位差）的形式出现的，要计算节点电压的绝对相位，的形式出现的，要计算节点电压的绝对相位，必必须有一个相位参考节点。须有一个相位参考节点。33QjP22jQP 11jQP 手算潮流中的节点类型？手算潮流中的节点类型？4.2 功率方程及其迭代解法功率方程和节点分类功率方程和节点分类功率方程迭代求解的原理功率方程迭代求解的原理牛顿牛顿-拉夫逊（拉夫逊（Newton-Raphson）法：）法：N-R法法一元非线性方程的求解一元非线性方程的求解多元非线性方
22、程组的求解多元非线性方程组的求解34牛顿牛顿-拉夫逊拉夫逊（N-R）法原理法原理一元非线性方程一元非线性方程 f(x)=0 的求解的求解多元非线性方程组多元非线性方程组的求解的求解35f1(x1,x2,xn)=y1f2(x1,x2,xn)=y2 fn(x1,x2,xn)=yn牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法，又称又称牛顿法牛顿法，因因Isaac Newton于于1736年在年在 Method of Fluxions 中公开发表而得名中公开发表而得名。而事实而事实上早在上早在1690年年Joseph Raphson就在就在Analysis Aequationum中提出过该方法中提出过该方法，其中与牛顿
23、法相关的章节在其中与牛顿法相关的章节在1671年就已年就已经完成经完成。Wikipedia（维基百科维基百科）一元非线性方程一元非线性方程 f(x)=0 的求解的求解例如：例如：x2-sinx-1=0作图法作图法：令：令y1=x2-1，y2=sinx36-5-2.502.55-50510152025y1y2一元非线性方程一元非线性方程 f(x)=0 的求解的求解(续续1)1)f(x)=0 的的N-R求解求解设初解设初解x(0),真解为真解为x*=x(0)+x(0),则有则有:37*(0)(0)0f xf xx泰勒展开泰勒展开2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)102f xxf xfxx
24、fxx(0)(0)(0)0f xxxf忽略高阶项忽略高阶项(0)(0)(0)f xxfx(1)(0)(0)xxx修正方程（线性）修正方程（线性）新解新解修正量修正量一元非线性方程一元非线性方程 f(x)=0 的求解的求解(续续2)2)N-R求解求解步骤步骤：设定初解设定初解计算修正量：计算修正量：修正初解：修正初解：收敛判断：收敛判断：若不满足则转第若不满足则转第2 2步。步。N-R的的几何意义：几何意义：38)0(x()()()kkkf xxfx()?kx()yf x(*)x)0(xA(1)xB(2)x1234(1)()()kkkxxx用用N-R法求解法求解x2-sinx-1=0（x0）解：
25、令解：令f(x)=x2-sinx-1，则，则f(x)=2x-cosx修正量：修正量：设初解设初解x(0)=1第第1次迭代：次迭代：第第2次迭代：次迭代：第第3次迭代次迭代392(0)(1)(0)(0)1sin1 10.57652 1 cos11.5765xxxx 2(1)(2)(1)(1)1.5765sin1.5765 10.15362 1.5765cos1.57651.4228xxxx ()()2()()sin12coskkkkx xf xxxxxxfx 用用N-R法求解法求解x2-sinx-1=0（x0）续）续40No.xf(x)f(x)x11-0.84151.45970.576521.5
26、7650.48533.1586-0.153631.4228 0.03542.6982-0.013141.40970.00032.6591-0.000151.40960.00002.6588-0.0000迭代过程迭代过程多元非线性方程组多元非线性方程组的求解的求解设设初解：初解：x1(0)，x2(0)，xn(0)真解真解：x1(0)+x1(0)，x2(0)+x2(0)，xn(0)+xn(0)考察考察 f1，有：，有：41f1(x1,x2,xn)=y1f2(x1,x2,xn)=y2 fn(x1,x2,xn)=yn1)0()0()0(2)0(2)0(1)0(11),.,(yxxxxxxfnn泰勒展开
27、，忽略高阶项泰勒展开，忽略高阶项(0)(0)(0)(0)(0)(0)11212111000112|(|,)nnnf xxxxxxffxxyfx11100012(0)(0)(0)(011121222(0)(0)(0)000221212(0)(0)(0)1200012|(,)|(,)(,)|nnnnnnnnnnnfffxxxyf xxxxfffyfxxxxxxyfxxxfffxxx)(0)2(0)nxx多元非线性方程组多元非线性方程组的求解（续的求解（续1 1）42(0)(0)(0)(0)(0)(0)11212111000112|(|,)nnnf xxxxxxffxxyfx(0)1(0)(0)(0
28、)(0)2111111200012(0)(,)|nnnxxfffyf xxxxxxx(4-33)fxJ多元非线性方程组多元非线性方程组的求解（续的求解（续2 2）43111122221212|kkknkkknnnnkkknfffxxxfffxxxfffxxxJ fJ x(4-34)式中，式中，称为称为雅可比雅可比（Jacobian）矩阵矩阵()()()11112()()()22212()()()12(,)(,)(,)kkknkkknkkknnnnfyf xxxfyfxxxfyfxxxf=称为称为不平衡量不平衡量T()()()12 kkknxxxx=称为称为修正量修正量修正方程组（线性）修正方程
29、组（线性）多元非线性方程组多元非线性方程组的求解（续的求解（续3 3）多元方程组的多元方程组的N-R求解步骤求解步骤：设设初解初解向量向量X(0)=x1(0),x2(0),xn(0)T计算计算不平衡量不平衡量f(0)=f1(X(0),f2(X(0),fn(X(0)T计算计算Jacobian矩阵矩阵J(0)由修正方程由修正方程f(0)=J(0)X(0)求解求解修正量修正量X(0)更新解向量更新解向量：X(1)X(0)X(0)判断收敛：判断收敛：max|xi(0)|?若不满足则转第二步若不满足则转第二步44123456多元非线性方程组的多元非线性方程组的N-R求解例求解例例：用例：用N-R法求解法
30、求解解解：令：令450522221221xxxxx2112122212122(,)2(,)f x xxxfx xxxx1,21,2111212221222121x xx xffxxxxffxxJ21221225-2xxxxxf=Jacobian矩阵矩阵不平衡量不平衡量多元非线性方程组的多元非线性方程组的N-R求解例求解例（续（续2 2）设设初解初解：x1(0)=1,x2(0)=2第第1次迭代：次迭代：4621221221,25-201xxxxx f=121,2222212113xxJf=J x修正方程组：修正方程组：12022113xx 即：即：修正量：修正量：(0)1(0)20.250.25
31、xx(1)(0)(0)111(1)(0)(0)2221.251.75xxxxxx新解：新解：多元非线性方程组的多元非线性方程组的N-R求解例求解例（续（续3 3）第第2次迭代：次迭代：472122122(1.25,1.75)5-20.06250.0625xxxxxf=121.25,1.75222.5212112.5xxJ修正方程组：修正方程组：120.06252.520.062512.5xx修正量：修正量：(1)1(1)20.00380.0265xx(2)(1)(1)111(2)(1)(1)2221.24621.7235xxxxxx新解：新解：多元非线性方程组的多元非线性方程组的N-R求解例求
32、解例（续（续4 4）48No.xfJx1234迭代过程迭代过程12 01 22130.250.251.251.750.06250.06252.5212.50.00380.0251.24621.72350.00001430.00070312.4929212.44700.00016930.00021811.24641.72330.00000000.00000002.4928212.44650.00000000.0000000目 录4.1 电力网络方程电力网络方程4.2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法4.3 牛顿牛顿-拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算4.4 配电网潮流计算的特点配电网潮流计
33、算的特点494.3 牛顿-拉夫逊法潮流计算DSA Tools潮流算法潮流算法504.3 牛顿-拉夫逊法潮流计算功率方程（极坐标形式）与修正方程组功率方程（极坐标形式）与修正方程组N-R法计算潮流的基本步骤法计算潮流的基本步骤51实功率方程（极坐标形式）实功率方程（极坐标形式）已知变量和求解变量（已知变量和求解变量（n节点系统）节点系统）52节点节点数目数目编号编号已知已知待求待求平衡节点平衡节点1sU，P，QPQ节点节点m-11,2,m（含（含s）P，QU，PV节点节点n-mm+1,nP，U，Q 第一求解对象是第一求解对象是各节点电压各节点电压，即，即未知的状态变量；未知的状态变量；共共2(m
34、-1)+(n-m)=n+m-2个变量。个变量。功率方程功率方程实功率方程（极坐标形式）续实功率方程（极坐标形式）续1 1节点注入功率节点注入功率-电压方程电压方程53njjijiiiiUYUjQPS1*，令 ijijijjBGY ijiiUU e，jjjjUU enjjjijijjiijieUjBGeUS1jiij1ijnjiiijijjjSUGjB U eijijjjeijsincosnjijijjijijiijUjBGUS1sincos极坐标形式极坐标形式实功率方程（极坐标形式）续实功率方程（极坐标形式）续2 254njijijjijijiijUjBGUS1sincos实、虚部分开实、虚部
35、分开11cossinsincosniijijijijijjniijijijijijjPUUGBQUUGB(4-43)11cossinsincosnijijijijijjsisnijijijijjijiPQUUGBUUGB用上标用上标s表示已知的节点注入功率表示已知的节点注入功率已知的节点注已知的节点注入功率入功率（常数）（常数）,P U,Q U 实功率方程（极坐标形式）续实功率方程（极坐标形式）续3 355,sisiPPQQU U,0,0siisiiPPPQQQU U U U(4-45)11,cossin0,sincos0nsiiijijijijijjnsiiijijijijijjPPUUGB
36、QQUUGBU U 有功不平衡量有功不平衡量无功不平衡量无功不平衡量n节点系统的实功率方程节点系统的实功率方程56共计：共计：2(m-1)+(n-m)=n+m-2个方程个方程1111111111111122222212222221cossin0sincos0cossin0sincos0nsjjjjjjnsjjjjjjnsjjjjjjnsjjjjjjPUUGBQUUGBPUUGBQUUGBPQ节点节点(m-1个个)PV节点节点(n-m个个)共共2(m-1)个方程个方程共共n-m个方程个方程变量变量11111112222221cossin0cossin0nsmmjmjmjmjmjjnsmmjmjm
37、jmjmjjPUUGBPUUGB修正方程组修正方程组5711(,)cossin,0(,)sincos,0nssiiijijijijijiijnssiiijijijijijiijPPUUGBPPQQUUGBQQU U U U fJ xPPUPQQQUQUUPUPQUUU U功率方程：功率方程：修正方程组：修正方程组：11111111212221211121221111121221112122112222mmmmmmQQUUPPUUUUPPUUUUUPQQQQQPPQPPPPPPPU2222111121222121221211111212212222212212112222mmmmmmmmmmmm
38、mmmmmmmmPPUUUUPPUUQQPPPUPPPPPUQQQQUPUUPU11122212mmUUUU修正方程组（续修正方程组（续1 1）58(n+m-2)1(n+m-2)(n+m-2)(n+m-2)1PQ节点节点PV节点节点Jacobian矩阵的计算矩阵的计算Jacobian矩阵的元素分四类：矩阵的元素分四类：59iijjPHiijjjPNUUjiijQJiijjjQLUU每一元素仅为一个指定节点（每一元素仅为一个指定节点（i）的注入功率）的注入功率Pi或或Qi对对另一个指定节点（另一个指定节点（j）的电压）的电压Uj或或j 的偏导数。的偏导数。注意注意Jacobian矩阵的计算（续矩
39、阵的计算（续1 1）60111211122121112111221221 111112212221221 11 211122 12 211221221222112 22222212mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmLLLLNNNNNNHHHHHHHHHHHHHHHNNHJJJJJJJJJJacobian矩阵元素的计算矩阵元素的计算三角函数导数三角函数导数61coscos()cos()cos()sin()()ijiiijjjjjjjijii,cossinijjij,sincosijiijijiijcossin同理：同理：Jacobian矩阵元素的计算（续矩阵元素的计算（续1 1）非
40、对角块元素非对角块元素621,cossinniijijijijijjPUUGBU,iiijijjjjPPHNUijU和式中和式中只有某一个只有某一个j或或Uj是变量是变量)cossin(ijijijijjijiijBGUUPH)sincos(ijijijijjijjiijBGUUUUPN(4-49a-1)(4-49b-1)Jacobian矩阵元素的计算（续矩阵元素的计算（续2 2）例如例如:H12，N12631111111111111121213131321213213,cossincossincossincossin.njijijijijjPUUGBUUGGUBGBUBU 112121212
41、12122112212121212122(sincos)(cossin)PHU U GBPNUU U GBUJacobian矩阵元素的计算（续矩阵元素的计算（续3 3）非对角块元素非对角块元素64,iiijijjjjQQJLUijU1,sincosniijijijijijjQUUGBU)sincos(ijijijijjijiijBGUUQJ)cossin(ijijijijjijjiijBGUUUUQL(4-49a-2)(4-49b-2)和式中和式中只有某一个只有某一个j或或Uj是变量是变量Jacobian矩阵元素的计算（续矩阵元素的计算（续4 4）对角块元素对角块元素65,iiiiiiiiiP
42、PHNUU112,cossin(cossin)nijijijjnjijijiijijijijijij iiiPUGBUGBGUUUU nijjijijijijjiiiiiBGUUPH1)cossin(21(cossin)2niiiiijijijijijiiijij iPNUUU GBU GU(4-49c-1)(4-49d-1)和式中和式中所有所有i或或Ui都是变量都是变量Jacobian矩阵元素的计算（续矩阵元素的计算（续5 5）例如：例如：H11661111121213111111111121213231313,cossincossincossincossin.njijijijijjPUUG
43、BUUGBUGBUGBU 11112121212121313131313111112sincossincos.(sincos)njjjjjjPHUUGBUGBUU GB Jacobian矩阵元素的计算（续矩阵元素的计算（续6 6）对角块元素对角块元素67,iiiiiiiiiQQJLUU112,sincos(sincos)nijijijjnjijijiijijijijijij iiiQUGBUGBBUUUU nijjijijijijjiiiiiBGUUQJ1)sincos(21(sincos)2niiiiijijijijijiiijij iQLUUU GBU BU(4-49c-2)(4-49d-
44、2)和式中和式中所有所有i或或Ui都是变量都是变量Jacobian矩阵的特点矩阵的特点n节点节点网络，若平衡节点网络，若平衡节点1个，个，PQ节点节点m-1个，个，PV节点节点n-m个，则雅可比矩阵为个，则雅可比矩阵为n+m-2阶方阵阶方阵。Jacobian矩阵的矩阵的元素是节点电元素是节点电压压i,Ui的函的函数数。稀疏矩阵稀疏矩阵。非对称矩阵。非对称矩阵。分块分块Jacobian矩阵矩阵与与节点导纳矩阵节点导纳矩阵YB具有相同的具有相同的结构结构68分块分块Jacobian矩阵矩阵6911111121222221211111111212222121121222121121222121221
45、20000000mmmmmmmQQUUUUQQUUUUPPUUQQUUPPUPPPPPPUUUQQQQPPQQJ111112122222111212221212222211000000000000000000000mmmmmmmmmmmmmmmmmPPUUUUPPUUUPPPUPPPPP4.3 牛顿-拉夫逊法潮流计算功率方程（极坐标形式）与修正方程组功率方程（极坐标形式）与修正方程组N-R法计算潮流的基本步骤法计算潮流的基本步骤70N-R法计算潮流的基本步骤法计算潮流的基本步骤形成形成节点导纳矩阵节点导纳矩阵、确定、确定节点分类节点分类，建立需要求，建立需要求解的节点功率方程解的节点功率方程设
46、定设定初解初解：PQ节点节点,PV节点节点常采用常采用平启动平启动（flat start）计算计算功率不平衡量功率不平衡量71(0)(0),iiU(0)j(0)(0)1,0iiU()()()()()1()()()()()1cossinsincosnkskkkkiiijijijijijjnkskkkkiiijijijijijjPPUUGBQQUUGBPQ节点：节点：PV节点：节点：()()()()()1cossin nkskkkkiiijijijijijjPPUUGB123N-R法计算潮流的基本步骤（续法计算潮流的基本步骤（续1）计算计算Hij，Nij，Jij，Lij，形成，形成Jacobian
47、矩阵矩阵解解修正方程组修正方程组修正节点电压修正节点电压收敛判断收敛判断72PHNQJLU UUUUU)()()1()1(kkkk4567max?max?iiU若不满足则转第若不满足则转第3步步N-R法计算潮流的基本步骤（续法计算潮流的基本步骤（续2）迭代收敛后迭代收敛后的其它计算的其它计算平衡节点注入功率平衡节点注入功率：PV节点注入无功：节点注入无功：73811cossinsincosnsGsLssjsjsjsjsjjnsGsLssjsjsjsjsjjPPPUUGBQQQUUGB1sincosnkGkLkkjkjkjkjkjjQQQUUGBN-R法计算潮流的基本步骤（续法计算潮流的基本步骤
48、（续3）支路功率支路功率支路功率损耗支路功率损耗电压降落、电压偏移、输电效率等电压降落、电压偏移、输电效率等74*0*0()()iijijiiijjjijijjijSUU yUUySUU yUUyijijy0iy0jyijSjiSjiijjiSSS潮流计算中的其它问题潮流计算中的其它问题发电机功率越限时的动态调整发电机功率越限时的动态调整负荷静态电压特性的考虑负荷静态电压特性的考虑75PV节点节点PQ节点节点N-R法潮流计算例题法潮流计算例题例例：对如图系统应用：对如图系统应用N-R法进行潮流计算。基准法进行潮流计算。基准功率功率100MVA，电压、电抗均为标么值，收敛精，电压、电抗均为标么值
49、，收敛精度度0.01。76GG23z12z60+j25 MVA12350+j20 MVA13z支路支路i-j阻抗阻抗zij1-20.08+j0.241-30.02+j0.062-30.06+j0.18线路参数线路参数N-R法潮流计算例题（续法潮流计算例题（续1）77节点数据节点数据节点节点电压（电压（pu）发电机注入功率发电机注入功率（MVA）负荷功率负荷功率（MVA）节点类型节点类型UPQPQ11.0500021.032050203006025SWPVPQN-R法潮流计算例题（续法潮流计算例题（续2）分析分析：节点节点1为平衡节点，为平衡节点，2节点为节点为PV节点，节点，3节点为节点为PQ
50、节点，节点，待求状态变量（待求状态变量（未知数未知数）为）为2、U3、3需要求解的节点功率需要求解的节点功率方程方程：修正方程组修正方程组：78333333332222213332333311cossin0sincos0cossin0sjjjjjsjjjjjjjsjjjjjjPUUGBQUUGBPUUGB2223233223333332333333333233/PPPUUPPPPPUUQUUQQQUUN-R法潮流计算例题（续法潮流计算例题（续3）解：解：形成形成节点导纳矩阵节点导纳矩阵791GG120.08+j0.240.06+j0.180.02+j0.0675.325.124.008.011