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1、20192019-20202020 学年北京市朝阳外国语学校九年级（上）期中学年北京市朝阳外国语学校九年级（上）期中数学试卷数学试卷一、选择题（本大题共8 8 小题，共 16.016.0分）1.下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是()A.B.C.D.2.已知的半径为3，圆心 到直线 的距离为2，则直线 与的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定3.对二次函数=3(3)21，下列说法正确的是()A.其图象的开口向下C.其最小值为1B.其图象的对称轴为直线=3D.当 3时，随 的增大而增大4.如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接.若=40，则的度数为()A.20B.25
2、C.40D.505.已知一次函数1=+(0)与二次函数2=2+(0)的部分自变量和对应函数值如表所示，请你说出当12时，自变量 的取值范围是()1024 51026 10 1220 335 12A.1C.1 5D.56.一个圆锥的侧面展开图形是半径为8，圆心角为120 的扇形，则此圆锥的底面半径为()A.38B.163C.3D.34第 1 页，共 34 页 是一张周长为18的三角形纸片，=5，7.如图，是它的内切圆，小明准备用剪刀在 的右侧沿着与 相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为()A.13C.6.5B.8D.随直线的变化而变化8.小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度(米)与旋
3、转时间(分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画经侧试得部分数据如下表：/分/米2.6669.163.2369.623.4668.46下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是()A.7分B.6.5分C.6分D.5.5分二、填空题（本大题共8 8 小题，共 16.016.0分）9.在平面直角坐标系中，将函数=22的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是_ 10.如图，将 绕点逆时针旋转100，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为_11.如图，在平面直角坐标系中，直线=3与双曲线=(0)在第一象限的公共点是(1,).小明说：“从图象上可以看出，满足 3 的的取
4、值范围是 1.”你同意他的观点吗？答：_.理由是_第 2 页，共 34 页12.九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架九章算术中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”(如图1)(1尺等于10寸).阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图2)，其中 于点，求间径就是要求 的直径，再次阅读后，发现=1寸，=10寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题，请帮助小智求出 的直径为_寸，是 的两条切线，两点，在圆上13.如图，与 相切于，点，若=46，=32，则的度数是_.14.如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱
5、梁，抛物线的表达式为=2+.小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需_秒轴的平行线，15.如图，过点(4,5)分别作轴、交直线=+6两点，于，若函数=(0)的图象与 的边有2个公第 3 页，共 34 页共点，则的取值范围是_16.如图1，一个电子蜘蛛从点出发匀速爬行，它先沿线段爬到点，再沿半圆过点爬到点，如果准备在、四点中选定一点安装一台记录仪，记录电子蜘蛛爬行的全过程，设电子蜘蛛爬行的时间为，电子蜘蛛与记录仪之间的距离为，表示与函数关系的图象如图2所示，那么记录仪可能位于图1中的_点三、解答题
6、（本大题共 1212小题，共 96.096.0分）17.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程 已知：直线和直线外一点，求作：直线的垂线，使它经过，作法：如图在直线上取一点，连接；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧两弧相交于，两点，连接交于点；以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，作直线.所以直线就是所求作的垂线(1)请使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明证明：=，=是线段的中点第 4 页，共 34 页 是圆的直径，_=90(依据：_).直线就是所求作的垂线 的三个顶点坐标分别为(1,4)，(4,2)，(3,5)(18.如图，在平面直角坐标系中，
7、每个方格的边长均为1个单位长度)(1)将 绕点逆时针旋转90，画出旋转后得到的 111；(2)求出点旋转到点1所经过的路径长(3)求线段扫过的图形的面积19.二次函数=2 2 3(0)的图象经过点(1)求二次函数的对称轴；第 5 页，共 34 页(2)当(1,0)时，求此时二次函数的表达式；画出函数的图象；若关于的一元二次方程2 2 3 =0在0 0)的图象与直线=2+1交于点(1,)(1)求、的值(2)轴上有一点(0,)，过点作轴的平行线，交反比例函数图象于点，交直线=2+1于点.当=4时，请你判断并直接写出线段与第 7 页，共 34 页的数量关系_(用等式表示).若线段 2，结合函数图象，
8、直接写出的取值范围_，且=90，23.如图，在平面内，给定不在同一直线上的点，点到点，的距离均等于(为常数)，的平分到点的距离等于的所有点组成图形，线交图形于点，连结(1)若线段=，直接写出的度数(2)延长至点，使得=，连结，在(1)问的前提下，请你判断直线与图形的交点个数，并说明理由若=2，求、的长24.在平面直角坐标系中，双曲线=(0)与直线=，直线=分别交于点，；两条直线的交点为.横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记曲线与线段、围成的区域(不含边界)为第 8 页，共 34 页(1)当=3时，结合函数图象，求区域内的整点个数；(2)若区域内没有整点，直接写出的取值范围25.如图，半圆的直径=
9、5，点在上且=1，点是半圆上的动点，过点作 交(或的延长线)于点，(当点与点或点重合时，的值为0)小石根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究下面是小石的探究过程，请补充完整：第 9 页，共 34 页(1)对于点在半圆上的不同位置，画图，测量，得到线段、的长度的几组值，如下表：/1051.53.74.824.04.52.53.74.133.33.43.52.52.5400在、的长度这三个量中，确定_的长度是自变量，_的长度和_的长度都是这个自变量的函数；(2)建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当
10、与直径所夹的锐角为30时，的长度约为_26.在平面直角坐标系中，抛物线=2 2+2 4(0)的顶点为，与轴交于，两点(点在点左侧)，与轴交于点(1)求的长；(2)若点坐标为(0,4)，点坐标为(4,0)，当抛物线与线段有一个公共点时，求的取值范围第 10 页，共 34 页，、分别为、27.已知，如图，在正方形中，点在射线上，连结，中点，连结交于点(1)如图1，当点与点重合时，直接写出的度数；(2)当点在线段的延长线上时，依题意补全图2；在点运动过程中，请你对线段与的数量关系进行猜想，并说明理由(3)若过点作直线的垂线交其于点，连结，若=4，请直接写出线段长度的最大值28.对于平面直角坐标系中点
11、和，给出如下定义：若 上存在一个点，使得点到点和点的距离一样，则称点为 的“镜密点”.已知点(3,2),(23,0),(0,2)第 11 页，共 34 页1 1(1)当 的半径为1时，在点，中，的“镜密点”是_；作直线，若直线上的点(,)是 的“镜密点”，求的取值范围(2)的圆心在轴上，半径为，若线段上存在 的“镜密点”，请直23接写出圆心的横坐标的取值范围；若线段长为2，且线段上所有点都是 的“镜密点”，请你直接写出半径的取值范围第 12 页，共 34 页答案和解析1.【答案】【解析】解：、图形不是中心对称图形；B、图形是中心对称图形；C、图形不是中心对称图形；D、图形不是中心对称图形，故选
12、：根据中心对称图形的概念进行判断即可本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合2.【答案】【解析】解：的半径为3，圆心到直线的距离为2，3 2，即：，直线与 的位置关系是相交故选：根据圆的半径和，圆心到直线的距离的大小，相交：；即可选出答案本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键3.【答案】【解析】解：二次函数=3(3)2 1的开口向上，对称轴为直线=3，有最小值为1，当 1时随增大而增大，抛物线开口向上，如图，可得 5时1 2故选：
13、根据表格所给的值作出一次函数与抛物线的图象，再由两函数交点判断求解第 14 页，共 34 页本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及函数与不等式的关系6.【答案】【解析】解：设此圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2=831208180，=故选：利用弧长公式和圆的周长公式求解圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解7.【答案】=，=，=，【解析】解：由切线长定理得，=，+=+=5，+=18 10=8，的周长=+=+=+=8，故选：根据切线长定理得
14、到=，=，=，=，根据三角形的周长公式计算本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握切线长定理是解题的关键8.【答案】【解析】解：最值在自变量大于2.945小于3.06之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟故选 C由题意，最值在自变量大于2.945小于3.06之间，由此不难找到答案第 15 页，共 34 页此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题9.【答案】=2(1)2+5【解析】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线=22的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：=2(1)2；由“上加下减”的原则可知，抛物线=2(1)2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象
15、的关系式是：=2(1)2+5故答案为=2(1)2+5直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键10.【答案】40【解析】【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出的度数是解题的关键=100，根据旋转的性质可得出=、再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解【解答】解：根据旋转的性质，可得：=，=100，=2(180 100)=40故答案为40111.【答案】不正确；的取值范围是1 1【解析】解：直线=3与双曲线=(0)在第一象限的公共点是(1,)直线=3与双曲线=(
16、0)在第三象限的公共点是(1,)由图象可知：满足3 的的取值范围是1 1，故答案为：不正确，的取值范围是1 1第 16 页，共 34 页由题意，根据反比例函数对称性得到直线=3与双曲线=(0)在第三象限的公共点的横坐标为1，根据函数的图象即可求得满足3 的的取值范围此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，一次函数图象和性质，求得另一个交点的坐标是解本题的关键12.【答案】26【解析】解：连接，垂足为，=2=5，设=，则=1，在 中，=90，2+2=2，(1)2+52=2，解得=13，13 2=26寸，的直径为26寸故答案为26连接，在 中，解直角三角形即
17、可解决问题本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型113.【答案】99【解析】第 17 页，共 34 页【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；从圆外一点引圆的切线，切线长相等也考查了圆内接四边形的性质先根据切线长定理得到=，则=，于是可根据三角形内角和定理可计算出=2(180 )=67，接着利用平角的定义可计算出=180 =81，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数【解答】解：，是 的两条切线，=，=，=2(180 )=2(180 46)=67，=180 =180 67 32=81，四边形为 的内接四边形，
18、对角互补，+=180，=180 81=99故答案为9911114.【答案】36【解析】解：设在10秒时到达点，在26秒时到达，10秒时和26秒时拱梁的高度相同，关于对称轴对称则从到需要16秒，则从到需要8秒从到需要10+8=18秒从到需要2 18=36秒故答案是：3610秒时和26秒时拱梁的高度相同，则，一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则到对称轴的时间可以求得，进而即可求得之间的时间本题考查了二次函数的应用，注意到、关于对称轴对称是解题的关键15.【答案】5 8或9 0)的图象与 的边有两个公共点，点(4,5)，点(1,5)，1 5 4 2或9 4 5，即5 8或9 20，故答案
19、为：5 8或9 20根据题意可以分别求得点、点的坐标，从而可以得到的取值范围，本题得以解决本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件16.【答案】【解析】解：当记录点在点处，从点到点随而减小一直减小到0；当记录点在点处，从到点随的增大而减小，从到点的值不变；当记录点在点处，从到点随的增大而增大，从点到点随的增大而减小；当记录点在点处时，从到的中点随的增大而减小，从的中点到点随的增大而增大，从点到点随的增大而减小；记录点位于图1中的点处故答案为：根据函数的增减性：不同的观察点获得的函数图象的增减性不同，可得答案本题考查了动点问题的函数图象，利用观察点与动
20、点之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键17.【答案】直径所对的圆周角是直角第 19 页，共 34 页【解析】解：(1)图形如图1所示：(2)=，=是线段的中点 是圆的直径，=90(直径所对的圆周角是直角)直线就是所求作的垂线故答案为：，直径所对的圆周角是直角(1)根据要求作出图形即可(2)利用圆周角定理证明即可本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，灵活运用所学知识解决问题18.【答案】解：(1)如图所示，即为所求；(2)根据勾股定理得：=42+22=25，旋转到点1所经过的路径长为：9025=5；180(3)如图，扫过的图形为图中阴
21、影部分，根据面积的和差关系可知，阴影部分面积为扇形1减去扇形1的面积，第 20 页，共 34 页即：阴影=90343609020360=72【解析】(1)根据旋转的性质作出对应点的位置即可；(2)根据弧长公式进行计算即可；(3)根据图形的割补法将阴影部分面积为扇形1减去扇形1的面积即可本题主要考查了作图旋转变换，弧长公式，扇形的面积公式等知识，运用图形的割补法将阴影部分面积转化为扇形1减去扇形1的面积是解题的关键19.【答案】4 0【解析】解：(1)二次函数=2 2 3的对称轴是直线=2，即=1；(2)二次函数=2 2 3(0)的图象经过点(1,0)，+2 3=0，解得：=1，此时二次函数的表
22、达式为=2 2 3；=2 2 3=(1)2 4，顶点坐标为(1,4)，=2 2 3，=0时，2 2 3=0，解得1=1，2=3，函数与轴的交点为(1,0)，(3,0)函数的图象如图所示：2第 21 页，共 34 页 二次函数=2 2 3，对称轴为=1，当=0时，=3，当=1时，=1 2 3=4，当=3时，=9 2 3 3=0，2 2 3 =0相当于=2 2 3与直线=的交点的横坐标，当4 0时，在0 3的范围内有解故答案为：4 0(1)根据二次函数=2+(0)的对称轴是直线=2即可求解；(2)将(1,0)代入=2 2 3，即可求出此时二次函数的表达式；再根据顶点式的利用配方法即可把=2 2 3
23、化为=()2+的形式，特点写出顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，利用描点法画出函数的图象即可；根据函数解析式，从而得到=0、1、3时的函数值，再根据一元二次方程2 2 3 =0(为实数)在0 3的范围内有解相当于=2 2 3与=在0 3内有交点，依此求解即可得出结论本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征以及利用配方法将一般式化为顶点式，正确求出函数的解析式是解题的关键20.【答案】(1)证明：/，/，四边形是平行四边形，=，=，=90，+=+=90，=，第 22 页，共 34 页 =，平行四边形是菱形；(2)解：由(1)得：四边形是菱形，=5，=2
24、=10，=90，=2 2=102 62=8，菱形=2=6 8=24，2211又=2=12，四边形的面积=菱形+=24+12=36【解析】(1)先证四边形是平行四边形，再证=，即可得出结论；(2)由勾股定理求出=8，再由菱形的性质和三角形面积公式求解即可本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键121.【答案】解：(1)根据题意，可得抛物线顶点坐标为(3,4)，(2,3)，设抛物线解析为：=(3)2+4，则3=(2 3)2+4，解得：=1，故抛物线解析式为：=(3)2+4；(2)由题意
25、可得：当=0时，0=(3)2+4，解得：1=1，2=5，故抛物线与轴交点为：(5,0)，答：运动员落水点与点的距离为5米【解析】(1)根据抛物线顶点坐标为(3,4)，可设抛物线解析为：=(3)2+4，将点(2,3)代入可得；(2)在(1)中函数解析式中令=0，求出即可本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式=()2+，然后利用当 0，=时，第 23 页，共 34 页有最小值等性质解决实际问题22.【答案】=2 0 0)的图象上，=3(,4)、两点的坐标为(4,4)、(2)当=4时，2 =，=，423333=3234=2，=2；故答案为：=2；由图象可得，线
26、段 2时，0 4，故答案为：0 4(1)将点代入直线解析式可求，再代入=，可求(2)根据题意先求，两点的坐标，可得=4，=2，即可求出线段与的数量关系；根据图象可以直接得到线段 2时，的取值范围本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法，以及函数图象的性质关键是能利用函数图象有关解决问题3323.【答案】解：(1)如图，连接 =，是等边三角形，=60，是直径，=90，=90 60=30，=30第 24 页，共 34 页(2)直线与图形的交点个数只有一个理由：=，=30，是等边三角形，=60，=90，是 的切线，直线与图形的交点个数只有一个连接，平分，=，=2，是直径，=90，=2=22
27、，=30=6，=2=2，过点作 于点，=45，211 =22=1，=3=3，=+=1+3【解析】(1)连接，证明 是等边三角形，可得结论(2)证明是 的切线，可得结论证明 是等腰直角三角形，求出，过点作 于点，再求出，可得结论本题考查圆的认识，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定第 25 页，共 34 页和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题24.【答案】解：由题意，(,1)，(1,)，(,)，(1)当=3时，(3,1)，(1,3)，(3,3)，在区域内有1个整数点：(2,2)；(2)若区域内没有整点，的取值范围是0 2【解析】
28、(1)当=3时，(3,1)，(1,3)，(3,3)，在区域内有1个整数点：(2,2)；(2)根据图象，内点的横坐标在到0之间，当0 2时，故0 2时内无整点本题考查反比例函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据变化分析区域内整数点的情况是解题的关键25.【答案】1.1或3.7第 26 页，共 34 页【解析】解：(1)根据题意得：的长度是自变量，的长度和的长度是长度的函数，故答案为：，；(2)描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下：(3)如图：在 中，=90，=30，=，21而=5，=1，=4，=2，观察图象可知关于的函数值=2时，对应的的值为1.1或3.7，即=1.1或
29、3.7，故答案为1.1或3.7(1)根据变量定义直接得出结论；(2)描点，连线即可作出函数图象；(3)在 中，=90，=30，即可得=2，观察图象可知关=2时，对应的的值为1.1或3.7，即得=1.1或3.7本题考查圆综合题，垂径定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形第 27 页，共 34 页结合的思想思考问题，属于中考压轴题26.【答案】解：(1)将=0代入抛物线=2 2+2 4，得2 2+2 4=0，解得，1=+2，2=2，点在点左侧，(2,0)，(+2,0)，=+2 (2)=4，的长为4；(2)
30、将(0,4)，(4,0)代入=+，=4得，4+=0解得：=1，=4，=4，联立=2 2+2 4与=4，得，2 2+2 4=4，整理，得2(2+1)+2=0，令=0，即(2+1)2 42=0，解得，=4，当=4时，抛物线=2 2+2 4与线段只有一个公共点；如图2 1，当点与重合时，抛物线=2 2+2 4与线段有两个公共点，=4且(4,0)，点与重合，抛物线对称轴为=2，(2,4)，当=2时，抛物线=2 2+2 4与线段有两个公共点；11第 28 页，共 34 页如图2 2，当点与重合时，抛物线=2 2+2 4与线段只有一个公共点，=4，(8,0)，抛物线对称轴为=6，(6,4)，当=6时，抛物
31、线=2 2+2 4与线段只有一个公共点；当2 6时，抛物线=2 2+2 4与线段只有一个公共点；综上所述，当=4或2 1，(2=23 1)，1，(3=1)，、是 的“镜密点”；故答案是 D、；如图2，第 32 页，共 34 页(23,0)，(0,2)，直线的解析式是：=+2，33(,33+2)，34433 =2+(3+2)2=32+4，当 2时，是 的“镜密点”，32+4433+4 4，3 0；(2)如图3，作 于，tan=2 =30，当=3时，=2=23，当在点的右边时，=0，第 33 页，共 34 页2=33，3当在点的左边时，=43，43 0；如图4，当点在的中点时，可知：的半径小于2是，和不是 的“镜密点”，的半径大于等于2(1)计算点到圆上的点距离的范围即可；计算点到 的最小距离小于等于1，即点到圆心的距离小于等于2；(2)点到直线的距离小于等于3时，上存在 的“镜密点”，故计算点到直线的距离是3，从而确定范围；圆心的位置取在的中点去计算 的半径的范围本题考查了新定义下的阅读理解“镜密点”就是点到圆上的点的距离等于圆的半径，从而转化为点和圆的位置关系，解决问题的关键是抓住“镜密点”的定义，数形结合11第 34 页，共 34 页