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1、2020-20212020-2021 学年合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷学年合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 4040 分）分）1（4 分）已知 3x4y0（xy0），那么下列比例式中成立的是（A2（4 分）二次函数 yAx3BC）Dx1）D（x+1）23 的对称轴为直线（Bx3Cx13（4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（3，4），则射线 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 的余弦值为（）ABCD4（4 分）如图，螺母的外围可以看作是正六边形 ABCDEF，已知这个正六
2、边形的半径是 2，则它的周长是（A6）B12C12D245（4 分）如图，在ABC 中，DEBC，面积为 b，则的值是（AB）2，记ADE 的面积为 a，四边形 DBCE 的CD）6（4 分）关于反比例函数 y的图象，下列说法中，错误的是（A点（1，1）在它的图象上C图象的两个分支关于原点对称B图象位于第二、四象限Dx 的值越大，图象越接近 x 轴第 1 1页（共 5 页）7（4 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，且COAB 于点 O，弦CD 与 AB 相交于点 E，若BEC68，则ABD 的度数为（）A20B23C25D348（4 分）已知二次函数 yx2+2x+2，点 A（x
3、1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）是其图象上两点，则下列结论正确的是（A若 x1+x22，则 y1y2C若 x1+x22，则 y1y2）B若 x1+x22，则 y1y2D若 x1+x22，则 y1y29（4 分）如图，ABC 中，ACB90，CACB，AD 为ABC 的角平分线，CE 是ABC 的中线，AD、CE 相交于点 F，则的值为（）ABCD210（4 分）已知点 A（1，1）、B（3，1）、C（4，2）、D（2，2），若抛物线 yax2（a0）与四边形 ABCD 的边没有交点，则 a 的取值范围为（Aa1Ca1 或 0a）Ba1Da1 或 0a二、填空题（本大题共二、填空题（本大
4、题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）11（5 分）在平面直角坐标系中，点 A（2，3）关于坐标原点 O 中心对称的点的坐标为12（5 分）扇形的圆心角是 45，半径为 2，则该扇形的弧长为第 2 2页（共 5 页）13（5 分）如图，反比例函数y的图象经过矩形 ABCD 的顶点 D 和 BC 边上中点 E，若CDE 面积为 2，则 k 的值为14（5 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E、F 在边 BC，CD 上运动，且满足 BECF，连接 AE，BF 交于点 G，连接 CG，则 CG 的最小值为取最小值时，CE 的长为；当 CG三、
5、三、（本大题（本大题 2 2 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，满分分，满分 1616 分）分）15（8 分）计算：2sin245+tan60tan30cos6016（8 分）如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 AB（1）以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大 2 倍得到线段 A1B1，在网格中画出线段 A1B1（点 A1、B1分别为 A，B 的对应点）；（2）将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90得线段 BB2，画出线段 BB2，则旋转过程中线段BA 扫过的面积为四、四、（本大题（本大题 2 2 小题，每小题小题，每小题
6、8 8 分，满分分，满分 1616 分）分）17（8 分）已知，二次函数 y2x2+8x1（1）用配方法求该二次函数的顶点坐标；第 3 3页（共 5 页）（2）请直接写出将该函数图象向右平移 1 个单位后得到的图象对应的函数表达式18（8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，连接AD，过点 O 作 OFAD 于 F，若 CD6，BE1，求AOF 的面积五、五、（本大题（本大题 2 2 小题，每小题小题，每小题 1010 分，满分分，满分 2020 分）分）19（10 分）胜利塔是某市标志性建筑物之一，如图，为了测得胜利塔的高度 AB，在 D 处用高度为 1.3m 的测角仪 CD
7、 测得胜利塔的顶端 A 的仰角为 30，再前进 113m 到达 F 处，又测得胜利塔的顶端 A 的仰角为 60，求胜利塔的高度 AB（0.1m）1.73，结果精确到20（10 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，AE 与 BD 交于点 H，AE 的延长线与 DC 的延长线交于点 G，BAEDAF（1）求证：AD2DFDG；（2）若 HE4，EG5，求 AH 的长第 4 4页（共 5 页）六、六、（本题满分（本题满分 1212 分）分）21（12 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 O 是 AB 边上一点，以 O 为圆心，OB为半径的半圆与 AC 边相切于
8、点 D，与边 AB，BC 分别相交于点 E，F（1）求证：DEDF；（2）当 BC4，A30时，求 AE 的长七、七、（本题满分（本题满分 1212 分）分）22（12 分）某超市购进一批时令水果，成本为 10 元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来 30 天的销售单价 m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为mx+20（1x30，x 为整数），且其日销售量 y（千克）与时间 x（天）之间的函数关系如图所示：（1）求每天销售这种水果的利润 W（元）与 x（天）之间的函数关系式；（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？八、八、（本题满分（本题满分 1414 分）分）
9、23（14 分）如图，已知矩形 ABCD 与矩形 AEFG，（1）求证：GADEAB；（2）猜想 GD 与 BE 之间的位置关系，并证明你的结论；（3）请连接 DE，BG，若 AB6，AE3，求 DE2+BG2的值，连接 GD，BE 相交于点 Q第 5 5页（共 5 页）2020-20212020-2021 学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 4040 分）分）1【分析】直接利用比例的性质变形得出答案
10、【解答】解：3x4y0（xy0），3x4y，则，故选：B【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键2【分析】所给抛物线是顶点式，可直接得出抛物线的对称轴【解答】解：抛物线 ya（x+h）2+k 的对称轴是直线 xh，抛物线 y故选：D【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数三种表达方式是解题关键3【分析】过 P 作 PAx 轴于 A，根据勾股定理求出 OP，根据锐角三角函数的定义求解即可【解答】解：如图，过 P 作 PAx 轴于 A，P（3，4），PA4，OA3，由勾股定理得：OP5，的余弦值是故选：C【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学
11、生的计算能力4【分析】由正六边形的性质证出AOB 是等边三角形，由等边三角形的性质得出 ABOA，即可得出答案【解答】解：设正六边形的中心为 O，连接 AO，BO，如图所示：O 是正六边形 ABCDEF 的中心，ABBCCDDEEFFA，AOB60，AOBO2，第 1 1页（共 14 页）（x+1）23 的对称轴是直线 x1AOB 是等边三角形，ABOA2，正六边形 ABCDEF 的周长6AB12故选：C【点评】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出AOB是等边三角形是解题关键5【分析】证明ADEABC，相似比为，从而可得 SADE：SABC，即进而可得答案【解答】解
12、：DEBC，ADEABC，SADE：SABC，即故，故选：A【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是证明三角形相似得到 SADE：SABC6【分析】利用反比例函数的性质排除即可【解答】解：当 x1 时，y1故 A 正确k10反比例函数的图像在第二、四象限故 B 正确反比例函数的图像关于原点对称故 C 正确在第二象限，x 越大，图像越远离 x 轴故 D 错误第 2页（共 14 页）故选：D【点评】本题考查反比例函数的性质，理解记忆反比例函数的图像与性质是求解本题的关键7【分析】利用圆周角定理求出D，再利用三角形的外角的性质求出ABD 即可【解答】解：OCAB，COB90，DCOB45，C
13、EBD+ABD，ABD684523，故选：B【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型8【分析】由二次函数 yx2+2x+2 可知对称轴为 x1，当x1+x22 时，点A 与点 B 在对称轴的左边，或点 A 在左侧，点 B 在对称轴的右侧，且点 A 离对称轴的距离比点 B 离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断【解答】解：二次函数 yx2+2x+2，抛物线开口向下，对称轴为 x1，x1x2，当 x1+x22 时，点 A 与点 B 在对称轴的左边，或点 A 在左侧，点 B 在对称轴的右侧，且点 A 离对称轴的距离比点 B 离对称
14、轴的距离大，y1y2，故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质，灵活应用 x1+x2与 2 的关系确定点 A、点B 与对称轴的关系是解决本题的关键9【分析】先过点 F 作 FGAC，垂足为 G，由 CE 是ABC 的中线，根据等腰三角形的性质可得出，CEAB，CEAE，根据勾股定理可得出 AEAB的性质可得出 FEFG，即FAG，即AC，根据角平分线，可证EFAGFA，可得 AGAE，易证DAC，等量代换即可得出答案第 3页（共 14 页）【解答】解：过点 F 作 FGAC，垂足为 G，如图 1，ACB90，CACB，AB，又CE 是 AB 边上的中线，AEAB且 CEAE，ECAEAC45，
15、ECA90，即 CEAB，FEFG，在EFA和GFA中，EFAGFA（ASA），AEAG，在DAC 和FAG中，DACFAG，故选：A，【点评】本题主要考查了相似三角形和等腰三角形的性质，及角平分线的性质，本题属于综合性题目，合理利用相似三角形的性质是解决本题的关键10【分析】分别画出当抛物线 yax2（a0）过四边形 ABCD 的四个顶点时的图象，观察图象可得【解答】解：分别画出当抛物线 yax2（a0）过四边形 ABCD 的四个顶点时的图象，如图所示：第 4页（共 14 页）结合图形可知，当|a|越大时，抛物线开口越小，离y 轴越近，当|a|越小时，抛物线开口越大，离 y 轴越远，若抛物线
16、 yax2（a0）与四边形 ABCD 的边没有交点，则 a 的取值范围为 a1 或 0a故选：D【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系中 a 的大小与开口大小的关系，当|a|越大时，抛物线开口越小，离 y 轴越近，当|a|越小时，抛物线开口越大，离 y 轴越远二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）11【分析】直接利用关于原点对称点的点的坐标性质得出答案【解答】解：点 A（2，3）关于坐标原点 O 中心对称的点的坐标为（2，3）故答案为：（2，3）【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，正确记忆横纵坐标的符
17、号关系是解题关键12【分析】把已知数据代入弧长公式，计算即可【解答】解：根据题意可得，该扇形的弧长故答案为：【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：ln，圆的半径为 R）是解题的关键13【分析】设 E 的坐标是（m，n），kmn，则 C 的坐标是（m，2n），求得 D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得 mn 的值，即 k 的值【解答】解：设 E 的坐标是（m，n），则 kmn，点 C 的坐标是（m，2n），第 5 5页（共 14 页），（弧长为 l，圆心角度数为在 y中，令 y2n，解得：x，D（，2n），SCDE2，|n|m|2，即n2，mn8k8故答案为 8【点评】本题考查了反比
18、例函数系数 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键14【分析】先证明ABEBCF（SAS），说明AGB90，再取 AB 中点 H，HGBC2，由于 HG、HC 不变，因此当 H、G、C 在同一条直线上时，CG 取最小值，CG 的最小值为 HCHG22；先由 HCBHGK 得 tanHCBtanHGK，再设HKx，KG2x 得 HG，再由tanKAGtanBAE求出 BE，最后算出 CE 即可【解答】解：如图，取 AB 中点 H，连接 HG，HC，在ABE 和BCF 中，ABEBCF（SAS），BAECBF，BAE+ABGCBF+ABG90，AGB90，HGBC
19、2，由于 HG、HC 不变，因此当 H、G、C 在同一条直线上时，CG 取最小值，HC2，CG 的最小值为 HCHG22，第 6页（共 14 页）当 CG 取最小值时，H、G、C 共线，如图，过点 G 作 GKAB 于 K，GKHCBH90，GKBC，HCBHGK，tanHCBtanHGK设 HKx，KG2x，HGHGAH，）x，），AKAH+HK（tanKAGtanBAEBE42（CE4BE62故答案为：22，62【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解决本题的关键是取 AB 中点 H，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出当 H、G
20、、C 在同一条直线上时，CG 取最小值三、三、（本大题（本大题 2 2 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，满分分，满分 1616 分）分）15【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案【解答】解：原式2（2+11+1【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键16【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，再利用扇形面积公式得出答案【解答】解：（1）如图所示：线段 A1B1即为所求；）2+第 7 7页（共 14 页）（2）如图所示：线段 BB2即为所求；旋转过程中线段 BA 扫过的面积为：故答案为：【点
21、评】此题主要考查了位似变换以及扇形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键四、四、（本大题（本大题 2 2 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，满分分，满分 1616 分）分）17【分析】（1）利用配方法把抛物线的解析式配成顶点式，从而得到顶点坐标；（2）二次函数 yx2的图象顶点坐标为（2，9），向右平移 1 个单位后顶点坐标为（1，9），根据顶点式可求平移后函数解析式【解答】解：（1）y2x2+8x12（x2+4x+4）812（x+2）29，抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）二次函数 y2x2+8x1 的图象顶点坐标为（2，9），向右平移 1 个单位后顶点坐标为（1，9），所求函数解析式
22、为 y2（x+1）29【点评】本题考查了二次函数的三种表现形式，抛物线的平移规律关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标18【分析】连接 OD，先由垂径定理得 CEDECD3，设O 的半径为 r，则 OEr1，ODr，由勾股定理求出 r5，则 OE4，AE9，求出 SAED则 SAODSAEDSOED，即可解决问题，SOED6，【解答】解：连接 OD，如图所示：第 8 8页（共 14 页）CDAB，CEDECD3，设O 的半径为 r，则 OEr1，ODr，在 RtODE 中，由勾股定理得：（r1）2+32r2，解得：r5，OE4，AE5+49，SAEDAEDE93SAODSAEDSOEDOFAD，O
23、AOD，AFDF，SAOFSAOD6，SOEDOEDE436，【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键五、五、（本大题（本大题 2 2 小题，每小题小题，每小题 1010 分，满分分，满分 2020 分）分）19【分析】设 AGx 米，分别在 RtAEG 和 RtACG 中，表示出 CG 和 GE 的长度，然后根据 DF100m，求出 x 的值，继而可求出胜利塔的高度 AB【解答】解：如图，延长 CE 交 AB 于点 G，设 AGxm，在 RtAEG 中，AEG60，tanAEGEGx，在 RtACG 中，ACG30
24、，tanACGCGxx，x113，解得：xAG第 9 9页（共 14 页）则 ABAG+GB+1.399.0（m）答：这个胜利塔的高度 AB 约为 99.0m【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法20【分析】（1）证明DGADAF，结合ADFGDA，即可证明ADFGDA，则，故 AD2DFDG；（2）根据平行线分线段对应成比例定理即可得到答案【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为菱形，ABDG，BAEDGA，又BAEDAF，DGADAF，又ADFGDA，ADFGDA，AD2D
25、FDG（2）解：ABGD，ADBC，即 AH2HGHE（4+5）436，AH6【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段对应成比例定理，证明ADFGDA 是解此题的关键六、六、（本题满分（本题满分 1212 分）分）21【分析】（1）连接 OD、OF，如图，根据切线的性质得 ODAC，则 ODBC，根据平第 1010页（共 14 页）行线的性质证明DOEDOF，所以，从而得到结论；（2）利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AB2BC8，再证明DOE 为等边三角形，所以 DEOD，于是得到 AEOEOBAB【解答】（1）证明：连接 OD、OF，如图，OB 为半径的
26、半圆与 AC 边相切于点 D，ODAC，C90，ODBC，DOEB，DOFBFO，OBOF，BBFO，DOEDOF，DEDF；（2）解：在 RtABC 中，A30，B60，AB2BC248，ODAD，ADO90，而A30，AOD60，AO2OD，ODOE，DOE60，DOE 为等边三角形，DEOD，AEOEOB，AEAB【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系七、七、（本题满分（本题满分 1212 分）分）第 1111页（共 14 页）22【分析】（1）由题意设销售数量 ykx+b（k0）用待定系数法求得 y 关于 x 的函数关系式，
27、再根据利润 W 等于销售数量 y 千克乘以每千克水果的利润（m10）元，可得答案；（2）根据（1）中所得的 W 关于 x 的二次函数解析式，利用二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案【解答】解：（1）由题意设销售数量 ykx+b（k0），把（10，55），（26，39）代入函数解析式得：，解得：，yx+65，Wy（m10）（x+65）（x+2010）x2+x+650（1x30，x 为整数）x+650每天销售这种水果的利润 W（元）与 x（天）之间的函数关系式为 Wx2+（1x30，x 为整数）；（2）Wx2+x+650，抛物线的对称轴为直线 x22.5，a0，1x30，x 为整数，当 x22
28、 或 x23 时，W 取得最大值，最大值为：（22+65）（22+10）4321903（元）第 22 或 23 天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为 903 元【点评】本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键第 12页（共 14 页）八、八、（本题满分（本题满分 1414 分）分）23【分析】（1）先判断出DAGBAE，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出ADGABE，进而判断出BQHBAD，即可得出结论；（3）连接 BD，EG，利用勾股定理求出 BD，EG，再用勾股定理，即可得出结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD 和四边形
29、 AEFG 是矩形，BADEAG90，BAD+BAGEAG+BAG，DAGBAE，GADEAB；（2）GDBE，理由：由（1）知，GADEAB，ADGABE，DG 与 AB 的交点记作 H，如图，ADG+AHDABE+BHQ，BADBQH90，GDBE；（3），AB6，AE3，AD8，AG4，如图，连接 BD，EG，在 RtABD 中，根据勾股定理得，BD在 RtAEG 中，根据勾股定理得，EG由（2）知，GDBE，在 RtBDQ 中，DQ2+BQ2BD2100，在 RtEGQ 中，EQ2+GQ2EG225，在 RtDQE 中，DE2DQ2+EQ2，在 RtBQG 中，BG2BQ2+GQ2，第 1313页（共 14 页）10，5，DE2+BG2DQ2+EQ2+BQ2+GQ2（DQ2+BQ2）+（EQ2+GQ2）100+25125【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂直的判定，构造出直角三角形是解本题的关键第 14页（共 14 页）