复变函数论第三版课后习题答案.pdf

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1、word 格式文档我的答案我的答案祝大家学习愉快祝大家学习愉快第一章习题解答第一章习题解答（一）（一）1设z 13i，求z及Arcz。2i解：由于z 13i e32所以z 1，Arcz 2k,k 0,1,32。2设z11i,z23 1，试用指数形式表示z1z2及z1。z2ii1i4 e,z23 i 2e6解：由于z12所以z1z2 e42eiii6 2e()i46 2e12i5)iiz1e41(14612ee。iz2222e63解二项方程z a 0,(a 0)。解：z44a (a e)ae2224414i42k4i,k 0,1,2,3。4证明，并说明其几何意义。证明：由于z1 z2z1 z22

2、2 z1 z22Re(z1z2)22 z1 z22Re(z1z2)2所以z1 z2 z1 z2 2(z1 z2)2z1 z2 z3 0,z1 z2 z31。证明 z，z，z 是内123其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方的二倍。5设 z1，z2，z3三点适合条件：接于单位圆z 1的一个正三角形的顶点。，知z证由于1 z2 z313z1z2z3的三个顶点均在单位圆上。因为1 z3 z3z3z1 z2z1 z2 z1z1 z2z2 z3z2 z1z2 2 z1z2 z1z2z z所以，1 2又 z1z2 1，2z1 z2(z1 z2)(z1 z2)z1z1 z2z2(z1z

3、2 z2z1)2z1z2 z1z2 3专业整理word 格式文档z故1同理 z23，知z1 z3 z2 z33z1z2z3是内接于单位圆z 1的一个正三角形。6下列关系表示点z的轨迹的图形是什么？它是不是区域。（1）z z1 z z2,(z1 z2)；解：点z的轨迹是z1与z2两点连线的中垂线，不是区域。（2）z z 4；解：令z x yi由x yi (x 4)yi，即x2 y2(x 4)2 y2，得x 2故点z的轨迹是以直线x 2为边界的左半平面（包括直线x 2）；不是区域。z 11z 1解：令z x yi，（3）由z 1 z 1，得(x 1)2(x 1)2，即x 0；故点z的轨迹是以虚轴为

4、边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。4,且2 Re z 3；（4）0 arg(z 1)解：令z x yiy0 y x 10 arg(z 1)0 arg由4，得x 14，即2 x 32 x 32 Re z 3故点z的轨迹是以直线x 2,x 3,y 0,y x 1为边界的梯形（包括直线x 2,x 3；不包括直线y 0,y x 1）；不是区域。（5）z 2,且 z-3 1；解：点z的轨迹是以原点为心，2 为半径，及以z 3为心，以 1 为半径的两闭圆外部，是区域。（6）Im z 1,且 z 2；解：点z的轨迹是位于直线Im z 1的上方（不包 括直线Im z 1），且在以原点为心，2 为半径的圆内

5、部分（不包括直线圆弧）；是区域。专业整理word 格式文档（7）z 2,且0 arg z 4；解：点z的轨迹是以正实轴、射线arg z 及圆弧 Z=2 为边界的扇形（不包括边界），4i131,且 z i 2222是区域。（8）z 解：令z x yii112z x (y)222由，得31x2(y 3)z i 222故点1414z的轨迹是两个闭圆x21131(y),x2(y)的外部，是区域。24247证明：z 平面上的直线方程可以写成az az C（a是非零复常数，C 是实常数）证设直角坐标系的平面方程为Ax By C将11x Re z(z z),y Im z(z z)代入，得22i11(AiB)

6、z(AiB)z C22a 11(AiB)a(AiB)22，则，上式即为az a z C。令反之：将z x yi,z x yi，代入az a z C得(a a)x(ia ia)y c则有Ax By C；即为一般直线方程。8证明：z平面上的圆周可以写成 AC。2Azz z z c 0.其中 A、C 为实数，A 0,为复数，且证明：设圆方程为专业整理word 格式文档A(x2 y2)Bx Dy C 0其中A 0,当B D 4AC时表实圆；2211(z z),y(z z)代入，得将x y zz,x 22i2211Azz(B Di)z(B Di)z c 022即Azz z z c 0.其中且211(B

7、Di),(B Di)2214(B2 D2)4AC AC；(AC)214反之：令z x yi,abi代入Azz z z c 0得A(x y)Bx Dy C 0,其中B 2a,B 2b即为圆方程。10求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。（1）22z (1i)t；（2）z acost ibsint；z t（3）iiz t22t；（4）t，x tz x iy (1i)t,t y t解（1）。即直线y x。x acostz x iy acost ibsint,y bsint（2）0 t 2x2y2212ab，即为椭圆；tix 1z x iy t y tt，即为双曲线xy 1；（3）2x ti1z x

8、iy t22y t2t（4），即为双曲线xy 1中位于第一象限中的一支。11函数w 1z将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线z x iy,w u iv？专业整理word 格式文档2（1）y x；（2）x1 y 12w 解xy11xyu,v 2ix2 y2x2 y2，可得zx iyx y2x2 y2，u（1）xy y vx2 y2x2 y2x2 y2是w平面上一直线；x 12 y21 x2 y2 2x（2）于是x1x2 y22，u 12，是w平面上一平行与v轴的直线。13试证argz(argz)在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在 z 平面上处处连续。证设f(z)argz，因为f(0)

9、无定义，所以f(z)在原点z=0 处不连续。当z0为负实轴上的点时，即z0 x0(x0 0)，有yarctanxlimx0 xy0lim arg z yzz0limarctanxx0 xy0所以zz0显然。lim argz不存在，即argz在负实轴上不连续。而argz 在 z 平面上的其它点处的连续性14 设xy3,fz2 y6z 0 x0,z 0求证fz在原点处不连接。证由于x4x2lim fz lim2 lim 0z0 x0 x x6x01 x4yxy61lim fz lim6z0y0y y623xy专业整理word 格式文档可知极限z0lim fz不存在，故fz在原点处不连接。16.试问

10、函数f(z)=1/(1 z)在单位圆|z|1 内是否连续？是否一致连续？【解】(1)f(z)在单位圆|z|1 内连续因为z在内连续，故f(z)=1/(1 z)在1内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆|z|1 内连续(2)f(z)在单位圆|z|1 内不一致连续令zn=1 1/n，wn=1 1/(n+1)，n 则zn,wn都在单位圆|z|0，故f(z)在单位圆|z|1 内不一致连续也可以直接用实函数f(x)=1/(1 x)在(0,1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E=z|Im(z)=0,0 Re(z)0，N，使得n N，有|znz0|此时有|xnx0|znz0|；

11、|yny0|znz0|0，N1，使得n N1，有|xnx0|N2，有|yny0|N，有n N1且n N2，故有|znz0|=|(xnx0)+i(yny0)|xnx0|+|yny0|0，K，使得n K，有|znz0|K时，有|(z1+z2+.+zn)/nz0|=|(z1z0)+(z2z0)+.+(znz0)|/n(|z1z0|+|z2z0|+.+|znz0|)/n=(|z1z0|+.+|zKz0|)/n+(|zK+1z0|+.+|znz0|)/nM/n+(nK)/n(/2)M/n+/2因 limn(M/n)=0，故L，使得n L，有M/n K时，有|(z1+z2+.+zn)/nz0|M/n+/2

12、/2+/2=所以，limn(z1+z2+.+zn)/n=z0(2)当z0 时，结论不成立这可由下面的反例看出例：zn=(1)n，n 显然 limnzn=+但k，有(z1+z2+.+z2k)/(2k)=1/2，因此数列(z1+z2+.+zn)/n不趋向于这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的专业整理n+word 格式文档2如果z e，试证明itzn（1）11nz 2isinnt 2cosntnnzz；（2）zn1 einteint einteint 2sinntnz解（1）（2）zn1 einteint einteint 2isinntnz4设z x iy，试证x y2

13、z x y。证由于z x2 y2x y22x y 2 x y x y22z 及2 x2 y22x2 y2 2 x y2x y2x y有2 z x y*6.设|z|=1，试证：|(a z+b)/(b z+a)|=1(z表示复数z的共轭)*【解】此题应该要求b z+a 0*|a z+b|=|(a z+b)|=|a z+b|=|a z+b|z|=|(a z+b*)z|*2*=|a zz +bz|=|a|z|+bz|=|b z+a|*故|(a z+b)/(b z+a)|=18.试证：以z1,z2,z3为顶点的三角形和以w1,w2,w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为z1z2z3w11w21=0w31

14、【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)例如专业整理word 格式文档z2z2z32.旋转z3z31.平移z1z1w1z1z2w23.位似w3我们将采用下述的观点来证明：以z1,z2,z3为顶点的三角形和以w1,w2,w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转记f1(z)=zz1(将z1变到 0 的平移)；f3(z)=zw1(将 0 变到w1的平移)；那么，三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似存在某个绕原点的旋转位似变换f2(z)=z0

15、 z，使得f2(f1(zk)=f3(wk)，(k=2,3)，其中z00存在z00，使得z0(zkz1)=wkw1，(k=2,3)(w2w1)/(z2z1)=(w3w1)/(z3z1)z2 z1z3 z10w2 w1=0w3 w101z2 z1z3 z1z1z2z3w2 w11=0w3 w11w11w21=0证完w319.试证：四个相异点z1,z2,z3,z4共圆周或共直线的充要条件是(z1z4)/(z1z2):(z3z4)/(z3z2)为实数【解】在平面几何中，共线的四个点A,B,C,D的交比定义为(A,B;C,D)=(AC/CB):(AD/DB)这是射影几何中的重要的不变量类似地，在复平面上

16、，(不一定共线的)四个点z1,z2,z3,z4的交比定义为z1z2,z3z4=(z1z3)/(z2z3):(z1z4)/(z2z4)本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数()分两种情况讨论(1)若(z1z4)/(z1z2)为实数，则(z3z4)/(z3z2)也是实数设(z1z4)/(z1z2)=t，t则z4=(1 t)z1+t z2，专业整理word 格式文档故z4在z1,z2所确定的直线上，即z1,z2,z4共线因此，同理，z1,z2,z3也共线所以，z1,z2,z3,z4是共线的(2)若(z1z4)/(z1z2)为虚数，则(z3z4)/(z3z2)也是虚数故 Ar

17、g(z1z4)/(z1z2)k，Arg(z3z4)/(z3z2)k而 Arg(z1z4)/(z1z2)Arg(z3z4)/(z3z2)=Arg(z1z4)/(z1z2):(z3z4)/(z3z2)=k注意到 Arg(zz4)/(zz2)=Arg(z4z)/(z2z)是z2z到z4z的正向正向夹角，若 Arg(z1z4)/(z1z2)=Arg(z3z4)/(z3z2)，则z1,z3在z2,z4所确定的直线的同侧，且它们对z2,z4所张的角的大小大小相同，故z1,z2,z3,z4是共圆的若 Arg(z1z4)/(z1z2)=Arg(z3z4)/(z3z2)+，则z1,z3在z2,z4所确定的直线的

18、异侧，且它们对z2,z4所张的角的大小大小互补，故z1,z2,z3,z4也是共圆的()也分两种情况讨论(1)若z1,z2,z3,z4是共线的，则存在s,t0,1，使得z4=(1 s)z3+s z2，z4=(1 t)z1+t z2，那么，z3z4=s(z3z2)，即(z3z4)/(z3z2)=s；而z1z4=t(z1z2)，即(z1z4)/(z1z2)=t，所以，(z1z4)/(z1z2):(z3z4)/(z3z2)=t/s(2)若z1,z2,z3,z4是共圆的，若z1,z3在z2,z4所确定的直线的同侧，那么，Arg(z4z1)/(z2z1)=Arg(z4z3)/(z2z3)因此(z4z1)/

19、(z2z1):(z4z3)/(z2z3)是实数也就是说(z1z4)/(z1z2):(z3z4)/(z3z2)是实数若z1,z3在z2,z4所确定的直线的异侧，则 Arg(z4z1)/(z2z1)+Arg(z2z3)/(z4z3)=(2k+1)，故 Arg(z1z4)/(z1z2):(z3z4)/(z3z2)=Arg(z1z4)/(z1z2)Arg(z3z4)/(z3z2)=Arg(z1z4)/(z1z2)+Arg(z3z2)/(z3z4)=Arg(z4z1)/(z2z1)+Arg(z2z3)/(z4z3)=(2k+1)，所以，(z1z4)/(z1z2):(z3z4)/(z3z2)仍为实数证完这

20、个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法11.试证：方程|zz1|/|zz2|=k(0 k 1，z1z2)表示z平面的一个圆周，222其圆心为z0，半径为，且z0=(z1k z2)/(1 k)，=k|z1z2|/|1 k|【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线当比值不等于1 时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius 圆222设 0 0|(1 z)/(1+z)|0 点z在y轴右侧 点z在点1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的右侧 点z在点1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的与1 同侧的那一侧 点z到点1 的距离大于点z到点 1 的距离|1+z|1 z|(1 z)/(1+z)|1不用几何意义可以用下面的方法证明：设z=x+i y，x,y22|(1 z)/(1+z)|1 z|1+z|1 z|22 1+z+2Re(z)1+z 2Re(z)Re(z)0由本题结论，可知映射f(z)=(1 z)/(1+z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点问题问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？+m，m，1,2,.,nlimn，+n 0，un，n 1un，m，2 0，0，【解】0,2ldx，f(x)=(,+),1knun，0,222专业整理