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1、请将下面证明中每一步的理由填在括号内.已知：如图，D，E，F 分别是BC，CA，AB 上的点，DE BA，DF CA.求证：FDE=A.证明：DE BA()，FDE=BFD()，DF CA()，1.已知两直线平行，内错角相等已知BFD=A()，FDE=A().两直线平行，同位角相等等量代换已知：如图，AD CB，AD=CB.求证：ABC CDA.2.证明：AD CB，ACB=CAD.CB=AD，CA=AC，ABC CDA(SAS).已知：如图，在ABC 中，AB=AC，点D，E 分别在边AC，AB 上，且ABD=ACE，BD 与CE 相交于点O.求证：(1)OB=OC；3.证明：(1)AB=A
2、C，ABC=ACB.ABD=ACE，ABC ABD=ACB ACE，DBC=ECB，即OBC=OCB.OB=OC(等角对等边).(2)BE=CD；(2)在ABD 和ACE 中，A=A，AB=AC，ABD=ACE，ABD ACE(ASA)，AD=AE.AB=AC，AB AE=AC AD，即BE=CD.已知：如图，BD，CE 是ABC 的高，且BD=CE.求证：ABC 是等腰三角形.4.证明：BD，CE 是ABC 的高，BDC=CEB=90.又BD=CE，BC=CB，Rt BCD Rt CBE(HL)，ABC=ACB.AB=AC，即ABC 是等腰三角形.在ABC 中，已知A，B，C 的度数之比是1
3、23，AB=，求AC 的长.5.解：A+B+C=180，A B C=1 23，A=30，C=90.在Rt ABC 中，A=30，BC=已知：如图，AN OB，BM OA，垂足分别为N，M，OM=ON，BM 与AN 相交于点P.求证：PM=PN.6.证明：如图，连接OP.AN OB，BM OA，PMO=PNO=90.在Rt PMO 与Rt PNO 中，OP=OP，OM=ON，Rt PMO Rt PNO(HL).PM=PN.已知：MN 是线段AB 的垂直平分线，C，D 是MN 上的两点.求证：(1)ABC，ABD 是等腰三角形；7.证明：(1)如图，C 是线段AB 的垂直平分线上的点，AC=BC.
4、ABC 是等腰三角形.同理可证ABD 是等腰三角形.(2)CAD=CBD.(2)如图，点C，D 在线段AB 所在直线的两侧.AC=BC，CAB=CBA.AD=BD，DAB=DBA.CAB+DAB=CBA+DBA，即CAD=CBD.点C，D 在线段AB 所在直线的同侧，利用同样的方法推理可得CAD=CBD.如图，已知线段a，利用尺规求作以a为底边、以2a为高的等腰三角形.8.已知：线段a，如图(1).求作：等腰ABC，使得AB=AC，BC=a，BC 边上的高AD=2a.作法：如图(2).(1)作射线BM，在BM 上截取线段BC=a；(2)作线段BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D；(3)在射线
5、DE 上截取DA=2a；(4)连接AB，AC，则ABC 即为所求.如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC=a，AD 是ABC 的高，求AD 的长.9.解：在ABC 中，BAC=90，AB=AC=a，由勾股定理得BC=.又SABC=ABAC=BCAD，即AD=.解：Rt AOD Rt AOE.证明：ABC 的高BD 与CE 相交于点O，ADO=AEO=90.OD=OE，AO=AO，Rt AOD Rt AOE(HL).如图，ABC 的高BD 与CE 相交于点O，OD=OE，AO 的延长线交BC 于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并给出证明.10.Rt BOE Rt COD.证明：由
6、知BEO=CDO=90，又OE=OD，且BOE=COD，BOE COD(ASA).Rt BCE Rt CBD.证明：由知BEC=CDB=90，BE=CD，且BC=CB，Rt BCE Rt CBD(HL).ABM ACM.证明：由知ABC=ACB，由知BAM=CAM，又AM=AM，ABM ACM(AAS).Rt ABD Rt ACE.证明：ADB=AEC=90，BAD=CAE，又由知AD=AE，Rt ABD Rt ACE(ASA).BOM COM.证明：由知OMB=OMC，BM=CM，又OM=OM.BOM COM(SAS).AOB AOC.证明：由知OB=OC，由知AB=AC，又OA=OA.AO
7、B AOC(SSS).证明：如图，连接BE.DE 垂直平分AB，AE=BE.ABE=A=30.C=90，A=30，ABC=60.EBC=ABC ABE=30.BE=2CE.AE=2CE.如图，在ABC 中，C=90，A=30，AB 的垂直平分线分别交AB，AC 于点D，E.求证：AE=2CE.11.解：C=BED=90，B=60，A=30.又AED=180 BED=90，AD=2DE=2.AC=AD+CD=4.如图，四边形BCDE 中，C=BED=90，B=60，延长CD，BE，两线相交于点A.已知CD=2，DE=1，求Rt ABC 的面积.12.在Rt ABC 中，A=30，AB=2BC.又
8、AB2=BC2+AC2，即4BC2=BC2+42，解得BC=SABC=解：此题答案不唯一.可添加条件：CAB=DBA 或CBA=DAB 或AC=BD 或BC=AD.如图，已知ACB=BDA=90，要使ACB BDA，还需要添加什么条件？请你选择其中一个加以证明.13.选择添加条件AC=BD 加以证明.证明：在Rt ACB 和Rt BDA 中，AC=BD，AB=BA，Rt ACB Rt BDA(HL).已知：在ABC 中，AB=AC.求证：B 与C 都是锐角.证明：AB=AC，B=C.假设B 与C 为直角或钝角，于是B+C 180，这与三角形内角和定理矛盾，因此B 和C 必为锐角.即等腰三角形的
9、底角必为锐角.求证：等腰三角形的底角必为锐角.14.解：AFD 是直角三角形.理由如下：AB=AD，ADB=B=64.BAD=180 ADB B=180 64 64=52.如图，在ABC 中，B=64，BAC=72，D 为BC上一点，DE 交AC 于点F，且AB=AD=DE，连接AE，E=55.请判断AFD 的形状，并说明理由.15.BAC=72，DAC=BAC BAD=72 52=20.AD=DE，E=55，DAE=E=55.FAE=DAE DAC=35.AFD=FAE+E=35+55=90.AFD 是直角三角形.如图，在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E
10、.已知BCE 的周长为8，AC BC=2，求AB 与BC 的长.16.解：DE 垂直平分AB，AE=BE.又BCE 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8.AC BC=2，得方程组AB=AC，AB=5.已知：如图，在等边三角形ABC 的三边上分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF.求证：DEF 是等边三角形.17.证明：在等边三角形ABC 中，AB=BC=AC，A=B=C.AD=BE=CF，AB AD=BC BE=AC CF，即DB=EC=FA.在BDE 和CEF 中，DB=EC，B=C，BE=CF，BDE CEF(SAS).DE=EF.同理可证AFD CEF(SAS)，FD=EF.DE=EF=FD.DEF 是等边三角形.如图，已知线段c，求作等腰直角三角形，使其斜边等于线段c(保留作图痕迹，不必写作法).18.解：作图如图所示，ABC 即为所求作的等腰直角三角形.解：如图，在等腰ABC 中，AB=AC=5，BC=6，过点A 作AD BC 交BC 于点D，则BD=BC=3.在Rt ABD 中，由勾股定理得AD=AB BD=5 3=16，AD=4.已知等腰三角形底边和腰的长分别为6 和5，求这个等腰三角形的面积.19.SABC=BC AD=64=12.