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1、 中考压轴题全揭秘三年经典中考压轴题专 题0 9二次函数的图象和性质问题一、选择题1.（2017内蒙古包头市，第11题，3分）已知一次函数x=4 x,二次函数为=2 +2,在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为乂与为，则下列关系正确的是（）A.B.y,y2 c.y,y2 D.y22.（2017四川省乐山市，第9题，3分）已知二次函数丁 =/一2根%（?为常数），当-1WXW2时，函数值y的最小值为-2,则m的 值 是（）A.-B.V2 C.-或 痣 D.一。或 痣2 2 23.（2017湖北省恩施州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为h y=-3x+3,/2
2、：y-3x+9,直线八交x轴于点A,交y轴于点8,直线b交x轴于点。，过 点B作x轴的平行线交b于点C,点4、E关于），轴对称，抛物线=依2+法+。过E、B、C三点，下列判断中：“-b+c=0；2+b+c=5；抛物线关于直线x=l对称；抛物线过点（b,c）；5四 边 彩ABCD=5,其中正确的个数有（）4.（2017湖北省荆州市，第10题，3分）规定：如果关于x的一元二次方程以2+bx+c=0 Q W 0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论:方程/+2 x-8=0 是倍根方程；若关于x 的方程/+依+2=0 是倍根方程，则=3；若关于x 的方
3、程ox?6 +c=0（aWO）是倍根方程，则抛物线y=分 2_6依+c 与 x 轴的公共点的坐标 是（2,0）和（4,0）；4 若 点（m,）在反比例函数y=的图象上，则关于x 的方程如2+5x+=0 是倍根方程.x上述结论中正确的有（）A.B.C.D.5.（2017贵州省安顺市，第 10题，3 分）二次函数、=以 2+加+。（“w o）的图象如图，给出下列四个结论：4ac-b 0；3b+2c（）；4a+c2/?；（4）mam+b）+b0；3a+b0；4-W a W-l；a+匕，“毋+加？（机为任意实数）；一元二次方程分2+笈+。=有两个不相等的实3数根，其中正确的有（）VA.2 个 B.3
4、个 C.4 个 D.5 个7.（2017四川省阿坝州，第 1（）题，4 分）如图，抛物线了 =0?+加+。（力 0）的对称轴为直线广1,与 x 轴的一个交点坐标为（-1,0）,其部分图象如图所示，下列结论:4 a c 0当y0时，x的取值范围是-1WXV3当x0时，y随 x增大而增大其中结论正确的个数是（）A.4个 B.3 个 C.2个 D.1 个8.（20 1 7山东省日照市，第 1 2题，4 分）已知抛物线y =o?+法（0）的对称轴为直线x=2,与 x轴的一个交点坐标为（4,0）,其部分图象如图所示，下列结论：抛物线过原点；4 q+6+c=0；“-b+c 0；抛物线的顶点坐标为（2,b）
5、；当xV2时，y随 x增大而增大.其中结论正确的是（）A.B.C.D.9.（20 1 7山东省烟台市，第 1 1 题，3 分）二次函数y =a r 2+b x +c （a#0）的图象如图所示，对称轴是直线 尸 1,下列结论：如4a c；a+b+2 c 0；3 a+c 3,且是整数，当时，y的整数值有（2-4）个;若函数图象过点（a,y ）和（b,y o+1）.其中 0,b 0,则瓦其中真命题的序号是（）A.B.C.D.12.（2017黑龙江省齐齐哈尔市，第 10题，3 分）如图，抛物线），u o W+bx+c （。#0）的对称轴为直线=-2,与 x轴的一个交点在（-3,0）和（-4,0）之间，
6、其部分图象如图所示，则下列结论：4 a-b=0；c9 5 10；4 a-2 b 混+6G为实数）；点（-1,%）,%（一万，为）是该抛物线上的点，则X%，正确的个数有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1 个13.（2017四川省资阳市，第10题，3分）如图，抛物线 =62+灰+，（”#0）的顶点和该抛物线与），轴的交点在一次函数/日+1 （Z W 0）的图象上，它的对称轴是x =1,有下列四个结论：“历 k,其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.114.（2017四川省遂宁市，第 10题，4 分）函数丁 =/+以+。与函数y=x 的图像如图所示，有以下结论:。2 4C 0；8
7、+C=0；b 0；方 程 组 +云+。的解为%=1,=3；当ix3=x M=l 为=3时，V+S D x+c X）.其中正确的是（）A.B.C.D.31 )O 13*x15.（2017山东省济南市，第 14题，3 分）二次函数丁 =加+灰+。（W 0）的图象经过点（-2,0）,（沏,0）,l x00；2 V h；2 -Z?-KO；2 a+c 0,4 n+2 b+c 0,4a c-h S a,a c.3 3其中含所有正确结论的选项是（）C.D.19.（2016山东省滨州市）抛物线y =2Y2岳+1与坐标轴的交点个数是（)A.0B.1C.2D.320.（20 1 6山东省滨州市）在平面直角坐标系中
8、，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转1 8 0 得 到 抛 物 线 则 原 抛 物 线 的 解 析 式 是（）/5、2 H/5、2 1 1A.y =-Q ）-B.y =：（xH）-2 4 2 4/5、2 1 /5 1C.V =-（X-）-D.V =（X 4-）H-2 4 2 4221.（20 1 6广西南宁市）二次函数+c（w o）和正比例函数y =的图象如图所示，则方2程c ix?+（b-）x +c =0 （4 W 0）的两根之和（）3A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定22.（20 1 6黑龙江省齐齐哈尔市）如图，抛物线y =，z x 2+笈+c（&W 0）的对
9、称轴为直线广1,与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,其部分图象如图所示，下列结论：4 a c V b2；方程以2+bx +c =O的两个根是X =-1,9=3；3 n+c 0当y 0时，x的取值范围是-l W x 3当x 0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1个23.（2016广西桂林市）已知直线 旷=&+3 与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-6产+4 上，能使4B P为等腰三角形的点P 的个数有（）A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个1 2 524.（2016广西贵港市）如图，抛物线y=/+x+与x 轴交于A,B 两点，与
10、），轴交于点C.若点12 3 3P 是线段AC上方的抛物线上一动点，当4C P 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是（）25.（2016江苏省常州市）已知一次函数（A#0）和二次函数当 二奴?+匕x+C（#0）的自当 巴 X 时，自变量X的取值范围是（）A.x 4 C.-1 x 4 D.尤 426.（2016浙江省舟山市）二次函数y=（x I）?+5,当 m且机”0）的图象经过点4（-1,2）,B（2,5）,顶点坐标为（想），则下列说法错误的是（)A.c 3 B.C.D./?%y B.%x =%c.%为 D-y =%29.（2016湖北省随州市）二次函数y =o?+b x +C （a WO）的
11、部分图象如图所示，图象过点（-1,0）,对称轴为直线 x=2,下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c3b；（3）8 a+7+2 c 0；（4）若点 A （-3,y ）、1 7点8 （-万，%）、点C（,，%）在该函数图象上，则 另%：若方程a（x+1 ）（x-5）=-3的两根为X i和 且 玉%，则为-1 5 0；若点B（%）、?（/,y2）为函数图象上的两点，则y 0；a-6+c V 0；m -2,其中，正确的个数有（）A.1 B.2 C.3D.43 4.（2 0 1 6四川省泸州市）已 知 二 次 函 数 了 =以2法一2（aW O）的 图 象 的 顶 点 在 第 四 象 限，且 过
12、 点（-1,0）,当a -8为 整 数 时，血 的 值 为（）3 一A.一或 I41 -B.一或 I43 -1C.一或一4 2D一 或34 43 5.（2 0 1 5南宁）如图，已知经过原点的抛物线=。寸+治：+以。工0）的对称轴是直线工=-1,下列结论中：。0,Q+/?+C0,当一2 v x v 0 0寸，y 0.正确的个数是（)A.0个 B.1 个 C.2 个 D.3 个3 6.（2 0 1 5 乐山）己知二次函数丁=2%2+Z?x+c 的图象如图所示，记“=|a b+d+|2 +b +c|,“=|a+b+d+|2 a 8 一4.则下列选项正确的是（）A.m n C.m-n D.m、的大小
13、关系不能确定3 7.（2 0 1 5 孝感）如图，二次函数y =以 2+法+c （。h 0）的图象与x 轴交于4,8两点，与 y 轴交于点b，4 a c cC,且 0 4=0 C.则下列结论：H cVO；-0；a c-b+l=O；O A-O B=一 .4。a其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题3 8.（2 0 1 7 湖北省武汉市，第 1 6 题，3分）已知关于x 的二次函数丁 =办 2+（/一 ）工一。的图象与x 轴的一个交点的坐标为（相，0）.若 2 相 3,则。的取值范围是.39.（2017四川省德阳市，第 16题，3 分）若抛物线丁 =一以2+网上J 与x
14、轴交于A,、g“两+n（n+l）点（。为常数为自然数）,用 S表示A”、加 两点间的距离，则 S1+S2+.+52OI7=.40.（2017山东省莱芜市，第 16题，4 分）二次函数y=a?+6 x+c （“（）图象与x 轴的交点A、8 的横坐标分别为-3,1,与 y 轴交于点C,下面四个结论：16-4b+c ；所-；c；若 A B C是等腰三角形，则 炉-2 互.其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）341.（2017四川省乐山市，第 16题，3 分）对于函数了=%+才 ，我们定义y=y i+加千I （利、为常数）.例如 y=x4+%2,则 y=4x3 4-2 x.已知：丁 =+（2-1
15、）X2+z2%.（1）若方程y=o 有两个相等实数根，则?的值为；（2）若方程 =，-有两个正数根，则，的取值范围为_ _ _ _ _.442.（2017四川省广元市，第 15题，3 分）已知二次函数丁 =2+笈+。的图象如图所示，有下列结论：M cb；3a+c m（a m+b）（其 中 其 中 正 确 的 结 论 有.x=l43.（2017四川省阿坝州，第 24题，4 分）如图，抛物线的顶点为P（-2,2）,与），轴交于点4（0,3）.若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P （2,-2）,点 A 的对应点为A ,则抛物线上以段扫过的区 域（阴影部分）的面积为44.（20 1 7广西玉林崇
16、左市，第 1 8题，3 分）已知抛物线：丫 =62+加+（a 0）经过A （-1,1）,B（2,4）两点，顶点坐标为（m,n）,有下列结论：6 1；c 2；。机”1.2则 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.45.（20 1 7广西贺州市，第 1 7题，3 分）二次函数y =ar 2+阮+。（小h,c 为常数，/0）的图象如图所示，下列结论：。儿 0；2 a+h 0；/-4 w=0；8 +c 0；a：b：c=-1 ：2：3,其中正确的结46.（20 1 7新疆乌鲁木齐市，第 1 5题，4 分）如图，抛物线），=奴 2+法+。过 点（-1,0）,且对称轴为直线 广 1,有下列结论：“b c
17、0：抛物线经过点（4,M）与 点（-3,竺），则%九；无论小b,c 取何值，抛物线都经过同一个点（-色，0）；（）a nr+b m +a Q,其 中 所 有 正 确 的 结 论 是.a47.（2016吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，菱形 O A 8 C 的顶点A在 x轴正半轴上，顶点C的坐标 为（4,3）.。是抛物线y =-x 2+&上一点，且在x 轴上方.则 B C O 的最大值为48.（2016四川省内江市）二次函数了 =办 2+法+。的图象如图所示，且 P=|2 a+b|+|36 -2 c|,Q-2a -h-3b+2c,则 P,。的大小关系是.49.（2016四川省南充市）已知抛
18、物线y =以 2+以+c开口向上且经过点（1,1）,双曲线y =-经过点（。,2 xbe）,给出下列结论：加 （）；A+c 0；儿 c 是关于x的一元二次方程/+（4-1）+-=0的两个实2a数根；a-6-c 2 3.其 中 正 确 结 论 是 （填写序号）50.（2016山东省荷泽市）如图，一段抛物线：y=-x（x-2）（0 W x W 2）记 为C”它与x轴交于两点O,4;将 C i 绕A 旋 转 1 8 0 得到C 2,交 x轴于4；将 C 2 绕 4 旋 转 1 8 0 得到C 3,交x轴于A 3；如此进行51.（2016广东省梅州市）如图，抛物线y =犬+2%+3 与y轴交于点C,点
19、。（0,1）,点尸是抛物线上的动点.若 P C O 是以C。为底的等腰三角形，则点P的坐标为.c/小 B 0%52.（2016湖北省十堰市）已知关于尤的二次函数丁 =62+法+c的图象经过点（-2,%），（-1 1%），（1,0）,且y 0;。+3+2 cW 0；对于自变量x的任意一个取值，都W-x2+x -2 x =一，其中结论错误的是_ _ _ _ _ _（只b 4a a填写序号）.53.（2016福建省厦门市）已知点尸（?，）在抛物线旷=6 2 一无一。上，当机2-1时，总 有 成 立，则a的取值范围是.54.（2015南通）关于x的一元二次方程以2 一3%1 =0的两个不相等的实数根都
20、在-1和0之 间（不包括-1和0）,则a的取值范围是.55.（2015宿迁）当x 或x =（m n）时，代数式-2 x +3的值相等，则x =时，代数式J 2 x +3的值为.56.（2015贺州）已知二次函数 =2+加+。的图象如图所示，有以下结论：而c 0,.-匕+c 0,若 点（-2,乂）和（-；，）在该图象上，则H%其中正确的结论是（填入正确结论的序号）.57.（2015雅安）为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为2 0 m的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则 该 扇 形 区 域 的 面 积 的 最 大 值 为.三、解答题58.（20 1 7天门，第 23题，1 0 分）
21、已知关于x的一元二次方程f 一（机+1旨+,（加？+1）=0有实数根.2（1 ）求7的值；（2）先作y =x2-（m +l）x +|（/M2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n 机）与变化后的图象有公共点时，求九24的最大值和最小值.59.（20 1 7云南省，第 21 题，8 分）已知二次函数y u-Z f+Z zx +c图象的顶点坐标为（3,8）,该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点，。是原点.（1）不等式b+2 c+8 2 0是否成立？请
22、说明理由；（2）设S是 A M O的面积，求满足S=9的所有点M的坐标.60.（20 1 7北京市，第 27题，7 分）在平面直角坐标系直万中，抛物线y =/一4%+3与 不轴交于点A、B（点A在点8的左侧），与y轴交于点C.（1）求直线8 C的表达式；（2）垂直于y轴的直线/与抛物线交于点P（x i，）,Q（应，”），与直线BC交于点N（右，为），若 由V x 2 V a，结合函数的图象，求修+M+工3的取值范围.46L（20 1 7四川省自贡市，第 24题，1 0 分）探究函数y =X +的图象与性质x4（1）函数y =%+的自变量x的取值范围是；x4（2）下列四个函数图象中函数y =x
23、+的 图 象 大 致 是；x4（3）对于函数=1+,求当x 0时，y的取值范围.x请将下列的求解过程补充完整.解:V x 0/.y=X H-=(V x)2 4-(=)2=(V x-j=)2+x y/x yjx*(/x 2 0,.y2.拓展运用r2-5 x 4-9(4)若函数y=，则 y的取值范围.x62.(20 1 7南京，第 26题，8 分)已知函数y =月+(2一1)工+机(机为常数).(1)该函数的图象与x轴 公 共 点 的 个 数 是.A.0 B.1 C.2 D.1 或 2(2)求证：不论相为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=(x+l的图象上.(3)当-2 W?W 3 时，求该函数的
24、图象的顶点纵坐标的取值范围.63.(20 1 7江苏省南通市，第 25题，9 分)某学习小组在研究函数y-2 8 的图象与性质时，已列表、6描点并画出了图象的一部分.X-4-3.5-3-2-101233.54y_83 4 83 _2831160H6_83_3_2748S3(1)请补全函数图象；(2)方程，V-2 尤=一2 实数根的个数为(3)观察图象，写出该函数的两条性质.64.（2017江西省，第 22题，9 分）己知抛物线G：y=a x1-a x-5（a 0）.（1）当。=1 时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴；（2）试说明无论。为何值，抛物线G 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐
25、标;将抛物线G 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线。2,直接写出G 的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x 轴的距离为2,求 的值.65.（2017湖北省荆州市，第 23题，10分）已知关于x 的一元二次方程+（左一5）x+l-&=0 ,其中为常数.（1）求证：无论氏为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=V+（女5）x+l 左的图象不经过第三象限，求/的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求我的最大整数值.66.（2017湖南省株洲市，第 24题，8 分）如图所示，Rl以B 的直角顶点P（3,4）在函数y=4（x 0）X的图象上，顶点A、B 在函数y
26、=L（x0,0 t x+c的表达式;(2)过点A 作 AC平行于x 轴，交抛物线于点C,点 P 为抛物线上的一点(点P 在 AC上方)，作尸力平行与 y 轴交AB于点。，问当点尸在何位置时，四边形APCC的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M 在抛物线上，点 N 在其对称轴上，使得以A、E、N、M 为顶点的四边形是平行四边形，且 AE为其一边，求点M、N 的坐标.1 ，7().(20 1 6山东省潍坊市)如图，已知抛物线,=?+次+c 经过ABC的三个顶点，其中点A(0,1),点 8(-9,10),4 7 苫轴，点 P 是直线AC下方抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P 且与
27、y 轴平行的直线/与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形4ECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点尸为抛物线的顶点时，在直线A C 上是否存在点。，使得 以 C、P、。为顶点的三角形与A8C相似，若存在，求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.71.(20 1 6黑龙江省龙东地区)如图，二次函数y=(x+2)2+加 的 图象与y 轴交于点C,点 B 在抛物线上,且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已 知 一 次 函 数 的 图 象 经 过 该 二 次 函 数 图 象 上 的 点 A(-1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足0 +2)2+/%之丘的X的取
28、值范围.72.(20 1 6山东省烟台市)如图1,已知平行四边形4 8 8 顶点4 的坐标为(2,6),点8 在旷轴上,且4 58(7 犬轴，过 8,C,。三点的抛物线y=(aW O)的顶点坐标为(2,2),点 F(加，6)是线段AO上一动点，直线。尸交B C 于点E.(1)求抛物线的表达式;图2(2)设四边形A8EF的面积为S,请求出S与，的函数关系式，并写出自变量机的取值范围；(3)如图2,过点尸作F M Lx轴，垂足为M,交直线AC于 P,过点P 作 PML)，轴，垂足为M连接MM直线AC分别交x 轴，y 轴于点H,G,试求线段MN的最小值，并直接写出此时机的值.73.(2015来 宾)
29、在矩形ABC。中，AB=a,A D=b,点 M 为 BC边上一动点(点 M 与点、B、C 不重合)，连接 A M,过点M 作垂足为，MN交 CQ或 C。的延长线于点N.(1)求证：X C M N s X B A M：(2)设 BM=x,CN=y,求 y 关于x 的函数解析式.当x 取何值时，y 有最大值，并求出y 的最大值；(3)当点M 在 BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的6 的取值范围：点N 始终在线段CD上，点M在某一位置时，点 N 恰好与点D重合.74.(2015桂 林)如图，已知抛物线丁 =-/+云+c 与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C 从原点O 开始
30、沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿B O方向以每秒1个单位长度移动，动点C、。同时出发，当动点。到达原点。时，点 C、。停止运动.(1)直接写出抛物线的解析式：；(2)求的面积S与力点运动时间r 的函数解析式；当 t 为何值时，CE。的面积最大？最大面积是多少？(3)当(；：的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点 E 除外)，使PCQ的面积等于CE。的最大面积？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.7 5.(2 0 1 5梧 州)如图，抛物线y =必：2+版+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B(4,0)、C(-2,0),连接A B、A C,在第一象限内的抛物线上有
31、一动点。，过。作轴，垂足为E,交A B于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在O E上作点G,使G点与。点关于尸点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；(3)过。点作直线Q H A C交 于 从 当 的 面 积 最 大 时，在抛物线和直线A B上分别取M、N两点，并使。、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.76.(2 0 1 5北 海)如 图1所示，已知抛物线丁 =一丁+4+5的顶点为D,与无轴交于A、8两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接C E,将线段C E绕点E按逆时针方向旋转90 后，点C的对应点C
32、恰好落在y轴上.(1)直接写出D点和E点的坐标；(2)点尸为直线C E与已知抛物线的一个交点，点”是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线4G与y轴平行，且与直线C E交于点G,设点，的横坐标为m (0 V?V4),那么当m为何值时，SAHGF-SABGF=5：6?(3)图2所示的抛物线是由y =-V+4 x +5向右平移1个单位后得到的，点7(5,y)在抛物线上，点P是抛物线上。与7之间的任意一点，在线段0 7上是否存在一点Q,使 PQ 7是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.77.(20 1 5南 宁)在平面直角坐标系中，已 知 A、B是抛物线丫=妙2 (a
33、 0)上两个不同的点，其 中 4在第二象限，B在第一象限，(1)如 图1所示，当直线A 8与x轴平行，N A OB=90 ,且A 8=2时，求此抛物线的解析式和A、8两点的横坐标的乘积.(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线A B与x轴不平行，/A 0 8仍为90 时，A.B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.(3)在(2)的条件下，若直线y =2 x 2分别交直线4 B,y轴于点P、C,直线A 8交y轴于点，且N B P C=N O C P,求点P 的坐标.78.(20 1 5崇 左)如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标是(5,4),0M与
34、)，轴相切于点C,与x轴相交于A、B两点.(1)则点 A、B、C 的坐标分别是 A (一，一)，B (_,_),C(一，一)；1 ,(2)设经过A、B两点的抛物线解析式为y =(x-5)2 +%,它的顶点为凡 求证：直 线 用 与。例相切；4(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,且点P在x轴的上方，使P8C是等腰三角形.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.中考压轴题全揭秘三年经典中考压轴题专 题 0 9 二次函数的图象和性质问题一、选择题1.（2017内蒙古包头市，第 11题，3 分）已知一次函数x=4 x,二次函数为=2 +2,在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所
35、对应的函数值为乂与方，则下列关系正确的是（）A.B.y,y2 c.y,y2 D.y2【答案】D.【分析】首先判断直线X=4 x 与抛物 线 必=2/+2 只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题.v=4x【解析】由 一 、消去J 得到：X2-2X+1=0,.=（）,.,.直线产4x与抛物线y=2/+2 只有一y=2xr+2个交点，如图所示，观察图象可知：比勺乃，故 选 D.点睛：本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是判断出直线与抛物线只有一个交点，学会利用图象法解决问题.考点：二次函数与不等式（组）.2.（2017四川省乐山市，第 9 题，3 分）已知二次函数y=22加X（小为常
36、数），当-1 2 和-三种情况，根据y 的最小值为-2,结合二次函数的性质求解可得.3【解析】y=x2-2 mx=(x-m)2-m2,若加V-l,当 尸-1 时，y=+2m=-2,解得：团 二一万；3若加 2,当二2时，y=4-4m=-2,解得：片,2 (舍)；3 若-l Wm W2,当x=m 时，y=-机？=-2,解得：尸血 或 尸-板-I(舍)，的值为-I 或血，故选D.点睛：本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键.考点：二次函数的最值；最值问题；分类讨论；综合题.3.(2017湖北省恩施州，第12题，3分)如图，在平面直角坐标系中2条直线为/1：y=-3 户
37、3,/2：犷-3 x+9,直线6交 x轴于点A,交)，轴于点8,直 线，2 交 x轴于点Q，过点B作 x轴的平行线交6于点C,点 A、E关于y 轴对称，抛物线丫 =2+加+。过 E、B、C三 点,下列判断中：-b+c=0；2 q+6+c=5；抛物线关于直线尸1 对称；抛物线过点(6,c)；5 四 边 彩ABCD=5,其中正确的个数有()【答案】C.【分析】根据直线人的解析式求出A (I,0),B(0,3),根据关于y 轴对称的两点坐标特征求出E(-1,0).根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3,再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C (2,3).利用待定
38、系数法求出抛物线的解析式为尸-X2+2X+3,进而判断各选项即可.【解析】：直线人：y=-3 x+3 交 x轴于点4,交 y 轴于点8,(1,0),B(0,3),丁点4、E 关于y 轴对称，：.E(-1,0).直 线&y=-3 x+9 交 x轴于点O,过点8作 x轴的平行线交/2 于 点 C,.)(3,0),C点纵坐标与8点纵坐标相同都是3,把 y=3 代入y=-3 x+9,得 3=-3 x+9,解得x=2,，C （2,3）.a-b +c-0/。=一1抛物线 y=，+b x+c 过 E、B、C 三点，.,c =3 ,解得：，b=2,.y=-.r2+2.v+3.4a+2b+c=3 c=3：抛物线
39、y=依 2+b x+c 过 E（-1,0）,.,.a-b+c=0,故正确：b=2,c=3,：.2a+b+c=-2+2+3=3 5,故错误；.抛物线过8（0,3）,C（2,3）两点，对称轴是直线产1,.抛物线关于直线尸1 对称，故正确；.=2,c=3,抛物线过C （2,3）点，.抛物线过点（b,c）,故正确；,直 线/i/2，W A B/C D,又 B C A。，.四边形 A B C Q 是平行四边形，叫1M8C D=B C O 8=2 X 3=6 W5,故错误.综上可知，正确的结论有3个.故选C.点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y 轴对称的两点坐标
40、特征，平 行 于 x轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键.考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标；综合题.4.（2 0 1 7 湖北省荆州市，第 1 0 题，3分）规定：如果关于x的一元二次方程o?+法+。=0（田 0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：方程V+2 x8=0是倍根方程；若关于x 的方程f+办+2 =0是倍根方程，则 所 3；若关于x 的方程以2_6OX+C=0（。壬
41、0）是倍根方程，则抛物线丁 =改 2 _ 6 公+。与*轴的公共点的坐标 是（2,0）和（4,0）；若 点（,）在反比例函数y =的图象上，则关于x 的方程/n/+5 x+=o 是倍根方程.x上述结论中正确的有（）A.B.C.D.【答案】C.【分析】通过解方程得到该方程的根，结 合“倍根方程”的定义进行判断；设检=2%，得至lj X|X 2=2X/=2,得到当X|=l时，x2-2,当 天=-1时，x2-2,于是得到结论；根 据“倍根方程”的定义即可得到结论；若 点（?，）在反比例函数y =的图象上，得 到“吁4,然后解方程如2+5+=0即可得到正确的x结论；【解析】由 X2+2X8 =0,得（
42、x+4）（X-2）=0,解得 x4,x2=2,.xl 2x2,或 x2 2x）,.方程V+2 x-8=0不是倍根方程.故错误；关于x的方程/+6+2 =0是倍根方程，设必=为，,%*2=为2=2,，xi=l,当为=1时，应=2,当勺=-1 时，X2=-2,.,.X+x2=-a=3,.a=3,故正确：关于x的方程以2-6 6+。=0 （a W O）是倍根方程，；.X2=2X I，；抛物线、=6 0?一6奴+c的对称轴是直线x=3,抛物线y =办2 6依+?与*轴的交点的坐标是（2,0）和（4,0）,故正确；4 2 8,点（如 ）在反比例函数y =的图象上，加=4,解/n d+5 1 +=0得用=
43、-,%2-，.,.X2=4xt，x m m关于x的方程 如2+5 1 +”=0不是倍根方程；故选C.点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键.考点：反比例函数图象上点的坐标特征；根的判别式；根与系数的关系；抛物线与x轴的交点；综合题.5.（2 0 1 7贵州省安顺市，第1 0题，3分）二次函数、=以2+灰+。QW O）的图象如图，给出下列四个结论：4 a c-b2 0 ；3 b +2 c（）；4 a +c 2 b；根（s n+0）+/?0,可判断；根据对称轴是卡-1,可 得 尸-2、。时,b 1y的值相等，所以4 a -2 6+c 0,
44、可判断；根据-=-1,得出6=2。，再根据a+b+cO,可 得 一b+b+c2a 2 0,所以弘+2 c 0,.4 -I T 0,正确；b1二-=-I,：,b=2a,a+b+c0,：.-b+b+c0,3 b+2 c 0,：.4a-2h+c0,：.4a+c2b,错误：由图象可知x=-1时该二次函数取得最大值，二。-（?W -1 0；3 a+b 0；4-W a W-1；a+匕。+为九（机为任意实数）；一元二次方程分2+笈+。=有两个不相等的实3A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B.【分析】根据抛物线开口向下判断出“0,再根据顶点横坐标用a表示出从根据与y轴的交点求出。的取值范围，然后判
45、断出错误，正确，根据点A的坐标用c表示出a,再根据c的取值范围解不等式求出正确，根据顶点坐标判断出正确，错误，从而得解.【解析】.抛物线开口向下，.KO,.顶点坐标0,.与y轴的交点在0,3),(0,4)之间(包含端点)，二3,.S c V O,故错误；3o+-i=3tw-(-2a)=a 0当y 0时，x的取值范围是-l W x 3当x 0,所以正确：.抛物线的对称轴为直线产1,而点（-1,0）关于直线产1 的对称点的坐标为（3,0）,.方程0?+么+。=0的两个根是即=-1,忿=3,所以正确；.x=-=,B P b=-2 a,而 产-1 时，y=0,B P a -b+c=0,a+2a+c=0
46、,所以错误；2a:抛物线与x轴的两点坐标为（7,0）,（3,0）,.当-l x -0,所以错误；抛物线的对称轴为直线户1,.当xl时，y随 x增大而增大，所以正确.故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =以 2+笈（“wo）,二次项系数”决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当。0）,对称轴在y 轴左；当与方异号时（即帅 0时，抛物线与x 轴有2个交点；=/_ 4 a c =0 时，抛物线与x轴有 1 个交点；=户一4/0时，抛物线与x轴没有交点.考点：二次函数图象与系数的关系；数形结合.8.（20 1 7山东省日照市，第 1 2题，4 分）已知抛物线了
47、 =依 2+法+。（a W O）的对称轴为直线x=2,与 x轴的一个交点坐标为（4,0）,其部分图象如图所示，下列结论：抛物线过原点；4a+b+c=0；a -b+c 0,即可得出a-h+c0,结论错误；将 x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0,即可求出抛物线的顶点坐标，结论正确；观察函数图象可知，当x。，结论错误；当x=2时，y=ax2+bx+C4a+2b+c=（4a+b+c+6=b,.,.抛物线的顶点坐标为（2,b）,结论正确；观察函数图象可知：当x 2 时，与 随 x 增大而减小，结论错误.综上所述，正确的结论有：.故选C.点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数
48、的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键.考点：抛物线与无轴的交点；二次函数图象与系数的关系.9.（2017山东省烟台市，第 11题，3 分）二次函数了=融 2+加+C QW0）的图象如图所示，对称轴是直线 产 1,下列结论：ab4ac；a+b+2c0；3a+c 0,然后利用抛物线抛物线的对称轴得到6 的符合，则可对进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x 轴有2 个交点可对进行判断；利用x=l时，-0和 c 0,即 a-b+c 0,则可对进行判断.h【解析】,抛物线开口向上，0,:抛物线的对称轴为宜线产-1,，。二-2V0,0,所以正确；时，y0,a+h+c0,
49、而 c0,.a+h+2c0,B P a -b+cQ,：.a+2a+c0,所以2a错误.故选C.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=以2+fec+c（a/。），二次项系数决定抛物线 的 开 口 方 向 和 大 小.当 时，抛物线向上开口；当“0）,对称轴在y 轴左；当 a 与。异 号 时（即必 0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；=/-4ac=0时，抛物线与x 轴 有 1个交点；=/-4 a c =?上的点，点。横坐标为广J石=2,，AO=a,BF=-a,CE=；/,QE=a2,s BFOE 1 4 1则 A O F/-=-x,故选 D.SAEA。-ADCE 8 3 62点
50、睛：本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点&足。的坐标是解题的关键.考点：二次函数图象上点的坐标特征；综合题.11.（2017浙江省嘉兴市，第10题，3分）下列关于函数y=d 6x+10的四个命题：当x=0时，y有最小值10；”为任意实数，x=3+时的函数值大于x=3-n时的函数值；若 3,且是整数，当时，y的整数值有（2-4）个；若函数图象过点（，光）和（b,%+1），其中。0,b 0,则其中真命题的序号是()A.B.C.D.(4)【答案】C.【分析】分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析.【解析】y=x2-6x